2025高考數(shù)學專項講義第01講函數(shù)與導數(shù)中的新定義綜合(學生版+解析)

第01講函數(shù)與導數(shù)中的新定義綜合（20類核心考點精講精練）新定義”主要是指新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種。在新高考數(shù)學科目的考察中，函數(shù)與導數(shù)部分的新定義占據(jù)了舉足輕重的地位，該部分內容主要檢驗學生對函數(shù)的基本概念、核心性質及運算技巧的掌握程度，同時也涵蓋了對導數(shù)概念的理解、計算能力的展現(xiàn)以及其在多種場景下的應用。試題設計往往緊密貼合現(xiàn)實生活或科學情境，旨在評估學生運用函數(shù)與導數(shù)知識體系解決實際復雜問題的能力。新定義題型的特點是：通過給出一個新概念，或約定一種新運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達到靈活解題的目的：遇到新定義問題，應耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證、運算，使問題得以解決．對于新定義的題目，一定要耐心理解定義，新的定義不但考查的是舊的知識點的延伸，更考查對于新知識的獲取理解能力，抓住關鍵點。對于以函數(shù)為背景的新定義問題的求解策略要緊扣新定義和用好函數(shù)的性質，分析新定義的特點，把心定義所敘述的問題的本質弄清楚，應用到具體的解題過程中；同時時要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用的函數(shù)的性質的一些因素（1）可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉化為具體的簡單的應用，從而加深對信息的理解；（2）可用自己的語言轉述新信息所表達的內容，如果能清晰描述，那么說明對此信息理解的較為透徹；（3）發(fā)現(xiàn)新信息與所學知識的聯(lián)系，并從描述中體會信息的本質特征與規(guī)律；（4）如果新信息是課本知識的推廣，則要關注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用書上的概念.為此，考生需對基礎函數(shù)的各種屬性、圖象特征、運算規(guī)律有深入透徹的理解，并熟練掌握導數(shù)的基本定義、其蘊含的幾何與物理意義以及多樣化的計算方法。進一步地，針對函數(shù)與導數(shù)在解決實際問題中的典型應用，如求解最優(yōu)化問題、分析變化率趨勢、確定曲線在某點的切線方程等，考生應具備扎實的分析思路和有效的解決策略。綜上所述，備考過程中，考生應高度重視基礎知識的鞏固與深化，同時加強針對實際問題的解題訓練，以提升自身的綜合應用能力?？键c一、高斯取整函數(shù)1．（2024·山東青島·三模）定義x表示不超過的最大整數(shù).例如:，則（

）A． B．C．是偶函數(shù) D．是增函數(shù)2．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）函數(shù)被稱為取整函數(shù)，也稱高斯函數(shù)，其中表示不大于實數(shù)的最大整數(shù)．若，滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2024·重慶·模擬預測）高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學的奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”定義為：對于任意實數(shù)x，記表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為“高斯函數(shù)”．例如：，．(1)設，，求證：是的一個周期，且恒成立；(2)已知數(shù)列的通項公式為，設．①求證：；②求的值．1．（2024·全國·一模）數(shù)學上，常用表示不大于x的最大整數(shù)．已知函數(shù)，則下列正確的是（）．A．函數(shù)在定義域上是奇函數(shù) B．函數(shù)的零點有無數(shù)個C．函數(shù)在定義域上的值域是 D．不等式解集是2．（2024·河南開封·二模）（多選）高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一．用其名字命名的高斯取整函數(shù)為，表示不超過x的最大整數(shù)，例如，．下列命題中正確的有（

）A．，B．，，C．，D．，3．（2024·全國·模擬預測）（多選）函數(shù)是取整函數(shù)，也被稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù)，例如：，.若在函數(shù)的定義域內，均滿足在區(qū)間上，是一個常數(shù)，則稱為的取整數(shù)列，稱為的區(qū)間數(shù)列.下列說法正確的是（

）A．的區(qū)間數(shù)列的通項B．的取整數(shù)列的通項C．的取整數(shù)列的通項D．若，則數(shù)列的前項和考點二、二階行列式1．（2024·福建寧德·模擬預測）定義，若關于x的不等式在上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．1．（2023·河南·三模）我們稱為“二階行列式”，規(guī)定其運算為．已知函數(shù)的定義域為，且，若對定義域內的任意都有，則（

）A． B．是偶函數(shù) C．是周期函數(shù) D．沒有極值點2．（22-23高一下·江西萍鄉(xiāng)·期中）把符號稱為二階行列式，規(guī)定它的運算法則為．已知函數(shù)．(1)若，，求的值域；(2)函數(shù)，若對，，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍．考點三、狄利克雷函數(shù)1．（2024·全國·模擬預測）德國數(shù)學家狄利克雷（Dirichlet）是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一，下列關于狄利克雷函數(shù)的結論正確的是（

）A．有零點 B．是單調函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是周期函數(shù)2．（23-24高三上·廣東惠州·階段練習）（多選）狄利克雷函數(shù)是由著名德國數(shù)學家狄利克雷創(chuàng)造的，它是定義在實數(shù)上、值域不連續(xù)的函數(shù)，它在數(shù)學的發(fā)展過程中有很重大的研究意義，例如對研究微積分就有很重要的作用，其函數(shù)表達式為（其中為有理數(shù)集，為無理數(shù)集），則關于狄利克雷函數(shù)說法正確的是（

）A． B．它是偶函數(shù)C．它是周期函數(shù)，但不存在最小正周期 D．它的值域為1．（2024·廣東惠州·三模）（多選）德國數(shù)學家狄利克雷（Dirichlet，1805-1859），是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一．他提出了著名的狄利克雷函數(shù)：，以下對的說法正確的是（

）A．B．的值域為C．存在是無理數(shù)，使得D．，總有2．（2024·重慶·一模）（多選）德國著名數(shù)學家狄利克雷在數(shù)學領域成就顯著，以其命名的函數(shù)被稱為狄利克雷函數(shù)，其中為實數(shù)集，為有理數(shù)集，則以下關于狄利克雷函數(shù)的結論中，正確的是（

）A．函數(shù)為偶函數(shù)B．函數(shù)的值域是C．對于任意的，都有D．在圖象上不存在不同的三個點，使得為等邊三角形E．在圖象存在不同的三個點，使得為等邊三角形考點四、sgnx函數(shù)1．（2024·山東臨沂·一模）已知函數(shù)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件1．（2024·北京·模擬預測）數(shù)學上的符號函數(shù)可以返回一個整型變量，用來指出參數(shù)的正負號，一般用來表示，其解析式為.已知函數(shù)，給出下列結論：①函數(shù)的最小正周期為；②函數(shù)的單調遞增區(qū)間為；③函數(shù)的對稱中心為；④在上函數(shù)的零點個數(shù)為4.其中正確結論的序號是.（寫出所有正確結論的序號）考點五、最大值最小值函數(shù)1．（22-23高三上·階段練習）已知表示，，中的最大值，例如，若函數(shù)，則的最小值為（

）A．2.5 B．3 C．4 D．52．（2024·廣東韶關·二模）定義，對于任意實數(shù)，則的值是（

）A． B． C． D．1．（2024·全國·模擬預測）設為中最大的數(shù).已知正實數(shù)，記，則的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．42．（2024·湖北·一模）記，分別表示函數(shù)在上的最大值和最小值．則．考點六、歐拉函數(shù)1．（2023·廣東廣州·模擬預測）歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)，且與互素的正整數(shù)的個數(shù)，例如，，．若，且，則（

）A． B． C． D．2．（2024·全國·模擬預測）（多選）歐拉函數(shù)是初等數(shù)論中的重要內容．對于一個正整數(shù)n，歐拉函數(shù)表示小于或等于n且與n互質的正整數(shù)的數(shù)目．換句話說，是所有不超過n且與n互素的數(shù)的總數(shù)．如：，．則以下是真命題的有（

