2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)講義第02講數(shù)列中的新定義綜合(學(xué)生版+解析)

第02講數(shù)列中的新定義綜合（8類核心考點(diǎn)精講精練）新高考改革后，數(shù)列作為高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，在考試中占據(jù)了重要的地位。數(shù)列的考查不僅限于傳統(tǒng)的等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，還涉及到了一些新的定義和概念。這些新定義通常要求考生具備較強(qiáng)的邏輯推理能力和創(chuàng)新思維。在新定義數(shù)列的考題中，有以下幾種情況：新定義的數(shù)列類型：例如，斐波那契數(shù)列的變種、遞推數(shù)列、分段定義的數(shù)列等。這些數(shù)列的定義和性質(zhì)可能與傳統(tǒng)數(shù)列有所不同，需要考生仔細(xì)閱讀題目，準(zhǔn)確理解新定義。數(shù)列性質(zhì)的探究：考生可能需要探究新定義數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推關(guān)系、特殊項(xiàng)的性質(zhì)等。這要求考生能夠靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列極限等數(shù)學(xué)工具。數(shù)列與函數(shù)、不等式等其他數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng)用：新定義數(shù)列的題目往往與其他數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合，考查考生的綜合運(yùn)用能力。例如，數(shù)列與函數(shù)的圖像、數(shù)列與不等式的解法等。實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模：新高考數(shù)學(xué)注重考查學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力，因此，數(shù)列問(wèn)題可能會(huì)與實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合，要求考生建立數(shù)學(xué)模型來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。為了應(yīng)對(duì)新定義數(shù)列的考題，考生需要：熟悉并掌握高中數(shù)學(xué)數(shù)列的基本概念和性質(zhì)。增強(qiáng)閱讀理解能力，準(zhǔn)確把握新定義數(shù)列的特點(diǎn)。培養(yǎng)邏輯推理和創(chuàng)新思維，能夠獨(dú)立探究數(shù)列的性質(zhì)。加強(qiáng)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，提高綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。注重實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練，提升解決實(shí)際問(wèn)題的能力。總之，新高考數(shù)學(xué)數(shù)列部分的考查更加注重考生的綜合能力，考生需要在平時(shí)的學(xué)習(xí)中注重基礎(chǔ)知識(shí)的積累，同時(shí)加強(qiáng)思維訓(xùn)練和實(shí)際應(yīng)用能力的培養(yǎng)。考點(diǎn)一、斐波那契數(shù)列1．（2024·黑龍江大慶·模擬預(yù)測(cè)）意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：，該數(shù)列的特點(diǎn)是：從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)所組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，則是斐波那契數(shù)列中的第項(xiàng)．2．（2024·貴州遵義·模擬預(yù)測(cè)）（多選）數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…稱為斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割該數(shù)列，從第三項(xiàng)開(kāi)始，各項(xiàng)等于其前相鄰兩項(xiàng)之和，即（），則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．B．C．D．3．（23-24高三上·河北廊坊·期末）意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖數(shù)量為例，引入數(shù)列：1，1，2，3，5，8，該數(shù)列從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和，即，故此數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，又稱為“兔子數(shù)列”，其通項(xiàng)公式為，設(shè)是不等式的正整數(shù)解，則的最小值為（

）A．6 B．7 C．8 D．91．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）我們把由0和1組成的數(shù)列稱為數(shù)列，數(shù)列在計(jì)算機(jī)科學(xué)和信息技術(shù)領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用，把斐波那契數(shù)列（，）中的奇數(shù)換成0，偶數(shù)換成1可得到數(shù)列an，若數(shù)列an的前項(xiàng)和為，且，則的值可能是（

）A．100 B．201 C．302 D．3992．（24-25高二上·山東青島·階段練習(xí)）在數(shù)學(xué)上，斐波納契數(shù)列定義為：，，，斐波納契數(shù)列有種看起來(lái)很神奇的巧合，如根據(jù)可得，所以，類比這一方法，可得（

）A．714 B．1870 C．4895 D．48963．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）（多選）意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，21，….該數(shù)列的特點(diǎn)如下：前兩個(gè)數(shù)均為1，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和.人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，若用表示斐波那契數(shù)列的第項(xiàng)，則數(shù)列滿足：，.則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．C．D．考點(diǎn)二、差數(shù)列及階差數(shù)列1．（23-24高二上·云南昆明·期末）數(shù)學(xué)家楊輝在其專著《詳解九章算術(shù)法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的高階等差數(shù)列．其中二階等差數(shù)列是一個(gè)常見(jiàn)的高階等差數(shù)列，如數(shù)列2，4，7，11，16從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差組成的新數(shù)列2，3，4，5是等差數(shù)列，則稱數(shù)列2，4，7，11，16為二階等差數(shù)列．現(xiàn)有二階等差數(shù)列，其前六項(xiàng)分別為1，3，6，10，15，21，則的最小值為．2．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）定義：滿足為常數(shù)，）的數(shù)列稱為二階等比數(shù)列，為二階公比.已知二階等比數(shù)列的二階公比為，則使得成立的最小正整數(shù)為（

）A．7 B．8 C．9 D．103．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）給定數(shù)列，稱為的差數(shù)列（或一階差數(shù)列），稱數(shù)列的差數(shù)列為的二階差數(shù)列……(1)求的二階差數(shù)列；(2)用含的式子表示的階差數(shù)列，并求其前項(xiàng)和．1．（2024·四川自貢·一模）南末數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列.對(duì)這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前項(xiàng)分別為，則該數(shù)列的第項(xiàng)（

）A． B． C． D．2．（2024·四川南充·三模）對(duì)于數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分，其中，規(guī)定為數(shù)列的k階差分，其中．若，則（

）A．7 B．9 C．11 D．133．（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于數(shù)列，稱為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，其中.對(duì)正整數(shù)，稱為數(shù)列的階差分?jǐn)?shù)列，其中已知數(shù)列的首項(xiàng)，且為的二階差分?jǐn)?shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，對(duì)，是否都有成立？并說(shuō)明理由；（其中為組合數(shù)）(3)對(duì)于（2）中的數(shù)列，令，其中.證明：.考點(diǎn)三、平方數(shù)列與類平方數(shù)列1．（23-24高三上·四川綿陽(yáng)·階段練習(xí)）若數(shù)列滿足則稱為“平方遞推數(shù)列”.已知數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”，且則（

）A．是等差數(shù)列 B．是等差數(shù)列C．是“平方遞推數(shù)列” D．是“平方遞推數(shù)列”1．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知數(shù)列an滿足：①；②，，，，則稱數(shù)列an為“類平方數(shù)列”，若數(shù)列bn滿足：①數(shù)列bn不是“類平方數(shù)列”；②將數(shù)列bn中的項(xiàng)調(diào)整一定的順序后可使得新數(shù)列成為“類平方數(shù)列”，則稱數(shù)列bn為“變換類平方數(shù)列”，則（

A．已知數(shù)列，則數(shù)列an為“類平方數(shù)列”B．已知數(shù)列an為：3，5，6，11，則數(shù)列aC．已知數(shù)列an的前頂和為，則數(shù)列an為“類平方數(shù)列”D．已知，.則數(shù)列an為“變換類平方數(shù)列”考點(diǎn)四、數(shù)列的單調(diào)性1．（2024·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）我們規(guī)定：若數(shù)列為遞增數(shù)列且也為遞增數(shù)列，則為“數(shù)列”.(1)已知：，，，數(shù)列中其中只有一個(gè)數(shù)列，它是：；請(qǐng)從另外兩個(gè)數(shù)列中任選一個(gè)證明其不是數(shù)列.(2)已知數(shù)列an滿足：，為an的前項(xiàng)和，試求an的通項(xiàng)并判斷數(shù)列是否為數(shù)列并證之.(3)已知數(shù)列an、bn均為數(shù)列，且，，求證：數(shù)列也為數(shù)列.1．（24-25高三上·河南·開(kāi)學(xué)考試）若數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或幾項(xiàng)之間的關(guān)系由函數(shù)確定，則稱為的遞歸函數(shù)．設(shè)的遞歸函數(shù)為．(1)若，（），證明：為遞減數(shù)列；(2)若，且，的前項(xiàng)和記為．①求；②我們稱為取整函數(shù)，亦稱高斯函數(shù)，它表示不超過(guò)的最大整數(shù)，例如，．若，求．2．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）已知是各項(xiàng)均為正整數(shù)的無(wú)窮遞增數(shù)列，對(duì)于，定義集合，設(shè)為集合中的元素個(gè)數(shù)，特別規(guī)定：若時(shí)，．(1)若，寫出，及的值；(2)若數(shù)列是等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)設(shè)集合，，求證：且．考點(diǎn)五、數(shù)列的凹凸性1．（2024·安徽池州·模擬預(yù)測(cè)）定義：若對(duì)恒成立，則稱數(shù)列為“上凸數(shù)列”．(1)若，判斷是否為“上凸數(shù)列”，如果是，給出證明；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)若為“上凸數(shù)列”，則當(dāng)時(shí)，．（?。┤魯?shù)列為的前項(xiàng)和，證明：；（ⅱ）對(duì)于任意正整數(shù)序列（為常數(shù)且），若恒成立，求的最小值．1．（24-25高三上·安徽亳州·開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列，對(duì)于任意的，都有，則稱數(shù)列為“凹數(shù)列”．(1)判斷數(shù)列是否為“凹數(shù)列”，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)已知等差數(shù)列，首項(xiàng)為4，公差為，且為“凹數(shù)列”，求的取值范圍；(3)證明：數(shù)列為“凹數(shù)列”的充要條件是“對(duì)于任意的，當(dāng)時(shí)，有”．2．（24-25高二上·上?！るA段練習(xí)）已知數(shù)列，對(duì)于任意的正整數(shù)，都有則稱數(shù)列是嚴(yán)格凹數(shù)列．(1)若數(shù)列，的通項(xiàng)公式分別為，判斷數(shù)列，是否為嚴(yán)格凹數(shù)列，無(wú)需說(shuō)明理由；(2)證明：“對(duì)于任意正整數(shù)的，當(dāng)時(shí)，有”是“數(shù)列為嚴(yán)格凹數(shù)列”的充要條件；(3)函數(shù)是定義在正實(shí)數(shù)集上的嚴(yán)格增函數(shù)，且數(shù)列是嚴(yán)格凹數(shù)列，嚴(yán)格增數(shù)列（正整數(shù)為常數(shù)且）各項(xiàng)均為互不相等的正整數(shù)，若恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．考點(diǎn)六、數(shù)列的周期性1．（2024·上海青浦·二模）若無(wú)窮數(shù)列滿足：存在正整數(shù)，使得對(duì)一切正整數(shù)成立，則稱是周期為的周期數(shù)列．(1)若（其中正整數(shù)m為常數(shù)，），判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列，并說(shuō)明理由；(2)若，判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列，并說(shuō)明理由；(3)設(shè)是無(wú)窮數(shù)列，已知．求證：“存在，使得是周期數(shù)列”的充要條件是“是周期數(shù)列”．2．（2024·廣東珠?！ひ荒＃?duì)于數(shù)列an，若存在常數(shù)，，使得對(duì)任意的正整數(shù)，恒有成立，則稱數(shù)列an是從第項(xiàng)起的周期為的周期數(shù)列．當(dāng)時(shí)，稱數(shù)列an為純周期數(shù)列；當(dāng)時(shí)，稱數(shù)列an為混周期數(shù)列．記x為不超過(guò)的最大整數(shù)，設(shè)各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列an滿足：.(1)若對(duì)任意正整數(shù)都有，請(qǐng)寫出三個(gè)滿足條件的的值；(2)若數(shù)列an是純周期數(shù)列，請(qǐng)寫出滿足條件的的表達(dá)式，并說(shuō)明理由；(3)證明：不論為何值，總存在使得．3．（2024·湖南長(zhǎng)沙·一模）對(duì)于數(shù)列，如果存在正整數(shù)，使得對(duì)任意，都有，那么數(shù)列就叫做周期數(shù)列，叫做這個(gè)數(shù)列的周期.若周期數(shù)列滿足：存在正整數(shù)，對(duì)每一個(gè)，都有，我們稱數(shù)列和為“同根數(shù)列”.(1)判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列.如果是，寫出該數(shù)列的周期，如果不是，說(shuō)明理由；(2)若和是“同根數(shù)列”，且周期的最小值分別是和，求的最大值.1．（24-25高三上·黑龍江牡丹江·階段練習(xí)）對(duì)于數(shù)列，若存在常數(shù)，，使得對(duì)任意的正整數(shù)，恒有成立，則稱數(shù)列是從第項(xiàng)起的周期為的周期數(shù)列．當(dāng)時(shí)，稱數(shù)列為純周期數(shù)列；當(dāng)時(shí)，稱數(shù)列為混周期數(shù)列．記為不超過(guò)的最大整數(shù)，設(shè)各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列滿足：.(1)若對(duì)任意正整數(shù)都有，請(qǐng)寫出三個(gè)滿足條件的的值；(2)若數(shù)列是常數(shù)列，請(qǐng)寫出滿足條件的的表達(dá)式，并說(shuō)明理由；(3)證明：不論為何值，總存在使得．2．（23-24高三上·北京豐臺(tái)·期末）對(duì)于數(shù)列，如果存在正整數(shù)，使得對(duì)任意，都有，那么數(shù)列就叫做周期數(shù)列，叫做這個(gè)數(shù)列的周期．若周期數(shù)列，滿足：存在正整數(shù)，對(duì)每一個(gè)，都有，我們稱數(shù)列和為“同根數(shù)列”．(1)判斷下列數(shù)列是否為周期數(shù)列．如果是，寫出該數(shù)列的周期，如果不是，說(shuō)明理由；①；②(2)若和是“同根數(shù)列”，且周期的最小值分別是3和5，求證：；(3)若和是“同根數(shù)列”，且周期的最小值分別是和，求的最大值．考點(diǎn)七、數(shù)列的新概念1．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）定義：已知數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和為.設(shè)與是常數(shù)，若對(duì)一切正整數(shù)，均有成立，則稱此數(shù)列為“”數(shù)列.若數(shù)列是“”數(shù)列，則數(shù)列的通項(xiàng)公式（

