備考2025年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編專題19等腰三角形與直角三角形（28題）（附參考答案）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁專題19等腰三角形與直角三角形一、單選題（2024·廣東廣州·中考真題）1．如圖，在中，，，為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別在邊，上，，則四邊形的面積為（

）A．18 B． C．9 D．（2024·青?！ぶ锌颊骖}）2．如圖，在中，D是的中點(diǎn)，，，則的長是（

）A．3 B．6 C． D．（2024·四川廣元·中考真題）3．如圖，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D，E，連接，點(diǎn)D恰好落在線段上，若，，則的長為（

）A． B． C．2 D．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）4．如圖，在扇形中，，半徑，是上一點(diǎn)，連接，是上一點(diǎn)，且，連接．若，則的長為（

）A． B． C． D．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）5．小明同學(xué)手中有一張矩形紙片，，，他進(jìn)行了如下操作：第一步，如圖①，將矩形紙片對(duì)折，使與重合，得到折痕，將紙片展平．第二步，如圖②，再一次折疊紙片，把沿折疊得到，交折痕于點(diǎn)E，則線段的長為（

）A． B． C． D．（2024·福建·中考真題）6．小明用兩個(gè)全等的等腰三角形設(shè)計(jì)了一個(gè)“蝴蝶”的平面圖案．如圖，其中與都是等腰三角形，且它們關(guān)于直線對(duì)稱，點(diǎn)，分別是底邊，的中點(diǎn)，．下列推斷錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）7．等腰三角形的兩邊長分別是方程的兩個(gè)根，則這個(gè)三角形的周長為（）A．或 B．或 C． D．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）8．如圖，在中，，以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，再分別以點(diǎn)為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)．若的面積為8，則的面積是（

）A．8 B．16 C．12 D．24（2024·安徽·中考真題）9．如圖，在中，，點(diǎn)在的延長線上，且，則的長是（

）

A． B． C． D．（2024·四川自貢·中考真題）10．如圖，等邊鋼架的立柱于點(diǎn)D，AB長．現(xiàn)將鋼架立柱縮短成DE，．則新鋼架減少用鋼（

）A． B． C． D．（2024·天津·中考真題）11．如圖，中，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，延長交于點(diǎn)，下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B．C． D．二、填空題（2024·浙江·中考真題）12．如圖，D，E分別是邊，的中點(diǎn)，連接，．若，則的長為

（2024·四川成都·中考真題）13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，過點(diǎn)作軸的垂線，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，，則的最小值為．（2024·天津·中考真題）14．如圖，在每個(gè)小正方形的邊長為的網(wǎng)格中，點(diǎn)，，均在格點(diǎn)上．

（1）線段的長為；（2）點(diǎn)在水平網(wǎng)格線上，過點(diǎn)，，作圓，經(jīng)過圓與水平網(wǎng)格線的交點(diǎn)作切線，分別與，的延長線相交于點(diǎn)，，中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上．請(qǐng)用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點(diǎn)，，，使的周長最短，并簡要說明點(diǎn)，，的位置是如何找到的（不要求證明）．（2024·甘肅臨夏·中考真題）15．如圖，等腰中，，，將沿其底邊中線向下平移，使的對(duì)應(yīng)點(diǎn)滿足，則平移前后兩三角形重疊部分的面積是．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）16．矩形的面積是90，對(duì)角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是邊的三等分點(diǎn)，連接，點(diǎn)P是的中點(diǎn)，，連接，則的值為．（2024·山東·中考真題）17．如圖，已知，以點(diǎn)為圓心，以適當(dāng)長為半徑作弧，分別與、相交于點(diǎn)，；分別以，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)部相交于點(diǎn)，作射線．分別以，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)，，作直線分別與，相交于點(diǎn)，．若，，則到的距離為．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）18．已知矩形紙片，，，點(diǎn)P在邊上，連接，將沿所在的直線折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，把紙片展平，連接，，當(dāng)為直角三角形時(shí)，線段的長為．（2024·四川內(nèi)江·中考真題）19．如圖，在中，，，是邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)是的內(nèi)心，的延長線交于點(diǎn)，是上一動(dòng)點(diǎn)，連接、，則的最小值為．