）A．的定義域為，其值域也是B．在其定義域上單調遞增，無極值點C．不存在，使得方程有無數(shù)解D．，當且僅當n是素數(shù)時等號成立3．（2024·湖北·模擬預測）歐拉函數(shù)在密碼學中有重要的應用．設n為正整數(shù)，集合，歐拉函數(shù)的值等于集合中與n互質的正整數(shù)的個數(shù)；記表示x除以y的余數(shù)（x和y均為正整數(shù)），(1)求和；(2)現(xiàn)有三個素數(shù)p，q，，，存在正整數(shù)d滿足；已知對素數(shù)a和，均有，證明：若，則；(3)設n為兩個未知素數(shù)的乘積，，為另兩個更大的已知素數(shù)，且；又，，，試用，和n求出x的值．1．（2024·湖北武漢·二模）歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)，且與互質的正整數(shù)的個數(shù)（公約數(shù)只有1的兩個正整數(shù)稱為互質整數(shù)），例如：，，則；若，則的最大值為．2．（23-24高三上·河北邢臺·開學考試）歐拉是18世紀最優(yōu)秀的數(shù)學家之一，幾乎每個數(shù)學領域都可以看到歐拉的名字，如著名的歐拉函數(shù).歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)n，且與n互素(兩個數(shù)只有公約數(shù)1)的正整數(shù)的個數(shù).例如：，.現(xiàn)從中任選兩個數(shù)，則這兩個數(shù)相同的概率是.考點七、黎曼函數(shù)8．（23-24高三上·河南·階段練習）（多選）黎曼函數(shù)（Riemannfunction）是一個特殊的函數(shù)，由德國數(shù)學家黎曼發(fā)現(xiàn)并提出，其基本定義是：（注：分子與分母是互質數(shù)的分數(shù)，稱為既約分數(shù)），則下列結論正確的是（

）A．B．黎曼函數(shù)的定義域為C．黎曼函數(shù)的最大值為D．若是奇函數(shù)，且，當時，，則1．（2024·北京石景山·一模）黎曼函數(shù)在高等數(shù)學中有著廣泛應用，其一種定義為：時，．若數(shù)列，給出下列四個結論：①；②；③；④．其中所有正確結論的序號是．考點八、曲率1．（2024·廣西來賓·模擬預測）曲率是數(shù)學上衡量曲線彎曲程度的重要指標，對于曲線，其在點處的曲率，其中是的導函數(shù)，是的導函數(shù)．則拋物線上的各點處的曲率最大值為（

）A． B．p C． D．2．（2024·全國·二模）廣州小蠻腰是廣州市的地標性建筑，奇妙的曲線造型讓建筑充滿了美感，數(shù)學上用曲率表示曲線的彎曲程度.設函數(shù)的導函數(shù)為的導函數(shù)記為，則函數(shù)的圖象在x0,fx0的曲率.(1)求橢圓在處的曲率；(2)證明：函數(shù)圖象的曲率的極大值點位于區(qū)間.1．（22-23高三上·山東·階段練習）（多選）曲線的曲率就是針對曲線上某個點的切線方向角對弧長的轉動率，表明曲線偏離直線的程度，曲率越大，表示曲線的彎曲程度越大．曲線在點處的曲率，其中是的導函數(shù)．下面說法正確的是（）A．若函數(shù)，則曲線在點與點處的彎曲程度相同B．若是二次函數(shù)，則曲線的曲率在頂點處取得最小值C．若函數(shù)，則函數(shù)的值域為D．若函數(shù)，則曲線上任意一點的曲率的最大值為考點九、極值點與拐點1．（2024·湖南長沙·二模）極值的廣義定義如下：如果一個函數(shù)在一點的一個鄰域（包含該點的開區(qū)間）內處處都有確定的值，而以該點處的值為最大（?。?，這函數(shù)在該點處的值就是一個極大（?。┲?對于函數(shù)，設自變量x從變化到，當，是一個確定的值，則稱函數(shù)在點處右可導；當，是一個確定的值，則稱函數(shù)在點處左可導.當函數(shù)在點處既右可導也左可導且導數(shù)值相等，則稱函數(shù)在點處可導.(1)請舉出一個例子，說明該函數(shù)在某點處不可導，但是該點是該函數(shù)的極值點；(2)已知函數(shù).（?。┣蠛瘮?shù)在處的切線方程；（ⅱ）若為的極小值點，求a的取值范圍.2．（2024·貴州·模擬預測）定義：設是的導函數(shù)，是函數(shù)的導數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”.經過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”且“拐點”就是三次函數(shù)圖象的對稱中心.已知函數(shù)圖象的對稱中心為，則下列說法中正確的有（

）A．， B．函數(shù)的極大值與極小值之和為2C．函數(shù)有三個零點 D．在區(qū)間上單調遞減1．（2024·河南·三模）設函數(shù)的導函數(shù)為的導函數(shù)為的導函數(shù)為.若，且，則為曲線的拐點.(1)判斷曲線是否有拐點，并說明理由；(2)已知函數(shù)，若為曲線的一個拐點，求的單調區(qū)間與極值.考點十、洛必達法則1．（20-21高二下·重慶江北·階段練習）我們把分子、分母同時趨近于0的分式結構稱為型，比如：當時，的極限即為型．兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達在1696年提出洛必達法則：在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法．如：，則（

）A．0 B． C．1 D．22．（2024·浙江·二模）①在微積分中，求極限有一種重要的數(shù)學工具——洛必達法則，法則中有結論：若函數(shù)，的導函數(shù)分別為，，且，則.②設，k是大于1的正整數(shù)，若函數(shù)滿足：對任意，均有成立，且，則稱函數(shù)為區(qū)間上的k階無窮遞降函數(shù).結合以上兩個信息，回答下列問題：(1)試判斷是否為區(qū)間上的2階無窮遞降函數(shù)；(2)計算：；(3)證明：，.1．（2024·河北邢臺·二模）在函數(shù)極限的運算過程中，洛必達法則是解決未定式型或型極限的一種重要方法，其含義為：若函數(shù)和滿足下列條件：①且（或，）；②在點的附近區(qū)域內兩者都可導，且；③（可為實數(shù)，也可為），則．(1)用洛必達法則求；(2)函數(shù)（，），判斷并說明的零點個數(shù)；(3)已知，，，求的解析式．參考公式：，．考點十一、不動點與復合穩(wěn)定點1．（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）在數(shù)學中，布勞威爾不動點定理是拓撲學里的一個非常重要的不動點定理，簡單的講就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在一個點，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動點”函數(shù)．函數(shù)有個不動點．2．（2024·廣東廣州·二模）若是方程的實數(shù)解，則稱是函數(shù)與的“復合穩(wěn)定點”．若函數(shù)且與有且僅有兩個不同的“復合穩(wěn)定點”，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（2024·貴州黔西·一模）布勞威爾不動點定理是拓撲學里一個非常重要的不動點定理，它可運用到有限維空間并構成了一般不動點定理的基石，得名于荷蘭數(shù)學家魯伊茲·布勞威爾(L.E.J.Brouwer).簡單地講就是:對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在實數(shù)，使得，我們就稱該函數(shù)為“不動點”函數(shù)，實數(shù)為該函數(shù)的不動點.(1)求函數(shù)的不動點;(2)若函數(shù)有兩個不動點，且，若，求實數(shù)的取值范圍.1．（2024·內蒙古呼和浩特·二模）對于函數(shù)，若實數(shù)滿足，則稱為的不動點．已知函數(shù)．(1)當時，求證；(2)當時，求函數(shù)的不動點的個數(shù)；(3)設，證明．2．（2024·河北滄州·一模）對于函數(shù)，，若存在，使得，則稱為函數(shù)的一階不動點；若存在，使得，則稱為函數(shù)的二階不動點；依此類推，可以定義函數(shù)的階不動點．其中一階不動點簡稱為“不動點”，二階不動點簡稱為“穩(wěn)定點”，函數(shù)的“不動點”和“穩(wěn)定點”構成的集合分別記為和，即，．(1)若，證明：集合中有且僅有一個元素；(2)若，討論集合的子集的個數(shù)．考點十二、可移倒數(shù)點1．（2024·江蘇蘇州·三模）對于函數(shù)，若存在實數(shù)，使，其中，則稱為“可移倒數(shù)函”，為“的可移倒數(shù)點”.設，若函數(shù)恰有3個“可移1倒數(shù)點”，則的取值范圍（

