全優(yōu)課堂·數(shù)學(xué)·必修第二冊(人教A版) 課后提能訓(xùn)練 試題及答案 8.6.3　第1課時

第八章8.68.6.3第1課時A級——基礎(chǔ)過關(guān)練1．已知直線a，b與平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的條件是()A．α⊥γ，β⊥γ B．α∩β＝a，b⊥a，b?βC．a(chǎn)∥β，a∥α D．a(chǎn)∥α，a⊥β【答案】D【解析】由a∥α，知α內(nèi)必有直線l與a平行．而a⊥β，∴l(xiāng)⊥β，∴α⊥β．2．有下列說法：①兩個相交平面所組成的圖形叫做二面角；②二面角的平面角是從棱上一點出發(fā)，分別在兩個面內(nèi)作射線所成的角；③二面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置有關(guān)系．其中正確的個數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3【答案】A【解析】根據(jù)二面角的定義知①②③都不正確．3．下列命題正確的是()A．平面α和β分別過兩條互相垂直的直線，則α⊥βB．若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的兩條平行直線，則α⊥βC．若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的兩條相交直線，則α⊥βD．若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的無數(shù)條直線，則α⊥β【答案】C【解析】當(dāng)平面α和β分別過兩條互相垂直且異面的直線時，平面α和β有可能平行，故A錯；由直線與平面垂直的判定定理知B，D錯，C正確．4．如圖，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，則圖中互相垂直的平面有()A．1對 B．2對C．3對 D．5對【答案】D【解析】∵四邊形ABCD是矩形，∴DA⊥AB．又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DA．又∵AB∩PA＝A，∴DA⊥平面PAB．同理，BC⊥平面PAB．又易證AB⊥平面PAD，DC⊥平面PAD，∴平面PAD⊥平面AC，平面PAB⊥平面AC，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面PAD，平面PDC⊥平面PAD，共5對．5．如圖，AB是圓的直徑，PA垂直于圓所在的平面，C是圓上一點(不同于A，B)且PA＝AC，則二面角P－BC－A的大小為()A．60° B．30°C．45° D．15°【答案】C【解析】由條件得PA⊥BC，AC⊥BC，又∵PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC．∴BC⊥PC．∴∠PCA為二面角P－BC－A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°．故選C．6．(多選)如圖所示，在三棱錐V－ABC中，∠VAB＝∠VAC＝∠ABC＝90°，下列結(jié)論正確的是()A．平面VAC⊥平面ABC B．平面VAB⊥平面ABCC．平面VAC⊥平面VBC D．平面VAB⊥平面VBC【答案】ABD【解析】由題設(shè)VA⊥AB，VA⊥AC，且AB∩AC＝A，∴VA⊥平面ABC，又VA?平面VAB，VA?平面VAC，∴平面VAC⊥平面ABC，平面VAB⊥平面ABC，則A，B正確；又易知VA⊥BC，BC⊥AB，且VA∩AB＝A，∴BC⊥平面VAB，又BC?平面VBC，從而平面VAB⊥平面VBC，故D正確，故選ABD．7．自空間一點分別向大小為70°的二面角的兩個半平面引垂線，則這兩條垂線所成的角的大小是________．【答案】70°【解析】如圖，PB⊥α，PC⊥β，易知∠BAC＝70°，由四邊形PBAC的內(nèi)角和為360°，可知∠BPC＝110°．由空間中兩直線所成角的取值范圍可知，這兩條垂線所成的角的大小為70°．8．若P是△ABC所在平面外一點，且△PBC和△ABC都是邊長為2的正三角形，PA＝eq\r(6)，那么二面角P－BC－A的大小為________．【答案】90°【解析】取BC的中點O，連接OA，OP(圖略)，則∠POA為二面角P－BC－A的平面角，OP＝OA＝eq\r(3)，PA＝eq\r(6)，所以△POA為直角三角形，∠POA＝90°．9．在平面幾何中，有真命題：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別垂直，那么這兩個角相等或互補．