（2024·四川廣元·中考真題）20．如圖，在中，，，則的最大值為．

三、解答題（2024·陜西·中考真題）21．如圖，已知直線l和l外一點(diǎn)A，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，求作一個(gè)等腰直角，使得頂點(diǎn)B和頂點(diǎn)C都在直線l上．（作出符合題意的一個(gè)等腰直角三角形即可，保留作圖痕跡，不寫作法）（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）22．?dāng)?shù)學(xué)老師在課堂上給出了一個(gè)問題，讓同學(xué)們探究．在中，，點(diǎn)D在直線上，將線段繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，過點(diǎn)E作，交直線于點(diǎn)F．（1）當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，如圖①，求證：；分析問題：某同學(xué)在思考這道題時(shí)，想利用構(gòu)造全等三角形，便嘗試著在上截取，連接，通過證明兩個(gè)三角形全等，最終證出結(jié)論：推理證明：寫出圖①的證明過程：探究問題：（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段的延長線上時(shí)，如圖②：當(dāng)點(diǎn)D在線段的延長線上時(shí)，如圖③，請(qǐng)判斷并直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系；拓展思考：（3）在（1）（2）的條件下，若，，則______．（2024·江西·中考真題）23．追本溯源：題（1）來自于課本中的習(xí)題，請(qǐng)你完成解答，提煉方法并完成題（2）．（1）如圖1，在中，平分，交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作的平行線，交于點(diǎn)E，請(qǐng)判斷的形狀，并說明理由．方法應(yīng)用：（2）如圖2，在中，平分，交邊于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作交的延長線于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G．①圖中一定是等腰三角形的有（

）A．3個(gè)B．4個(gè)C．5個(gè)D．6個(gè)②已知，，求的長．（2024·山東威?！ぶ锌颊骖}）24．感悟如圖1，在中，點(diǎn)，在邊上，，．求證：．應(yīng)用（1）如圖2，用直尺和圓規(guī)在直線上取點(diǎn)，點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），使得，且（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）如圖3，用直尺和圓規(guī)在直線上取一點(diǎn)，在直線上取一點(diǎn)，使得，且（不寫作法，保留作圖痕跡）．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）25．已知是等腰三角形，，，在的內(nèi)部，點(diǎn)M、N在上，點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)，探究線段之間的數(shù)量關(guān)系．

（1）如圖①，當(dāng)時(shí)，探究如下：由，可知，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，則且，連接，易證，可得，在中，，則有．（2）當(dāng)時(shí)，如圖②：當(dāng)時(shí)，如圖③，分別寫出線段之間的數(shù)量關(guān)系，并選擇圖②或圖③進(jìn)行證明．（2024·北京·中考真題）26．已知，點(diǎn)，分別在射線，上，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，過點(diǎn)作的垂線交射線于點(diǎn).

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，求證：是的中點(diǎn)；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)，作，交射線于點(diǎn)，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明。（2024·湖北武漢·中考真題）27．如圖是由小正方形組成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．三個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)．僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成四個(gè)畫圖任務(wù)，每個(gè)任務(wù)的畫線不得超過三條．(1)在圖（1）中，畫射線交于點(diǎn)D，使平分的面積；(2)在（1）的基礎(chǔ)上，在射線上畫點(diǎn)E，使；(3)在圖（2）中，先畫點(diǎn)F，使點(diǎn)A繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)C，再畫射線交于點(diǎn)G；(4)在（3）的基礎(chǔ)上，將線段繞點(diǎn)G旋轉(zhuǎn)，畫對(duì)應(yīng)線段（點(diǎn)A與點(diǎn)M對(duì)應(yīng)，點(diǎn)B與點(diǎn)N對(duì)應(yīng)）．（2024·吉林·中考真題）28．如圖，在中，，，，是的角平分線．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以的速度沿折線向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)P作，交于點(diǎn)Q，以為邊作等邊三角形，且點(diǎn)C，E在同側(cè)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，與重合部分圖形的面積為．