）A． B． C． D．1．（2024·山東聊城·二模）對于函數(shù)，若存在實數(shù)，使，其中，則稱為“可移倒數(shù)函數(shù)”，為“的可移倒數(shù)點”．已知．(1)設，若為“的可移倒數(shù)點”，求函數(shù)的單調區(qū)間；(2)設，若函數(shù)恰有3個“可移1倒數(shù)點”，求的取值范圍．考點十三、泰勒展開1．（2024·貴州貴陽·一模）英國數(shù)學家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：其中為自然對數(shù)的底數(shù)，.以上公式稱為泰勒公式.設，根據(jù)以上信息，并結合高中所學的數(shù)學知識，解決如下問題.(1)證明：；(2)設，證明：；(3)設，若是的極小值點，求實數(shù)的取值范圍.2．（2024·貴州遵義·三模）英國數(shù)學家泰勒（B．Taylor，1685—1731）發(fā)現(xiàn)了：當函數(shù)在定義域內n階可導，則有如下公式：以上公式稱為函數(shù)的泰勒展開式，簡稱為泰勒公式．其中，，表示的n階導數(shù)，即連續(xù)求n次導數(shù)．根據(jù)以上信息，并結合高中所學的數(shù)學知識，解決如下問題：(1)寫出的泰勒展開式（至少有5項）；(2)設，若是的極小值點，求實數(shù)a的取值范圍；(3)若，k為正整數(shù)，求k的值．1．（2024·安徽·一模）給出以下三個材料：①若函數(shù)可導，我們通常把導函數(shù)的導數(shù)叫做的二階導數(shù)，記作.類似的，函數(shù)的二階導數(shù)的導數(shù)叫做函數(shù)的三階導數(shù)，記作，函數(shù)的三階導數(shù)的導數(shù)叫做函數(shù)的四階導數(shù)……，一般地，函數(shù)的階導數(shù)的導數(shù)叫做函數(shù)的n階導數(shù)，記作，；②若，定義；③若函數(shù)在包含的某個開區(qū)間上具有任意階的導數(shù)，那么對于任意有，我們將稱為函數(shù)在點處的泰勒展開式.例如在點處的泰勒展開式為根據(jù)以上三段材料，完成下面的題目：(1)求出在點處的泰勒展開式；(2)用在點處的泰勒展開式前三項計算的值，精確到小數(shù)點后4位；(3)現(xiàn)已知，試求的值.考點十四、麥克勞林展開1．（24-25高三上·四川成都·開學考試）麥克勞林展開式是泰勒展開式的一種特殊形式，的麥克勞林展開式為：，其中表示的n階導數(shù)在0處的取值，我們稱為麥克勞林展開式的第項．例如：．(1)請寫出的麥克勞林展開式中的第2項與第4項；(2)數(shù)學競賽小組發(fā)現(xiàn)的麥克勞林展開式為，這意味著：當時，，你能幫助數(shù)學競賽小組完成對此不等式的證明嗎？(3)當時，若，求整數(shù)的最大值．1．（2024·河南周口·模擬預測）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)在區(qū)間0,1上的極值點的個數(shù)．(2)“”是一個求和符號，例如，，等等．英國數(shù)學家布魯克·泰勒發(fā)現(xiàn)，當時，，這就是麥克勞林展開式在三角函數(shù)上的一個經典應用．證明：（i）當時，對，都有；（ii）．考點十五、拉格朗日中值定理1．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，且在處取得極大值．(1)求的值與的單調區(qū)間．(2)如圖，若函數(shù)y=fx的圖像在連續(xù)，試猜想拉格朗日中值定理，即一定存在，使得，求的表達式〔用含的式子表示〕．(3)利用這條性質證明：函數(shù)圖像上任意兩點的連線斜率不大于．2．（2024·山西·三模）微分中值定理是微積分學中的重要定理，它是研究區(qū)間上函數(shù)值變化規(guī)律的有效工具，其中拉格朗日中值定理是核心，它的內容如下:如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間可導，導數(shù)為，那么在開區(qū)間內至少存在一點，使得，其中叫做在上的“拉格朗日中值點”.已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)在上的“拉格朗日中值點”；(2)若，求證:函數(shù)在區(qū)間圖象上任意兩點，連線的斜率不大于；(3)若，且，求證:.1．（23-24高二下·江西九江·階段練習）已知函數(shù)，.(1)當時，求函數(shù)的在點處的切線；(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，求的取值范圍；(3)若函數(shù)的圖象上存在兩點，，且，使得，則稱為“拉格朗日中值函數(shù)”，并稱線段的中點為函數(shù)的一個“拉格朗日平均值點”.試判斷函數(shù)是否為“拉格朗日中值函數(shù)”，若是，判斷函數(shù)的“拉格朗日平均值點”的個數(shù)；若不是，說明理由.2．（2024·廣東·二模）拉格朗日中值定理是微分學的基本定理之一，其內容為：如果函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象連續(xù)不斷，在開區(qū)間內的導數(shù)為f′x，那么在區(qū)間內存在點，使得成立．設，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，．易知，在實數(shù)集上有唯一零點，且．(1)證明：當時，；(2)從圖形上看，函數(shù)的零點就是函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標．直接求解的零點是困難的，運用牛頓法，我們可以得到零點的近似解：先用二分法，可在中選定一個作為的初始近似值，使得，然后在點x0,fx0處作曲線y=fx的切線，切線與軸的交點的橫坐標為，稱是的一次近似值；在點x1,fx1處作曲線y=fx的切線，切線與軸的交點的橫坐標為，稱是的二次近似值；重復以上過程，得的近似值序列．①當時，證明：；②根據(jù)①的結論，運用數(shù)學歸納法可以證得：為遞減數(shù)列，且．請以此為前提條件，證明：．考點十六、帕德近似1．（22-23高二下·山東濟南·期中）帕德近似是法國數(shù)學家亨利帕德發(fā)明的用有理數(shù)多項式近似特定函數(shù)的方法，給定兩個正整數(shù)，函數(shù)在處的階帕德近似定義為，且滿足：...已知在處的階帕德近似為.注：，(1)求實數(shù)的值；(2)求證：；(3)求不等式的解集，其中，2．（2024·福建廈門·三模）帕德近似是法國數(shù)學家亨利·帕德發(fā)明的用有理多項式近似特定函數(shù)的方法，在計算機數(shù)學中有著廣泛的應用.已知函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，…，.其中，，…，.已知在處的階帕德近似為.(1)求實數(shù)a，b的值；(2)設，證明：；(3)已知是方程的三個不等實根，求實數(shù)的取值范圍，并證明：.1．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習）帕德近似是法國數(shù)學家亨利帕德發(fā)明的用有理多項式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個正整數(shù)，，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，，，注：，，，，已知函數(shù).(1)求函數(shù)在處的階帕德近似，并求的近似數(shù)精確到(2)在（1）的條件下：①求證：；②若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.2．（23-24高二下·湖北·期中）帕德近似是法國數(shù)學家亨利·帕德發(fā)明的用有理多項式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個正整數(shù)，，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：.（注：，為的導數(shù)）已知在處的階帕德近似為.(1)求實數(shù)的值；(2)證明：當時，；(3)設為實數(shù)，討論方程的解的個數(shù).考點十七、萊布尼茨1．（23-24高二下·貴州安順·期末）固定項鏈的兩端，在重力的作用下項鏈所形成的曲線是懸鏈線1691年，萊布尼茨等得出“懸鏈線”方程為.當時，就是雙曲余弦函數(shù)，類似的我們可以定義雙曲正弦函數(shù).它們與正、余弦函數(shù)有許多類似的性質.(1)求與的導數(shù)；(2)證明：在上恒成立；(3)求的零點.2．（2024·甘肅酒泉·三模）十七世紀至十八世紀的德國數(shù)學家萊布尼茲是世界上第一個提出二進制記數(shù)法的人，用二進制記數(shù)只需數(shù)字0和1，對于整數(shù)可理解為逢二進一，例如：自然數(shù)1在二進制中就表示為，2表示為，3表示為，5表示為，發(fā)現(xiàn)若可表示為二進制表達式，則，其中，或．(1)記，求證：；(2)記為整數(shù)的二進制表達式中的0的個數(shù)，如，．（?。┣?；（ⅱ）求（用數(shù)字作答）．1．（22-23高一上·江蘇南通·期末）對于任意兩個正數(shù)，記曲線與直線軸圍成的曲邊梯形的面積為，并約定和，德國數(shù)學家萊布尼茨（Leibniz）最早發(fā)現(xiàn)．關于，下列說法正確的是（

）A． B．C． D．2．（2024·福建泉州·模擬預測）固定項鏈的兩端，在重力的作用下項鏈所形成的曲線是懸鏈線年，萊布尼茨等得出懸鏈線的方程為，其中為參數(shù)．當時，該表達式就是雙曲余弦函數(shù)，記為，懸鏈線的原理常運用于懸索橋、架空電纜、雙曲拱橋、拱壩等工程．已知三角函數(shù)滿足性質：①導數(shù)：；②二倍角公式：；③平方關系：．定義雙曲正弦函數(shù)為．(1)寫出，具有的類似于題中①、②、③的一個性質，并證明該性質；(2)任意，恒有成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)正項數(shù)列滿足，，是否存在實數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．考點十八、函數(shù)凹凸性1．（2024·安徽·模擬預測）給出定義：若函數(shù)在D上可導，即存在，且導函數(shù)在D上也可導，則稱在D上存在二階導數(shù)，記.若在D上恒成立，則稱在D上為凸函數(shù).以下四個函數(shù)在上不是是凸函數(shù)的是（