某同學(xué)將此結(jié)論類比到立體幾何中，得一結(jié)論：如果一個二面角的兩個面和另一個二面角的兩個面分別垂直，那么這兩個二面角相等或互補．你認(rèn)為這個結(jié)論________(填“正確”或“錯誤”)．【答案】錯誤【解析】如圖所示的正方體ABCD－A1B1C1D1中，平面ABC1D1⊥平面BCC1B1，平面CDD1C1⊥平面ABCD，而二面角A－C1D1－C為45°，二面角A－BC－C1為90°，則這兩個二面角既不相等又不互補．10．如圖，在圓錐PO中，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的點，D為AC的中點．求證：平面POD⊥平面PAC．證明：如圖，連接OC，CB．因為OA＝OC，D是AC的中點，所以AC⊥OD．又因為PO⊥底面ABC，AC?底面ABC，所以AC⊥PO．因為OD∩PO＝O，所以AC⊥平面POD．又因為AC?平面PAC，所以平面POD⊥平面PAC．B級——綜合運用練11．(多選)在正四面體P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，下面四個結(jié)論成立的有()A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PAE⊥平面ABC D．平面PDE⊥平面ABC【答案】ABC【解析】如圖，由題意知BC∥DF，所以BC∥平面PDF．由正四面體的性質(zhì)知BC⊥PE，BC⊥AE，所以BC⊥平面PAE，所以DF⊥平面PAE，平面PAE⊥平面ABC．12．如圖，在四面體P－ABC中，△ABC與△PBC是邊長為2的正三角形，PA＝3，D為PA的中點，則二面角D－BC－A的大小為________．【答案】60°【解析】取BC的中點，記為E，連接EA，ED，EP(圖略)．∵△ABC與△PBC是邊長為2的正三角形，∴BC⊥AE，BC⊥PE．∵AE∩PE＝E，AE，PE?平面PAE，∴BC⊥平面PAE．∵DE?平面PAE，∴BC⊥DE，∴∠AED為二面角D－BC－A的平面角．又由條件，知AE＝PE＝eq\f(\r(3),2)AB＝eq\r(3)，AD＝eq\f(1,2)PA＝eq\f(3,2)，DE⊥PA，∴sin∠AED＝eq\f(AD,AE)＝eq\f(\r(3),2)．又易知∠AED為銳角，∴∠AED＝60°，即二面角D－BC－A的大小為60°．13．如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中點，PA⊥底面ABCD，PA＝eq\r(3)．(1)求證：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A－BE－P的大小．(1)證明：如圖，連接BD，由四邊形ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等邊三角形．∵E是CD的中點，∴BE⊥CD．∵CD∥AB，∴BE⊥AB．∵PA⊥平面ABCD，且BE?平面ABCD，∴PA⊥BE．∵PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，∴BE⊥平面PAB．又∵BE?平面PBE，∴平面PBE⊥平面PAB．(2)解：∵BE⊥平面PAB，PB?平面PAB，∴BE⊥PB．∴∠ABP是二面角A－BE－P的平面角．在Rt△PAB中，AB＝1，PA＝eq\r(3)，tan∠ABP＝eq\r(3)，∴∠ABP＝60°．∴二面角A－BE－P的大小是60°．C級——創(chuàng)新拓展練14．如圖1，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，BC∥AD，AD＝2AB＝4，BC＝3，E為AD的中點，EF⊥BC，垂足為F．沿EF將四邊形ABFE折起，連接AD，AC，BC，得到如圖2所示的六面體ABCDEF．已知折起后AB的中點M到點D的距離為3．(1)求證：平面ABFE⊥平面CDEF；(2)求六面體ABCDEF的體積．(1)證明：取EF的中點N，連接MN，DN，MD(圖略)．根據(jù)題意可知，四邊形ABFE是邊長為2的正方形，又因為M，N分別為AB，EF的中點，所以MN⊥EF，MN＝2．由題意得DN＝eq\r(DE2＋EN2)＝eq\r(5)，又MD＝3，所以MN2＋DN2＝22＋(eq\r(5))2＝9＝MD2，所以MN⊥DN，又因為EF∩DN＝N，所以MN⊥平面CDEF．又因為MN?平面ABFE，所以平面ABFE⊥平面CDEF．(2)解：連接CE(圖略)，則V六面體ABCDEF＝V四棱錐C－ABFE＋V三棱錐A－CDE．由(1)知MN⊥平面CDEF，又因為MN∥BF∥AE，所以BF⊥平面CDEF，AE⊥平面CDEF，所以