2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第1章集合與常用邏輯術(shù)語(yǔ)1.4充分條件與必要條件1.4.1充分條件與必要條件教學(xué)案新人教A版必修第一冊(cè)

PAGE1-1.4.1充分條件與必要條件(老師獨(dú)具內(nèi)容)課程標(biāo)準(zhǔn)：1.通過對(duì)典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解充分條件的意義，理解判定定理與充分條件的關(guān)系.2.通過對(duì)典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解必要條件的意義，理解性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系．教學(xué)重點(diǎn)：1.駕馭充分條件的概念，理解充分條件的意義，會(huì)推斷條件與結(jié)論之間的充分性.2.駕馭必要條件的概念，理解必要條件的意義，會(huì)推斷條件與結(jié)論之間的必要性．教學(xué)難點(diǎn)：1.推斷條件與結(jié)論之間的充分性.2.推斷條件與結(jié)論之間的必要性．【學(xué)問導(dǎo)學(xué)】學(xué)問點(diǎn)一命題的概念及結(jié)構(gòu)(1)一般地，我們把用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以推斷真假的陳述句叫做eq\o(□,\s\up4(01))命題．推斷為真的語(yǔ)句是eq\o(□,\s\up4(02))真命題，推斷為假的語(yǔ)句是eq\o(□,\s\up4(03))假命題．(2)當(dāng)命題表示為“若p，則q”時(shí)，eq\o(□,\s\up4(04))p是命題的條件，eq\o(□,\s\up4(05))q是命題的結(jié)論．學(xué)問點(diǎn)二充分條件與必要條件一般地，“若p，則q”為eq\o(□,\s\up4(01))真命題，是指由p通過推理可以得出q.這時(shí)，我們就說，由p可以推出q，記作eq\o(□,\s\up4(02))p?q，并且說，p是q的eq\o(□,\s\up4(03))充分條件(sufficientcondition)，q是p的eq\o(□,\s\up4(04))必要條件(necessarycondition)．假如“若p，則q”為假命題，那么由條件p不能推出結(jié)論q，記作eq\o(□,\s\up4(05))peq\o(?,/)q.此時(shí)，我們就說p不是q的eq\o(□,\s\up4(06))充分條件，q不是p的eq\o(□,\s\up4(07))必要條件．【新知拓展】1．p?q的含義(1)“若p，則q”形式的命題為真命題．(2)由條件p可以得到結(jié)論q.(3)p是q的充分條件或q的充分條件是p；q是p的必要條件或p的必要條件是q.(4)只要有條件p，就肯定有結(jié)論q，即p對(duì)于q是充分的，q對(duì)于p的成立是必要的．(5)為得到結(jié)論q，具備條件p就可以推出．明顯，p是q的充分條件與q是p的必要條件表述的是同一個(gè)邏輯關(guān)系，即p?q，只是說法不同而已．2．對(duì)充分條件概念的理解“若p，則q”為假命題時(shí)，p推不出q，q不是p的必要條件，p也不是q的充分條件．3．對(duì)充分條件的理解(1)所謂充分，就是說條件是充分的，也就是說條件是足夠的，條件是足夠的，條件是足以保證的．“有之必成立，無之未必不成立”．(2)充分條件不是唯一的，如x>2，x>3等都是x>0的充分條件．必要條件不是唯一的，如x>0，x>5等都是x>9的必要條件．1．判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若p是q的必要條件，則q是p的充分條件．()(2)內(nèi)錯(cuò)角相等?兩直線平行．()(3)“x＝0”是“x2＝2x”的必要條件．()(4)“△ABC∽△A′B′C′”是“△ABC≌△A′B′C′”的必要條件．()(5)“x＝3”是“x2＝9”的充分條件．()答案(1)√(2)√(3)×(4)√(5)√2．做一做(請(qǐng)把正確的答案寫在橫線上)(1)若p是q的充分條件，q是r的充分條件，則p是r的________條件．(2)設(shè)集合M＝{x|x≥2}，P＝{x|x>1}，則“x∈M∪P”是“x∈M∩P”的________條件．(3)“ab＞0”是“a＞0，b＞0”的________條件．答案(1)充分(2)必要(3)必要題型一充分條件、必要條件的概念及推斷方法例1在以下各題中，推斷哪些能p?q，哪些能q?p，并分析各題中p與q的關(guān)系．(1)p：x是整數(shù)，q：x2是整數(shù)；(2)p：a>b，q：ac>bc(c≥0)；(3)p：四邊形是正方形，q：四邊形的對(duì)角線相互垂直平分．