(1)當(dāng)點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，判斷的形狀（不必證明），并直接寫出的長（用含t的代數(shù)式表示）．(2)當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，求t的值．(3)求S關(guān)于t的函數(shù)解析式，并寫出自變量t的取值范圍．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．C【分析】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形全等的性質(zhì)與判定，掌握相關(guān)的線段與角度的轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵．連接，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及得出，將四邊形的面積轉(zhuǎn)化為三角形的面積再進(jìn)行求解．【詳解】解：連接，如圖：∵，，點(diǎn)D是中點(diǎn)，∴∴，∴又∵∴故選：C2．A【分析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)．根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半結(jié)合等邊三角形的判定得到等邊三角形，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵在中，，D是的中點(diǎn)，∴，∵，∴等邊三角形，∴．故選：A．3．A【分析】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，由旋轉(zhuǎn)得，，，推出是等腰直角三角形，，過點(diǎn)A作于點(diǎn)H，得到，利用勾股定理求出的長．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)得，，∴，，，∴是等腰直角三角形，，過點(diǎn)A作于點(diǎn)H，∴，∴，∴，故選：A．4．B【分析】本題考查了弧長公式，等邊三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)；連接，根據(jù)，，易證是等腰三角形，再根據(jù)，推出是等邊三角形，得到，即可求出，再根據(jù)弧長公式計(jì)算即可．【詳解】解：連接，，，，是等腰三角形，，，是等邊三角形，，，，，，故選：B．5．B【分析】本題考查了矩形與折疊問題，熟練掌握矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)推出，進(jìn)而得出，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理可得：，列出方程求解即可．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，由折疊可得：，，，，∴四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理可得：，即，解得：，即，故選：B．6．B【分析】本題考查了對(duì)稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等；A.由對(duì)稱的性質(zhì)得，由等腰三角形的性質(zhì)得，，即可判斷；B.不一定等于，即可判斷；C.由對(duì)稱的性質(zhì)得，由全等三角形的性質(zhì)即可判斷；D.過作，可得，由對(duì)稱性質(zhì)得同理可證，即可判斷；掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A.，，由對(duì)稱得，點(diǎn)，分別是底邊，的中點(diǎn)，與都是等腰三角形，，，，，結(jié)論正確，故不符合題意；B.不一定等于，結(jié)論錯(cuò)誤，故符合題意；C.由對(duì)稱得，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是底邊的中點(diǎn)，，結(jié)論正確，故不符合題意；D.過作，，，，由對(duì)稱得，，同理可證，，結(jié)論正確，故不符合題意；故選：B．7．C【分析】本題考查了解一元二次方程，等腰三角形的定義，三角形的三邊關(guān)系及周長，由方程可得，，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得等腰三角形的底邊長為，腰長為，進(jìn)而即可求出三角形的周長，掌握等腰三角形的定義及三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由方程得，，，∵，∴等腰三角形的底邊長為，腰長為，∴這個(gè)三角形的周長為，故選：．8．B【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，含的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識(shí)，由作圖知平分，則可求，利用含的直角三角形的性質(zhì)得出，利用等角對(duì)等邊得出，進(jìn)而得出，然后利用面積公式即可求解．【詳解】解：∵，∴，由作圖知：平分，∴，∴，，∴，∴，∴，又的面積為8，∴的面積是，故選B．9．B【分析】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，對(duì)頂角的性質(zhì)，勾股定理，過點(diǎn)作的延長線于點(diǎn)，則，由，，可得，，進(jìn)而得到，，即得為等腰直角三角形，得到，設(shè)，由勾股定理得，求出即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：過點(diǎn)作的延長線于點(diǎn)，則，∵，，∴，，∴，，∴為等腰直角三角形，∴，設(shè)，則，在中，，∴，解得，（舍去），∴，∴，故選：．