）A． B． C． D．2．（23-24高三下·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）對(duì)于無(wú)窮數(shù)列，若對(duì)任意，且，存在，使得成立，則稱為“數(shù)列”.(1)若數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為，試判斷數(shù)列bn是否為“數(shù)列”，并說(shuō)明理由；(2)已知數(shù)列an①若an是“數(shù)列”，，且，求所有可能的取值；②若對(duì)任意，存在，使得成立，求證：數(shù)列an為“數(shù)列”.3．（2024·遼寧·三模）若實(shí)數(shù)列滿足，有，稱數(shù)列為“數(shù)列”.(1)判斷是否為“數(shù)列”，并說(shuō)明理由；(2)若數(shù)列為“數(shù)列”，證明：對(duì)于任意正整數(shù)，且，都有(3)已知數(shù)列為“數(shù)列”，且.令，其中表示中的較大者.證明：，都有.4．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）若無(wú)窮數(shù)列滿足：對(duì)于，其中為常數(shù)，則稱數(shù)列為數(shù)列．(1)若一個(gè)公比為的等比數(shù)列為“數(shù)列”，求的值；(2)若是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，在與之間依次插入數(shù)列中的項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列，求數(shù)列中前30項(xiàng)的和．(3)若一個(gè)“數(shù)列"滿足，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為．是否存在正整數(shù)，使不等式對(duì)一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．1．（2024·北京東城·二模）設(shè)無(wú)窮正數(shù)數(shù)列，如果對(duì)任意的正整數(shù)，都存在唯一的正整數(shù)，使得，那么稱為內(nèi)和數(shù)列，并令，稱為的伴隨數(shù)列，則（

）A．若為等差數(shù)列，則為內(nèi)和數(shù)列B．若為等比數(shù)列，則為內(nèi)和數(shù)列C．若內(nèi)和數(shù)列為遞增數(shù)列，則其伴隨數(shù)列為遞增數(shù)列D．若內(nèi)和數(shù)列的伴隨數(shù)列為遞增數(shù)列，則為遞增數(shù)列2．（2024·湖北荊州·三模）“數(shù)列”定義：數(shù)列的前項(xiàng)和為，如果對(duì)于任意的正整數(shù)，總存在正整數(shù)使則稱數(shù)列是“數(shù)列”.(1)若數(shù)列的前項(xiàng)和為求證：數(shù)列是“數(shù)列”；(2)已知數(shù)列是“數(shù)列”，且數(shù)列是首項(xiàng)為，公差小于的等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)若數(shù)列滿足：求數(shù)列的前項(xiàng)和.3．（2024·黑龍江·二模）如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都大于3，則稱這個(gè)數(shù)列為“型數(shù)列”．(1)若數(shù)列滿足，判斷是否為“型數(shù)列”，并說(shuō)明理由；(2)已知正項(xiàng)數(shù)列為“型數(shù)列”，，數(shù)列滿足，，是等比數(shù)列，公比為正整數(shù)，且不是“型數(shù)列”，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）定義：若對(duì)于任意的，數(shù)列滿足，則稱這個(gè)數(shù)列是“數(shù)列”．(1)已知首項(xiàng)為1的等差數(shù)列是“數(shù)列”，且恒成立，求的取值范圍．(2)已知各項(xiàng)均為正整數(shù)的等比數(shù)列是“數(shù)列”，數(shù)列不是“數(shù)列”．記，若數(shù)列是“數(shù)列”．①求數(shù)列的通項(xiàng)公式．②是否存在正整數(shù)，使成等差數(shù)列？若存在，求出的所有值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．考點(diǎn)八、數(shù)列的新性質(zhì)1．（2024·山東青島·三模）（多選）若有窮整數(shù)數(shù)列滿足：，且，則稱具有性質(zhì).則（

）A．存在具有性質(zhì)的B．存在具有性質(zhì)的C．若具有性質(zhì)，則中至少有兩項(xiàng)相同D．存在正整數(shù)，使得對(duì)任意具有性質(zhì)的，有中任意兩項(xiàng)均不相同2．（2024·河南·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在常數(shù)，使得對(duì)任意都成立，則稱數(shù)列具有性質(zhì)．(1)若數(shù)列為等差數(shù)列，且，求證：數(shù)列具有性質(zhì)；(2)設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且具有性質(zhì)．①若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且，求的值；②求的最小值．1．（23-24高二下·安徽六安·期末）如果無(wú)窮數(shù)列滿足“對(duì)任意正整數(shù)，都存在正整數(shù)，使得”，則稱數(shù)列具有“性質(zhì)”.(1)若等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且公比，求證：數(shù)列具有“性質(zhì)”；(2)若等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，求證：數(shù)列具有“性質(zhì)”，當(dāng)且僅當(dāng)；(3)如果各項(xiàng)均為正整數(shù)的無(wú)窮等比數(shù)列具有“性質(zhì)”，且四個(gè)數(shù)中恰有兩個(gè)出現(xiàn)在數(shù)列中，求的所有可能取值之和.2．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）若項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列滿足兩個(gè)性質(zhì)：①；②存在，使得，并記是數(shù)列的最大項(xiàng)，．則稱數(shù)列具有性質(zhì)．(1)若，寫出所有具有性質(zhì)的數(shù)列；(2)數(shù)列具有性質(zhì),若，求的最大項(xiàng)的最大值；(3)數(shù)列具有性質(zhì),若，且還滿足以下兩條性質(zhì)：（?。?duì)于滿足的項(xiàng)和，在的余下的項(xiàng)中，總存在滿足的項(xiàng)和，使得；（ⅱ）對(duì)于滿足的項(xiàng)和，在的余下的項(xiàng)中，總存在滿足的項(xiàng)和，使得．求滿足上述性質(zhì)的的最小值．一、填空題1．（2023·陜西銅川·一模）定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和.已知數(shù)列是等和數(shù)列，且，公和為1，那么這個(gè)數(shù)列的前2024項(xiàng)和.2．（2024·北京通州·三模）若數(shù)列、均為嚴(yán)格增數(shù)列，且對(duì)任意正整數(shù)n，都存在正整數(shù)m，使得，則稱數(shù)列為數(shù)列的“M數(shù)列”．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則下列結(jié)論中正確的是．①存在等差數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”②存在等比數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”③存在等差數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”④存在等比數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）將正整數(shù)n分解為兩個(gè)正整數(shù)，的積，即，當(dāng)，兩數(shù)差的絕對(duì)值最小時(shí)，我們稱其為最優(yōu)分解.如，其中即為12的最優(yōu)分解，當(dāng)，是n的最優(yōu)分解時(shí)，定義，則數(shù)列的前2024項(xiàng)的和為（

）A． B． C． D．4．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·三模）若對(duì)項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列中的任意一項(xiàng)，也是該數(shù)列中的一項(xiàng)，則稱這樣的數(shù)列為“可倒數(shù)數(shù)列”.已知正項(xiàng)等比數(shù)列是“可倒數(shù)數(shù)列”，其公比為，所有項(xiàng)和為，寫出一個(gè)符合題意的的值.5．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）定義首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“數(shù)列”.已知數(shù)列（）的前項(xiàng)和為，且滿足，.設(shè)為正整數(shù).若存在“數(shù)列”（），對(duì)任意正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，都有成立，則的最大值為.二、多選題6．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列中，若對(duì)，都有（為常數(shù)），則稱數(shù)列為“等差比數(shù)列”，為公差比，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和是，則下列說(shuō)法一定正確的是（