[解](1)當(dāng)x是整數(shù)時(shí)，x2肯定是整數(shù)，即p?q，故p是q的充分條件，q是p的必要條件．(2)不等式ac>bc(c≥0)中隱含了c≠0，即此時(shí)c>0，在此不等式兩邊同除以正數(shù)c，便得a>b，即q?p，故q是p的充分條件，p是q的必要條件．(3)因?yàn)楫?dāng)四邊形是正方形時(shí)，對(duì)角線相互垂直平分且相等，所以p?q，故p是q的充分條件，q是p的必要條件．例2在下列各題中，q是p的必要條件嗎？為什么？(1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0；(2)p：兩個(gè)三角形相像；q：兩個(gè)三角形全等；(3)p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0無實(shí)根．[解](1)∵x－2＝0?(x－2)(x－3)＝0，∴q是p的必要條件．(2)∵兩個(gè)三角形相像推不出兩個(gè)三角形全等，∴q不是p的必要條件．(3)∵方程x2－x－m＝0無實(shí)根，∴Δ＝b2－4ac＝1－4×1×(－m)＝1＋4m<0，解得m<－eq\f(1,4).∵m<－2?m<－eq\f(1,4)，∴q是p的必要條件．[結(jié)論探究]假如把本例中“q是p的必要條件嗎？”改為“p是q的必要條件嗎？”，其他不變，該如何解答呢？解(1)∵(x－2)(x－3)＝0推不出x－2＝0，∴p不是q的必要條件．(2)∵兩個(gè)三角形全等?兩個(gè)三角形相像，∴p是q的必要條件．(3)∵方程x2－x－m＝0無實(shí)根推不出m<－2，∴p不是q的必要條件．金版點(diǎn)睛充分條件、必要條件的推斷方法(1)定義法：首先分清條件和結(jié)論，然后推斷p?q和q?p是否成立，最終得出結(jié)論．2命題推斷法①假如命題：“若p，則q”為真命題，那么p是q的充分條件，同時(shí)q是p的必要條件；②假如命題：“若p，則q”為假命題，那么p不是q的充分條件，同時(shí)q也不是p的必要條件.3集合法：對(duì)于涉及取值范圍的推斷題，可從集合的角度探討，若兩個(gè)集合具有包含關(guān)系，則小范圍?大范圍，大范圍推不出小范圍.4傳遞法：由推式的傳遞性：p1?p2?p3?…?pn，則pn是p1的必要條件.eq\a\vs4\al([跟蹤訓(xùn)練1])(1)設(shè)A，B是兩個(gè)集合，推斷“A∩B＝A”是“A?B”的什么條件；(2)在下列各題中，q是p的必要條件嗎？p是q的必要條件嗎？為什么？①p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0；②p：a<b，q：eq\f(a,b)<1.解(1)由題意，得A∩B＝A?A?B，反之，A?B?A∩B＝A，故“A∩B＝A”是“A?B”的充分條件，也是必要條件．(2)①∵a2＋b2＝0?a＝b＝0?a＋b＝0，∴q是p的必要條件．∵a＋b＝0推不出a2＋b2＝0，∴p不是q的必要條件．②由于a<b，當(dāng)b<0時(shí)，eq\f(a,b)>1；當(dāng)b>0時(shí)，eq\f(a,b)<1，故a<b推不出eq\f(a,b)<1.∴q不是p的必要條件．當(dāng)a>0，b>0，eq\f(a,b)<1時(shí)，可以推出a<b；當(dāng)a<0，b<0，eq\f(a,b)<1時(shí)，可以推出a>b.∴p不是q的必要條件.題型二利用充分條件、必要條件求參數(shù)的取值范圍例3(1)已知p：關(guān)于x的不等式eq\f(3－m,2)<x<eq\f(3＋m,2)，q：0<x<3，若p是q的充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)已知集合A＝{y|y＝x2－3x＋1，x∈R}，B＝{x|x＋2m≥0}；命題p：x∈A，命題q：x∈B，并且q是p的必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[解](1)記A＝eq\b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))eq\f(3－m,2)<x<eq\f(3＋m,2)，B＝{x|0<x<3}，若p是q的充分條件，則A?B.留意到B＝{x|0<x<3}≠?，分兩種狀況探討：①若A＝?，即eq\f(3－m,2)≥eq\f(3＋m,2)，解得m≤0，此時(shí)A?B，符合題意；②若A≠?，即eq\f(3－m,2)<eq\f(3＋m,2)，解得m>0，要使A?B，應(yīng)有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3－m,2)≥0，,\f(3＋m,2)≤3，解得0<m≤3.,m>0，))綜上可得，實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≤3.