）A． B．C． D．2．（23-24高三下·陜西安康·階段練習）記函數(shù)的導函數(shù)為，的導函數(shù)為，設是的定義域的子集，若在區(qū)間上，則稱在上是“凸函數(shù)”.已知函數(shù).(1)若在上為“凸函數(shù)”，求的取值范圍；(2)若，判斷在區(qū)間上的零點個數(shù).1．（2024·安徽·三模）丹麥數(shù)學家琴生是19世紀對數(shù)學分析做出卓越貢獻的巨人，特別在函數(shù)的凹凸性與不等式方面留下了很多寶貴的成果.若為上任意個實數(shù)，滿足，則稱函數(shù)在上為“凹函數(shù)”.也可設可導函數(shù)在上的導函數(shù)為在上的導函數(shù)為，當時，函數(shù)在上為“凹函數(shù)”.已知，且，令的最小值為，則為（

）A． B． C． D．2．（2024·福建福州·模擬預測）閱讀以下材料：①設為函數(shù)的導函數(shù).若在區(qū)間D單調遞增；則稱為區(qū)上的凹函數(shù)；若在區(qū)間上單調遞減，則稱為區(qū)間上的凸函數(shù).②平面直角坐標系中的點稱為函數(shù)的“切點”，當且僅當過點恰好能作曲線的條切線，其中.(1)已知函數(shù).（i）當時，討論的凹凸性；（ii）當時，點在軸右側且為的“3切點”，求點的集合；(2)已知函數(shù)，點在軸左側且為的“3切點”，寫出點的集合（不需要寫出求解過程）.考點十九、切線問題1．（23-24高二下·上海閔行·期末）若函數(shù)的圖像上有兩個不同點處的切線重合，則稱該切線為函數(shù)的圖像的“自公切線”.(1)試判斷函數(shù)與的圖像是否存在“自公切線”（不需要說明理由）；(2)若，求函數(shù)的圖像的“自公切線”方程；(3)設，求證：函數(shù)的圖像不存在“自公切線”2．（23-24高二下·遼寧·階段練習）曲線的切線?曲面的切平面在平面幾何?立體幾何以及解析幾何中有著重要的應用，更是聯(lián)系數(shù)學與物理學的重要工具，在極限理論的研究下，導數(shù)作為研究函數(shù)性質的重要工具，更是與切線有著密不可分的關系，數(shù)學家們以不同的方法研究曲線的切線?曲面的切平面，用以解決實際問題：(1)對于函數(shù)，分別在點處作函數(shù)的切線，記切線與軸的交點分別為，記為數(shù)列的第項，則稱數(shù)列為函數(shù)的“切線軸數(shù)列”，同理記切線與軸的交點分別為，記為數(shù)列的第項，則稱數(shù)列為函數(shù)的“切線軸數(shù)列”.①設函數(shù)，記的“切線軸數(shù)列”為；②設函數(shù)，記的“切線軸數(shù)列”為，則，求的通項公式.(2)在探索高次方程的數(shù)值求解問題時，牛頓在《流數(shù)法》一書中給出了牛頓迭代法：用“作切線”的方法求方程的近似解.具體步驟如下：設是函數(shù)的一個零點，任意選取作為的初始近似值，曲線在點處的切線為，設與軸交點的橫坐標為，并稱為的1次近似值；曲線在點處的切線為，設與軸交點的橫坐標為，稱為的2次近似值.一般地，曲線在點處的切線為，記與軸交點的橫坐標為，并稱為的次近似值.已知二次函數(shù)有兩個不相等的實根，其中.對函數(shù)持續(xù)實施牛頓迭代法得到數(shù)列，我們把該數(shù)列稱為牛頓數(shù)列，令數(shù)列滿足，且，證明：.（注：當時，恒成立，無需證明）1．（2024·上海黃浦·二模）若函數(shù)的圖象上的兩個不同點處的切線互相重合，則稱該切線為函數(shù)的圖象的“自公切線”，稱這兩點為函數(shù)的圖象的一對“同切點”.(1)分別判斷函數(shù)與的圖象是否存在“自公切線”，并說明理由；(2)若，求證：函數(shù)有唯一零點且該函數(shù)的圖象不存在“自公切線”；(3)設，的零點為，，求證：“存在，使得點與是函數(shù)的圖象的一對‘同切點’”的充要條件是“是數(shù)列中的項”.2．（2024高三·全國·專題練習）已知為實數(shù)，函數(shù)．(1)當時，求在處的切線方程；(2)定義：若函數(shù)的圖象上存在兩點，設線段的中點為，若在點處的切線與直線平行或重合，則函數(shù)是“中值平衡函數(shù)”，切線叫做函數(shù)的“中值平衡切線”．試判斷函數(shù)是否是“中值平衡函數(shù)”？若是，判斷函數(shù)的“中值平衡切線”的條數(shù)；若不是，說明理由；(3)設，若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．考點二十、類型函數(shù)1．（2024·浙江·三模）在平面直角坐標系中，如果將函數(shù)的圖象繞坐標原點逆時針旋轉后，所得曲線仍然是某個函數(shù)的圖象，則稱為“旋轉函數(shù)”.(1)判斷函數(shù)是否為“旋轉函數(shù)”，并說明理由；(2)已知函數(shù)是“旋轉函數(shù)”，求的最大值；(3)若函數(shù)是“旋轉函數(shù)”，求的取值范圍.2．（2024·黑龍江·三模）若函數(shù)y=fx滿足：對任意的實數(shù)，有恒成立，則稱函數(shù)y=fx為“增函數(shù)”.(1)求證：函數(shù)不是“增函數(shù)”；(2)若函數(shù)是“增函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍；(3)設，若曲線y=gx在處的切線方程為，求的值，并證明函數(shù)y=gx是“增函數(shù)”.1．（2024·貴州六盤水·三模）若函數(shù)在上有定義，且對于任意不同的，都有，則稱為上的“k類函數(shù)”(1)若，判斷是否為上的“4類函數(shù)”；(2)若為上的“2類函數(shù)”，求實數(shù)a的取值范圍；(3)若為上的“2類函數(shù)”且，證明：，，.2．（2024·新疆喀什·三模）已知定義域為的函數(shù)滿足：對于任意的，都有，則稱函數(shù)具有性質．(1)判斷函數(shù)，是否具有性質；（直接寫出結論）(2)已知函數(shù)（，），判斷是否存在，，使函數(shù)具有性質？若存在，求出，的值；若不存在，說明理由；(3)設函數(shù)具有性質，且在區(qū)間上的值域為f0,f2π．函數(shù)，滿足，且在區(qū)間上有且只有一個零點．求證：f2π=21．（2024·江蘇蘇州·模擬預測）表示大于或者等于的最小整數(shù)，表示小于或者等于的最大整數(shù)．已知函數(shù)，且滿足：對有，則的可能取值是（

）A． B．0 C． D．2．（2024·山東菏澤·二模）（多選）函數(shù)的函數(shù)值表示不超過的最大整數(shù)，例如，．下列結論正確的有（

）A．函數(shù)與函數(shù)無公共點B．若，則C．D．所有滿足的點組成區(qū)域的面積為3．（2024·全國·模擬預測）（多選）著名的德國數(shù)學家狄利克雷在19世紀提出了這樣一個“奇怪的”函數(shù)：定義在上的函數(shù).后來數(shù)學家研究發(fā)現(xiàn)該函數(shù)在其定義域上處處不連續(xù)、處處不可導．根據(jù)該函數(shù)，以下是真命題的有（

）A．B．的圖象關于軸對稱C．的圖象關于軸對稱D．存在一個正三角形，其頂點均在的圖象上4．（2024·廣西柳州·模擬預測）記實數(shù)的最小數(shù)為，若，則函數(shù)的最大值為．5．（2024·江蘇蘇州·模擬預測）（多選）定義表示中的最小者，設函數(shù)，則（