）A．等差數(shù)列是等差比數(shù)列B．若等比數(shù)列是等差比數(shù)列，則該數(shù)列的公比與公差比相同C．若數(shù)列是等差比數(shù)列，則數(shù)列是等比數(shù)列D．若數(shù)列是等比數(shù)列，則數(shù)列等差比數(shù)列7．（23-24高三上·上海普陀·期末）對(duì)于無(wú)窮數(shù)列，給出如下三個(gè)性質(zhì)：①；②對(duì)于任意正整數(shù)，都有；③對(duì)于任意正整數(shù)，存在正整數(shù)，使得定義：同時(shí)滿足性質(zhì)①和②的數(shù)列為“s數(shù)列”，同時(shí)滿足性質(zhì)①和③的數(shù)列為“t數(shù)列”，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若為“s數(shù)列”，則為“t數(shù)列”B．若，則為“t數(shù)列”C．若，則為“s數(shù)列”D．若等比數(shù)列為“t數(shù)列”則為“s數(shù)列”8．（2024·河北承德·二模）對(duì)于給定的數(shù)列，如果存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意成立，我們稱數(shù)列是“線性數(shù)列”，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．等差數(shù)列是“線性數(shù)列”B．等比數(shù)列是“線性數(shù)列”C．若且，則D．若且，則是等比數(shù)列的前項(xiàng)和9．（2024·湖南衡陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）在股票市場(chǎng)中，股票的價(jià)格是有界的，投資者通常會(huì)通過(guò)價(jià)格的變化來(lái)確保自己的風(fēng)險(xiǎn)，這種變化的價(jià)格類似于我們數(shù)學(xué)中的數(shù)列，定義如果存在正數(shù)，使得對(duì)一切正整數(shù)，都有，則稱為有界數(shù)列，數(shù)列收斂指數(shù)列有極限，我們把極限存在（不含無(wú)窮大）的數(shù)列稱為收斂數(shù)列，如數(shù)列，顯然對(duì)一切正整數(shù)都有，而的極限為，即數(shù)列既有界也收斂.如數(shù)列，顯然對(duì)一切正整數(shù)都有，但不存在極限，即數(shù)列有界但不收斂.下列數(shù)列是有界數(shù)列但不收斂的數(shù)列有（

）A． B．C． D．10．（2024·河南·一模）對(duì)于數(shù)列（），定義為，，…，中最大值（）（），把數(shù)列稱為數(shù)列的“M值數(shù)列”.如數(shù)列2，2，3，7，6的“M值數(shù)列”為2，2，3，7，7，則（

）A．若數(shù)列是遞減數(shù)列，則為常數(shù)列B．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則有C．滿足為2，3，3，5，5的所有數(shù)列的個(gè)數(shù)為8D．若，記為的前n項(xiàng)和，則三、解答題11．（2024·內(nèi)蒙古包頭·二模）已知數(shù)列為有窮數(shù)列，且，若數(shù)列滿足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱數(shù)列為的增數(shù)列：①；②對(duì)于，使得的正整數(shù)對(duì)有個(gè).(1)寫出所有4的1增數(shù)列；(2)當(dāng)時(shí)，若存在的6增數(shù)列，求的最小值.12．（23-24高二下·廣東深圳·階段練習(xí)）若在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷構(gòu)造出新的數(shù)列．現(xiàn)對(duì)數(shù)列1，2進(jìn)行構(gòu)造，第一次得到數(shù)列1，3，2；第二次得到數(shù)列1，4，3，5，2；依次構(gòu)造，第次得到的數(shù)列的所有項(xiàng)之和記為.(1)設(shè)第次構(gòu)造后得的數(shù)列為，則，請(qǐng)用含的代數(shù)式表達(dá)出，并推導(dǎo)出與滿足的關(guān)系式；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)證明：13．（2024·貴州貴陽(yáng)·二模）給定數(shù)列，若滿足且，對(duì)于任意的，都有，則稱數(shù)列an為“指數(shù)型數(shù)列".(1)已知數(shù)列an滿足，判斷數(shù)列是不是“指數(shù)型數(shù)列"？若是，請(qǐng)給出證明，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由;(2)若數(shù)列an是“指數(shù)型數(shù)列”，且，證明:數(shù)列an14．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）若正整數(shù)m，n只有1為公約數(shù)，則稱m，n互質(zhì)，歐拉函數(shù)是指，對(duì)于一個(gè)正整數(shù)n，小于或等于n的正整數(shù)中與n互質(zhì)的正整數(shù)（包括1）的個(gè)數(shù)，記作，例如，．(1)求，，；(2)設(shè)，，求數(shù)列an的前項(xiàng)和；(3)設(shè)，，數(shù)列bn的前項(xiàng)和為，證明：，15．（23-24高三下·云南昆明·階段練習(xí)）表示正整數(shù)a，b的最大公約數(shù)，若，且，，則將k的最大值記為，例如：，．(1)求，，；(2)設(shè)．（i）求數(shù)列的通項(xiàng)公式，（ii）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．16．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)滿足以下兩個(gè)條件的有窮數(shù)列為階“曼德拉數(shù)列”：①；②.(1)若某階“曼德拉數(shù)列”是等比數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)（，用表示）；(2)若某階“曼德拉數(shù)列”是等差數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)（，用表示）；(3)記階“曼德拉數(shù)列”的前項(xiàng)和為，若存在，使，試問(wèn)：數(shù)列能否為階“曼德拉數(shù)列”？若能，求出所有這樣的數(shù)列；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.17．（2024·廣東梅州·二模）已知an是由正整數(shù)組成的無(wú)窮數(shù)列，該數(shù)列前項(xiàng)的最大值記為，即；前項(xiàng)的最小值記為，即，令（），并將數(shù)列稱為an的“生成數(shù)列”．(1)若，求其生成數(shù)列的前項(xiàng)和；(2)設(shè)數(shù)列的“生成數(shù)列”為，求證：；(3)若是等差數(shù)列，證明：存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，，是等差數(shù)列．18．（2024·山東濰坊·二模）數(shù)列中，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與其前一項(xiàng)的差組成的數(shù)列稱為的一階差數(shù)列，記為，依此類推，的一階差數(shù)列稱為的二階差數(shù)列，記為，…．如果一個(gè)數(shù)列的p階差數(shù)列是等比數(shù)列，則稱數(shù)列為p階等比數(shù)列．(1)已知數(shù)列滿足，．（?。┣?，，；（ⅱ）證明：是一階等比數(shù)列；(2)已知數(shù)列為二階等比數(shù)列，其前5項(xiàng)分別為，求及滿足為整數(shù)的所有n值．19．（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）若給定一個(gè)數(shù)列，其連續(xù)兩項(xiàng)之差構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列：，，，…，，…，這個(gè)數(shù)列稱為原數(shù)列的“一階差數(shù)列”，記為，其中.再由的連續(xù)兩項(xiàng)的差得到新數(shù)列，，，…，，…，此數(shù)列稱為原數(shù)列的“二階差數(shù)列”，記為，其中.以此類推，可得到的“p階差數(shù)列”.如果數(shù)列的“p階差數(shù)列”是非零常數(shù)數(shù)列，則稱為“p階等差數(shù)列”.(1)證明由完全立方數(shù)組成的數(shù)列是“3階等差數(shù)列”；(2)若（且，），證明數(shù)列是“k階等差數(shù)列”，并且若將的“k階差數(shù)列”記作，則.20．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)任意一個(gè)無(wú)窮數(shù)列的前項(xiàng)之積為，若，，則稱是數(shù)列．(1)若是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，請(qǐng)判斷是否為數(shù)列？并說(shuō)明理由；(2)證明：若的通項(xiàng)公式為，則不是數(shù)列；(3)設(shè)是無(wú)窮等比數(shù)列，其首項(xiàng)，公比為，若是數(shù)列，求的值．21．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）定義：一個(gè)正整數(shù)稱為“漂亮數(shù)”，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)正整數(shù)數(shù)列，滿足①②：①；②．(1)寫出最小的“漂亮數(shù)”；(2)若是“漂亮數(shù)”，證明：是“漂亮數(shù)”；(3)在全體滿足的“漂亮數(shù)”中，任取一個(gè)“漂亮數(shù)”，求是質(zhì)數(shù)的概率．22．（24-25高三上·河南焦作·開(kāi)學(xué)考試）對(duì)于一個(gè)正項(xiàng)數(shù)列，若存在一正實(shí)數(shù)，使得且，有，我們就稱是-有限數(shù)列.(1)若數(shù)列滿足，，，證明：數(shù)列為1-有限數(shù)列；(2)若數(shù)列是-有限數(shù)列，，使得且，，證明：.23．（2024·北京門頭溝·一模）已知數(shù)列，數(shù)列，其中，且，．記的前項(xiàng)和分別為，規(guī)定．記，且，，且(1)若，，寫出；(2)若，寫出所有滿足條件的數(shù)列an，并說(shuō)明理由；(3)若，且．證明：，使得．24．（2024·湖北荊州·三模）對(duì)于數(shù)列，如果存在一個(gè)正整數(shù)，使得對(duì)任意，都有成立，那么就把這樣的一類數(shù)列稱作周期為的周期數(shù)列，的最小值稱作數(shù)列的最小正周期，簡(jiǎn)稱周期.(1)判斷數(shù)列和是否為周期數(shù)列，如果是，寫出該數(shù)列的周期，如果不是，說(shuō)明理由.(2)設(shè)（1）中數(shù)列前項(xiàng)和為，試問(wèn)是否存在，使對(duì)任意，都有成立，若存在，求出的取值范圍，若不存在，說(shuō)明理由.(3)若數(shù)列和滿足，且，是否存在非零常數(shù)，使得是周期數(shù)列？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的常數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.25．（2024·安徽蕪湖·三模）若數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且對(duì)任意的相鄰三項(xiàng)，都滿足，則稱該數(shù)列為“對(duì)數(shù)性凸數(shù)列”，若對(duì)任意的相鄰三項(xiàng)，都滿足則稱該數(shù)列為“凸數(shù)列”．(1)已知正項(xiàng)數(shù)列是一個(gè)“凸數(shù)列”，且，（其中為自然常數(shù)，），證明：數(shù)列是一個(gè)“對(duì)數(shù)性凸數(shù)列”，且有；(2)若關(guān)于的函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，其中．證明：數(shù)列是一個(gè)“對(duì)數(shù)性凸數(shù)列”：(3)設(shè)正項(xiàng)數(shù)列是一個(gè)“對(duì)數(shù)性凸數(shù)列”，求證：26．（2024·新疆·二模）我們把滿足下列條件的數(shù)列an稱為數(shù)列：①數(shù)列an②存在正奇數(shù)m，使得數(shù)列an的每一項(xiàng)除以m(1)若a，b，c是公差為2的等差數(shù)列，求證：a，b，c不是數(shù)列；(2)若數(shù)列bn滿足對(duì)任意正整數(shù)p，q，恒有，且，判斷數(shù)列是否是數(shù)列，并證明你的結(jié)論；(3)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列共有100項(xiàng)，且對(duì)任意，恒有，若數(shù)列為數(shù)列，求滿足條件的所有兩位數(shù)k值的和．27．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知正整數(shù)，設(shè)，，…，，，，…，是個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，.若對(duì)于任意，取，，，都有，則稱這個(gè)數(shù)構(gòu)成—孿生數(shù)組.(1)寫出8個(gè)不全相等的數(shù)，使得這8個(gè)數(shù)構(gòu)成—孿生數(shù)組；(2)求最小的，使得，，…，，，，…，構(gòu)成—孿生數(shù)組；(3)若，且，，…，，，，…，構(gòu)成—孿生數(shù)組，求的最大值.參考公式：（i），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等；（ii）當(dāng)正偶數(shù)時(shí)，設(shè)，有；當(dāng)正奇數(shù)時(shí)，設(shè)，有.28．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于數(shù)列，若，對(duì)任意的，有，則稱數(shù)列是有界的.當(dāng)正整數(shù)n無(wú)限大時(shí)，若無(wú)限接近于常數(shù)a，則稱常數(shù)a是數(shù)列的極限，或稱數(shù)列收斂于a，記為.單調(diào)收斂原理：“單調(diào)有界數(shù)列一定收斂”可以幫助我們解決數(shù)列的收斂性問(wèn)題.(1)證明：對(duì)任意的，，恒成立；(2)已知數(shù)列，的通項(xiàng)公式為：，，.（i）判斷數(shù)列，的單調(diào)性與有界性，并證明；（ii）事實(shí)上，常數(shù)，以為底的對(duì)數(shù)稱為自然對(duì)數(shù)，記為.證明：對(duì)任意的，恒成立.29．（2024·廣東江蘇·高考真題）設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)和后剩余的項(xiàng)可被平均分為組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列．(1)寫出所有的，，使數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(2)當(dāng)時(shí)，證明：數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(3)從中任取兩個(gè)數(shù)和，記數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的概率為，證明：．30．（2024·北京·高考真題）已知集合．給定數(shù)列，和序列，其中，對(duì)數(shù)列進(jìn)行如下變換：將的第項(xiàng)均加1，其余項(xiàng)不變，得到的數(shù)列記作；將的第項(xiàng)均加1，其余項(xiàng)不變，得到數(shù)列記作；……；以此類推，得到，簡(jiǎn)記為．(1)給定數(shù)列和序列，寫出；(2)是否存在序列，使得為，若存在，寫出一個(gè)符合條件的；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且為偶數(shù)，求證：“存在序列，使得的各項(xiàng)都相等”的充要條件為“”．1．（2024·新Ⅰ卷·高考真題）設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)和后剩余的項(xiàng)可被平均分為組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列．(1)寫出所有的，，使數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(2)當(dāng)時(shí)，證明：數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(3)從中任取兩個(gè)數(shù)和，記數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的概率為，證明：．2．（2024·北京·高考真題）已知集合．給定數(shù)列，和序列，其中，對(duì)數(shù)列進(jìn)行如下變換：將的第項(xiàng)均加1，其余項(xiàng)不變，得到的數(shù)列記作；將的第項(xiàng)均加1，其余項(xiàng)不變，得到數(shù)列記作；……；以此類推，得到，簡(jiǎn)記為．(1)給定數(shù)列和序列，寫出；(2)是否存在序列，使得為，若存在，寫出一個(gè)符合條件的；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且為偶數(shù)，求證：“存在序列，使得的各項(xiàng)都相等”的充要條件為“”．3．（2023·北京·高考真題）已知數(shù)列的項(xiàng)數(shù)均為m，且的前n項(xiàng)和分別為，并規(guī)定．對(duì)于，定義，其中，表示數(shù)集M中最大的數(shù).(1)若，求的值；(2)若，且，求；(3)證明：存在，滿足使得．4．（2022·北京·高考真題）已知為有窮整數(shù)數(shù)列．給定正整數(shù)m，若對(duì)任意的，在Q中存在，使得，則稱Q為連續(xù)可表數(shù)列．(1)判斷是否為連續(xù)可表數(shù)列？是否為連續(xù)可表數(shù)列？說(shuō)明理由；(2)若為連續(xù)可表數(shù)列，求證：k的最小值為4；(3)若為連續(xù)可表數(shù)列，且，求證：．5．（2021·北京·高考真題）設(shè)p為實(shí)數(shù).若無(wú)窮數(shù)列滿足如下三個(gè)性質(zhì)，則稱為數(shù)列：①，且；②；③，．（1）如果數(shù)列的前4項(xiàng)為2，-2，-2，-1，那么是否可能為數(shù)列？說(shuō)明理由；（2）若數(shù)列是數(shù)列，求；（3）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.是否存在數(shù)列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，說(shuō)明理第02講數(shù)列中的新定義綜合（8類核心考點(diǎn)精講精練）新高考改革后，數(shù)列作為高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，在考試中占據(jù)了重要的地位。數(shù)列的考查不僅限于傳統(tǒng)的等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，還涉及到了一些新的定義和概念。這些新定義通常要求考生具備較強(qiáng)的邏輯推理能力和創(chuàng)新思維。在新定義數(shù)列的考題中，有以下幾種情況：新定義的數(shù)列類型：例如，斐波那契數(shù)列的變種、遞推數(shù)列、分段定義的數(shù)列等。這些數(shù)列的定義和性質(zhì)可能與傳統(tǒng)數(shù)列有所不同，需要考生仔細(xì)閱讀題目，準(zhǔn)確理解新定義。數(shù)列性質(zhì)的探究：考生可能需要探究新定義數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推關(guān)系、特殊項(xiàng)的性質(zhì)等。這要求考生能夠靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列極限等數(shù)學(xué)工具。數(shù)列與函數(shù)、不等式等其他數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng)用：新定義數(shù)列的題目往往與其他數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合，考查考生的綜合運(yùn)用能力。例如，數(shù)列與函數(shù)的圖像、數(shù)列與不等式的解法等。實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模：新高考數(shù)學(xué)注重考查學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力，因此，數(shù)列問(wèn)題可能會(huì)與實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合，要求考生建立數(shù)學(xué)模型來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。為了應(yīng)對(duì)新定義數(shù)列的考題，考生需要：熟悉并掌握高中數(shù)學(xué)數(shù)列的基本概念和性質(zhì)。增強(qiáng)閱讀理解能力，準(zhǔn)確把握新定義數(shù)列的特點(diǎn)。培養(yǎng)邏輯推理和創(chuàng)新思維，能夠獨(dú)立探究數(shù)列的性質(zhì)。加強(qiáng)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，提高綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。注重實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練，提升解決實(shí)際問(wèn)題的能力。總之，新高考數(shù)學(xué)數(shù)列部分的考查更加注重考生的綜合能力，考生需要在平時(shí)的學(xué)習(xí)中注重基礎(chǔ)知識(shí)的積累，同時(shí)加強(qiáng)思維訓(xùn)練和實(shí)際應(yīng)用能力的培養(yǎng)。考點(diǎn)一、斐波那契數(shù)列1．（2024·黑龍江大慶·模擬預(yù)測(cè)）意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：，該數(shù)列的特點(diǎn)是：從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)所組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，則是斐波那契數(shù)列中的第項(xiàng)．【答案】2025【分析】根據(jù)“斐波那契數(shù)列”的遞推關(guān)系可得結(jié)果.【詳解】依題意有：，所以：，故答案為：2025.2．（2024·貴州遵義·模擬預(yù)測(cè)）（多選）數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…稱為斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割該數(shù)列，從第三項(xiàng)開(kāi)始，各項(xiàng)等于其前相鄰兩項(xiàng)之和，即（），則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．B．C．D．【答案】ABD【分析】根據(jù)遞推公式進(jìn)行驗(yàn)證．【詳解】由已知，A正確；，B正確；，C錯(cuò)；，D正確，故選：ABD．3．（23-24高三上·河北廊坊·期末）意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖數(shù)量為例，引入數(shù)列：1，1，2，3，5，8，該數(shù)列從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和，即，故此數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，又稱為“兔子數(shù)列”，其通項(xiàng)公式為，設(shè)是不等式的正整數(shù)解，則的最小值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【分析】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算將變形化簡(jiǎn)得到，結(jié)合的表達(dá)式可得，結(jié)合，即可求出答案.【詳解】因?yàn)?，所以，即故，故，所以，由斐波那契?shù)列可知，則，所以的最小值為9，故選：D.1．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）我們把由0和1組成的數(shù)列稱為數(shù)列，數(shù)列在計(jì)算機(jī)科學(xué)和信息技術(shù)領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用，把斐波那契數(shù)列（，）中的奇數(shù)換成0，偶數(shù)換成1可得到數(shù)列an，若數(shù)列an的前項(xiàng)和為，且，則的值可能是（

