2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章常用邏輯用語22.4充要條件學(xué)案北師大版選修2-1

PAGE1-2.4充要條件學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解充要條件的意義．(難點)eq\a\vs4\al(2.)駕馭充分、必要、充要條件的應(yīng)用．(重點、難點)eq\a\vs4\al(3.)區(qū)分充分不必要條件、必要不充分條件．(易混點)1．充要條件假如p?q，且q?p，那么稱p是q的充分必要條件，簡稱充要條件，記作p?q．2．常見的四種條件(1)充分不必要條件，即p?q且q_p．(2)必要不充分條件，即p_q且q?p．(3)充要條件，即p?q且q?p．(4)既不充分也不必要條件，即p_q且q_p．思索：“p是q的充要條件”與“p的充要條件是q”的區(qū)分在哪里？[提示]p是q的充要條件說明p是條件，q是結(jié)論；p的充要條件是q說明q是條件，p是結(jié)論．1.推斷正誤(1)若p是q的充要條件，則q成立當(dāng)且僅當(dāng)p成立． ()(2)若p是q的充要條件，則命題p和q是兩個相互等價的命題． ()(3)若pq和qp有一個成立，則p肯定不是q的充要條件． ()[答案](1)√(2)√(3)√2.“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的()A．充要條件B．充分而不必要條件C．必要而不充分條件D．既不充分也不必要條件A[解x2－2x＋1＝0得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要條件．]3.在△ABC中，“A＞B”是“a＞b”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件C[在△ABC中，A＞B?a＞b，∴A＞B是a＞b的充要條件．]4.若“x<a”是“x2－2x－3≥0”的充分不必要條件，則a的取值范圍是________．(－∞，－1][∵x2－2x－3≥0，∴x≥3或x≤－1.∵“x<a”是“x2－2x－3≥0”的充分不必要條件，∴a≤－1.]充要條件的推斷【例1】(1)設(shè)x∈R，則“x>1”是“x3>1”A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件(2)推斷下列各題中，p是否為q的充要條件？①在△ABC中，p：∠A>∠B，q：sinA>sinB；②若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；③p：|x|>3，q：x2>9.C[(1)由于函數(shù)y＝x3在R上是增函數(shù)，∴當(dāng)x>1時，x3>1成立，反過來，當(dāng)x3>1時，x>1也成立．故“x>1”是“x3>1”的充要條件，故選C.(2)[解]①在△ABC中，明顯有∠A>∠B?sinA>sinB，所以p是q的充要條件．②若a2＋b2＝0，則a＝b＝0，即p?q；若a＝b＝0，則a2＋b2＝0，即q?p，故p?q，所以p是q的充要條件．③由于p：|x|>3?q：x2>9，所以p是q的充要條件．推斷p是q的充分必要條件的兩種思路(1)命題角度：推斷p是q的充分必要條件，主要是推斷p?q及q?p這兩個命題是否成立．若p?q成立，則p是q的充分條件，同時q是p的必要條件；若q?p成立，則p是q的必要條件，同時q是p的充分條件；若二者都成立，則p與q互為充要條件．(2)集合角度：關(guān)于充分條件、必要條件、充要條件，當(dāng)不簡單推斷p?q及q?p的真假時，也可以從集合角度去推斷，結(jié)合集合中“小集合?大集合”的關(guān)系來理解，這對解決與邏輯有關(guān)的問題是大有好處的．1．(1)a，b中至少有一個不為零的充要條件是()A．a(chǎn)b＝0 B．a(chǎn)b>0C．a(chǎn)2＋b2＝0 D．a(chǎn)2＋b2>0(2)“函數(shù)y＝x2－2x－a沒有零點”的充要條件是________．(1)D(2)a<－1[(1)a2＋b2>0，則a，b不同時為零；a，b中至少有一個不為零，則a2＋b2>0.(2)函數(shù)沒有零點，即方程x2－2x－a＝0無實根，所以有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.反之，若a<－1，則Δ<0，方程x2－2x－a＝0無實根，即函數(shù)沒有零點．故“函數(shù)y＝x2－2x－a沒有零點”的充要條件是a充要條件的證明[探究問題]1．如何求一個問題的充要條件？[提示]求一個問題的充要條件，就是利用等價轉(zhuǎn)化的思想，使得轉(zhuǎn)化前后的兩個命題所對應(yīng)的解集是兩個相同的集合．這就要求我們轉(zhuǎn)化的時候思維要縝密．2．充要條件的問題須要從哪兩方面證明？