高考數(shù)學(xué)第二輪專題第4講-導(dǎo)數(shù)的熱點(diǎn)問題

第4講導(dǎo)數(shù)的熱點(diǎn)問題1.[2020·全國新高考Ⅰ卷]已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.(1)當(dāng)a=e時,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;(2)若f(x)≥1,求a的取值范圍.2.[2020·全國卷Ⅱ]已知函數(shù)f(x)=sin2xsin2x.(1)討論f(x)在區(qū)間(0,π)的單調(diào)性;(2)證明:|f(x)|≤33(3)設(shè)n∈N*,證明:sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤3n單調(diào)性1已知a∈R,函數(shù)f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R).(1)當(dāng)a=2時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞增,求a的取值范圍.【規(guī)律提煉】利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的方法(1)可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào),實(shí)際上就是在該區(qū)間上f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立,得到關(guān)于參數(shù)的不等式,從而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題,進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍;(2)可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上存在單調(diào)區(qū)間,實(shí)際上就是f'(x)>0(或f'(x)<0)在該區(qū)間上存在解集,從而轉(zhuǎn)化為不等式問題,進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍;(3)若已知f(x)在區(qū)間I上的單調(diào)性,區(qū)間I上含有參數(shù)時,可先求出f(x)的單調(diào)區(qū)間,令I(lǐng)是其單調(diào)區(qū)間的子集,從而求出參數(shù)的取值范圍.測題1.已知函數(shù)f(x)=x2+cos2x.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)若x≥0,不等式f(x)≥kx+1恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.2.已知函數(shù)f(x)=x2eax-1.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)當(dāng)a>13e時,求證:f(x)>ln極值與最值2已知f(x)=lnx-x2+2ax,a∈R.(1)若a=0,求f(x)在[1,e]上的最小值;(2)求f(x)的極值點(diǎn).【規(guī)律提煉】1.求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟(1)求定義域;(2)求導(dǎo);(3)令f'(x)=0;(4)列表,檢查f'(x)在方程f'(x)=0的根的左、右兩側(cè)的值的符號;(5)得出結(jié)論:如果左正右負(fù),那么f(x)在這個根處取得極大值;如果左負(fù)右正,那么f(x)在這個根處取得極小值.注意:只有極大值無極小值時,要指出“無極小值”.2.已知函數(shù)極值求參數(shù)時需注意的問題(1)根據(jù)極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組,利用待定系數(shù)法求解;(2)因為導(dǎo)數(shù)值等于0不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件,所以用待定系數(shù)法求解后必須檢驗.3.求可導(dǎo)函數(shù)f(x)在[a,b]上的最值的步驟(1)求f(x)在(a,b)內(nèi)的極值;(2)將f(x)的各極值與f(a),f(b)比較,得出f(x)在[a,b]上的最值.測題已知函數(shù)f(x)=xlnx.若函數(shù)F(x)=f(x)-ax2有兩個極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.存在性問題與任意性問題3已知函數(shù)f(x)=ax-alnx(a≠0),g(x)=-x-1x(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)當(dāng)a>0時,若存在x0∈[1,e],使得f(x0)<g(x0)成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【規(guī)律提煉】1.含參數(shù)的不等式能成立(存在性)問題的轉(zhuǎn)化方法若a≥f(x)對x∈D能成立,則a≥f(x)min;若a≤f(x)對x∈D能成立,則a≤f(x)max.2.含全稱、存在量詞的不等式能成立問題(1)存在x1∈A,對于任意x2∈B,使f(x1)≥g(x2)成立,則f(x)max≥g(x)max;(2)對于任意x1∈A,存在x2∈B,使f(x1)≥g(x2)成立,則f(x)min≥g(x)min.3.恒成立問題與存在性問題的關(guān)系恒成立問題與存在性問題的求解過程是“互補(bǔ)”的,即f(x)≥g(a)對x∈D恒成立,應(yīng)求f(x)的最小值;若存在x∈D,使f(x)≥g(a)成立,應(yīng)求f(x)的最大值.應(yīng)特別關(guān)注等號能否取到,注意端點(diǎn)值的取舍.測題已知函數(shù)f(x)=12x2,g(x)=aln(1)若曲線y=f(x)-g(x)在x=1處的切線的方程為6x-2y-5=0,求實(shí)數(shù)a的值;(2)設(shè)h(x)=f(x)+g(x),若對任意兩個不等的正數(shù)x1,x2,?