(2)由已知可得A＝eq\b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\co1(y))y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2－eq\f(5,4)，x∈R}＝eq\b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\co1(y))y≥－eq\f(5,4)}，B＝{x|x≥－2m}．因?yàn)閝是p的必要條件，所以p?q，所以A?B，所以－2m≤－eq\f(5,4)，所以m≥eq\f(5,8)，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≥eq\f(5,8).金版點(diǎn)睛利用充分條件或必要條件求參數(shù)的思路依據(jù)充分條件或必要條件求參數(shù)的取值范圍時(shí)，先將p，q等價(jià)轉(zhuǎn)化，再依據(jù)充分條件或必要條件與集合間的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的兩個(gè)集合之間的包含關(guān)系，然后建立關(guān)于參數(shù)的不等式(組)進(jìn)行求解．eq\a\vs4\al([跟蹤訓(xùn)練2])(1)已知p：x2＋x－6＝0，q：mx＋1＝0(m≠0)，且q是p的充分條件，求m的值；(2)已知M＝{x|a－1<x<a＋1}，N＝{x|－3<x<8}，若N是M的必要條件，求a的取值范圍．解(1)解x2＋x－6＝0得x＝2或x＝－3，令A(yù)＝{2，－3}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,m)))，∵q是p的充分條件，∴B?A.當(dāng)－eq\f(1,m)＝2時(shí)，m＝－eq\f(1,2)；當(dāng)－eq\f(1,m)＝－3時(shí)，m＝eq\f(1,3).所以m＝－eq\f(1,2)或m＝eq\f(1,3).(2)因?yàn)镹是M的必要條件，所以M?N.于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1≥－3，,a＋1≤8，))從而可得－2≤a≤7.故a的取值范圍為－2≤a≤7.1．若M，N是兩個(gè)集合，則下列命題中真命題是()A．假如M?N，那么M∩N＝MB．假如M∩N＝N，那么M?NC．假如M?N，那么M∪N＝MD．假如M∪N＝N，那么N?M答案A解析用集合的相關(guān)定義理解、分析可知A為真命題，B，C，D為假命題．2．若a∈R，則“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的()A．充分條件B．必要條件C．既不是充分條件，也不是必要條件D．無法推斷答案A解析因?yàn)閍＝2?(a－1)(a－2)＝0，而(a－1)(a－2)＝0不能推出a＝2，故“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分條件，應(yīng)選A.3．下列命題中，是真命題的是()A．“x2>0”是“x>0”的充分條件B．“xy＝0”是“x＝0”的必要條件C．“|a|＝|b|”是“a＝b”的充分條件D．“|x|>1”是“x2不小于1”的必要條件答案B解析A中，x2>0?x>0或x<0，不能推出x>0，而x>0?x2>0，故“x2>0”是“x>0”的必要條件．B中，xy＝0?x＝0或y＝0，不能推出x＝0，而x＝0?xy＝0，故“xy＝0”是“x＝0”的必要條件．C中，|a|＝|b|?a＝b或a＝－b，不能推出a＝b，而a＝b?|a|＝|b|，故“|a|＝|b|”是“a＝b”的必要條件．D中，|x|>1?x2不小于1，而x2不小于1不能推出|x|>1，故“|x|>1”是“x2不小于1”的充分條件，故本題應(yīng)選B.4．“ac<0”是“ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有實(shí)根”的________條件．答案充分解析由ac<0?b2－4ac>0?ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有實(shí)根，而ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有實(shí)根不能推出ac<0.故“ac<0”是“ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有實(shí)根”的充分條件．5．下列各題中，q是p的必要條件嗎？p是q的必要條件嗎？為什么？(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y(tǒng)；(2)p：△