2025高考數(shù)學專項講義第03講二項式定理(學生版+解析)

第03講二項式定理（13類核心考點精講精練）1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析關聯(lián)考點2022年新I卷，第13題,5分兩個二項式乘積展開式的系數(shù)問題無2020年全國甲卷（理），第8題,5分求指定項的二項式系數(shù)無2020年全國丙卷（理），第14題,5分求指定項的系數(shù)無2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設題穩(wěn)定，難度較低或中等，分值為5分【備考策略】1.理解、掌握二項式定理的通項公式，會相關基本量的求解2.能分清二項式系數(shù)與系數(shù)的定義，并會相關求解3.能清晰計算二項式系數(shù)和與系數(shù)和及其大（?。╉椨嬎?.會三項式、乘積式的相關計算【命題預測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，一般考查二項式系數(shù)和、系數(shù)和、求給定項的二項式系數(shù)或系數(shù)及相關最大（?。╉椨嬎?，需重點強化復習知識講解1．二項式定理(1)二項式定理：(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)；(2)通項公式：Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1項；(3)二項式系數(shù)：二項展開式中各項的系數(shù)為Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n).若二項展開式的通項為Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，則有以下常見結(jié)論：(1)h(r)＝0?Tr＋1是常數(shù)項．(2)h(r)是非負整數(shù)?Tr＋1是整式項．(3)h(r)是負整數(shù)?Tr＋1是分式項．(4)h(r)是整數(shù)?Tr＋1是有理項．注1．二項式的通項易誤認為是第k項，實質(zhì)上是第k＋1項．注2．易混淆二項式中的“項”“項的系數(shù)”“項的二項式系數(shù)”等概念，注意項的系數(shù)是指非字母因數(shù)所有部分，包含符號，二項式系數(shù)僅指Ceq\o\al(k,n)(k＝0,1，…，n)．二項式系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容對稱性與首末兩端等距離的兩個二項式系數(shù)相等，即增減性當k＜eq\f(n＋1,2)時，二項式系數(shù)逐漸增大；當k＞eq\f(n＋1,2)時，二項式系數(shù)逐漸減小最大值當n是偶數(shù)時，中間一項eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n,2)＋1項))的二項式系數(shù)最大，最大值為；當n是奇數(shù)時，中間兩項eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n－1,2)＋1項和第\f(n＋1,2)＋1項))的二項式系數(shù)相等，且同時取得最大值，最大值為或二項式系數(shù)和(a＋b)n的展開式的各個二項式系數(shù)的和等于2n，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(k,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.二項展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝.考點一、求二項展開式的第項1．（2024·浙江紹興·二模）的展開式的第四項為.1．（2024·陜西寶雞·一模）展開式中的第四項為（

）A． B． C．240 D．2．（2023·北京·?？寄M預測）在的二項展開式中，第四項為．考點二、求指定項的二項式系數(shù)1．（2024·遼寧·模擬預測）二項式展開式的第3項的二項式系數(shù)是.2．（2024·上?！と＃┤舻亩椪归_式中第項與第項的系數(shù)相等，則該展開式中的系數(shù)為．1．（2024·全國·模擬預測）的展開式中第2項的二項式系數(shù)為6，則其展開式中的常數(shù)項為．2．（2024·江蘇無錫·模擬預測）在的展開式中，若第4項與第5項的二項式系數(shù)之和等于第10項與第11項的二項式系數(shù)之和，則（

）A．16 B．15 C．14 D．13考點三、二項式系數(shù)和1．（2024·浙江·三模）若展開式的二項式系數(shù)之和為128，則展開式中的系數(shù)為.2．（2024·四川攀枝花·三模）若的展開式中的系數(shù)為，則展開式中所有項的二項式系數(shù)之和為．（以數(shù)字作答）1．（2024·廣東東莞·模擬預測）已知的展開式中所有項的二項式系數(shù)之和為32，則的展開式中的系數(shù)為（

）A． B． C．10 D．202．（24-25高三上·貴州貴陽·階段練習）若的展開式的二項式系數(shù)和為32，且的系數(shù)為80，則實數(shù)的值為.考點四、二項式系數(shù)的增減性和最值1．（23-24高二下·廣東深圳·期中）的展開式中二項式系數(shù)最大的項為（

）A．第二項 B．第三項 C．第四項 D．第五項2．（2024·江西南昌·三模）（多選）已知的展開式中二項式系數(shù)的最大值與的展開式中的系數(shù)相等，則實數(shù)a的值可能為（）A． B． C． D．1．（23-24高二下·四川南充·階段練習）的展開式中只有第6項的二項式系數(shù)最大，則（

）A．9 B．10 C．11 D．122．（2024·貴州·模擬預測）的展開式中，二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)是.（用數(shù)字作答）考點五、求指定項的系數(shù)1．（2024·湖北武漢·模擬預測）展開式中含項的系數(shù)為（

）A．420 B． C．560 D．2．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知二項式的展開式中第3項與第7項的二項式系數(shù)相等，則其展開式中的系數(shù)為．1．（2024·浙江紹興·三模）的展開式中的系數(shù)為．（用數(shù)字作答）2．（2024·黑龍江大慶·三模）在的展開式中，含項的系數(shù)是.考點六、由項的系數(shù)確定參數(shù)1．（2024·黑龍江·模擬預測）若的展開式中的系數(shù)為144，則.2．（2024·福建寧德·模擬預測）已知的展開式中含項的系數(shù)為160，則實數(shù)a的值為.1．（2024·安徽蕪湖·模擬預測）的展開式中的系數(shù)為15，則．2．（2024·山東·模擬預測）二項式的展開式中，的系數(shù)為10，則．考點七、有理項（含常數(shù)項）、無理項及其系數(shù)1．（2024·江西鷹潭·模擬預測）的展開式中，常數(shù)項的值為．2．（浙江·高考真題）在二項式的展開式中，常數(shù)項是；系數(shù)為有理數(shù)的項的個數(shù)是.1．（2024·湖北武漢·模擬預測）展開式的7項中，系數(shù)為有理數(shù)的項共有（

）項A．1 B．2 C．3 D．42．（2024·河南·模擬預測）已知（其中）的展開式中的第7項為7，則展開式中的有理項共有（

）A．6項 B．5項 C．4項 D．3項3．（2024·遼寧·模擬預測）（多選）若的展開式中第4項的二項式系數(shù)最大，則二項展開式中的有理項（項中是整數(shù)）可以是（