(x1)-?(x2(3)若在[1,e]上存在一點(diǎn)x0,使得f'(x0)+1f'(x0)<g(x0)-g'(x0)成立不等式的證明角度1單變量不等式的證明4已知函數(shù)f(x)=ex-1-ln(x+a)+(1)若x=1是f(x)的極值點(diǎn),求a的值,并求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)a≤3時,證明:f(x)>-1.【規(guī)律提煉】用導(dǎo)數(shù)法證明不等式一般有以下方法:(1)構(gòu)造函數(shù)法;(2)通過對函數(shù)的變形,利用分析法證明不等式;(3)分成兩個函數(shù)進(jìn)行研究;(4)利用圖像的特點(diǎn)證明不等式;(5)利用放縮法證明不等式.角度2雙變量不等式的證明5已知函數(shù)f(x)=lnx-ax2+(a-b-1)x+b+1(a,b∈R).(1)若a=0,試討論f(x)的單調(diào)性;(2)若0<a<2,b=1,實(shí)數(shù)x1,x2為方程f(x)=m-ax2的兩不等實(shí)根,求證:1x1+1x2>【規(guī)律提煉】1.含參不等式的證明方法對于含參數(shù)的不等式,如果易分離參數(shù),那么可先分離參數(shù)、構(gòu)造函數(shù),直接轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值;否則應(yīng)進(jìn)行分類討論,在解題過程中,必要時可作出函數(shù)圖像(草圖),借助幾何圖形分析轉(zhuǎn)化.2.破解含雙參不等式的證明問題的關(guān)鍵一是轉(zhuǎn)化,即由已知條件入手,尋找雙參所滿足的關(guān)系式,并把含雙參的不等式轉(zhuǎn)化為含單參的不等式;二是構(gòu)造函數(shù),借用導(dǎo)數(shù),判斷函數(shù)的單調(diào)性,從而求其最值;三是回歸含雙參的不等式的證明,把所求的最值應(yīng)用到含雙參的不等式中,即可證得結(jié)果.測題已知函數(shù)f(x)=lnx-ax+1有兩個零點(diǎn).(1)求a的取值范圍;(2)設(shè)x1,x2是f(x)的兩個零點(diǎn),f'(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),證明:f'(x1·x2)<1-a.零點(diǎn)(方程的解)判斷6已知函數(shù)f(x)=x2-2alnx+4,g(x)=f(x(1)若f(x)在x=1處取得極值,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若g(x)在[1,e]上沒有零點(diǎn),求a的取值范圍.【規(guī)律提煉】已知零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)范圍(1)根據(jù)區(qū)間上零點(diǎn)的個數(shù)情況估計函數(shù)圖像的大致形狀,從而推導(dǎo)出導(dǎo)數(shù)需要滿足的條件,進(jìn)而求出參數(shù)滿足的條件;(2)也可以先求導(dǎo),通過導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性,再依據(jù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)情況,推導(dǎo)出函數(shù)本身需要滿足的條件,此時,由于函數(shù)比較復(fù)雜,常常需要構(gòu)造新函數(shù),通過多次求導(dǎo),層層推理得解.測題已知函數(shù)f(x)=x3-alnx(a∈R).(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,e]上存在兩個不同零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.公切線7已知函數(shù)f(x)=ex+1+x1(1)討論f(x)的單調(diào)性,并證明f(x)有且僅有兩個零點(diǎn);(2)設(shè)x0是f(x)的一個零點(diǎn),證明:曲線y=ex在A(x0,ex0)處的切線也是曲線y=lnx【規(guī)律提煉】求曲線y=f(x)的切線方程的三種類型及方法:(1)已知切點(diǎn)P(x0,y0),求曲線y=f(x)在點(diǎn)P處的切線方程:先求出切線的斜率f'(x0),再由點(diǎn)斜式寫出方程.(2)已知切線的斜率為k,求曲線y=f(x)的切線方程:設(shè)切點(diǎn)P(x0,y0),通過方程k=f'(x0)解得x0,再由點(diǎn)斜式寫出方程.(3)已知切線上一點(diǎn)(非切點(diǎn)),求曲線y=f(x)的切線方程:設(shè)切點(diǎn)P(x0,y0),利用導(dǎo)數(shù)求得切線斜率f'(x0),再由斜率公式求得切線斜率,列方程(組)解得x0,再由點(diǎn)斜式或兩點(diǎn)式寫出方程.測題已知函數(shù)f(x)=lnx.(1)若函數(shù)t(x)=12x2-(a+2)x+2af(x)(a≠0),討論t(x)的單調(diào)性(2)若函數(shù)g(x)=x3(x>0)的圖像在點(diǎn)P處的切線為l,是否存在這樣的點(diǎn)P使得直線l與曲線y=f(x)也相切?若存在,求滿足條件的點(diǎn)P的個數(shù);若不存在,請說明理由.數(shù)列型不等式的證明8已知函數(shù)f(x)=x-ln(x+a),a∈R.(1)若對定義域內(nèi)的任意x,都有f(x)>0,求a的取值范圍;(2)求證:對于任意大于1的正整數(shù)n,1+1221+132…1+1n2<e,其中e為自然對數(shù)的底數(shù).【規(guī)律提煉】證明與數(shù)列有關(guān)的不等式的策略(1)根據(jù)已知的不等式,用關(guān)于正整數(shù)n的式子代替函數(shù)不等式中的自變量,得到關(guān)于n的不等式,通過多次求和證明.此類問題一般至少有兩問,已知的不等式常由第一問根據(jù)待證式的特征而得到.(2)已知函數(shù)式為指數(shù)不等式(或?qū)?shù)不等式),而待證不等式為與對數(shù)有關(guān)的不等式