）A．100 B．201 C．302 D．399【答案】C【分析】根據(jù)題意求出an【詳解】因?yàn)?，，所以，所以?shù)列an，則，所以，，，.故選：C.2．（24-25高二上·山東青島·階段練習(xí)）在數(shù)學(xué)上，斐波納契數(shù)列定義為：，，，斐波納契數(shù)列有種看起來(lái)很神奇的巧合，如根據(jù)可得，所以，類比這一方法，可得（

）A．714 B．1870 C．4895 D．4896【答案】C【分析】根據(jù)題意，分析可得，進(jìn)而變形可得，據(jù)此可得，計(jì)算可得答案.【詳解】根據(jù)題意，數(shù)列滿足，即，兩邊同乘以，可得，則.故選：C.3．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）（多選）意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，21，….該數(shù)列的特點(diǎn)如下：前兩個(gè)數(shù)均為1，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和.人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，若用表示斐波那契數(shù)列的第項(xiàng)，則數(shù)列滿足：，.則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．C．D．【答案】BCD【分析】對(duì)于A，根據(jù)題意求出斐波那契數(shù)列的前10項(xiàng)進(jìn)行判斷，對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，，，三式相加判斷，對(duì)于C，根據(jù)，對(duì)依次取1，2，……，2023，得到2023個(gè)式子相加進(jìn)行判斷，對(duì)于D，由，得，對(duì)依次取1，2，……，2022，然后相加進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)于A，由題意可知斐波那契數(shù)列的前10項(xiàng)為1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，所以，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，，，所以三式相加得，所以，所以B正確，對(duì)于C，因?yàn)閿?shù)列滿足：，，所以，，，……，，，，以上2023個(gè)等式相加得,因?yàn)?，所以，所以C正確，對(duì)于D，因?yàn)椋?，所以?,,……,,所以，所以D正確，故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查斐波那契數(shù)列的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解斐波那契數(shù)列中項(xiàng)之間的關(guān)系，充分利用分析判斷，考查推理能力和理解能力，屬于較難題.考點(diǎn)二、差數(shù)列及階差數(shù)列1．（23-24高二上·云南昆明·期末）數(shù)學(xué)家楊輝在其專著《詳解九章算術(shù)法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的高階等差數(shù)列．其中二階等差數(shù)列是一個(gè)常見(jiàn)的高階等差數(shù)列，如數(shù)列2，4，7，11，16從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差組成的新數(shù)列2，3，4，5是等差數(shù)列，則稱數(shù)列2，4，7，11，16為二階等差數(shù)列．現(xiàn)有二階等差數(shù)列，其前六項(xiàng)分別為1，3，6，10，15，21，則的最小值為．【答案】【分析】先得出遞推公式，并用疊加法求出通項(xiàng)公式，再用基本不等式求最小值.【詳解】數(shù)列的前六項(xiàng)分別為1，3，6，10，15，21，依題知，，，，，疊加可得：，整理得，當(dāng)，，滿足，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，時(shí)等號(hào)成立，又，所以等號(hào)取不到，所以最小值在時(shí)取得，當(dāng)時(shí)，，所以最小值為.故答案為：2．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）定義：滿足為常數(shù)，）的數(shù)列稱為二階等比數(shù)列，為二階公比.已知二階等比數(shù)列的二階公比為，則使得成立的最小正整數(shù)為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)列新定義可得，利用累乘法求得的表達(dá)式，解數(shù)列不等式，即可求得答案.【詳解】由題意知二階等比數(shù)列的二階公比為，則，故，將以上各式累乘得：，故，令，由于，故，即，又的值隨n的增大而增大，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故n的最小值為8，故選：B3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）給定數(shù)列，稱為的差數(shù)列（或一階差數(shù)列），稱數(shù)列的差數(shù)列為的二階差數(shù)列……(1)求的二階差數(shù)列；(2)用含的式子表示的階差數(shù)列，并求其前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)差數(shù)列的定義，依次求出數(shù)列的一階差數(shù)列和二階差數(shù)列即得；（2）根據(jù)（1）的規(guī)律，猜想的階差數(shù)列為，接著運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明；再根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解即得.【詳解】（1）由差數(shù)列的定義，數(shù)列的一階差數(shù)列為數(shù)列的二階差數(shù)列為的一階差數(shù)列，即故數(shù)列的二階差數(shù)列為．（2）通過(guò)找規(guī)律得，的階差數(shù)列為，下面運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明：①當(dāng)時(shí)，顯然成立；時(shí)，由（1）得結(jié)論也成立．②假設(shè)該結(jié)論對(duì)時(shí)成立，嘗試證明其對(duì)時(shí)也成立．由差數(shù)列的定義，的階差數(shù)列即的階差數(shù)列的一階差數(shù)列，即故該結(jié)論對(duì)時(shí)也成立，證畢．故的階差數(shù)列為．該數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故其前項(xiàng)和為故的階差數(shù)列為，其前項(xiàng)和為.1．（2024·四川自貢·一模）南末數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列.對(duì)這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前項(xiàng)分別為，則該數(shù)列的第項(xiàng)（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)“高階等差數(shù)列”的定義求得第項(xiàng).【詳解】，設(shè)，，設(shè)，所以，所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，即，所以.故選：D2．（2024·四川南充·三模）對(duì)于數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分，其中，規(guī)定為數(shù)列的k階差分，其中．若，則（

）A．7 B．9 C．11 D．13【答案】D【分析】由數(shù)列的新定義計(jì)算即可.【詳解】由可得，，由可得，所以，故選：D.3．（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于數(shù)列，稱為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，其中.對(duì)正整數(shù)，稱為數(shù)列的階差分?jǐn)?shù)列，其中已知數(shù)列的首項(xiàng)，且為的二階差分?jǐn)?shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，對(duì)，是否都有成立？并說(shuō)明理由；（其中為組合數(shù)）(3)對(duì)于（2）中的數(shù)列，令，其中.證明：.【答案】(1)；(2)成立，理由見(jiàn)解析；(3)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）由二階差分?jǐn)?shù)列的定義可得，將，可得，構(gòu)造等差數(shù)列即可求解；（2）由一階差分?jǐn)?shù)列的定義可得，要證成立，即證，根據(jù)二項(xiàng)式定理即可證明；（3）作差可得，故，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式即可證明.【詳解】（1）因?yàn)闉閍n的二階差分?jǐn)?shù)列，所以，將，代入得，整理得，即，所以.故數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，因此，，即.（2）因?yàn)闉閿?shù)列bn的一階差分?jǐn)?shù)列，所以，故成立，即為.①當(dāng)時(shí)，①式成立；當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，所以①成立，故?duì)都有成立.（3），因?yàn)?，所以，故，即，所?【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：涉及數(shù)列新定義問(wèn)題，關(guān)鍵是正確理解給出的定義，由給定的數(shù)列結(jié)合新定義探求數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，并進(jìn)行合理的計(jì)算、分析、推理等方法綜合解決.考點(diǎn)三、平方數(shù)列與類平方數(shù)列1．（23-24高三上·四川綿陽(yáng)·階段練習(xí)）若數(shù)列滿足則稱為“平方遞推數(shù)列”.已知數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”，且則（

）A．是等差數(shù)列 B．是等差數(shù)列C．是“平方遞推數(shù)列” D．是“平方遞推數(shù)列”【答案】C【分析】對(duì)于AB，由題意得，然后根據(jù)等差數(shù)列的定義分析判斷即可，對(duì)于CD，由平方遞推數(shù)列的定義分析判斷.【詳解】對(duì)于AB，因?yàn)槭恰捌椒竭f推數(shù)列”，所以.又，所以則，，所以，不是等差數(shù)列，所以AB不正確.對(duì)于C，因?yàn)?，所以是“平方遞推數(shù)列”，所以C正確.對(duì)于D，因?yàn)?，所以不是“平方遞推數(shù)列”，D不正確.故選：C1．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知數(shù)列an滿足：①；②，，，，則稱數(shù)列an為“類平方數(shù)列”，若數(shù)列bn滿足：①數(shù)列bn不是“類平方數(shù)列”；②將數(shù)列bn中的項(xiàng)調(diào)整一定的順序后可使得新數(shù)列成為“類平方數(shù)列”，則稱數(shù)列bn為“變換類平方數(shù)列”，則（