10．D【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用．利用三角函數(shù)的定義分別求得，，，利用新鋼架減少用鋼，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可求解．【詳解】解：∵等邊，于點(diǎn)D，AB長，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，，∴新鋼架減少用鋼，故選：D．11．D【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)性質(zhì)以及兩個(gè)銳角互余的三角形是直角三角形，平行線的判定，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得，結(jié)合，即可得證，再根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)證明兩直線平行，來分析不一定成立；根據(jù)圖形性質(zhì)以及角的運(yùn)算或線段的運(yùn)算得出A和C選項(xiàng)是錯(cuò)誤的．【詳解】解：記與相交于一點(diǎn)H，如圖所示：∵中，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴∵∴在中，∴故D選項(xiàng)是正確的，符合題意；設(shè)∴∵∴∴∵不一定等于∴不一定等于∴不一定成立，故B選項(xiàng)不正確，不符合題意；∵不一定等于∴不一定成立，故A選項(xiàng)不正確，不符合題意；∵將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴∴故C選項(xiàng)不正確，不符合題意；故選：D12．4【分析】本題主要考查三角形中位線定理和等腰三角形的判定，由三角形中位線定理得得出得出【詳解】解：∵D，E分別是邊，的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴∴∵∴∴故答案為：413．5【分析】本題考查軸對(duì)稱—最短問題以及勾股定理和軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)．先取點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連交直線于點(diǎn)C，連，得到，，再由軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短，得到當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的最小值為，再利用勾股定理求即可．【詳解】解：取點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連交直線于點(diǎn)C，連，則可知，，∴，即當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的最小值為，∵直線垂直于y軸，∴軸，∵，，∴，∴在中，，故答案為：514．圖見解析，說明見解析【分析】此題考查了勾股定理、切線的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)題意正確作圖是解題的關(guān)鍵．（1）利用勾股定理即可求解；（2）作點(diǎn)關(guān)于、的對(duì)稱點(diǎn)、，連接、，分別與、相交于點(diǎn)、，的周長等于的長，等腰三角形的腰長為，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的值最小，此時(shí)是切點(diǎn)，由此作圖即可．【詳解】（1）由勾股定理可知，，故答案為：（2）如圖，根據(jù)題意，切點(diǎn)為；連接并延長，與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)；取圓與網(wǎng)格線的交點(diǎn)和格點(diǎn)，連接并延長，與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)；連接，分別與，相交于點(diǎn)，，則點(diǎn)，，即為所求．

15．##【分析】本題考查平移的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三線合一，根據(jù)平移的性質(zhì)，推出，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊上的中線比等于相似比，求出的長，三線合一求出的長，利用面積公式進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵等腰中，，，∴，∵為中線，∴，，∴，，∴，∵將沿其底邊中線向下平移，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；故答案為：．16．13或【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理．當(dāng)時(shí)，利用三角形中位線定理求得，再求得矩形的邊長，利用勾股定理求得的長，再根據(jù)斜邊中線的性質(zhì)即可求解；當(dāng)時(shí)，同理求解即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，如圖，∵矩形，∴點(diǎn)O是的中點(diǎn)，∵點(diǎn)P是的中點(diǎn)，∴，，∵點(diǎn)E是邊的三等分點(diǎn)，∴，，∵矩形的面積是90，∴，∴，∴，∴；當(dāng)時(shí)，如圖，∵矩形，∴點(diǎn)O是的中點(diǎn)，∵點(diǎn)P是的中點(diǎn)，∴，，∵點(diǎn)E是邊的三等分點(diǎn)，∴，，∵矩形的面積是90，∴，∴，∴，∴；故答案為：13或．17．【分析】如圖，過作于，證明，，，再證明，再結(jié)合勾股定理可得答案.【詳解】解：如圖，過作于，由作圖可得：，，，∵，∴，∴，∴，∴，∴到的距離為；故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了作圖?復(fù)雜作圖：基本作圖，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形的判定，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)，逐步操作．18．或2【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)時(shí)，當(dāng)，分別畫出圖形，求出結(jié)果即可．【詳解】解：∵四邊形為矩形，∴，，，當(dāng)時(shí)，如圖所示：∵，∴點(diǎn)在上，根據(jù)折疊可知：，，設(shè)，則，∴，，在中，根據(jù)勾股定理得：，即，解得：，即；當(dāng)，如圖所示：根據(jù)折疊可知：，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴；綜上分析可知：或2．故答案為：或2，19．【分析】在取點(diǎn)F，使，連接，，過點(diǎn)F作于H，利用三角形內(nèi)心的定義可得出，利用證明，得出，則，當(dāng)C、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為，利用含的直角三角形的性質(zhì)求出，利用勾股定理求出，即可．【詳解】解：在取點(diǎn)F，使，連接，，過點(diǎn)F作于H，