）A．有且僅有一個極小值點為 B．有且僅有一個極大值點為3C． D．恒成立6．（23-24高一上·福建三明·期中）已知，定義：，設.若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．（2024·江西南昌·三模）歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)，且與互質的正整數(shù)的個數(shù)（公約數(shù)只有1的兩個正整數(shù)稱為互質整數(shù)），例如：，，則數(shù)列的前項和為.8．（2024·貴州黔南·二模）歐拉函數(shù)表示不大于正整數(shù)且與互素（互素：公約數(shù)只有1）的正整數(shù)的個數(shù).已知，其中，，…，是的所有不重復的質因數(shù)（質因數(shù)：因數(shù)中的質數(shù)）.例如.若數(shù)列是首項為3，公比為2的等比數(shù)列，則.9．（23-24高三下·北京海淀·階段練習）華人數(shù)學家李天巖和美國數(shù)學家約克給出了“混濁”的數(shù)學定義：由此發(fā)展的混濁理論在生物學、經濟學和社會學領域都有重要作用，在混沌理論中，函數(shù)的周期點是一個關鍵概念，定義如下：設是定義在R上的函數(shù)，對于，令，若存在正整數(shù)k使得，且當時，，則稱是的一個周期為k的周期點．若，寫出一個周期為1的周期點．10．（22-23高二下·北京海淀·期中）法國數(shù)學家拉格朗日于1778年在其著作《解析函數(shù)論》中提出一個定理：如果函數(shù)滿足如下條件：①的圖象在閉區(qū)間上是連續(xù)不斷的；②在區(qū)間上都有導數(shù).則在區(qū)間上至少存在一個數(shù)，使得.這就是著名的“拉格朗日中值定理”，其中稱為拉格朗日中值.請閱讀以上內容，回答以下問題:(1)函數(shù)在區(qū)間上的拉格朗日中值為____________；(2)下列函數(shù)，是否存在以0為拉格朗日中值的區(qū)間?若存在，請將函數(shù)對應的序號全部填在橫線上____________.①；

②；

③；

④；

⑤11．（2024·湖北·一模）我們知道通過牛頓萊布尼茲公式，可以求曲線梯形（如圖1所示陰影部分）的面積，其中，．如果平面圖形由兩條曲線圍成（如圖2所示陰影部分），曲線可以表示為，曲線可以表示為，那么陰影區(qū)域的面積，其中．(1)如圖，連續(xù)函數(shù)y=fx在區(qū)間與的圖形分別為直徑為1的上、下半圓周，在區(qū)間與0,2的圖形分別為直徑為2的下、上半圓周，設．求的值；(2)在曲線上某一個點處作切線，便之與曲線和x軸所圍成的面積為，求切線方程；(3)正項數(shù)列bn是以公差為d（d為常數(shù)，）的等差數(shù)列，，兩條拋物線，記它們交點的橫坐標的絕對值為，兩條拋物線圍成的封閉圖形的面積為，求證：．12．（2024·山西臨汾·三模）記為函數(shù)的階導數(shù)，，若存在，則稱階可導．英國數(shù)學家泰勒發(fā)現(xiàn)：若在附近階可導，則可構造（稱其為在處的次泰勒多項式）來逼近在附近的函數(shù)值．下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．在處的3次泰勒多項式為D．（精確到小數(shù)點后兩位數(shù)字）13．（2024·江蘇鹽城·模擬預測）根據(jù)多元微分求條件極值理論，要求二元函數(shù)在約束條件的可能極值點，首先構造出一個拉格朗日輔助函數(shù)，其中為拉格朗日系數(shù)．分別對中的部分求導，并使之為0，得到三個方程組，如下：，解此方程組，得出解，就是二元函數(shù)在約束條件的可能極值點．的值代入到中即為極值．補充說明：【例】求函數(shù)關于變量的導數(shù)．即：將變量當做常數(shù)，即：，下標加上，代表對自變量x進行求導．即拉格朗日乘數(shù)法方程組之中的表示分別對進行求導．(1)求函數(shù)關于變量的導數(shù)并求當處的導數(shù)值．(2)利用拉格朗日乘數(shù)法求：設實數(shù)滿足，求的最大值．(3)①若為實數(shù)，且，證明：．②設，求的最小值．14．（2024·遼寧沈陽·模擬預測）記，若存在，滿足：對任意，均有，則稱為函數(shù)在上的最佳逼近直線.已知函數(shù)，.(1)請寫出在上的最佳逼近直線，并說明理由；(2)求函數(shù)在上的最佳逼近直線.15．（2024·上海·模擬預測）設定義域為的函數(shù)y=fx在上可導，導函數(shù)為y=f′x.若區(qū)間及實數(shù)滿足：對任意成立，則稱函數(shù)y=fx為上的“函數(shù)”.(1)判斷是否為0,+∞上的函數(shù)，說明理由；(2)若實數(shù)滿足：為上的函數(shù)，求的取值范圍；(3)已知函數(shù)y=fx存在最大值．對于：：對任意與恒成立，：對任意正整數(shù)都是上的函數(shù)，問：是否為的充分條件？是否為的必要條件？證明你的結論.16．（2024·河南信陽·二模）已知函數(shù)，其中，.若點在函數(shù)的圖像上，且經過點的切線與函數(shù)圖像的另一個交點為點，則稱點為點的一個“上位點”，現(xiàn)有函數(shù)圖像上的點列，，…，，…，使得對任意正整數(shù)，點都是點的一個“上位點”.(1)若，請判斷原點是否存在“上位點”，并說明理由；(2)若點的坐標為，請分別求出點、的坐標；(3)若的坐標為，記點到直線的距離為.問是否存在實數(shù)和正整數(shù)，使得無窮數(shù)列、、…、…嚴格減？若存在，求出實數(shù)的所有可能值；若不存在，請說明理由.17．（23-24高二下·江西九江·期末）記為函數(shù)的階導數(shù)，，若存在，則稱階可導.英國數(shù)學家泰勒發(fā)現(xiàn)：若在附近階可導，則可構造（稱其為在處的次泰勒多項式）來逼近在附近的函數(shù)值.下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．在處的3次泰勒多項式為 D．18．（23-24高一上·山東臨沂·期末）臨沂一中校本部19、20班數(shù)學小組在探究函數(shù)的性質時，發(fā)現(xiàn)通過函數(shù)的單調性、奇偶性和周期性，還無法準確地描述出函數(shù)的圖象，例如函數(shù)和，雖然它們都是增函數(shù)，但是圖像上卻有很大的差異.通過觀察圖像和閱讀數(shù)學文獻，該小組了解到了函數(shù)的凹凸性的概念.已知定義：設連續(xù)函數(shù)f（x）的定義域為，如果對于內任意兩數(shù)，都有，則稱為上的凹函數(shù)；若，則為凸函數(shù).對于函數(shù)的凹凸性，通過查閱資料，小組成員又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若f（x）是區(qū)間上的凹函數(shù)，則對任意的,有不等式恒成立（當且僅當時等號成立）.小組成員通過詢問數(shù)學競賽的同學對他們研究的建議，得到了如下評注：在運用琴生不等式求多元最值問題，關鍵是構造函數(shù).小組成員選擇了反比例型函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，研究函數(shù)的凹凸性.(1)設，求W=的最小值.(2)設為大于或等于1的實數(shù)，證明（提示：可設）(3)若a>1，且當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.19．（23-24高三下·重慶·階段練習）定義：若是的導數(shù)，是的導數(shù)，則曲線在點處的曲率；已知函數(shù)，，曲線在點處的曲率為；(1)求實數(shù)a的值；(2)對任意恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；(3)設方程在區(qū)間內的根為，…比較與的大小，并證明．20．（2024·浙江紹興·二模）帕德近似是法國數(shù)學家亨利?帕德發(fā)明的用有理多項式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個正整數(shù)，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，…，.已知在處的階帕德近似為.注：，，，，…(1)求實數(shù)的值；(2)當時，試比較與的大小，并證明；(3)定義數(shù)列：，，求證：.21．（2024·廣西柳州·模擬預測）帕德近似是法國數(shù)學家亨利．帕德發(fā)明的用有理多項式近似特定函數(shù)的方法．給定兩個正整數(shù)m，n，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，…，．注：，，，，…；為的導數(shù)）．已知在處的階帕德近似為．(1)求實數(shù)a，b的值；(2)比較與的大??；(3)若有3個不同的零點，求實數(shù)m的取值范圍．22．（24-25高三上·江西鷹潭·階段練習）法國數(shù)學家拉格朗日于1797年在其著作《解析函數(shù)論》中給出了一個定理，具體如下.如果函數(shù)滿足如下條件：①在閉區(qū)間上的圖象是連續(xù)的；②在開區(qū)間上可導.則在開區(qū)間上至少存在一個實數(shù)，使得成立，人們稱此定理為“拉格朗日中值定理”.(1)已知且，（i）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（ii）當時，求證：.(2)已知函數(shù)有兩個零點，記作，若，證明：23．（23-24高三下·重慶渝中·階段練習）閱讀材料一：“裝錯信封問題”是由數(shù)學家約翰·伯努利（JohannBernoulli，1667～1748）的兒子丹尼爾·伯努利提出來的，大意如下：一個人寫了封不同的信及相應的個不同的信封，他把這封信都裝錯了信封，問都裝錯信封的這一情況有多少種？后來瑞士數(shù)學家歐拉（LeonhardEuler，1707～1783）給出了解答：記都裝錯封信的情況為種，可以用全排列減去有裝正確的情況種數(shù)，結合容斥原理可得公式：，其中．閱讀材料二：英國數(shù)學家泰勒發(fā)現(xiàn)的泰勒公式有如下特殊形式：當在處階可導，則有：，注表示的階導數(shù)，該公式也稱麥克勞林公式．閱讀以上材料后請完成以下問題：(1)求出的值；(2)估算的大?。ūＡ粜?shù)點后2位），并給出用和表示的估計公式；(3)求證：，其中．24．（2024·山東濰坊·三模）一個完美均勻且靈活的項鏈的兩端被懸掛，并只受重力的影響，這個項鏈形成的曲線形狀被稱為懸鏈線.1691年，萊布尼茨、惠根斯和約翰?伯努利等得到“懸鏈線”方程，其中為參數(shù).當時，就是雙曲余弦函數(shù)，類似地雙曲正弦函數(shù)，它們與正、余弦函數(shù)有許多類似的性質.(1)類比三角函數(shù)的三個性質：①倍角公式；②平方關系；③求導公式寫出雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)的一個正確的性質并證明；(2)當時，雙曲正弦函數(shù)圖象總在直線的上方，求實數(shù)的取值范圍；(3)若，證明：25．（2024·山東菏澤·模擬預測）如果三個互不相同的函數(shù)，，在區(qū)間上恒有或，則稱為與在區(qū)間上的“分割函數(shù)”．(1)證明：函數(shù)為函數(shù)與在上的分割函數(shù)；(2)若函數(shù)為函數(shù)與在上的“分割函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍；(3)若，且存在實數(shù)，使得函數(shù)為函數(shù)與在區(qū)間上的“分割函數(shù)”，求的最大第01講函數(shù)與導數(shù)中的新定義綜合（20類核心考點精講精練）新定義”主要是指新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種。在新高考數(shù)學科目的考察中，函數(shù)與導數(shù)部分的新定義占據(jù)了舉足輕重的地位，該部分內容主要檢驗學生對函數(shù)的基本概念、核心性質及運算技巧的掌握程度，同時也涵蓋了對導數(shù)概念的理解、計算能力的展現(xiàn)以及其在多種場景下的應用。試題設計往往緊密貼合現(xiàn)實生活或科學情境，旨在評估學生運用函數(shù)與導數(shù)知識體系解決實際復雜問題的能力。新定義題型的特點是：通過給出一個新概念，或約定一種新運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達到靈活解題的目的：遇到新定義問題，應耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證、運算，使問題得以解決．對于新定義的題目，一定要耐心理解定義，新的定義不但考查的是舊的知識點的延伸，更考查對于新知識的獲取理解能力，抓住關鍵點。對于以函數(shù)為背景的新定義問題的求解策略要緊扣新定義和用好函數(shù)的性質，分析新定義的特點，把心定義所敘述的問題的本質弄清楚，應用到具體的解題過程中；同時時要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用的函數(shù)的性質的一些因素（1）可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉化為具體的簡單的應用，從而加深對信息的理解；（2）可用自己的語言轉述新信息所表達的內容，如果能清晰描述，那么說明對此信息理解的較為透徹；（3）發(fā)現(xiàn)新信息與所學知識的聯(lián)系，并從描述中體會信息的本質特征與規(guī)律；（4）如果新信息是課本知識的推廣，則要關注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用書上的概念.為此，考生需對基礎函數(shù)的各種屬性、圖象特征、運算規(guī)律有深入透徹的理解，并熟練掌握導數(shù)的基本定義、其蘊含的幾何與物理意義以及多樣化的計算方法。進一步地，針對函數(shù)與導數(shù)在解決實際問題中的典型應用，如求解最優(yōu)化問題、分析變化率趨勢、確定曲線在某點的切線方程等，考生應具備扎實的分析思路和有效的解決策略。綜上所述，備考過程中，考生應高度重視基礎知識的鞏固與深化，同時加強針對實際問題的解題訓練，以提升自身的綜合應用能力?？键c一、高斯取整函數(shù)1．（2024·山東青島·三模）定義x表示不超過的最大整數(shù).例如:，則（

