2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三講柯西不等式與排序不等式3.2一般形式的柯西不等式練習(xí)含解析新人教A版選修4-5

PAGE1-二一般形式的柯西不等式一、選擇題1.設(shè)a,b,c>0,且a+b+c=1,則的最大值是()A.1 B. C.3 D.9解析:由柯西不等式得[()2+()2+()2](12+12+12)≥()2,∴()2≤3×1=3.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時(shí)等號(hào)成立.∴的最大值為.答案:B2.n個(gè)正數(shù)的和與這n個(gè)正數(shù)的倒數(shù)和的乘積的最小值是()A.1 B.n C.n2 D.解析:設(shè)n個(gè)正數(shù)為x1,x2,…,xn,由柯西不等式,得(x1+x2+…+xn)≥=(1+1+…+1)2=n2.當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn時(shí)取等號(hào).答案:C3.已知x2+y2+z2=1,則x+2y+2z的最大值為()A.1 B.2 C.3 D.4解析:由柯西不等式,得(x+2y+2z)2≤(12+22+22)(x2+y2+z2)=9,所以-3≤x+2y+2z≤3.當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí),右邊等號(hào)成立.所以x+2y+2z的最大值為3.答案:C4.已知x,y是實(shí)數(shù),則x2+y2+(1-x-y)2的最小值是()A. B. C.6 D.3解析:由柯西不等式,得(12+12+12)[x2+y2+(1-x-y)2]≥[x+y+(1-x-y)]2=1,即x2+y2+(1-x-y)2≥,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1-x-y,即x=y=時(shí),x2+y2+(1-x-y)2取得最小值.答案:B二、非選擇題5.設(shè)a,b,c為正數(shù),則(a+b+c)的最小值是.

解析:(a+b+c)=[()2+()2+()2]·≥=(2+3+6)2=121.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.答案:1216.設(shè)x,y,z∈R,若x2+y2+z2=4,則x-2y+2z的最小值為.

解析:由柯西不等式,得(x2+y2+z2)·[12+(-2)2+22]≥(x-2y+2z)2,則(x-2y+2z)2≤4×9=36.當(dāng)且僅當(dāng)=k,k=±時(shí),上式取得等號(hào),故當(dāng)k=-時(shí),x-2y+2z取得最小值-6.答案:-67.設(shè)x,y,z∈R,2x+2y+z+8=0,則(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2的最小值為.

解析:2x+2y+z+8=0?2(x-1)+2(y+2)+(z-3)=-9.考慮以下兩組向量:u=(2,2,1),v=(x-1,y+2,z-3),由柯西不等式,得(u·v)2≤|u|2·|v|2;即[2(x-1)+2(y+2)+(z-3)]2≤(22+22+12)·[(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2].所以(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2≥=9,當(dāng)且僅當(dāng)x=-1,y=-4,z=2時(shí),等號(hào)成立,此時(shí)取得最小值9.答案:98.設(shè)實(shí)數(shù)a,b,c,d,e滿意a+b+c+d+e=8,且a2+b2+c2+d2+e2=16,試確定e的最大值.解:由已知,得a+b+c+d=8-e,a2+b2+c2+d2=16-e2,所以(8-e)2=(a+b+c+d)2 ≤(a2+b2+c2+d2)(12+12+12+12) =4(16-e2),化簡(jiǎn),得5e2-16e≤0?0≤e≤,故emax=.9.已知定義在R上的函數(shù)f(x)=|x+1|+|x-2|的最小值為a.(1)求a的值;(2)若p,q,r是正實(shí)數(shù),且滿意p+q+r=a,求證:p2+q2+r2≥3.解:(1)因?yàn)閨x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,當(dāng)且僅當(dāng)-1≤x≤2時(shí),等號(hào)成立,所以f(x)的最小值等于3,即a=3.(2)由(1)知p+q+r=3,又因?yàn)閜,q,r是正實(shí)數(shù),所以(p2+q2+r2)(12+12+12)≥(p×1+q×1+r×1)2=(p+q+r)2=9,即p2+q2+r2≥3.10.(1)設(shè)三個(gè)正實(shí)數(shù)a,b,c滿意(a2+b2+c2)2>2(a4+b4+c4),求證:a,b,c肯定是某一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng);(2)設(shè)n個(gè)正實(shí)數(shù)a1,a2,…,an滿意不等式(+…+)2>(n-1)(+…+)(其中n≥3),求證:a1,a2,…,an中任何三個(gè)數(shù)都是某一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng).解：證明:(1)由題意,得(a2+b2+c2)2-2(a4+b4+c4)>0,所以(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)>0,由于a,b,c>0,所以上面不等式左邊至少有三項(xiàng)為正數(shù),而四項(xiàng)之積為正,故這四項(xiàng)都是正數(shù),從而推出a+b>c,b+c>a,c+a>b,即a,b,c必是某一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng).(2)設(shè)法把a(bǔ)1,a2,…,an中任何三個(gè)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為(1)的條件即可.由已知及柯西不等式,得 (n-1)(+…+) <(+…+)2 = ≤(n-1).所以,2()<()2.那么由(1)可知,a1,a2,a3是某個(gè)三角形三條邊的長(zhǎng),再由對(duì)稱性可知a1,a2,…,an中任何三個(gè)數(shù)都可以作為某一個(gè)三角形三條邊的長(zhǎng).三、備選習(xí)題1.已知a,b為正數(shù),a+b=1,t1,t2為正數(shù),求證:(at1+bt2)·(bt1+at2)≥t1t2.解：證明:(at1+bt2)(bt1+at2)=(at1+bt2)(at2+bt1)=[()2+()2][()2+()2]≥(a+b)2=t1t2(a+b)2=t1t2.∴原不等式成立.2.已知函數(shù)f(x)=(x-a)2+(x-b)2+(x-c)2+(a,b,c∈R)的最小值為m.若a-b+2c=3,求m的最小值.解:因?yàn)閒(x)=(x-a)2+(x-b)2+(x-c)2+=3x2-2(a+b+c)x+a2+b2+c2+=3+a2+b2+c2,所以x=時(shí),f(x)取最小值a2