海南省2025屆高三上學(xué)期學(xué)業(yè)水平診斷（二）數(shù)學(xué)試卷（含答案）

海南省2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期學(xué)業(yè)水平診斷（二）數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合，，則（

）A． B． C． D．3．已知向量，若，則（

）A． B． C． D．4．如圖是一個(gè)中國(guó)古典園林建筑中常見(jiàn)的圓形過(guò)徑門(mén)，已知該門(mén)的最高點(diǎn)到地面的距離為米，門(mén)在地面處的寬度為米.現(xiàn)將其截面圖放置在直角坐標(biāo)系中，以地面所在的直線為軸，過(guò)圓心的豎直直線為軸，則門(mén)的輪廓所在圓的方程為（

）A． B．C． D．5．記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則（

）A．5 B．6 C．7 D．86．如圖，在三棱柱中，點(diǎn)在棱上，且分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，若平面CDE，則（

）

A． B． C． D．7．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)P，Q在的準(zhǔn)線上且關(guān)于軸對(duì)稱，，線段與分別相交于點(diǎn)，且，則的周長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．8．若，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知、是兩個(gè)不同的平面，是一條直線，則下列命題正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，，則10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）A． B．C．的最小正周期為 D．在區(qū)間上單調(diào)遞增11．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線與的右支交于兩點(diǎn)（在第四象限），若，則（