）A． B．C．是偶函數(shù) D．是增函數(shù)【答案】B【分析】A選項，取特殊值，判斷出A選項的真假；B選項，設表示不超過的最大整數(shù)，可得與的關系，可得，判斷出B選項的真假；C選項，取特殊值，利用偶函數(shù)定義驗證，判斷出C的真假；D中，取特殊值，判斷出函數(shù)不是增函數(shù)，判斷出D的真假.【詳解】A選項，取，則，，顯然，所以A不正確；B選項，設表示不超過的最大整數(shù)，所以，所以，所以，所以，即，所以，所以，故B正確；C選項，，因為，所以，所以不是偶函數(shù)，故C錯誤；D選項，所以，所以不是增函數(shù)，故D錯誤.故選：B.2．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）函數(shù)被稱為取整函數(shù)，也稱高斯函數(shù)，其中表示不大于實數(shù)的最大整數(shù)．若，滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)基本不等式求解最值，即可根據(jù)一元二次不等式求解，即可根據(jù)取整函數(shù)的定義求解.【詳解】，當且僅當時取等號，由可得，所以，故，故選：C3．（2024·重慶·模擬預測）高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學的奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”定義為：對于任意實數(shù)x，記表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為“高斯函數(shù)”．例如：，．(1)設，，求證：是的一個周期，且恒成立；(2)已知數(shù)列的通項公式為，設．①求證：；②求的值．【答案】(1)證明見解析；(2)①證明見解析；②88.【分析】（1）根據(jù)新定義的理解，計算可得，結合當時即可求解；（2）①：記，則，利用放縮法可證得、，進而，即可證明；②：由①知，由（1）可得，則，令，結合裂項相消法計算可得，即可求解.【詳解】（1）．故是的一個周期．當時，，，故．由于周期為，故對任意，都有．（2）①記．，則．∵，∴．而．∴．∴，∴．②由①知，則．由（1）知：對任意，都有，∴．∴．∵，∴．令，∵；．∵，∴．【點睛】方法點睛：學生在理解相關新概念、新法則(公式)之后，運用學過的知識，結合已掌握的技能，通過推理、運算等解決問題.在新環(huán)境下研究“舊”性質.主要是將新性質應用在“舊”性質上，創(chuàng)造性地證明更新的性質，落腳點仍然是數(shù)列求通項或求和.1．（2024·全國·一模）數(shù)學上，常用表示不大于x的最大整數(shù)．已知函數(shù)，則下列正確的是（）．A．函數(shù)在定義域上是奇函數(shù) B．函數(shù)的零點有無數(shù)個C．函數(shù)在定義域上的值域是 D．不等式解集是【答案】B【分析】設，A選項，注意到，可判斷選項正誤；B選項，等價于判斷方程根的個數(shù)；C選項，通過分析方程根的存在性可判斷選項正誤；D選項，等價于解不等式.【詳解】設，A選項，，，因，則不是奇函數(shù)，故A錯誤；B選項，令，即函數(shù)的零點有無數(shù)個，故B正確；C選項，若，則，但，則，即函數(shù)在定義域上的值域不是?1,1，故C錯誤.D選項，，故D錯誤.故選：B2．（2024·河南開封·二模）（多選）高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一．用其名字命名的高斯取整函數(shù)為，表示不超過x的最大整數(shù)，例如，．下列命題中正確的有（

）A．，B．，，C．，D．，【答案】BD【分析】根據(jù)給定的定義，結合存在量詞命題、全稱量詞命題的真假判斷方法逐項分析即得.【詳解】對于A，當時，，當時，，而，因此，A錯誤；對于B，，，令，則，，因此，B正確；對于C，取，，則，，顯然，C錯誤；對于D，，當時，，當時，，而，因此，此時，D正確.故選：BD【點睛】方法點睛：判斷全稱量詞命題為真、存在量詞命題為假必須推理論證；判斷全稱量詞命題為假、存在量詞命題為真只需舉例說明.3．（2024·全國·模擬預測）（多選）函數(shù)是取整函數(shù)，也被稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù)，例如：，.若在函數(shù)的定義域內，均滿足在區(qū)間上，是一個常數(shù)，則稱為的取整數(shù)列，稱為的區(qū)間數(shù)列.下列說法正確的是（