A．已知數(shù)列，則數(shù)列an為“類平方數(shù)列”B．已知數(shù)列an為：3，5，6，11，則數(shù)列aC．已知數(shù)列an的前頂和為，則數(shù)列an為“類平方數(shù)列”D．已知，.則數(shù)列an為“變換類平方數(shù)列”【答案】CD【分析】利用“類平方數(shù)列”的定義判斷AC；利用“變換類平方數(shù)列”的定義判斷BD.【詳解】對(duì)于A，，，當(dāng)時(shí)，不是正整數(shù)的平方，數(shù)列an不為“類平方數(shù)列”，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，當(dāng)時(shí)，，即無(wú)論為數(shù)列的第幾項(xiàng)，都不可能為正整數(shù)的平方，數(shù)列an不為“變換類平方數(shù)列”，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，而滿足上式，則，當(dāng)時(shí)，，數(shù)列an對(duì)于D，數(shù)列的4項(xiàng)依次為，將此數(shù)列調(diào)整為時(shí)，有，因此數(shù)列an為“變換類平方數(shù)列”，D正確.故選：CD考點(diǎn)四、數(shù)列的單調(diào)性1．（2024·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）我們規(guī)定：若數(shù)列為遞增數(shù)列且也為遞增數(shù)列，則為“數(shù)列”.(1)已知：，，，數(shù)列中其中只有一個(gè)數(shù)列，它是：；請(qǐng)從另外兩個(gè)數(shù)列中任選一個(gè)證明其不是數(shù)列.(2)已知數(shù)列an滿足：，為an的前項(xiàng)和，試求an的通項(xiàng)并判斷數(shù)列是否為數(shù)列并證之.(3)已知數(shù)列an、bn均為數(shù)列，且，，求證：數(shù)列也為數(shù)列.【答案】(1)，證明見(jiàn)解析(2)，不是數(shù)列，證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用冪函數(shù)的單調(diào)性可得與都是遞增數(shù)列；利用特殊項(xiàng)的大小比較可得an與bn均不是數(shù)列；（2）由已知等式變形裂項(xiàng)可得，再由累加法可求通項(xiàng)，進(jìn)而可得，利用等差數(shù)列求和公式可得，由可證明不是數(shù)列；（3）由“數(shù)列”的定義可得，，結(jié)合不等式的性質(zhì)與放縮法得，由此分別證明與即可得證.【詳解】（1）空格處填.原因如下：因?yàn)?，則，由冪函數(shù)與在上都是增函數(shù)，由，故數(shù)列與都是遞增數(shù)列，則為“數(shù)列”.若選an，下面證明an不是證明：由，則.故，所以不是遞增數(shù)列.故an不是數(shù)列；若選bn，下面證明bn不是證明：由，則.所以不是遞增數(shù)列.故bn不是數(shù)列.（2）由可得，所以設(shè)，則，，...，，累加得，又，故，所以.由，故an是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.所以，則，.即數(shù)列是遞增數(shù)列，但不是遞增數(shù)列，故不是數(shù)列.（3）數(shù)列an、bn均為數(shù)列，且，，由題意可得，且，，由不等式的性質(zhì)可得，，又，則，所以為遞增數(shù)列，且有，則，故也是遞增數(shù)列，故為數(shù)列.1．（24-25高三上·河南·開(kāi)學(xué)考試）若數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或幾項(xiàng)之間的關(guān)系由函數(shù)確定，則稱為的遞歸函數(shù)．設(shè)的遞歸函數(shù)為．(1)若，（），證明：為遞減數(shù)列；(2)若，且，的前項(xiàng)和記為．①求；②我們稱為取整函數(shù)，亦稱高斯函數(shù)，它表示不超過(guò)的最大整數(shù)，例如，．若，求．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)①；②【分析】（1）根據(jù)定義得出，再根據(jù)即可證明；（2）根據(jù)等比數(shù)列的定義及等比數(shù)列的求和公式即可求解①；結(jié)合①得出，當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，由放縮得出，結(jié)合得出進(jìn)而求解．【詳解】（1）證明：若，顯然．又，所以，，，，所以，．因?yàn)?，，所以，，所以，所以是遞減數(shù)列．（2）①由題意得，又，所以，所以，所以是以為首項(xiàng)，6為公比的等比數(shù)列，則．②由①得，所以．當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，．所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，又，所以，所以，，所以，所以．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：求解時(shí)，關(guān)鍵是求出的取值范圍，根據(jù)不等式放縮得出是解題關(guān)鍵．2．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）已知是各項(xiàng)均為正整數(shù)的無(wú)窮遞增數(shù)列，對(duì)于，定義集合，設(shè)為集合中的元素個(gè)數(shù)，特別規(guī)定：若時(shí)，．(1)若，寫出，及的值；(2)若數(shù)列是等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)設(shè)集合，，求證：且．【答案】(1)，，；(2)；(3)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)數(shù)列bn的定義，分別求出，，；（2）假設(shè)，，均與數(shù)列bn是等差數(shù)列矛盾，進(jìn)而得到數(shù)列an是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，進(jìn)而得到；（3）根據(jù)定義得到數(shù)列是遞增數(shù)列；用反證法證明，假設(shè)存在正整數(shù)，若，則推出，與假設(shè)矛盾，所以；，所以要證，只需證，且，能推出，所以，所以，所以結(jié)論成立.【詳解】（1）因?yàn)椋?，，由得，，所以，由得，，所以；?）由題可知，所以，即，若，則，，所以，，與bn是等差數(shù)列矛盾，所以，設(shè)，因?yàn)閍n是各項(xiàng)均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，所以，假設(shè)存在使得，設(shè)，由得，由得，，與bn是等差數(shù)列矛盾，所以對(duì)任意都有，所以數(shù)列an是等差數(shù)列，；（3）因?yàn)閷?duì)于，，所以，所以，即數(shù)列是遞增數(shù)列，先證明，假設(shè)，設(shè)正整數(shù)，由于，故存在正整數(shù)使得，所以，因?yàn)閍n是各項(xiàng)均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，所以，所以，，所以，，又因?yàn)閿?shù)列是遞增數(shù)列，所以，與假設(shè)矛盾，所以；再證明，由題可知，所以要證，只需證，設(shè)且，因?yàn)閿?shù)列是各項(xiàng)均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，所以存在正整數(shù)，使得，令，若則，即，所以，所以，所以，若，則，所以所以，因?yàn)?，所以，所以，所以；綜上所述，且.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：新定義問(wèn)題解題策略首先，明確新定義的特點(diǎn)；其次，根據(jù)定義中的步驟對(duì)具體題目進(jìn)行運(yùn)算；最后得到結(jié)論.考點(diǎn)五、數(shù)列的凹凸性1．（2024·安徽池州·模擬預(yù)測(cè)）定義：若對(duì)恒成立，則稱數(shù)列為“上凸數(shù)列”．(1)若，判斷是否為“上凸數(shù)列”，如果是，給出證明；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)若為“上凸數(shù)列”，則當(dāng)時(shí)，．（?。┤魯?shù)列為的前項(xiàng)和，證明：；（ⅱ）對(duì)于任意正整數(shù)序列（為常數(shù)且），若恒成立，求的最小值．【答案】(1)是，證明見(jiàn)解析(2)（?。┳C明見(jiàn)解析；（ⅱ）【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性結(jié)合“上凸數(shù)列”定義判定即可；（2）（ⅰ）利用“上凸數(shù)列”定義及倒序相加法證明即可；令，利用條件及數(shù)列求和適當(dāng)放縮計(jì)算即可.【詳解】（1）是“上凸數(shù)列”，理由如下：因?yàn)?，令，則．當(dāng)時(shí)，，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，所以，所以是“上凸數(shù)列”．（2）（?。┳C明：因?yàn)槭恰吧贤箶?shù)列”，由題意可得對(duì)任意，，所以，所以．（ⅱ）解：令，由（1）可得當(dāng)時(shí)，是“上凸數(shù)列”，由題意可知，當(dāng)時(shí)，．因?yàn)?，即．所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以．綜上所述，的最小值為．1．（24-25高三上·安徽亳州·開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列，對(duì)于任意的，都有，則稱數(shù)列為“凹數(shù)列”．(1)判斷數(shù)列是否為“凹數(shù)列”，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)已知等差數(shù)列，首項(xiàng)為4，公差為，且為“凹數(shù)列”，求的取值范圍；(3)證明：數(shù)列為“凹數(shù)列”的充要條件是“對(duì)于任意的，當(dāng)時(shí)，有”．【答案】(1)數(shù)列是“凹數(shù)列”，理由見(jiàn)解析(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）計(jì)算出，故滿足“凹數(shù)列”的定義；（2）利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式得到，由題意得對(duì)任意恒成立，化簡(jiǎn)得到，得到答案；（3）先證明出必要性，放縮得到，故，再證明充分性，取，則有，即，所以為“凹數(shù)列”.【詳解】（1）因?yàn)?，則，又，故，即，數(shù)列是“凹數(shù)列”．（2）因?yàn)榈炔顢?shù)列bn的公差為，所以，因?yàn)閿?shù)列是凹數(shù)列，所以對(duì)任意恒成立，即所以，即，因?yàn)?，解得．所以的取值范圍為．?）先證明必要性：因?yàn)闉椤鞍紨?shù)列”所以對(duì)任意的，都有，即，所以對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，有，所以，又，所以．必要性成立，再證明充分性：對(duì)于任意的，當(dāng)時(shí)，有，取，則有，即，所以為“凹數(shù)列”.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列新定義問(wèn)題，主要針對(duì)于等差，等比，遞推公式和求和公式等綜合運(yùn)用，對(duì)常見(jiàn)的求通項(xiàng)公式和求和公式要掌握牢固，同時(shí)涉及數(shù)列與函數(shù)，數(shù)列與解析幾何，數(shù)列與二項(xiàng)式定理，數(shù)列與排列組合等知識(shí)的綜合，要將“新”性質(zhì)有機(jī)地應(yīng)用到“舊”性質(zhì)上，創(chuàng)造性的解決問(wèn)題.2．（24-25高二上·上?！るA段練習(xí)）已知數(shù)列，對(duì)于任意的正整數(shù)，都有則稱數(shù)列是嚴(yán)格凹數(shù)列．(1)若數(shù)列，的通項(xiàng)公式分別為，判斷數(shù)列，是否為嚴(yán)格凹數(shù)列，無(wú)需說(shuō)明理由；(2)證明：“對(duì)于任意正整數(shù)的，當(dāng)時(shí)，有”是“數(shù)列為嚴(yán)格凹數(shù)列”的充要條件；(3)函數(shù)是定義在正實(shí)數(shù)集上的嚴(yán)格增函數(shù)，且數(shù)列是嚴(yán)格凹數(shù)列，嚴(yán)格增數(shù)列（正整數(shù)為常數(shù)且）各項(xiàng)均為互不相等的正整數(shù)，若恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．【答案】(1)不是嚴(yán)格凹數(shù)列；是嚴(yán)格凹數(shù)列.(2)證明見(jiàn)解析(3)答案見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)定義條件分析驗(yàn)證即可；（2）充分性，賦特值令可證；必要性，結(jié)合定義轉(zhuǎn)化為，再將拆項(xiàng)為，然后利用不等式放縮可得，同理可證，二者變形結(jié)合不等式傳遞性可得；（3）先舉特例探求條件，猜想結(jié)論并證明.結(jié)合是否為1，對(duì)給定常數(shù)，分與兩大類討論.特殊情況當(dāng)時(shí)，利用定義分析證明即可.一般情況下，利用（2）結(jié)論結(jié)合可證明，利用該不等式，將“首尾兩項(xiàng)和”逐次放縮可得恒成立.【詳解】（1）an不是嚴(yán)格凹數(shù)列；b已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，所以，，則，所以，故數(shù)列不是嚴(yán)格凹數(shù)列．由數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則，，，所以，故數(shù)列是嚴(yán)格凹數(shù)列．（2）證明充分性：若對(duì)于任意正整數(shù)的，當(dāng)時(shí)，有.對(duì)于任意的，令，則滿足條件，，則有,即,所以數(shù)列為嚴(yán)格凹數(shù)列.證明必要性：若數(shù)列為嚴(yán)格凹數(shù)列，所以對(duì)任意的，都有，即.所以對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，則有，所以有，由，則；又有，由，則；又因?yàn)?，所?故“對(duì)于任意正整數(shù)的，當(dāng)時(shí)，有”是“數(shù)列為嚴(yán)格凹數(shù)列”的充要條件.（3）特例1：令，則函數(shù)y=fx所以，則，故數(shù)列是嚴(yán)格凹數(shù)列，且，令，且，則數(shù)列為嚴(yán)格增數(shù)列，給定常數(shù)時(shí)，要使不等式恒成立，則，即恒成立，即，解得.特例2：令，則函數(shù)y=fx所以，則，故數(shù)列是嚴(yán)格凹數(shù)列，且，嚴(yán)格增數(shù)列，給定常數(shù)時(shí)，要使不等式恒成立，則，即恒成立，即，解得或.