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文檔簡介
新知一覽平行四邊形的性質(zhì)平行四邊形的判定平行四邊形平行四邊形邊和角的性質(zhì)平行四邊形對角線的性質(zhì)三角形的中位線多邊形的內(nèi)角和與外角和利用四邊形對角線的性質(zhì)判定平行四邊形利用四邊形邊的關(guān)系判定平行四邊形平行線間的距離及平行四邊形判定與性質(zhì)的綜合6.4
多邊形的內(nèi)角和與外角和第六章平行四邊形問題1上圖中廣場中心的邊緣是一個五邊形,你能設(shè)法求出它的五個內(nèi)角的和嗎?與同伴交流,1多邊形的內(nèi)角和問題2小明、小亮分別利用下面的圖形求出了五邊形的五個內(nèi)角的和,你知道他們是怎樣做的嗎?五邊形的內(nèi)角和=3個三角形內(nèi)角和之和=180°×3=540°.五邊形的內(nèi)角和=5個三角形內(nèi)角和之和-周角=180°×5-360°=540°.
你還有其他方法嗎?
按照
問題2的方法一,六邊形能分成多少個三角形?
n
邊形呢?
你能確定
n
邊形的內(nèi)角和嗎?
想一想4個n邊形六邊形五邊形四邊形三角形多邊形內(nèi)角和分割出三角形的個數(shù)從多邊形的一頂點(diǎn)引出的對角線條數(shù)圖形邊數(shù)···0n-
3
1231234n-
2
(n-
2)×180°1×180°=180°2×180°=360°
3×180°=540°4×180°=720°···············由特殊到一般
定理
n邊形的內(nèi)角和等于
(n
-
2)×180°(
n
是大于或等于
3
的自然數(shù)).總結(jié)歸納按照
問題2的方法二再試一試?多邊形的內(nèi)角和公式例1
在四邊形
ABCD
中,∠A+∠C=180°,那么
∠B與∠D有什么關(guān)系?BADC如果一個四邊形的一組對角互補(bǔ),那么另一組對角互補(bǔ).典例精析解:∵∠A+∠B+∠C+∠D=(4
-2)×180°=360°,∴∠B
+∠D=360°-(∠A
+∠C)
=180°.想一想:正n邊形的一個內(nèi)角是
度.想一想
正三角形
(等邊三角形)
、正四邊形
(正方形)
、正五邊形、正六邊形、正八邊形的內(nèi)角分別是多少度?
60°108°90°120°135°議一議剪掉一張長方形紙片的一個角后,紙片還剩幾個角?這個多邊形的內(nèi)角和是多少度?與同伴交流.540°360°180°2多邊形的外角和如圖,小剛沿一個五邊形廣場周圍的小路按逆時針方向跑步.(1)小剛每從一條小路轉(zhuǎn)到下一條小路時,跑步方向改變的角是哪個角?在圖上標(biāo)出這些角.情境探究跑步方向改變的角分別是∠1、∠2、∠3、∠4、∠5.(2)他每跑完一圈,跑步方向改變的角一共有幾個?它們的和是多少?小剛是這樣思考的,∵∠1+∠EAB=180°,∠2+∠ABC=180°,∠3+∠BCD=180°,∠4+∠CDE=180°,∠5+∠DEA=180°,∴∠1+∠EAB+∠2+∠ABC+∠3+∠BCD+∠4+∠CDE+∠5+∠DEA=900°.∵五邊形的內(nèi)角和為(5-2)×180°=540°.∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=900°
-540°=360°.即∠EAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA=540°,
多邊形內(nèi)角的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角叫做這個多邊形的外角.
在多邊形每個頂點(diǎn)處各取一個外角,它們的和叫做這個多邊形的外角和.歸納總結(jié)多邊形的外角與外角和想一想如果廣場的形狀是六邊形、八邊形,那么結(jié)果會怎樣?6×180°-(6-2)×180°=360°8×180°-(8-2)×180°=360°定理
多邊形的外角和都等于
360°.例2
一個多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的3倍,它是幾邊形?解:設(shè)這個多邊形是
n
邊形,則它的內(nèi)角和是(n
-
2)·180°
,外角和等于
360°.典例精析根據(jù)題意,得(n
-
2)·180
=
3×360°,解得
n
=1080°,所以,這個正多邊形是八邊形.多邊形的內(nèi)角和內(nèi)角和計(jì)算公式(n-
2)×180°(n≥3的整數(shù))外角和多邊形的外角和等于360°.特別注意:與邊數(shù)無關(guān).正多邊形內(nèi)角=,外角=1.判斷對錯:(1)當(dāng)多邊形邊數(shù)增加時,它的內(nèi)角和也隨著增加.()(2)當(dāng)多邊形邊數(shù)增加時,它的外角和也隨著增加.()(3)三角形的外角和與八邊形的外角和相等.()2.一個正多邊形的內(nèi)角和為
720°,則這個正多邊形的每一個內(nèi)角等于_____.120°3.一個多邊形的內(nèi)角和為1800°,截去一個角后,求得到的多邊形的內(nèi)角和.解:∵1800÷180=10,∴
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