∵I是的內(nèi)心，∴平分，∴，又，∴，∴，∴，當(dāng)C、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為，∵，，∴，∴，∴，，∴，∴的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)心，全等三角形的判定與性質(zhì)，含的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，明確題意，添加合適輔助線，構(gòu)造全等三角形和含的直角三角形是解題的關(guān)鍵．20．【分析】過點(diǎn)作，垂足為，如圖所示，利用三角函數(shù)定義得到，延長到，使，連接，如圖所示，從而確定，，再由輔助圓-定弦定角模型得到點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，是的弦，求的最大值就是求弦的最大值，即是直徑時(shí)，取到最大值，由圓周角定理及勾股定理求解即可得到答案．【詳解】解：過點(diǎn)作，垂足為，如圖所示：

，在中，設(shè)，則，由勾股定理可得，，即，，延長到，使，連接，如圖所示：

，，，是等腰直角三角形，則，在中，，，由輔助圓-定弦定角模型，作的外接圓，如圖所示：

由圓周角定理可知，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，是的弦，求的最大值就是求弦的最大值，根據(jù)圓的性質(zhì)可知，當(dāng)弦過圓心，即是直徑時(shí)，弦最大，如圖所示：

是的直徑，，，是等腰直角三角形，，，則由勾股定理可得，即的最大值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)最值問題，涉及解三角形、勾股定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、圓的性質(zhì)、圓周角定理、動(dòng)點(diǎn)最值問題-定弦定角模型等知識(shí)，熟練掌握動(dòng)點(diǎn)最值問題-定弦定角模型的解法是解決問題的關(guān)鍵．21．見解析【分析】本題考查了等腰直角三角形的定義，尺規(guī)作圖．過點(diǎn)A作，垂足為，再在直線l上截取點(diǎn)C，使，連接，則是所求作的等腰直角三角形．【詳解】解：等腰直角如圖所示：22．（1）見解析；（2）圖②：，圖③：；（3）10或18【分析】（1）在邊上截取，連接，根據(jù)題意證明出，得到，然后證明出是等邊三角形，得到，進(jìn)而求解即可；（2）圖②：在上取點(diǎn)H，使，連接并延長到點(diǎn)G使，連接，首先證明出是等邊三角形，得到，然后求出，然后證明出，得到，，然后證明出是等邊三角形，得到，進(jìn)而求解即可；圖③：在上取點(diǎn)H使，同理證明出，得到，，進(jìn)而求解即可；（3）根據(jù)勾股定理和含角直角三角形的性質(zhì)求出，，然后結(jié)合，分別（1）（2）的條件下求出的長度，進(jìn)而求解即可．【詳解】（1）證明：在邊上截取，連接．在中，．，．又，．又，，．又，．．．．，．是等邊三角形．，，；（2）圖②：當(dāng)點(diǎn)D在線段的延長線上時(shí)，，證明如下：如圖所示，在上取點(diǎn)H，使，連接并延長到點(diǎn)G使，連接，∵，∴是等邊三角形，∴，∵線段繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，，∴，∴，即，又∵，∴，∴，，∵，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴；圖③：當(dāng)點(diǎn)D在線段的延長線上時(shí)，，證明如下∶如圖所示，在上取點(diǎn)H使，∵，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∵將線段繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，，∴，∵，∴，∵，又∵，∴，∴，，∵，∴，∴；（3）如圖所示，∵，，∴，，∴，∴，∴，∵，，∴，由（1）可知，，∴；如圖所示，當(dāng)點(diǎn)D在線段的延長線上時(shí)，∵，與矛盾，∴不符合題意；如圖所示，當(dāng)點(diǎn)D在線段的延長線上時(shí)，∵，，∴，由（2）可知，，∵，∴．綜上所述，或18．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定，含角直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．