）A．第2項 B．第3項 C．第4項 D．第5項考點八、二項展開式各項系數(shù)和及奇次項與偶次項的系數(shù)和1．（2024·上海·高考真題）在的二項展開式中，若各項系數(shù)和為32，則項的系數(shù)為．2．（2024·福建泉州·一模）（多選）已知展開式中共有8項．則該展開式結(jié)論正確的是（

）A．所有項的二項式系數(shù)和為128 B．所有項的系數(shù)和為C．系數(shù)最大項為第2項 D．有理項共有4項3．（2024·河南駐馬店·二模）（多選）已知，則（

）A． B．C． D．4．（2024·四川樂山·三模）設，則（

）A．1 B． C．2024 D．1．（2024·遼寧·三模）（多選）關于二項式的展開式，下列說法正確的是（

）A．第三項系數(shù)為270 B．的系數(shù)為90C．二項式系數(shù)和為 D．系數(shù)和為2．（2024·福建福州·模擬預測）（多選）已知，則（

）A．B．C．D．3．（2024·湖北武漢·模擬預測）（多選）已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．考點九、三項展開式的系數(shù)問題1．（2024·湖南衡陽·一模）的展開式中的系數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（2024·江蘇南京·模擬預測）的展開式中，的系數(shù)為（

）A．60 B． C．120 D．1．（2024·云南昆明·模擬預測）的展開式中，項的系數(shù)為（

）A．10 B． C．60 D．2．（2024·安徽·三模）的展開式中的系數(shù)為.考點十、兩個二項式乘積展開式的系數(shù)問題1．（2024·山西長治·模擬預測）的展開式中的系數(shù)是（

）A．﹣10 B．0 C．10 D．302．（2024·江蘇南京·模擬預測）的展開式中，的系數(shù)是.1．（2024·江西·一模）的展開式中的常數(shù)項為（

）A．147 B． C．63 D．2．（2024·江西宜春·模擬預測）在的展開式中，項的系數(shù)是．考點十一、求系數(shù)最大(小)的項1．（23-24高二下·河北邢臺·階段練習）的展開式中，系數(shù)最大的項是（

）A．第11項 B．第12項 C．第13項 D．第14項2．（2024·安徽·二模）已知的展開式二項式系數(shù)和為256，則展開式中系數(shù)最大的項為（

）A．第5項 B．第6項 C．第7項 D．第8項1．（2023·上海嘉定·一模）已知的二項展開式中系數(shù)最大的項為．考點十二、整除和余數(shù)問題1．（2024·湖北·模擬預測）被9除的余數(shù)為（

）A．1 B．4 C．5 D．82．（2024·甘肅張掖·三模）已知今天是星期四，則天后是（

）A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期五1．（24-25高三上·河南焦作·開學考試）被10除的余數(shù)為.2．（2024·貴州黔南·二模）我國農(nóng)歷用“鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬”這12種動物按順序輪流代表各年的生肖年號，今年2024年是龍年.那么從今年起的年后是（

）A．虎年 B．馬年 C．龍年 D．羊年考點十三、楊輝三角1．（2024·寧夏·二模）楊輝是中國南宋末年的一位杰出的數(shù)學家、教育家．楊輝三角是楊輝的一項重要研究成果，它的許多性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)有關，楊輝三角中蘊藏了許多規(guī)律，如圖是一個5階楊輝三角．若第行中從左到右第3個數(shù)與第5個數(shù)的比為，則的值為．2．（2023·海南·三模）（多選）“楊輝三角”是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數(shù)學家楊輝年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現(xiàn)，比歐洲發(fā)現(xiàn)早年左右.如圖所示，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數(shù)都是外，其余每個數(shù)都是其“肩上”的兩個數(shù)之和，例如第行的為第行中兩個的和.則下列命題中正確的是（

）A．在“楊輝三角”第行中，從左到右第個數(shù)是B．由“第行所有數(shù)之和為”猜想：C．D．存在，使得為等差數(shù)列3．（23-24高二上·山東青島·期末）（多選）我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中展示了二項式系數(shù)表，數(shù)學愛好者對楊輝三角做了廣泛的研究．則下列結(jié)論正確的是（

）A．第6行、第7行、第8行的第7個數(shù)之和為第9行的第8個數(shù)B．C．第2020行的第1010個數(shù)最大D．第12行中從左到右第2個數(shù)與第3個數(shù)之比為1．（2023·安徽黃山·二模）如圖給出的三角形數(shù)陣，圖中虛線上的數(shù)、、、、，依次構成數(shù)列，則.2．（2024·河南新鄉(xiāng)·三模）如圖所示的“分數(shù)楊輝三角形”被我們稱為萊布尼茨三角形，是將楊輝三角形中的換成得到的，根據(jù)萊布尼茨三角形，下列結(jié)論正確的是（

）

A． B．C． D．3．（2023·黑龍江哈爾濱·模擬預測）（多選）“楊輝三角”是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現(xiàn).如圖所示，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數(shù)都是1外，其余每個數(shù)都是其“肩上”的兩個數(shù)之和，例如第4行的6為第3行中兩個3的和.則下列命題中正確的是（

）

A．在第10行中第5個數(shù)最大B．C．第8行中第4個數(shù)與第5個數(shù)之比為D．在楊輝三角中，第行的所有數(shù)字之和為一、單選題1．（2024·山東菏澤·模擬預測）在的展開式中，的系數(shù)為（

）A．80 B．240 C．1600 D．24002．（2024·山西太原·三模）的展開式中的系數(shù)為（

）A．-20 B．20 C．-30 D．303．（2024·遼寧鞍山·模擬預測）已知的展開式中第3項的二項式系數(shù)等于36，則該展開式中的常數(shù)項為（

）A． B． C． D．4．（2024·陜西·模擬預測）若的展開式中的各項系數(shù)和為243，則（

）A．32 B．31 C．16 D．15二、多選題5．（2024·吉林·模擬預測）在的展開式中，下列說法正確的是（

）A．各二項式系數(shù)的和為64 B．各項系數(shù)的絕對值的和為729C．有理項有3項 D．常數(shù)項是第4項6．（23-24高二下·廣東深圳·期中）若，其中為實數(shù)，則（

）A． B．C． D．三、填空題7．（2024·湖北襄陽·模擬預測）的展開式中的系數(shù)為.8．（2024·浙江嘉興·模擬預測）若，則.9．（2024·廣東佛山·模擬預測）的展開式中常數(shù)項是．（用數(shù)字作答）10．（2024·福建南平·模擬預測）在的展開式中，的系數(shù)為．一、單選題1．（2024·山東·二模）展開式中的系數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（2024·湖北·模擬預測）若的二項展開式中，當且僅當?shù)?項是二項式系數(shù)最大的項，則其展開式中的系數(shù)為（