猜想1：給定常數(shù)時(shí)，對(duì)任意滿足題意的，數(shù)列，數(shù)列，要使不等式恒成立，則.特例3：給定常數(shù)，時(shí)，對(duì)嚴(yán)格增數(shù)列，要使不等式恒成立，即使恒成立，注意到：對(duì)于函數(shù)，，嚴(yán)格增數(shù)列，為定義在正實(shí)數(shù)集上的嚴(yán)格增函數(shù)，滿足，且數(shù)列滿足，則，，當(dāng)時(shí)，恒成立.考慮到滿足題意的函數(shù)若不斷逼近函數(shù)，則的值也不斷接近于的值，給出猜想2.猜想2：給定常數(shù)，時(shí)，對(duì)任意滿足題意的，數(shù)列，數(shù)列，要使不等式恒成立，則.證明：由題意數(shù)列是嚴(yán)格凹數(shù)列，則由（2）所證結(jié)論可得，對(duì)于任意，有，即，故對(duì)任意的，，由，所以，則；故對(duì)任意的，，又，所以，則；，依此類推可得，當(dāng)，且，時(shí)，則.當(dāng)時(shí)，令，故，又，則.由題意，數(shù)列為嚴(yán)格增數(shù)列（正整數(shù)為常數(shù)且），且各項(xiàng)均為互不相等的正整數(shù)，所以，且，則，，又，①若給定常數(shù)，對(duì)任意滿足題意的，數(shù)列，數(shù)列，則，要使，即恒成立.（i）若且時(shí)，任意滿足題意的，數(shù)列，數(shù)列，則即當(dāng)時(shí)，，故不成立.當(dāng)時(shí)，由，由單調(diào)性可得，恒成立.（ii）若且時(shí)，，則，而，又是定義在正實(shí)數(shù)集上的嚴(yán)格增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則，則.則當(dāng)時(shí)，恒成立.由（i）（ii）可知，給定常數(shù)時(shí)，任意滿足題意的，數(shù)列，數(shù)列，要使恒成立，則.②若給定常數(shù)，時(shí)，任意滿足題意的，數(shù)列，數(shù)列，由，，.又是定義在正實(shí)數(shù)集上的嚴(yán)格增函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，，則恒成立.所以若給定常數(shù)，時(shí)，任意滿足題意的，數(shù)列，數(shù)列，要使不等式恒成立，則.綜上所述，給定常數(shù)，當(dāng)時(shí)，要使恒成立，則；當(dāng)時(shí)，要使恒成立，則.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決此題的關(guān)鍵點(diǎn)在于理解“嚴(yán)格凹數(shù)列”的定義，挖掘定義條件的變式結(jié)論并應(yīng)用：如（2）問(wèn)中拆項(xiàng)法中充分應(yīng)用了結(jié)論再進(jìn)行放縮處理從而得證；再如（3）問(wèn)中探究應(yīng)用結(jié)論再逐次放縮從而得到的取值范圍.考點(diǎn)六、數(shù)列的周期性1．（2024·上海青浦·二模）若無(wú)窮數(shù)列滿足：存在正整數(shù)，使得對(duì)一切正整數(shù)成立，則稱是周期為的周期數(shù)列．(1)若（其中正整數(shù)m為常數(shù)，），判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列，并說(shuō)明理由；(2)若，判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列，并說(shuō)明理由；(3)設(shè)是無(wú)窮數(shù)列，已知．求證：“存在，使得是周期數(shù)列”的充要條件是“是周期數(shù)列”．【答案】(1)是周期為的周期數(shù)列，理由見(jiàn)解析(2)答案見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題設(shè)定義，利用的周期，即可得出結(jié)果；（2）分與兩種情況討論，當(dāng)，易得到是周期為1的周期數(shù)列，當(dāng)時(shí)，構(gòu)造，則，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，可得出是嚴(yán)格增（或減）數(shù)列，從而可得出結(jié)果；（3）根據(jù)條件，利用充要條件的證明方法，即可證明結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，所以是周期為的周期?shù)列．（2）①當(dāng)時(shí)，，，所以當(dāng)時(shí)，是周期為1的周期數(shù)列，②當(dāng)時(shí)，記，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，所以在上嚴(yán)格增，若，則，即，進(jìn)而可得，即是嚴(yán)格增數(shù)列，不是周期數(shù)列；同理，若，可得是嚴(yán)格減數(shù)列，不是周期數(shù)列．綜上，當(dāng)時(shí)，是周期為1的周期數(shù)列；當(dāng)時(shí)，不是周期數(shù)列．（3）必要性：若存在，使得是周期數(shù)列，設(shè)的周期為，則，所以是周期為的周期數(shù)列，充分性：若是周期數(shù)列，設(shè)它的周期為，記，則，是關(guān)于x的連續(xù)函數(shù)；，是關(guān)于x的連續(xù)函數(shù)；…，是關(guān)于x的連續(xù)函數(shù)；，令，則是連續(xù)函數(shù)，且，，所以存在零點(diǎn)，于是，取，則，從而，，……一般地，對(duì)任何正整數(shù)n都成立，即是周期為T的周期數(shù)列．（說(shuō)明：關(guān)于函數(shù)連續(xù)性的說(shuō)明不作要求）【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)晴：對(duì)于數(shù)列的新定義問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確理解定義，并結(jié)合定義進(jìn)行判斷或轉(zhuǎn)化條件.2．（2024·廣東珠海·一模）對(duì)于數(shù)列an，若存在常數(shù)，，使得對(duì)任意的正整數(shù)，恒有成立，則稱數(shù)列an是從第項(xiàng)起的周期為的周期數(shù)列．當(dāng)時(shí)，稱數(shù)列an為純周期數(shù)列；當(dāng)時(shí)，稱數(shù)列an為混周期數(shù)列．記x為不超過(guò)的最大整數(shù)，設(shè)各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列an滿足：.(1)若對(duì)任意正整數(shù)都有，請(qǐng)寫出三個(gè)滿足條件的的值；(2)若數(shù)列an是純周期數(shù)列，請(qǐng)寫出滿足條件的的表達(dá)式，并說(shuō)明理由；(3)證明：不論為何值，總存在使得．【答案】(1),,(2)，理由見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）分別取，，，，，根據(jù)已知條件逐一驗(yàn)證即可求解；（2）分別取，，，，，，，根據(jù)已知條件逐一驗(yàn)證得出猜想，并驗(yàn)證猜想；（3）根據(jù)（2）的分析，時(shí)，滿足題意；再證明，當(dāng)時(shí)，也存在使得即可.【詳解】（1）因?yàn)閷?duì)任意整數(shù)都有，所以取，則，不符合題意；取，，，此時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列；取，，，不符合題意；取，，，，此時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)公式為；取，，，，此時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)公式為；所以滿足條件的三個(gè)的值為,,；（2）取，，，此時(shí)數(shù)列為常數(shù)列，為純周期數(shù)列；取，則，，此時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，為混周期數(shù)列；取，，，此時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列，為純周期數(shù)列；取，，，，此時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，為混周期數(shù)列；取，，，，此時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，為混周期數(shù)列；取，，，，此時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，為混周期數(shù)列；取，，，此時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列，為純周期數(shù)列；根據(jù)上述計(jì)算得出猜想，當(dāng)時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列也是純周期數(shù)列，下面進(jìn)行驗(yàn)證：當(dāng)時(shí)，，，，此時(shí)數(shù)列為常數(shù)列，也是純周期數(shù)列；（3）首先，根據(jù)（2）的分析，發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列，也是純周期數(shù)列，滿足題意；接下來(lái)證明，當(dāng)時(shí)，也存在使得；因?yàn)?，所以只需要證明數(shù)列中始終存在值為1的項(xiàng)即可，當(dāng)時(shí)，顯然存在值為1的項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，有或，若為偶數(shù)，則，若為奇數(shù)時(shí)，則，，所以，所以無(wú)論為奇數(shù)還是偶數(shù)，均有；特別的，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，且，類似的，可得：無(wú)論為奇數(shù)還是偶數(shù)，均有；特別的，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，且；所以無(wú)論無(wú)論為奇數(shù)還是偶數(shù)，均有；若，則恒為奇數(shù)且，于是，假設(shè)數(shù)列的且，所以，恒為奇數(shù)且，由于中僅有有限個(gè)正整數(shù)，故數(shù)列從某項(xiàng)起恒為常數(shù)；設(shè)為第一個(gè)值為的項(xiàng)，而，故，這與“是第一個(gè)值為的項(xiàng)”相矛盾，所以，數(shù)列除第一項(xiàng)外，還存在不屬于區(qū)間的項(xiàng)，假設(shè)這些不屬于區(qū)間的項(xiàng)全部屬于區(qū)間，那么也會(huì)出現(xiàn)類似的矛盾，所以，數(shù)列除第一項(xiàng)外，存在不屬于區(qū)間和的項(xiàng)，以此類推，數(shù)列一定存在小于值為的正整數(shù)的項(xiàng)，即存在值為的項(xiàng)，得證.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：考查分段定義周期數(shù)列的相關(guān)知識(shí)，方法是給賦值，逐一根據(jù)已知題意進(jìn)行驗(yàn)證.3．（2024·湖南長(zhǎng)沙·一模）對(duì)于數(shù)列，如果存在正整數(shù)，使得對(duì)任意，都有，那么數(shù)列就叫做周期數(shù)列，叫做這個(gè)數(shù)列的周期.若周期數(shù)列滿足：存在正整數(shù)，對(duì)每一個(gè)，都有，我們稱數(shù)列和為“同根數(shù)列”.(1)判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列.如果是，寫出該數(shù)列的周期，如果不是，說(shuō)明理由；(2)若和是“同根數(shù)列”，且周期的最小值分別是和，求的最大值.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)周期數(shù)列的定義進(jìn)行判斷即可；（2）根據(jù)同根數(shù)列的定義分類討論進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）均是周期數(shù)列，理由如下：因?yàn)?，所以?shù)列an因?yàn)?，所?所以數(shù)列bn（2）當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，首先證明不存在數(shù)列滿足條件.假設(shè)，即對(duì)于，都有.因?yàn)?，所以，即，?又時(shí)，，所以，與的最小值是矛盾.其次證明存在數(shù)列滿足條件.取及，對(duì)于，都有.當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，首先證明時(shí)不存在數(shù)列滿足條件.假設(shè)，即對(duì)于，都有.因?yàn)?，所以，即，?又時(shí)，，所以，與的最小值是矛盾.其次證明時(shí)存在數(shù)列滿足條件.取及對(duì)于，都有.綜上，當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，的最大值為；當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，的最大值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是理解同根數(shù)列的定義，運(yùn)用分類討論思想進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.1．（24-25高三上·黑龍江牡丹江·階段練習(xí)）對(duì)于數(shù)列，若存在常數(shù)，，使得對(duì)任意的正整數(shù)，恒有成立，則稱數(shù)列是從第項(xiàng)起的周期為的周期數(shù)列．當(dāng)時(shí)，稱數(shù)列為純周期數(shù)列；當(dāng)時(shí)，稱數(shù)列為混周期數(shù)列．記為不超過(guò)的最大整數(shù)，設(shè)各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列滿足：.(1)若對(duì)任意正整數(shù)都有，請(qǐng)寫出三個(gè)滿足條件的的值；(2)若數(shù)列是常數(shù)列，請(qǐng)寫出滿足條件的的表達(dá)式，并說(shuō)明理由；(3)證明：不論為何值，總存在使得．【答案】(1),,；(2)，理由見(jiàn)解析；(3)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）分別取，，，，，根據(jù)已知條件逐一驗(yàn)證即可求解.（2）分別取，，，，，，，根據(jù)已知條件逐一驗(yàn)證得出猜想，并驗(yàn)證猜想.（3）根據(jù)（2）的分析，時(shí)，滿足題意；再證明，當(dāng)時(shí)，也存在使得即可.