23．（1）是等腰三角形；理由見解析；（2）①B；②．【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的判定是解題的關(guān)鍵；（1）利用角平分線的定義得到，利用平行線的性質(zhì)得到，推出，再等角對(duì)等邊即可證明是等腰三角形；（2）①同（1）利用等腰三角形的判定和性質(zhì)可以得到四個(gè)等腰三角形；②由①得，利用平行四邊形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：（1）是等腰三角形；理由如下：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴是等腰三角形；（2）①∵中，∴，，同（1），∴，∵，∴，∵，，∴，，∵，∴，，，∴，，，即、、、是等腰三角形；共有四個(gè)，故選：B．②∵中，，，∴，，由①得，∴．24．見解析【分析】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)、尺規(guī)作圖：證明，即可求得；應(yīng)用（1）：以點(diǎn)為圓心，以長度為半徑作弧，交直線于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，以長度為半徑作弧，交直線于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)，連接，；應(yīng)用（2）：以點(diǎn)為圓心，以長為半徑作弧，交的延長線于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，以長為半徑作弧，交直線于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)，連接．【詳解】感悟：∵，∴．在和中∴．∴．應(yīng)用：（1）：以點(diǎn)為圓心，以長度為半徑作弧，交直線于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，以長度為半徑作弧，交直線于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)，連接，，圖形如圖所示．（2）：以點(diǎn)為圓心，以長為半徑作弧，交的延長線于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，以長為半徑作弧，交直線于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)，連接，圖形如圖所示．根據(jù)作圖可得：，又，∴，∴.25．圖②的結(jié)論是：；圖③的結(jié)論是：；證明見解析【分析】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，勾股定理等知識(shí)，選②，以點(diǎn)B為頂點(diǎn)在外作，在上截取，連接，過點(diǎn)Q作，垂足為H，構(gòu)造全等三角形，得出，，再證明，得到；在中由勾股定理得，即，整理可得結(jié)論；選③方法同②【詳解】解：圖②的結(jié)論是：證明：∵∴是等邊三角形，∴，以點(diǎn)B為頂點(diǎn)在外作，在上截取，連接，過點(diǎn)Q作，垂足為H，

，，，又即又，，；∵∴，∴，∴，在中,可得：即整理得圖③的結(jié)論是：證明：以點(diǎn)B為頂點(diǎn)在外作，在上截取，連接，過點(diǎn)Q作，垂足為H，

，，，又即又，，在中，，，，在中,可得：即整理得26．(1)見詳解(2)，理由見詳解【分析】（1）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理求得，則，故，再根據(jù)等角的余角相等即可得到，故，最后等量代換出，即點(diǎn)是的中點(diǎn)；（2）在射線上取點(diǎn)H，使得，取的中點(diǎn)G，連接，可證明，則，，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)得到，則，而，故可等量代換出．【詳解】（1）證明：連接，

由題意得：，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴點(diǎn)是的中點(diǎn)；（2）解：，在射線上取點(diǎn)H，使得，取的中點(diǎn)G，連接，

∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，，∴，∵，∴，，∵是的中點(diǎn)，∴，，∴，∴，∴，∴，