）A．8 B．28 C．70 D．2523．（2024·河北邢臺·二模）已知在的二項展開式中，第6項為常數(shù)項，若在展開式中任取3項，其中有理項的個數(shù)為，則=（

）A． B． C． D．4．（2024·江西鷹潭·二模）第14屆國際數(shù)學教育大會在上海華東師范大學舉行，如圖是本次大會的會標，會標中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦3、7、4、4，這是中國古代八進制計數(shù)符號，換算成現(xiàn)代十進制是，正是會議計劃召開的年份，那么八進制數(shù)換算成十進制數(shù)，則換算后這個數(shù)的末位數(shù)字是（

）A．1 B．3 C．5 D．7二、多選題5．（2024·江蘇·模擬預測）若，則（

）A． B．C． D．6．（2024·河北·二模）已知，，其中，．若，則（

）A． B．C． D．7．（2024·山西·三模）已知函數(shù)，則（

）A． B．展開式中，二項式系數(shù)的最大值為C． D．的個位數(shù)字是1三、填空題8．（2024·山西朔州·一模）的展開式中的系數(shù)為．9．（2024·河北·模擬預測）已知的展開式中各項系數(shù)和為8，則展開式中常數(shù)項為.10．（2024·江西景德鎮(zhèn)·三模）若關于，的三項式的展開式中各項系數(shù)之和為64，則；其中項系數(shù)的最大值為.1．（2024·北京·高考真題）在的展開式中，的系數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（2024·上?！じ呖颊骖}）展開式中的系數(shù)為.3．（2024·全國·高考真題）的展開式中，各項系數(shù)中的最大值為．4．（2024·天津·高考真題）在的展開式中，常數(shù)項為．5．（2023·天津·高考真題）在的展開式中，的系數(shù)為．6．（2022·北京·高考真題）若，則（

）A．40 B．41 C． D．7．（2022·浙江·高考真題）已知多項式，則，．8．（2022·全國·高考真題）的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．9．（2022·天津·高考真題）在的展開式中，常數(shù)項是.10．（2021·北京·高考真題）在的展開式中，常數(shù)項為.11．（2021·天津·高考真題）在的展開式中，的系數(shù)是．12．（2021·浙江·高考真題）已知多項式，則，.13．（2020·天津·高考真題）在的展開式中，的系數(shù)是．14．（2020·全國·高考真題）的展開式中x3y3的系數(shù)為（

）A．5 B．10C．15 D．2015．（2020·北京·高考真題）在的展開式中，的系數(shù)為（

）．A． B．5 C． D．1016．（2020·浙江·高考真題）設，則；．17．（2020·全國·高考真題）的展開式中常數(shù)項是（用數(shù)字作第03講二項式定理（13類核心考點精講精練）1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析關聯(lián)考點2022年新I卷，第13題,5分兩個二項式乘積展開式的系數(shù)問題無2020年全國甲卷（理），第8題,5分求指定項的二項式系數(shù)無2020年全國丙卷（理），第14題,5分求指定項的系數(shù)無2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，設題穩(wěn)定，難度較低或中等，分值為5分【備考策略】1.理解、掌握二項式定理的通項公式，會相關基本量的求解2.能分清二項式系數(shù)與系數(shù)的定義，并會相關求解3.能清晰計算二項式系數(shù)和與系數(shù)和及其大（小）項計算4.會三項式、乘積式的相關計算【命題預測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，一般考查二項式系數(shù)和、系數(shù)和、求給定項的二項式系數(shù)或系數(shù)及相關最大（?。╉椨嬎悖柚攸c強化復習知識講解1．二項式定理(1)二項式定理：(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)；(2)通項公式：Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1項；(3)二項式系數(shù)：二項展開式中各項的系數(shù)為Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n).若二項展開式的通項為Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，則有以下常見結(jié)論：(1)h(r)＝0?Tr＋1是常數(shù)項．(2)h(r)是非負整數(shù)?Tr＋1是整式項．(3)h(r)是負整數(shù)?Tr＋1是分式項．(4)h(r)是整數(shù)?Tr＋1是有理項．注1．二項式的通項易誤認為是第k項，實質(zhì)上是第k＋1項．注2．易混淆二項式中的“項”“項的系數(shù)”“項的二項式系數(shù)”等概念，注意項的系數(shù)是指非字母因數(shù)所有部分，包含符號，二項式系數(shù)僅指Ceq\o\al(k,n)(k＝0,1，…，n)．二項式系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容對稱性與首末兩端等距離的兩個二項式系數(shù)相等，即增減性當k＜eq\f(n＋1,2)時，二項式系數(shù)逐漸增大；當k＞eq\f(n＋1,2)時，二項式系數(shù)逐漸減小最大值當n是偶數(shù)時，中間一項eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n,2)＋1項))的二項式系數(shù)最大，最大值為；當n是奇數(shù)時，中間兩項eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n－1,2)＋1項和第\f(n＋1,2)＋1項))的二項式系數(shù)相等，且同時取得最大值，最大值為或二項式系數(shù)和(a＋b)n的展開式的各個二項式系數(shù)的和等于2n，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(k,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.二項展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝.考點一、求二項展開式的第k項1．（2024·浙江紹興·二模）的展開式的第四項為.【答案】【分析】寫出二項式的通項公式，代值計算即得.【詳解】的展開式的通項為，令，得故答案為：.1．（2024·陜西寶雞·一模）展開式中的第四項為（

）A． B． C．240 D．【答案】B【分析】根據(jù)二項展開式的通項公式求解.【詳解】展開式的通項公式為，所以,故選：B2．（2023·北京·?？寄M預測）在的二項展開式中，第四項為．【答案】【分析】利用二項式定理可求得展開式第四項.【詳解】在的二項展開式中，第四項為.故答案為：.考點二、求指定項的二項式系數(shù)1．（2024·遼寧·模擬預測）二項式展開式的第3項的二項式系數(shù)是.【答案】28【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式可得，令即可求解.【詳解】由題意知，展開式的通項公式為，令，得，即二項式展開式的第3項的二項式系數(shù)是28.故答案為：282．（2024·上海·三模）若的二項展開式中第項與第項的系數(shù)相等，則該展開式中的系數(shù)為．【答案】【分析】求得二項式的展開式的通項公式，由題意可得，可求得，可求項的系數(shù).【詳解】的展開式為，因為二項展開式中第項與第項的系數(shù)相等，所以，所以，令，解得，所以該展開式中的系數(shù)為.故答案為：6.1．（2024·全國·模擬預測）的展開式中第2項的二項式系數(shù)為6，則其展開式中的常數(shù)項為．【答案】15【分析】由題意先求出，再求出的展開式的通項公式，令代入即可得出答案.【詳解】因為的展開式中第2項的二項式系數(shù)為6，所以，，的展開式的通項公式為，令，得，故展開式中的常數(shù)項為．故答案為：15.2．（2024·江蘇無錫·模擬預測）在的展開式中，若第4項與第5項的二項式系數(shù)之和等于第10項與第11項的二項式系數(shù)之和，則（