）A．的區(qū)間數(shù)列的通項B．的取整數(shù)列的通項C．的取整數(shù)列的通項D．若，則數(shù)列的前項和【答案】BD【分析】由在上，得到，可判定A錯誤；根據(jù)，可判定B正確；結合，可判定C錯誤；得到，利用乘公比錯位相減法求和，可判定D正確.【詳解】對于A中，因為在上，，，所以；在上，，所以，在上，，，所以，所以A錯誤；對于B中，由選項A知，，所以B正確.對于C中，因為，所以，所以C錯誤；對于D中，由選項A知，可得，則，所以，兩式相減，所以D正確.故選：BD.考點二、二階行列式1．（2024·福建寧德·模擬預測）定義，若關于x的不等式在上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由，可得等價于，即，因為，所以，所以，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：C.1．（2023·河南·三模）我們稱為“二階行列式”，規(guī)定其運算為．已知函數(shù)的定義域為，且，若對定義域內的任意都有，則（

）A． B．是偶函數(shù) C．是周期函數(shù) D．沒有極值點【答案】D【分析】經行列式運算后，得到關系式，將替換為代入，進而得到函數(shù)的解析式，逐項判斷即可.【詳解】由于，則，即為：（*），將替換為代入（*）式，得，且，得：，對于A，取，顯然滿足（*）式，此時，故A錯誤；對于B，定義域為，則成立，所以是奇函數(shù)，故B錯誤；對于C，假設非零常數(shù)為函數(shù)的周期，即，則，其中，即得，，這與假設為非零常數(shù)矛盾，所以不是周期函數(shù)，故C錯誤；對于D，由于，則，顯然沒有實數(shù)解，所以沒有極值點，故D正確；故選：D.2．（22-23高一下·江西萍鄉(xiāng)·期中）把符號稱為二階行列式，規(guī)定它的運算法則為．已知函數(shù)．(1)若，，求的值域；(2)函數(shù)，若對，，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)新定義運算、同角三角函數(shù)的基本關系式、二次函數(shù)的性質求得的值域.（2）先求得的最小值，由此轉化不等式，利用換元法，結合二次函數(shù)的性質求得正確答案.【詳解】（1），，則，的開口向下，對稱軸為，因為，所以；（2），∵，∴，令，則，函數(shù)轉化為函數(shù)，，函數(shù)在上單調遞增，故當時，，即函數(shù)的最小值為1，由題知，，即對于恒成立，即對于恒成立，令，則，記，，故只要，①當時，，解得，∴，②當時，，解得，∴，③當時，，解得，∴．綜合①②③得，．【點睛】二次函數(shù)在閉區(qū)間上取得最值時的，只能是其圖像的頂點的橫坐標或給定區(qū)間的端點．因此，影響二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三個因素:拋物線的開口方向、對稱軸以及給定區(qū)間的位置．在這三大因素中，最容易確定的是拋物線的開口方向（與二次項系數(shù)的正負有關)，而關于對稱軸與給定區(qū)間的位置關系的討論是解決二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題的關鍵．考點三、狄利克雷函數(shù)1．（2024·全國·模擬預測）德國數(shù)學家狄利克雷（Dirichlet）是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一，下列關于狄利克雷函數(shù)的結論正確的是（

）A．有零點 B．是單調函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是周期函數(shù)【答案】D【詳解】根據(jù)狄利克雷函數(shù)的性質即可由或均為有理數(shù)求解A，根據(jù)即可判斷單調性求解B，根據(jù)和同為有理數(shù)或同為無理數(shù)，即可求解C，根據(jù)和同為有理數(shù)或同為無理數(shù)即可求解D.【分析】對于A，因為或均為有理數(shù)，所以，故沒有零點，A錯誤，對于B，因為，所以，故不是單調函數(shù)，B錯誤，對于C，因為和同為有理數(shù)或同為無理數(shù)，所以，故是偶函數(shù)，C錯誤，對于D，設為任意非零有理數(shù)，則和同為有理數(shù)或同為無理數(shù)，所以，故是周期函數(shù)（以任意非零有理數(shù)為周期），D正確，故選：D.2．（23-24高三上·廣東惠州·階段練習）（多選）狄利克雷函數(shù)是由著名德國數(shù)學家狄利克雷創(chuàng)造的，它是定義在實數(shù)上、值域不連續(xù)的函數(shù)，它在數(shù)學的發(fā)展過程中有很重大的研究意義，例如對研究微積分就有很重要的作用，其函數(shù)表達式為（其中為有理數(shù)集，為無理數(shù)集），則關于狄利克雷函數(shù)說法正確的是（

）A． B．它是偶函數(shù)C．它是周期函數(shù)，但不存在最小正周期 D．它的值域為【答案】ABC【分析】根據(jù)題意，由狄利克雷函數(shù)的性質，逐一判斷，即可得到結果.【詳解】因為，則，故A正確；若，則，則；若，則，則，所以為偶函數(shù)，故B正確；設任意，則，當時，則，當時，或，則，即任意非零有理數(shù)均是的周期，任何無理數(shù)都不是的周期，故C正確；函數(shù)的值域為，故D錯誤；故選：ABC1．（2024·廣東惠州·三模）（多選）德國數(shù)學家狄利克雷（Dirichlet，1805-1859），是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一．他提出了著名的狄利克雷函數(shù)：，以下對的說法正確的是（

）A．B．的值域為C．存在是無理數(shù)，使得D．，總有【答案】ABD【分析】根據(jù)狄利克雷函數(shù)的定義判斷選項A、B、C；分別對是無理數(shù)和有理數(shù)進行分類討論可判斷選項D.【詳解】由，可得的值域為，所以，故選項A、B正確；因為當是無理數(shù)時，且是無理數(shù)，所以，所以，故選項C錯誤；當是無理數(shù)時，均為無理數(shù)，此時有，當是有理數(shù)時，均為有理數(shù)，此時有所以，總有，故選項D正確.故選：ABD2．（2024·重慶·一模）（多選）德國著名數(shù)學家狄利克雷在數(shù)學領域成就顯著，以其命名的函數(shù)被稱為狄利克雷函數(shù)，其中為實數(shù)集，為有理數(shù)集，則以下關于狄利克雷函數(shù)的結論中，正確的是（

）A．函數(shù)為偶函數(shù)B．函數(shù)的值域是C．對于任意的，都有D．在圖象上不存在不同的三個點，使得為等邊三角形E．在圖象存在不同的三個點，使得為等邊三角形【答案】ACE【分析】選項A中注意“若，則；，則”即可；選項B中注意；選項C中，內層函數(shù)或，函數(shù)值都是有理數(shù)；選項DE取特殊情況判斷即可.【詳解】由于，對于選項A，設任意，則，；設任意，則，總之，對于任意實數(shù)，f?x=f對于選項B，的值域為，，B錯誤；對于選項C，當，則，；當，則，，C正確；對于選項DE，取，，得到為等邊三角形，D錯誤E正確.故選：ACE.考點四、sgnx函數(shù)1．（2024·山東臨沂·一模）已知函數(shù)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】理解函數(shù)的性質，舉反例說明充分性不成立，再利用指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的性質說明必要性成立，從而得解.【詳解】因為，當時，取，則，，此時，則不成立，即充分性不成立；當時，，，所以，即必要性成立，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.1．（2024·北京·模擬預測）數(shù)學上的符號函數(shù)可以返回一個整型變量，用來指出參數(shù)的正負號，一般用來表示，其解析式為.已知函數(shù)，給出下列結論：①函數(shù)的最小正周期為；②函數(shù)的單調遞增區(qū)間為；③函數(shù)的對稱中心為；④在上函數(shù)的零點個數(shù)為4.其中正確結論的序號是.（寫出所有正確結論的序號）【答案】①④【分析】作出函數(shù)的圖象，通過圖象討論函數(shù)周期、單調區(qū)間、對稱中心和零點等問題.【詳解】函數(shù)，畫出函數(shù)的部分圖象，如圖所示：，結合函數(shù)圖象可知，函數(shù)的最小正周期為，結論①正確；由，結合函數(shù)圖象可知，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，結論②錯誤；結合函數(shù)圖象可知，函數(shù)的對稱中心為，結論③錯誤；函數(shù)的零點，即方程的根，時方程不成立，方程等價于fx函數(shù)與函數(shù)的圖象在上有4個交點，所以在上函數(shù)的零點個數(shù)為4.結論④正確.故答案為：①④【點睛】方法點睛：由符號函數(shù)的定義，把表示為分段函數(shù)，作出函數(shù)圖象，函數(shù)解析式結合圖象，解決函數(shù)周期、單調區(qū)間、對稱中心和零點等問題.考點五、最大值最小值函數(shù)1．（22-23高三上·階段練習）已知表示，，中的最大值，例如，若函數(shù)，則的最小值為（