【詳解】（1）對(duì)任意整數(shù)都有，當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，，數(shù)列為常數(shù)列；當(dāng)時(shí)，，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，，，數(shù)列的通項(xiàng)公式為；取時(shí)，，，，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，所以滿足條件的三個(gè)的值為,,；（2）當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)數(shù)列為常數(shù)列；當(dāng)時(shí)，則，，此時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，不為常數(shù)列；當(dāng)時(shí)，由（1）知，數(shù)列為常數(shù)列；當(dāng)時(shí)，，，，此時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，不為常數(shù)列；當(dāng)時(shí)，由（1）知，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，不為常數(shù)列；當(dāng)時(shí)，由（1）知，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，不為常數(shù)列；當(dāng)時(shí)，，，數(shù)列為常數(shù)列，根據(jù)上述計(jì)算得出猜想，當(dāng)時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列，證明如下：當(dāng)時(shí)，，，，所以當(dāng)時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列.（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列，則存在使得；當(dāng)時(shí)，也存在使得，而，則只需要證明數(shù)列中始終存在值為1的項(xiàng)即可，當(dāng)時(shí)，則，即數(shù)列存在值為1的項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，有或，若為偶數(shù)，則，若為奇數(shù)時(shí)，則，，則，于是，即無(wú)論為奇數(shù)還是偶數(shù)，均有，特別地，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，且，類似地，無(wú)論為奇數(shù)還是偶數(shù)，均有；特別地，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，且，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，因此無(wú)論為奇數(shù)還是偶數(shù)，均有，若，則恒為奇數(shù)且，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，于是假設(shè)數(shù)列的且，則恒為奇數(shù)且，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，由于中僅有有限個(gè)正整數(shù)，則數(shù)列從某項(xiàng)起恒為常數(shù)，設(shè)為第一個(gè)值為的項(xiàng)，而，于是，有，這與“是第一個(gè)值為的項(xiàng)”相矛盾；因此數(shù)列除第一項(xiàng)外，還存在不屬于區(qū)間的項(xiàng)，假設(shè)這些不屬于區(qū)間的項(xiàng)全部屬于區(qū)間，那么也會(huì)出現(xiàn)類似的矛盾，則數(shù)列除第一項(xiàng)外，存在不屬于區(qū)間和的項(xiàng)，以此類推，數(shù)列一定存在小于值為的正整數(shù)的項(xiàng)，即存在值為的項(xiàng)，所以不論為何值，總存在使得.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：考查分段定義周期數(shù)列的相關(guān)知識(shí)，方法是給賦值，逐一根據(jù)已知題意進(jìn)行驗(yàn)證.2．（23-24高三上·北京豐臺(tái)·期末）對(duì)于數(shù)列，如果存在正整數(shù)，使得對(duì)任意，都有，那么數(shù)列就叫做周期數(shù)列，叫做這個(gè)數(shù)列的周期．若周期數(shù)列，滿足：存在正整數(shù)，對(duì)每一個(gè)，都有，我們稱數(shù)列和為“同根數(shù)列”．(1)判斷下列數(shù)列是否為周期數(shù)列．如果是，寫出該數(shù)列的周期，如果不是，說(shuō)明理由；①；②(2)若和是“同根數(shù)列”，且周期的最小值分別是3和5，求證：；(3)若和是“同根數(shù)列”，且周期的最小值分別是和，求的最大值．【答案】(1)、均是周期數(shù)列，數(shù)列周期為1（或任意正整數(shù)），數(shù)列周期為6(2)證明見(jiàn)解析(3)答案見(jiàn)解析【分析】（1）由周期數(shù)列的定義求解即可；（2）由“同根數(shù)列”的定義求解即可；（3）是奇數(shù)時(shí)，首先證明不存在數(shù)列滿足條件，其次證明存在數(shù)列滿足條件.當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，首先證明時(shí)不存在數(shù)列滿足條件,其次證明時(shí)存在數(shù)列滿足條件．【詳解】（1）、均是周期數(shù)列，理由如下：因?yàn)?，所以?shù)列是周期數(shù)列，其周期為1（或任意正整數(shù)）．因?yàn)?，所以．所以?shù)列是周期數(shù)列，其周期為6（或6的正整數(shù)倍）．（2）假設(shè)不成立，則有，即對(duì)于，都有．因?yàn)?，，所以．又因?yàn)?，，所以．所以，所以，與的最小值是3矛盾．所以．（3）當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，首先證明不存在數(shù)列滿足條件．假設(shè)，即對(duì)于，都有．因?yàn)?，所以，即，及．又時(shí)，，所以，與的最小值是矛盾．其次證明存在數(shù)列滿足條件．取及，對(duì)于，都有．當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，首先證明時(shí)不存在數(shù)列滿足條件．假設(shè)，即對(duì)于，都有．因?yàn)?，所以，即，及．又時(shí)，，所以，與的最小值是矛盾．其次證明時(shí)存在數(shù)列滿足條件．取及，對(duì)于，都有．綜上，當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，的最大值為；當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，的最大值為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題(3)的突破口是利用“同根數(shù)列”的定義分類討論，當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，首先證明不存在數(shù)列滿足條件，其次證明存在數(shù)列滿足條件.當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，首先證明時(shí)不存在數(shù)列滿足條件，其次證明時(shí)存在數(shù)列滿足條件．考點(diǎn)七、數(shù)列的新概念1．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）定義：已知數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和為.設(shè)與是常數(shù)，若對(duì)一切正整數(shù)，均有成立，則稱此數(shù)列為“”數(shù)列.若數(shù)列是“”數(shù)列，則數(shù)列的通項(xiàng)公式（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題可知，根據(jù)定義得，根據(jù)平方差公式化簡(jiǎn)得，求得，最后根據(jù)，即可求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是“”數(shù)列，則，所以，而，，，，，，，，.故選：B2．（23-24高三下·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）對(duì)于無(wú)窮數(shù)列，若對(duì)任意，且，存在，使得成立，則稱為“數(shù)列”.(1)若數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為，試判斷數(shù)列bn是否為“數(shù)列”，并說(shuō)明理由；(2)已知數(shù)列an①若an是“數(shù)列”，，且，求所有可能的取值；②若對(duì)任意，存在，使得成立，求證：數(shù)列an為“數(shù)列”.【答案】(1)是，理由見(jiàn)解析(2)①的可能值為.②證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意，推得，取，得到，即可求解；（2）若an是“數(shù)列”，且為等差數(shù)列，得到，進(jìn)而得到存在，使得，求得，得到的值，進(jìn)而求得的可能值；②設(shè)數(shù)列an公差為，得到，求得，雞兒推得，得到答案.【詳解】（1）解：數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為，對(duì)任意的，都有，取，則，所以bn是“數(shù)列”.（2）解：數(shù)列an①若an是“數(shù)列”，，且，則，對(duì)任意的，，由題意存在，使得，即，顯然，所以，即，.所以是8的正約數(shù)，即，時(shí)，；時(shí)；時(shí)；時(shí).綜上，的可能值為.②若對(duì)任意，存在，使得成立，所以存在，設(shè)數(shù)列an公差為，則，可得，對(duì)任意，則，取，可得，所以數(shù)列an是“數(shù)列”.3．（2024·遼寧·三模）若實(shí)數(shù)列滿足，有，稱數(shù)列為“數(shù)列”.(1)判斷是否為“數(shù)列”，并說(shuō)明理由；(2)若數(shù)列為“數(shù)列”，證明：對(duì)于任意正整數(shù)，且，都有(3)已知數(shù)列為“數(shù)列”，且.令，其中表示中的較大者.證明：，都有.【答案】(1)數(shù)列是“數(shù)列”，數(shù)列不是“數(shù)列”；(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)“數(shù)列”的定義判斷可得出結(jié)論；（2）由可得出，利用累加法結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可得，以及，再結(jié)合可證得結(jié)論成立；（3）首先當(dāng)或2024時(shí)的情況，再考慮時(shí)，結(jié)合（2）中結(jié)論考慮用累加法可證得結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)?，所以?shù)列是“數(shù)列”，因?yàn)椋詳?shù)列不是“數(shù)列”；（2）令，因?yàn)閿?shù)列為“數(shù)列”，所以從而，所以因?yàn)椋?，因?yàn)椋?（3）當(dāng)或2024時(shí)，，從而，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，由?2)問(wèn)的結(jié)論得，可推得，從而對(duì)于，由第(2)問(wèn)的結(jié)論得，從而也成立，從而對(duì)于，由第(2)問(wèn)的結(jié)論得，從而也成立，從而所以由條件可得，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查數(shù)列新定義的問(wèn)題，處理此類問(wèn)題時(shí)，通常根據(jù)題中的新定義，結(jié)合已知結(jié)論進(jìn)行推導(dǎo)、求解；本題中，根據(jù)“數(shù)列”的定義“”結(jié)合作差法、不等式的性質(zhì)進(jìn)行推理、證明不等式成立，并在推導(dǎo)時(shí)，充分利用已有的結(jié)論進(jìn)行推導(dǎo)，屬于難題.4．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）若無(wú)窮數(shù)列滿足：對(duì)于，其中為常數(shù)，則稱數(shù)列為數(shù)列．(1)若一個(gè)公比為的等比數(shù)列為“數(shù)列”，求的值；(2)若是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，在與之間依次插入數(shù)列中的項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列，求數(shù)列中前30項(xiàng)的和．(3)若一個(gè)“數(shù)列"滿足，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為．是否存在正整數(shù)，使不等式對(duì)一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)1622(3)存在，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，列出“數(shù)列”的式子，變形后得，與無(wú)關(guān)，即可求解；（2）由題意確定數(shù)列中前30項(xiàng)含有的前7項(xiàng)和數(shù)列的前23項(xiàng)，結(jié)合等差和等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可求解；（3）首先求解出，可得數(shù)列的前項(xiàng)和，并假設(shè)存在，通過(guò)驗(yàn)證求得，再利用放縮法，證明結(jié)論成立.【詳解】（1）數(shù)列是等比數(shù)列，則，，則，因?yàn)榕c無(wú)關(guān)，所以，即；（2）由題意可知，，而，所以，是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，而新數(shù)列中項(xiàng)（含）前共有項(xiàng)，令，結(jié)合，解得：，故數(shù)列中前30項(xiàng)含有的前7項(xiàng)和數(shù)列的前23項(xiàng)，所以數(shù)列中前30項(xiàng)的和；（3）因?yàn)閿?shù)列是“數(shù)列”，，，，則，，得，所以數(shù)列的前項(xiàng)和，假設(shè)存在正整數(shù)，使得不等式，對(duì)一切都成立，即當(dāng)時(shí)，，得，又為正整數(shù)，得下面證明：對(duì)一切都成立，由于，，所以，，所以存在，使不等式對(duì)一切都成立.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題第3問(wèn)首先利用特殊值，首先確定的值，再用到了放縮法，求和后說(shuō)明存在.1．（2024·北京東城·二模）設(shè)無(wú)窮正數(shù)數(shù)列，如果對(duì)任意的正整數(shù)，都存在唯一的正整數(shù)，使得，那么稱為內(nèi)和數(shù)列，并令，稱為的伴隨數(shù)列，則（