）A．16 B．15 C．14 D．13【答案】D【分析】由題意可得：，結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)分析求解.【詳解】由題意可得：，則，可得，所以.故選：D．考點三、二項式系數(shù)和1．（2024·浙江·三模）若展開式的二項式系數(shù)之和為128，則展開式中的系數(shù)為.【答案】280【分析】先由二項式系數(shù)和為128，求出，再求出展開式的通項，令，即可得出答案.【詳解】展開式的二項式系數(shù)之和為，解得：，所以展開式的通項為：，令，解得：，所以展開式中的系數(shù)為：.故答案為：280.2．（2024·四川攀枝花·三模）若的展開式中的系數(shù)為，則展開式中所有項的二項式系數(shù)之和為．（以數(shù)字作答）【答案】32【分析】直接利用二項式的展開式求出結(jié)果．【詳解】根據(jù)的展開式的通項公式為，當r＝3時，，解得；故所有項的二項式系數(shù)之和為．故答案為：32．1．（2024·廣東東莞·模擬預測）已知的展開式中所有項的二項式系數(shù)之和為32，則的展開式中的系數(shù)為（

）A． B． C．10 D．20【答案】D【分析】先利用二項式系數(shù)性質(zhì)求出的值，在二項展開式的通項公式中，令的冪指數(shù)等于31，求出的值，即可求得的系數(shù)．【詳解】根據(jù)的展開式中，二項式系數(shù)的和為．而的展開式中，通項公式為，令，求得，可得展開式中的系數(shù)為，故選：D．2．（24-25高三上·貴州貴陽·階段練習）若的展開式的二項式系數(shù)和為32，且的系數(shù)為80，則實數(shù)的值為.【答案】【分析】由二項式系數(shù)和先求，再利用通項得到的指數(shù)確定值，由的系數(shù)為80，建立關于的方程求解可得.【詳解】因為的展開式的二項式系數(shù)和為32，所以，解得.所以，由，解得，所以的系數(shù)為，解得.故答案為：.考點四、二項式系數(shù)的增減性和最值1．（23-24高二下·廣東深圳·期中）的展開式中二項式系數(shù)最大的項為（

）A．第二項 B．第三項 C．第四項 D．第五項【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合二項展開式的二項式系數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由的展開式中，項的二項式系數(shù)為，根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)得，當時，，即第四項的二項式系數(shù)最大．故選：C.2．（2024·江西南昌·三模）（多選）已知的展開式中二項式系數(shù)的最大值與的展開式中的系數(shù)相等，則實數(shù)a的值可能為（）A． B． C． D．【答案】AB【分析】先計算出的展開式中二項式系數(shù)最大值，根據(jù)二項式定理得到展開式的通項公式，從而得到方程，求出.【詳解】的展開式中二項式系數(shù)最大值為，的展開式通項公式為，令得，，故展開式中的系數(shù)為，故，解得.故選：AB1．（23-24高二下·四川南充·階段練習）的展開式中只有第6項的二項式系數(shù)最大，則（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【分析】利用二項式系數(shù)的性質(zhì)：展開式中中間項的二項式系數(shù)最大，得到展開式共有項，可求得的值．【詳解】因為展開式中，二項式系數(shù)最大的項只有第項即最大，根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)：展開式中中間項的二項式系數(shù)最大，所以，解得.故選：B.2．（2024·貴州·模擬預測）的展開式中，二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)是.（用數(shù)字作答）【答案】【分析】根據(jù)條件得到二項式系數(shù)最大的項為第項，再利用的展開式的通項公式，即可求解.【詳解】因為，所以二項式系數(shù)最大的項為第項，又的展開式的通項公式為，令，得到，所以二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)是，故答案為：.考點五、求指定項的系數(shù)1．（2024·湖北武漢·模擬預測）展開式中含項的系數(shù)為（

）A．420 B． C．560 D．【答案】D【分析】由二項展開式的通項公式解出r的值，進而可得項的系數(shù).【詳解】由題意知，的二項展開式的通項公式為，令，得，故含項的系數(shù)為.故選：D.2．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知二項式的展開式中第3項與第7項的二項式系數(shù)相等，則其展開式中的系數(shù)為．【答案】【分析】利用二項式系數(shù)相等可求得，再由二項展開式的通項可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)展開式中第3項與第7項的二項式系數(shù)相等可得，解得；不妨設第項含有項，所以，所以，即，解得；所以含有項為.因此可得的系數(shù)為.故答案為：1．（2024·浙江紹興·三模）的展開式中的系數(shù)為．（用數(shù)字作答）【答案】【分析】借助二項式的展開式的通項公式計算即可得.【詳解】對有，則，故的展開式中的系數(shù)為.故答案為：.2．（2024·黑龍江大慶·三模）在的展開式中，含項的系數(shù)是.【答案】24【分析】根據(jù)題意，寫出其通項，再求其特定項的系數(shù)即可.【詳解】在的展開式中，.令得，所以含項的系數(shù)是.故答案為：24.考點六、由項的系數(shù)確定參數(shù)1．（2024·黑龍江·模擬預測）若的展開式中的系數(shù)為144，則.【答案】【分析】先求出二項式展開式的通項公式，然后令的次數(shù)為5，求出，再由的系數(shù)為144，可求出.【詳解】的展開式的通項公式:.令，解得，所以由題意得，解得.故答案為：.2．（2024·福建寧德·模擬預測）已知的展開式中含項的系數(shù)為160，則實數(shù)a的值為.【答案】【分析】運用二項式展開式的通項公式，就可以出求指定項的系數(shù)，從而解得.【詳解】由二項式展開式通項公式得：，當時，有，由展開式中含項的系數(shù)為160，所以，解得：，故答案為：2.1．（2024·安徽蕪湖·模擬預測）的展開式中的系數(shù)為15，則．【答案】6【分析】寫出二項展開式的通項，然后根據(jù)題意列出方程求解n即可.【詳解】的二項展開式的通項為,依題意,解得,故答案為：.2．（2024·山東·模擬預測）二項式的展開式中，的系數(shù)為10，則．【答案】2【分析】利用二項式展開式的通項計算即可.【詳解】易知二項式的展開式通項公式為，顯然時，.故答案為：2考點七、有理項（含常數(shù)項）、無理項及其系數(shù)1．（2024·江西鷹潭·模擬預測）的展開式中，常數(shù)項的值為．【答案】840【分析】利用二項式展開式的通項公式求解【詳解】展開式的通項公式為，令，解得，所以常數(shù)項為．故答案為：8402．（浙江·高考真題）在二項式的展開式中，常數(shù)項是；系數(shù)為有理數(shù)的項的個數(shù)是.【答案】【分析】本題主要考查二項式定理、二項展開式的通項公式、二項式系數(shù)，屬于常規(guī)題目.從寫出二項展開式的通項入手，根據(jù)要求，考察的冪指數(shù)，使問題得解.【詳解】的通項為可得常數(shù)項為，因系數(shù)為有理數(shù)，，有共5個項【點睛】此類問題解法比較明確，首要的是要準確記憶通項公式，特別是“冪指數(shù)”不能記混，其次，計算要細心，確保結(jié)果正確.1．（2024·湖北武漢·模擬預測）展開式的7項中，系數(shù)為有理數(shù)的項共有（