）A． B．的面積為C．的離心率為 D．直線AB的斜率為三、填空題12．已知一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是3，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為.13．已知為奇函數(shù)，若與的圖象有10個(gè)交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大依次為，則.14．已知正三棱錐的三個(gè)側(cè)面均為直角三角形，過(guò)點(diǎn)作一平面，點(diǎn)在該平面的同一側(cè)，且到平面的距離分別為1，2，3，則.四、解答題15．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.16．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知.(1)證明：；(2)如圖，若，點(diǎn)在邊BC上，且的面積為，求的周長(zhǎng).17．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)若對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的值.18．如圖（1），正方形的邊長(zhǎng)為，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上且.將沿折起到圖（2）中的位置，使得平面平面.(1)證明：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)如圖（2），點(diǎn)在線段上，過(guò)點(diǎn)、的平面截四棱錐所得的截面是一個(gè)直角三角形，在圖中畫(huà)出這個(gè)直角三角形.（請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定位置作圖，不必說(shuō)明畫(huà)法和理由）19．定義：對(duì)橢圓及任意一點(diǎn)，稱直線為關(guān)于點(diǎn)的“極線”.結(jié)論1：若點(diǎn)在橢圓上，則關(guān)于點(diǎn)的極線就是在點(diǎn)處的切線.結(jié)論2（橢圓的光學(xué)性質(zhì)）：從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線照射到橢圓上，其反射光線會(huì)經(jīng)過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn).試根據(jù)上面的定義和結(jié)論解決下列問(wèn)題：已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)的極線與相交于兩點(diǎn).(1)求；(2)設(shè)在點(diǎn)處的切線為，在點(diǎn)處的切線為，過(guò)在上且在外一點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為,證明：直線相交于一點(diǎn)；(3)若是上除頂點(diǎn)以外的任意一點(diǎn)，直線和分別與直線相交于點(diǎn)，證明：為定值.《海南省2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期學(xué)業(yè)水平診斷（二）數(shù)學(xué)試題》參考答案題號(hào)12345678910答案ACBAABCDBCDAC題號(hào)11答案ABD1．A【詳解】，故在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限.故選：A.2．C【詳解】由題意得，所以，由，所以，所以.所以.故選：C3．B【詳解】因?yàn)?，所以，解得，所以，則.故選：B.4．A【詳解】設(shè)該圓的半徑為，如圖，由題意知：，，，由勾股定理得：，即，解得：，，即圓的圓心為，則圓的方程為.故選：A.5．A【詳解】設(shè)的公差為，由等差數(shù)列的性質(zhì)知，所以，即，于是有.故選：A．6．B【詳解】如圖所示，在平面內(nèi)，作，與DE交于點(diǎn)，連接CF，則，所以共面，因?yàn)椤纹矫鍯DE，由線面平行的性質(zhì)知，所以MFCN是平行四邊形，所以.又是的中點(diǎn)，所以MF是梯形的中位線，設(shè)，則，即，所以，所以.故選：B.7．C【詳解】解：如圖所示：設(shè)PQ與軸的交點(diǎn)為，則.又，即，解得，所以.作AN垂直的準(zhǔn)線于點(diǎn)，則，解得，所以，所以的周長(zhǎng).故選：C8．D【詳解】依題意，，令，則，在上單調(diào)遞增，則，即，因此，即；令，則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，因此，即.2，即，所以.故選：D9．BCD【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若，，則或與相交，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，，由面面垂直的判定定理可知，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，，由面面平行的性質(zhì)定理可知，故C正確；對(duì)于D，若，則存在直線，使得，因?yàn)?，所以，又，所以，故D正確.故選：BCD.10．AC【詳解】對(duì)于A，由圖可知的最大值為4，又因?yàn)?，所以，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)榈膱D象過(guò)點(diǎn)，所以，即，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，由“五點(diǎn)法”，可令和分別對(duì)應(yīng)和，所以解得1，所以的最小正周期為，故C正確；對(duì)于D，結(jié)合，可得，當(dāng)時(shí)，，此區(qū)間包含了（函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)），所以不可能在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤.故選：AC11．ABD【詳解】如圖，由題意設(shè)，連接，由題可知，所以，且.對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，在中，由余弦定理可得，因，則，因，故B正確；對(duì)于C，在中，由余弦定理可得，所以，即，所以離心率，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由余弦定理，，因，故，于是直線AB的斜率為，故D正確.故選：ABD.12．4【詳解】由題意知，得，所以，所以平均數(shù)為.故答案為：4.13．30【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又的圖象可由的圖象向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.又的圖象也關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以與的圖象的交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，故.故答案為：30.14．【詳解】設(shè)三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)單位向量是平面的一個(gè)法向量，根據(jù)空間向量基本定理可知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使得.由題意在上的投影向量的長(zhǎng)度為1，所以，即，也即，故.同理可得.所以，又，所以，所以.故答案為：15．(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，得.當(dāng)時(shí)，，所以.所以是以4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，故.（2）由已知得，所以.16．(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）由條件及正弦定理得，所以，即，因?yàn)?，所以，即，所?（2）由（1）及條件知，所以，從而得.設(shè)，則，得.①由余弦定理得，所以，②由①②，得，所以，所以的周長(zhǎng)為.17．(1)極大值為，無(wú)極小值(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則定義域?yàn)椋?，令，解得：，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，的極大值為，無(wú)極小值.（2）由題意知：定義域?yàn)?，；?dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時(shí)，，不合題意；當(dāng)時(shí)，令，解得：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，即；令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，即，，即.18．(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)作圖見(jiàn)解析【詳解】（1）因?yàn)?，平面平面，且平面平面，平面，所以平?因?yàn)槠矫?，所?又因?yàn)?，即，因?yàn)?，、平面，所以平?（2）取的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為，因?yàn)槠矫嫫矫嫫矫?，且平面平面，平面，，所以，平面，因?yàn)?，即，且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，因?yàn)?，則，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、.在中，，，所以，因?yàn)?，由勾股定理可得，所以，，，則，所以，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得.由（1）知平面，故平面的一個(gè)法向量為.因?yàn)?，所以平面與平面夾角的余弦值為（3）所得的截面為直角三角形，如圖所示：作法：在平面內(nèi)作，交或于點(diǎn)，連接，因?yàn)槠矫?，，則平面，因?yàn)槠矫?，所以?19．(1)3(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）根據(jù)定義，可得的方程為，即，將其代入的方程得，解得，不妨取，所以.（2）根據(jù)所給結(jié)論可知分別是關(guān)于點(diǎn)的極線，如圖（1），取，則.由解得所以和交于點(diǎn)，要證明直線相交于一點(diǎn)，只需證明直線