）A．若為等差數(shù)列，則為內(nèi)和數(shù)列B．若為等比數(shù)列，則為內(nèi)和數(shù)列C．若內(nèi)和數(shù)列為遞增數(shù)列，則其伴隨數(shù)列為遞增數(shù)列D．若內(nèi)和數(shù)列的伴隨數(shù)列為遞增數(shù)列，則為遞增數(shù)列【答案】C【分析】對(duì)于ABD：舉反例說(shuō)明即可；對(duì)于C：根據(jù)題意分析可得，結(jié)合單調(diào)性可得，即可得結(jié)果.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)AB：例題，可知即為等差數(shù)列也為等比數(shù)列，則，但不存在，使得，所以不為內(nèi)和數(shù)列，故AB錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，?duì)任意，，可知存在，使得，則，即，且內(nèi)和數(shù)列為遞增數(shù)列，可知，所以其伴隨數(shù)列為遞增數(shù)列，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：例如，顯然是所有正整數(shù)的排列，可知為內(nèi)和數(shù)列，且的伴隨數(shù)列為遞增數(shù)列，但不是遞增數(shù)列，故D錯(cuò)誤；故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于新定義問(wèn)題，要充分理解定義，把定義轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過(guò)的內(nèi)容，簡(jiǎn)化理解和運(yùn)算.2．（2024·湖北荊州·三模）“數(shù)列”定義：數(shù)列的前項(xiàng)和為，如果對(duì)于任意的正整數(shù)，總存在正整數(shù)使則稱數(shù)列是“數(shù)列”.(1)若數(shù)列的前項(xiàng)和為求證：數(shù)列是“數(shù)列”；(2)已知數(shù)列是“數(shù)列”，且數(shù)列是首項(xiàng)為，公差小于的等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)若數(shù)列滿足：求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)