）項A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】利用二項式的展開式，可得結(jié)論.【詳解】的展開式為，當時，二項式展開式的各項的系數(shù)分別為1，30，60，8均為有理數(shù)，故系數(shù)為有理數(shù)的項共有共有4項.故選：D.2．（2024·河南·模擬預測）已知（其中）的展開式中的第7項為7，則展開式中的有理項共有（

）A．6項 B．5項 C．4項 D．3項【答案】D【分析】運用二項展開式的通項公式可得、的值，結(jié)合有理項的定義賦值求解即可.【詳解】展開式的第7項為，由題意，得，，（），所以，，則展開式的通項為，，令，則，所以展開式中的有理項共有3項.故選：D.3．（2024·遼寧·模擬預測）（多選）若的展開式中第4項的二項式系數(shù)最大，則二項展開式中的有理項（項中是整數(shù)）可以是（

）A．第2項 B．第3項 C．第4項 D．第5項【答案】ACD【分析】根據(jù)二項式系數(shù)的最值可得或，結(jié)合二項展開式分析求解.【詳解】由題意可知：的展開式通項為，因為中第4項的二項式系數(shù)最大，當為偶數(shù)，則，即，此時，令為整數(shù)，可得，即第1項，第4項，第7項為有理項，故C正確；當為奇數(shù)，則或，即或，且，可得，此時，令為整數(shù)，可得，即第2項，第5項，第8項為有理項，故AD正確；故選：ACD.考點八、二項展開式各項系數(shù)和及奇次項與偶次項的系數(shù)和1．（2024·上?！じ呖颊骖}）在的二項展開式中，若各項系數(shù)和為32，則項的系數(shù)為．【答案】10【分析】令，解出，再利用二項式的展開式的通項合理賦值即可.【詳解】令，，即，解得，所以的展開式通項公式為，令，則，．故答案為：10．2．（2024·福建泉州·一模）（多選）已知展開式中共有8項．則該展開式結(jié)論正確的是（

）A．所有項的二項式系數(shù)和為128 B．所有項的系數(shù)和為C．系數(shù)最大項為第2項 D．有理項共有4項【答案】AD【分析】先根據(jù)展開式的項數(shù)確定的值，根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)判斷A；令可得所有項的系數(shù)和從而判斷B，利用二項展開式的通項公式求解系數(shù)最大項及有理項可判斷CD．【詳解】A項，因為的展開式共有8項，所以．故所有項的二項式系數(shù)和為，故A正確；B項，令，可得所有項的系數(shù)和為，故B錯誤；因為二項展開式的通項公式為：．.C項，當，設項系數(shù)最大，由，解得，則，且，第3項系數(shù)為.當時，，系數(shù)為1；當時，，系數(shù)為；由，故第3項的系數(shù)最大；故C錯誤；D項，由為整數(shù)，且可知，的值可以為：0，2，4，6，所以二項展開式中，有理項共有4項，故D正確．故選：AD.3．（2024·河南駐馬店·二模）（多選）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】先對式子進行化簡，再根據(jù)二項式定理求解即可.【詳解】依題意得，所以945，故A項正確；令，得，令，得，所以，故B項錯誤；令，得①，又②，由①+②可得，故C項正確；同理，由②-①得，故D項錯誤.故選：AC.4．（2024·四川樂山·三模）設，則（

）A．1 B． C．2024 D．【答案】C【分析】令求得，令即可求得的值．【詳解】由，令，得；令，得，所以．故選：C．1．（2024·遼寧·三模）（多選）關于二項式的展開式，下列說法正確的是（

）A．第三項系數(shù)為270 B．的系數(shù)為90C．二項式系數(shù)和為 D．系數(shù)和為【答案】ACD【分析】求出二項式展開式的通項公式，第三項的系數(shù)判斷A，求含項的系數(shù)判斷B，根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)判斷C，求系數(shù)和判斷D.【詳解】二項式展開式的通項公式為，對于A，展開式中第項的系數(shù)為，A正確；對于B，令，可得，故展開式中含的項為第四項，該項的系數(shù)為，B錯誤；對于C，的展開式的二項式系數(shù)和為，C正確，對于D，二項式的展開式的系數(shù)和為，D正確；故選：ACD.2．（2024·福建福州·模擬預測）（多選）已知，則（

）A．B．C．D．【答案】AD【分析】利用賦值法令可計算得出A正確，令可知C錯誤，求出展開式中一次項的系數(shù)，經(jīng)計算可得B錯誤；構造方程組計算可得D正確.【詳解】對于A，令，即可得，可得A正確；對于B，因為展開式中代表一次項系數(shù)，所以的展開式中含有一次項，可得，即B錯誤；對于C，令，即可得，可得，所以C錯誤；對于D，令，即可得，得，得，即D正確.故選：AD3．（2024·湖北武漢·模擬預測）（多選）已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】對A：借助二項式的展開式的通項公式計算即可得；對B：借助賦值法分別令、計算即可得；對C：結(jié)合B中所得，再令計算即可得；對D：借助導數(shù)結(jié)合賦值法計算即可得.【詳解】對A：對有，則，故A正確；對B：令，有，令，則有，故，故B錯誤；對C：令，則有，故，故C錯誤；對D：令，則，則，故D正確.故選：AD.考點九、三項展開式的系數(shù)問題1．（2024·湖南衡陽·一模）的展開式中的系數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】寫出通項，令，再求展開式中系數(shù)為1時的系數(shù)，然后相乘即可；【詳解】，項對應，，項對應系數(shù)為，故展開后系數(shù)為.故選：D.2．（2024·江蘇南京·模擬預測）的展開式中，的系數(shù)為（