[提示]充要條件的證明須要從充分性和必要性兩方面證明，應(yīng)分兩步：證明充分性時，把條件當(dāng)已知去推證結(jié)論的正確性；證明必要性時，結(jié)論當(dāng)已知去推證條件的正確性．【例2】試證：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac<0.[思路探究]本題可分充分性和必要性兩種狀況證明，即由ac<0推證一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負(fù)根和由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負(fù)根推證ac<0.[證明](1)必要性：因為方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負(fù)根，所以Δ＝b2－4ac>0，x1x2＝eq\f(c,a)<0(x1，x2為方程的兩根)，所以ac<0.(2)充分性：由ac<0可推得Δ＝b2－4ac>0及x1x2＝eq\f(c,a)<0(x1，x2為方程的兩根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有兩個相異實根，且兩根異號，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負(fù)根．綜上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac<0.(變條件)試證：二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c為偶函數(shù)的充要條件是b＝0.[證明](1)必要性：因為二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c為偶函數(shù)，所以f(x)＝f(－x)，即ax2－bx＋c＝ax2＋bx＋c，所以bx＝0對隨意的x都成立，即b＝0.(2)充分性：由b＝0可推得f(x)＝ax2＋c.所以f(－x)＝ax2＋c＝f(x)即二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c為偶函數(shù)．綜上所述，二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c為偶函數(shù)的充要條件是b＝0.充要條件的證明思路(1)在證明有關(guān)充要條件的問題時，通常從“充分性”和“必要性”兩個方面來證明．在證明時，要留意：若證明“p的充要條件是q”，那么“充分性”是q?p，“必要性”是p?q；若證明“p是q的充要條件”，則與之相反．(2)證明充要條件問題，其實質(zhì)就是證明一個命題的原命題和其逆命題都成立．若不易干脆證明，可依據(jù)命題之間的關(guān)系進行等價轉(zhuǎn)換，然后加以證明．提示：證明該類問題時，務(wù)必分清題設(shè)的條件與結(jié)論．1．已知向量a＝(x－1，2)，b＝(2，1)，則a⊥b的充要條件是()A．x＝－eq\f(1,2) B．x＝－1C．x＝5 D．x＝0D[a⊥b?2(x－1)＋2＝0?x＝0.]2．已知α：“a＝±2”；β：“直線x－y＝0與圓x2＋(y－a)2＝2相切”，則α是β的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件C[a＝±2時，直線x－y＝0與圓x2＋(y±2)2＝2相切；當(dāng)直線x－y＝0與圓x2＋(y－a)2＝2相切時，得eq\f(|a|,\r(2))＝eq\r(2)，∴a＝±2.∴α是β的充要條件．]3．已知直線l1：x＋ay＋6＝0和直線l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，則l1∥l2的充要條件是a－1[由1×3－a×(a－2)＝0得a＝3或－1，而a＝3時，兩條直線重合，所以a＝－1.]4．用“充分不必要條件”、“必要不充分條件”、“充要條件”、“既不充分也不必要條件”填空：(1)“m≠3”是“|m|≠3”的________；(2)“四邊形ABCD為平行四邊形”是“AB∥CD”的________；(3)“a>b，c>d”是“a－c>b－d”的________．(1)必要不充分條件(2)充分不必要條件(3)既不充分也不必要條件[(1)|m|≠3?m≠±3，故“m≠3”是“|m|≠3”(2)“四邊形ABCD為平行四邊形”可推出“AB∥CD”，反之，未必成立，故“四邊形ABCD為平行四邊形”是“AB∥CD”的充分不必要條件；(3)“a>b，c>d”“a－c>b－d”，反之，未必成立，故“a>b，c>d”是“a－c>b－d”的既不充分也不必要條件．]5．求證：關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個根為1的充要條件是a＋b＋c＝0.[證明]必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一