）A．60 B． C．120 D．【答案】A【分析】根據(jù)，結(jié)合二項展開式的通項公式分析求解.【詳解】由題意可知：的通項為，且的通項為，令，解得，所以的系數(shù)為．故選：A1．（2024·云南昆明·模擬預測）的展開式中，項的系數(shù)為（

）A．10 B． C．60 D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合二項展開式的通項，即可求得展開式中項的系數(shù)，得到答案.【詳解】由多項式展開式的通項為，令，可得，又由展開式的通項為，當時，可得，所以展開式中項系數(shù)為，故選：C.2．（2024·安徽·三模）的展開式中的系數(shù)為.【答案】-30【分析】利用乘方的幾何意義和二項展開式的通項公式求解.【詳解】解：因為是由5個相乘得到，使用要想產(chǎn)生，則出1個，出2個，y出2個，故所求系數(shù)為.故答案為：-30考點十、兩個二項式乘積展開式的系數(shù)問題1．（2024·山西長治·模擬預測）的展開式中的系數(shù)是（

）A．﹣10 B．0 C．10 D．30【答案】C【分析】根據(jù)乘法的分配律以及二項式展開式的通項公式求得正確答案.【詳解】依題意可知，含的項是，所以的系數(shù)是.故選：C2．（2024·江蘇南京·模擬預測）的展開式中，的系數(shù)是.【答案】205【分析】根據(jù)二項式的通項公式，結(jié)合乘法運算的法則進行求解即可.【詳解】，所以的系數(shù)為，故答案為：2051．（2024·江西·一模）的展開式中的常數(shù)項為（

）A．147 B． C．63 D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用二項式定理求出展開式中項即可列式計算即得【詳解】二項式展開式中項分別為，所以的展開式中的常數(shù)項為．故選：C2．（2024·江西宜春·模擬預測）在的展開式中，項的系數(shù)是．【答案】380【分析】由題意，利用二項式定理求出各項中的系數(shù)即可.【詳解】展開式的通項公式為，又，其中中含的項為，中含項為，中不含項，故系數(shù)為，故答案為：380.考點十一、求系數(shù)最大(小)的項1．（23-24高二下·河北邢臺·階段練習）的展開式中，系數(shù)最大的項是（

）A．第11項 B．第12項 C．第13項 D．第14項【答案】C【分析】根據(jù)二項展開式的通項公式結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】因為的展開通項公式為，又當時，取最大值，則系數(shù)最大的項是第13項．故選：C.2．（2024·安徽·二模）已知的展開式二項式系數(shù)和為256，則展開式中系數(shù)最大的項為（

）A．第5項 B．第6項 C．第7項 D．第8項【答案】C【分析】根據(jù)二項式系數(shù)和可得，即可根據(jù)通項特征，列舉比較可得最大值.【詳解】由已知，故，故通項為（，1，…，8），故奇數(shù)項的系數(shù)為正數(shù)，偶數(shù)項的系數(shù)為負數(shù)，故最大，因此第七項的系數(shù)最大，故選：C．1．（2023·上海嘉定·一模）已知的二項展開式中系數(shù)最大的項為．【答案】【分析】設系數(shù)最大的項為，則可得，直接求解即可.【詳解】設系數(shù)最大的項為，則，解得，因為且為整數(shù)，所以，此時最大的項為.故答案為：考點十二、整除和余數(shù)問題1．（2024·湖北·模擬預測）被9除的余數(shù)為（

）A．1 B．4 C．5 D．8【答案】B【分析】化簡得出，應用二項式展開式根據(jù)整除即可計算求出余數(shù).【詳解】其中是9的整數(shù)倍.故被9除的余數(shù)為4.故選：B.2．（2024·甘肅張掖·三模）已知今天是星期四，則天后是（

）A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期五【答案】B【分析】結(jié)合二項式展開式，求出它除以7的余數(shù)，可得結(jié)論.【詳解】，故．前面7項均能被7整除，則被7整除余5，故天后是星期二．故選：B.1．（24-25高三上·河南焦作·開學考試）被10除的余數(shù)為.【答案】1【分析】先由題得再結(jié)合二項式定理展開，根據(jù)其展開式結(jié)構特征即可求解.【詳解】由題，因為可以被10整除，所以被10除的余數(shù)為1.故答案為：1.2．（2024·貴州黔南·二模）我國農(nóng)歷用“鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬”這12種動物按順序輪流代表各年的生肖年號，今年2024年是龍年.那么從今年起的年后是（

）A．虎年 B．馬年 C．龍年 D．羊年【答案】B【分析】借助二項式的展開式計算即可得.【詳解】由，故除以的余數(shù)為，故除以的余數(shù)為，故年后是馬年.故選：B.考點十三、楊輝三角1．（2024·寧夏·二模）楊輝是中國南宋末年的一位杰出的數(shù)學家、教育家．楊輝三角是楊輝的一項重要研究成果，它的許多性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)有關，楊輝三角中蘊藏了許多規(guī)律，如圖是一個5階楊輝三角．若第行中從左到右第3個數(shù)與第5個數(shù)的比為，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)楊輝三角數(shù)字規(guī)律得到，再由組合數(shù)公式計算可得.【詳解】依題意可知第行的數(shù)從左到右分別為，所以，即，得，解得或（舍去），所以的值為.故答案為：2．（2023·海南·三模）（多選）“楊輝三角”是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數(shù)學家楊輝年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現(xiàn)，比歐洲發(fā)現(xiàn)早年左右.如圖所示，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數(shù)都是外，其余每個數(shù)都是其“肩上”的兩個數(shù)之和，例如第行的為第行中兩個的和.則下列命題中正確的是（

）A．在“楊輝三角”第行中，從左到右第個數(shù)是B．由“第行所有數(shù)之和為”猜想：C．D．存在，使得為等差數(shù)列【答案】BCD【分析】根據(jù)楊輝三角的特征即可判斷A，根據(jù)二項式系數(shù)和的性質(zhì)即可判斷B，根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)即可求解C，根據(jù)等差數(shù)列的定義即可求解D.【詳解】對于A，在“楊輝三角”第行中，從左到右第個數(shù)是，A錯；對于B，由二項式系數(shù)的性質(zhì)知，B對；對于C，由于故C正確；對于D，取，則，因為，所以數(shù)列為公差為的等差數(shù)列，D對.故選：BCD.3．（23-24高二上·山東青島·期末）（多選）我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中展示了二項式系數(shù)表，數(shù)學愛好者對楊輝三角做了廣泛的研究．則下列結(jié)論正確的是（

）A．第6行、第7行、第8行的第7個數(shù)之和為第9行的第8個數(shù)B．C．第2020行的第1010個數(shù)最大D．第12行中從左到右第2個數(shù)與第3個數(shù)之比為【答案】ABD【分析】根據(jù)楊輝三角讀出數(shù)據(jù)即可判斷A，利用組合數(shù)公式判斷B，分析各行數(shù)據(jù)的特征，即可判斷C，求出第行中從左到右第個數(shù)與第個數(shù)，即可判斷D.【詳解】對于A：第行，第行，第行的第個數(shù)字分別為：，，，其和為；而第行第個數(shù)字就是，故A正確；對于B：因為，，所以，故B正確；對于C：由圖可知：第行有個數(shù)字，如果是偶數(shù)，則第（最中間的）個數(shù)字最大；如果是奇數(shù)，則第和第個數(shù)字最大，并且這兩個數(shù)字一樣大，所以第行的第個數(shù)最大，故C錯誤；對于D：依題意：第行從左到右第個數(shù)為，第行從左到右第個數(shù)為，所以第行中從左到右第個數(shù)與第個數(shù)之比為，故D正確；故答案為：ABD.1．（2023·安徽黃山·二模）如圖給出的三角形數(shù)陣，圖中虛線上的數(shù)、、、、，依次構成數(shù)列，則.【答案】【分析】由楊輝三角與二項系數(shù)的關系可得出，再利用裂項相消法可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】由楊輝三角與二項式系數(shù)的關系可知，，，，所以，，所以，所以，.故答案為：.2．（2024·河南新鄉(xiāng)·三模）如圖所示的“分數(shù)楊輝三角形”被我們稱為萊布尼茨三角形，是將楊輝三角形中的換成得到的，根據(jù)萊布尼茨三角形，下列結(jié)論正確的是（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】觀察萊布尼茨三角形，得出規(guī)律即可判斷得解.【詳解】觀察萊布尼茨三角形，知每一個數(shù)等于下一層與它緊挨的兩個數(shù)之和，因此，即D正確，ABC錯誤.故選：D3．（2023·黑龍江哈爾濱·模擬預測）（多選）“楊輝三角”是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現(xiàn).如圖所示，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數(shù)都是1外，其余每個數(shù)都是其“肩上”的兩個數(shù)之和，例如第4行的6為第3行中兩個3的和.則下列命題中正確的是（

）

A．在第10行中第5個數(shù)最大B．C．第8行中第4個數(shù)與第5個數(shù)之比為D．在楊輝三角中，第行的所有數(shù)字之和為【答案】BC【分析】利用二項式定理，結(jié)合組合數(shù)運算性質(zhì)逐一判斷，即可求解．【詳解】對于A：第行是二項式的展開式的系數(shù)，所以第行中第個數(shù)最大，故A錯誤；對于B：，故B正確；對于C：第行是二項式的展開式的系數(shù)，又展開式的通項為，所以第個數(shù)為，第個數(shù)為，所以第個數(shù)與第個數(shù)之比為，故C正確；對于D：第行是二項式的展開式的系數(shù)，故第行的所有數(shù)字之和為，故D錯誤；故選：BC一、單選題1．（2024·山東菏澤·模擬預測）在的展開式中，的系數(shù)為（

）A．80 B．240 C．1600 D．2400【答案】D【分析】先求出展開式的通項，令，代入即可得出答案.【詳解】的展開式的通項為：，令，解得：，故的系數(shù)為：.故選：D.2．（2024·山西太原·三模）的展開式中的系數(shù)為（

）A．-20 B．20 C．-30 D．30【答案】D【分析】先把看作整體寫出二項式展開的通項，再根據(jù)指定項確定的次數(shù)，最后根據(jù)指定項配湊出項的系數(shù).【詳解】因為的展開式通項為，當時，出現(xiàn)，即此時中含的項為，所以的系數(shù)為.故選：D.3．（2024·遼寧鞍山·模擬預測）已知的展開式中第3項的二項式系數(shù)等于36，則該展開式中的常數(shù)項為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意得求出的值，然后求出二項式展開式的通項公式，令的次數(shù)為零，求出，從而可求出展開式中的常數(shù)項.【詳解】因為的展開式中第3項的二項式系數(shù)等于36，所以，得，因為，所以，所以展開式的通項公式為，令，得，所以該展開式中的常數(shù)項為，故選：A4．（2024·陜西·模擬預測）若的展開式中的各項系數(shù)和為243，則（

）A．32 B．31 C．16 D．15【答案】B【分析】令根據(jù)各項系數(shù)和求出，再利用賦值法計算可得.【詳解】因為，令可得，解得，令可得，令可得，所以.故選：B二、多選題5．（2024·吉林·模擬預測）在的展開式中，下列說法正確的是（

）A．各二項式系數(shù)的和為64 B．各項系數(shù)的絕對值的和為729C．有理項有3項 D．常數(shù)項是第4項【答案】AB【分析】利用各二項系數(shù)和可判斷A選項；根據(jù)二項式展開式的系數(shù)的絕對值和與二項式的展開式的系數(shù)和相等，可判斷B選項；根據(jù)展開式的通項可判斷C選項和D選項；【詳解】在的展開式中，各二項式系數(shù)的和為，故A正確；各項系數(shù)的絕對值的和與的各項系數(shù)和相等，令，可得各項系數(shù)的絕對值的和為，故B正確；展開式的通項為，令，得時，展開式的項為有理項，所以有理項有4項，故C錯誤；令，得，所以常數(shù)項是第5項，故D錯誤.故選：AB.6．（23-24高二下·廣東深圳·期中）若，其中為實數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)題意，令，則原式轉(zhuǎn)化為，結(jié)合賦值法，以及二項展開式的性質(zhì)，逐項判定，即可求解.【詳解】由，令，則原式轉(zhuǎn)化為，對于A中，令，可得，所以A正確；對于B中，由二項式定理的展開式，可得，所以B不正確；對于C和D中，令，可得，令，得，所以，所以，所以C、D正確．故選：ACD.三、填空題7．（2024·湖北襄陽·模擬預測）的展開式中的系數(shù)為.【答案】56【分析】利用二項式定理展開式中的通項來進行計算得出結(jié)果【詳解】的展開式的通項公式為，令，解得，故的展開式中的系數(shù)為.故答案為：56.8．（2024·浙江嘉興·模擬預測）若，則.【答案】【分析】根據(jù)二項式定理中的二項展開式通項公式即可求解【詳解】的展開式通項是：，依題意得，，即，所以，故答案為：9．（2024·廣東佛山·模擬預測）的展開式中常數(shù)項是．（用數(shù)字作答）【答案】70【分析】根據(jù)二項展開式的通項可得，令，代入運算求解即可.【詳解】由題意可知：展開式的通項為，令，解得，所以展開式中常數(shù)項是.故答案為：70.10．（2024·福建南平·模擬預測）在的展開式中，的系數(shù)為．【答案】240【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式求得正確答案.【詳解】，二項式的通項公式為，其中的展開式中不含的項，含的項為，所以的展開式中含的項為，故的系數(shù)為240．故答案為：一、單選題1．（2024·山東·二模）展開式中的系數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將問題轉(zhuǎn)化為排列組合問題，使用組合方法求解.【詳解】現(xiàn)有8個相乘，從每個中的三項各取一項相乘時，若結(jié)果為的常數(shù)倍，則所取的8項中有4個，2個，2個.所以，總的選取方法數(shù)目就是.每個這樣選取后相乘的結(jié)果都是，即給系數(shù)的貢獻總是，所以的系數(shù)就是全部的選取數(shù).故選：C.2．（2024·湖北·模擬預測）若的二項展開式中，當且僅當?shù)?項是二項式系數(shù)最大的項，則其展開式中的系數(shù)為（

）A．8 B．28 C．70 D．252【答案】D【分析】先確定值，再由二項展開式的通項求解項的系數(shù)即可.【詳解】因為二項展開式中當且僅當?shù)?項是二項式系數(shù)最大的項，即二項式系數(shù)中第5個即最大，所以由二項式系數(shù)的性質(zhì)可知，展開式中共項，，又，則二項展開式的通項公式，.令，所以的系數(shù)為．故選：D．3．（2024·河北邢臺·二模）已知在的二項展開式中，第6項為常數(shù)項，若在展開式中任取3項，其中有理項的個數(shù)為，則=（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先通過二項式定理得出在的二項展開式中，有理項有3項，無理項有8項，然后結(jié)合超幾何分布求得相應的概率，進而結(jié)合均值公式即可得解.【詳解】的二項展開式為，由題意，解得，若要取到有理項，則需要能被3整除，則，即在的二項展開式中，有理項有3項，無理項有8項，若在展開式中任取3項，其中有理項的個數(shù)為，可知的所有可能取值分別為0，1，2，3，，，所以.故選：C.4．（2024·江西鷹潭·二模）第14屆國際數(shù)學教育大會在上海華東師范大學舉行，如圖是本次大會的會標，會標中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦3、7、4、4，這是中國古代八進制計數(shù)符號，換算成現(xiàn)代十進制是，正是會議計劃召開的年份，那么八進制數(shù)換算成十進制數(shù)，則換算后這個數(shù)的末位數(shù)字是（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】C【分析】根據(jù)題意，由進位制的換算方法代入計算，再由二項式展開式代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】由進位制的換算方法可知，八進制換算成十進制得：，因為是10的倍數(shù)，所以，換算后這個數(shù)的末位數(shù)字即為的末尾數(shù)字，由可得，末尾數(shù)字為5.故選：C二、多選題5．（2024·江蘇·模擬預測）若，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用賦值法一一計算可判定A、D選項；利用二項式定理可判定B、C選項.【詳解】對于A，令，則，故A正確；對于D，令，令，兩式相減得，故D正確；易知，而中的常數(shù)項為1，含項為，含項為，含項為，同理中的常數(shù)項為，含項為，含項為，含項為，所以，故B錯誤；，故C正確.故選：ACD6．（2024·河北·二模）已知，，其中，．若，則（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】寫出展開式的通項，即可表示出，，從而求出，即可判斷A，再利用賦值法判斷B、C，將兩邊對求導可得，再令，即可判斷D.【詳解】二項式展開式的通項為（且），，所以，，因為，所以，解得（舍去）或，故A正確；由，令可得，故B正確；由，令可得，令可得，所以，故C錯誤；將兩邊對求導可得，，令可得，故D錯誤.故選：AB7．（2024·山西·三模）已知函數(shù)，則（

）A． B．展開式中，二項式系數(shù)的最大值為C． D．的個位數(shù)字是1【答案】BD【分析】對于A：根據(jù)二項展開式分析求解；對于B：根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)分析求解；對于C：利用賦值法，令、即可得結(jié)果；對于D：因為，結(jié)合二項展開式分析求解.【詳解】對于選項A：的展開式的通項為，令，可得，所以，故A錯誤；對于選項B：因為為偶數(shù)，可知二項式系數(shù)的最大值為，故B正確；對于選項C：令，可得；令，可得；所以，故C錯誤；對于選項D：因為，且的展開式的通項為，可知當，均為20的倍數(shù)，即個位數(shù)為0，當時，，所以的個位數(shù)字是1，故D正確；故選：BD.三、填空題8．（2024·山西朔州·一模）的展開式中的系數(shù)為．【答案】【分析】先變形為，寫出通項得到；再寫出的通項，得到，最后把兩項系數(shù)相乘即可.【詳解】，通項為，所以，即，又通項為，當時，才能得到，所以展開式中的系數(shù)為，故答案為：.9．（2024·河北·模擬預測）已知的展開式中各項系數(shù)和為8，則展開式中常數(shù)項為.【答案】【分析】令即可求出，求出展開式通項即可求出常數(shù)項.【詳解】令，可得展開式中各項系數(shù)的和，解得；的展開式通項為，因為，所以展開式中常數(shù)項為，故答案為：.10．（2024·江西景德鎮(zhèn)·三模）若關于，的三項式的展開式中各項系數(shù)之和為64，則；其中項系數(shù)的最大值為.【答案】6/【分析】令，得，即可求得n的值，利用組合知識求得項系數(shù)為，然后利用基本不等式求解最值即可.【詳解】三項式的展開式中各項系數(shù)之和為64，則令，得，解