）A．2.5 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】在同一平面直角坐標系中作出函數(shù)，，的圖象，根據(jù)函數(shù)的新定義可得的圖象，由圖象即可得最小值.【詳解】如圖：在同一平面直角坐標系中作出函數(shù)，，的圖象，因為，所以的圖象如圖實線所示：由可得，由可得，由圖知在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，所以當時，，當時，，所以的最小值為，故選：B.2．（2024·廣東韶關·二模）定義，對于任意實數(shù)，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設，則，構造函數(shù)，利用導數(shù)求出函數(shù)的最小值進而得，化簡即可求解.【詳解】設，則，得，設，則，令，，所以函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，故，即，得，所以，得，即.故選：A【點睛】關鍵點點睛：本題考查導數(shù)在函數(shù)中的綜合應用，本題解題的關鍵是由構造函數(shù)，利用導數(shù)求得即為題意所求.1．（2024·全國·模擬預測）設為中最大的數(shù).已知正實數(shù)，記，則的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．4【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)定義可知，，，再由基本不等式可得當時，取得最小值2.【詳解】由，得，，，所以，即，因為，所以；由基本不等式可得，所以，所以，，當，即時，取得最小值2.故選：C【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于根據(jù)函數(shù)定義得出，，，再結合基本不等式求得.2．（2024·湖北·一模）記，分別表示函數(shù)在上的最大值和最小值．則．【答案】2【分析】根據(jù)題意，由，設為變量，可通過分類討論求出，再求出當時的最小值；或由在時的最大值只可能在或或處取得，結合圖象可得原式的最小值．【詳解】由，設為變量，，令，當時，，當時，，當時，，最大值只可能在或或處取得，所以的最大值為，所以，當時，原式的最小值為2．或者由在時的最大值只可能在或或處取得，令，當時，，當時，，當時，，結合圖象可得原式的最小值為2．故答案為：2.【點睛】關鍵點睛：讀懂題意，分析，最大值只可能在或或處取得，所以的最大值為.考點六、歐拉函數(shù)1．（2023·廣東廣州·模擬預測）歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)，且與互素的正整數(shù)的個數(shù)，例如，，．若，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)歐拉函數(shù)的定義結合可求得的值，再結合歐拉函數(shù)的定義可求得的值.【詳解】與互素且不超過的正整數(shù)為，與互素且不超過的正整數(shù)為、，與互素且不超過的正整數(shù)為、，與互素且不超過的正整數(shù)為、、、，與互素且不超過的正整數(shù)為、、、，因為，，，，，所以，，則，因為與互素且不超過的正整數(shù)為、、、，所以，.故選：B.2．（2024·全國·模擬預測）（多選）歐拉函數(shù)是初等數(shù)論中的重要內容．對于一個正整數(shù)n，歐拉函數(shù)表示小于或等于n且與n互質的正整數(shù)的數(shù)目．換句話說，是所有不超過n且與n互素的數(shù)的總數(shù)．如：，．則以下是真命題的有（

）A．的定義域為，其值域也是B．在其定義域上單調遞增，無極值點C．不存在，使得方程有無數(shù)解D．，當且僅當n是素數(shù)時等號成立【答案】ACD【分析】根據(jù)歐拉函數(shù)的定義和性質，以及與素數(shù)的關系進行判斷選項.【詳解】對于A，根據(jù)歐拉函數(shù)的定義，可得歐拉函數(shù)的定義域為，其值域也是，所以A正確；對于B，歐拉函數(shù)在其定義域上不是單調遞增的，如，所以B錯誤;對于C，由于的值域為，所以不存在，使方程有無數(shù)解,故C正確;對于D，因為的素因數(shù)都是大于1，，所以，當且僅當時素數(shù)時等號成立，故D正確.故選：ACD【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵點是理解歐拉函數(shù)的定義和性質，以及與素數(shù)的關系.3．（2024·湖北·模擬預測）歐拉函數(shù)在密碼學中有重要的應用．設n為正整數(shù)，集合，歐拉函數(shù)的值等于集合中與n互質的正整數(shù)的個數(shù)；記表示x除以y的余數(shù)（x和y均為正整數(shù)），(1)求和；(2)現(xiàn)有三個素數(shù)p，q，，，存在正整數(shù)d滿足；已知對素數(shù)a和，均有，證明：若，則；(3)設n為兩個未知素數(shù)的乘積，，為另兩個更大的已知素數(shù)，且；又，，，試用，和n求出x的值．【答案】(1)，；(2)證明見解析；(3).【分析】（1）利用歐拉函數(shù)的定義直接求出和.（2）分析求出x與n不互質的數(shù)的個數(shù)，求得，設，，結合二項式展開式證明，再按與分類求證即得.（3）利用的定義，記，，令，那么，且，，使，則，再探求數(shù)列項數(shù)及遞推關系即可求得答案.【詳解】（1）中，與6互質的數(shù)有1和5，則；中，與15互質的數(shù)有1、2、4、7、8、11、13和14，則8.（2）因為，p和q為素數(shù)，則對，僅當或時，x和n不互質，又，則，，…，或，，…時，x與n不互質，則，設，，可知s，t不全為0，下證時，；由題知，，又，所以，同理有；于是記，，即，同理，記，于是，則，因為，所以，所以，即；（i）時，記，則，記，又，而，則，即，即；（ii）若，不妨設，于是，所以，又，，所以；綜上，，得證：（3）因為，所以，則，則，假設存在，，使得；記，，令，那么，且，于是，使，則，從而數(shù)列有且僅有項，考慮使成立，則對于相鄰項有，將兩式相加并整理得：，令，得，又由于，，…，及均由和確定，則數(shù)列的各項也可根據(jù)n和確定，由上知，，則，即，其中是根據(jù)n和唯一確定的.【點睛】思路點睛：“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，涉及函數(shù)新定義問題，理解新定義，找出數(shù)量關系，聯(lián)想與題意有關的數(shù)學知識和方法，再轉化、抽象為相應的數(shù)學問題作答.1．（2024·湖北武漢·二模）歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)，且與互質的正整數(shù)的個數(shù)（公約數(shù)只有1的兩個正整數(shù)稱為互質整數(shù)），例如：，，則；若，則的最大值為．【答案】4【分析】由歐拉函數(shù)定義，確定中與8互質的數(shù)的個數(shù)求，且，應用作差法判斷的單調性，即可求最大值.【詳解】由題設，則中與8互質的數(shù)有，共4個數(shù)，故，在中，與互質的數(shù)為范圍內的所有奇數(shù)，共個，即，所以，則，當時，當時，即，所以的最大值為.故答案為：4，2．（23-24高三上·河北邢臺·開學考試）歐拉是18世紀最優(yōu)秀的數(shù)學家之一，幾乎每個數(shù)學領域都可以看到歐拉的名字，如著名的歐拉函數(shù).歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)n，且與n互素(兩個數(shù)只有公約數(shù)1)的正整數(shù)的個數(shù).例如：，.現(xiàn)從中任選兩個數(shù)，則這兩個數(shù)相同的概率是.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)新定義求出的值，然后結合組合知識利用古典概型概率公式求解即可.【詳解】根據(jù)歐拉函數(shù)的定義知，，，，，，，，，，，從中任選兩個數(shù)有種結果，其中這兩個數(shù)相同的有共8種結果，所以根據(jù)古典概率公式得所求的概率為.故答案為：考點七、黎曼函數(shù)8．（23-24高三上·河南·階段練習）（多選）黎曼函數(shù)（Riemannfunction）是一個特殊的函數(shù)，由德國數(shù)學家黎曼發(fā)現(xiàn)并提出，其基本定義是：（注：分子與分母是互質數(shù)的分數(shù)，稱為既約分數(shù)），則下列結論正確的是（

）A．B．黎曼函數(shù)的定義域為C．黎曼函數(shù)的最大值為D．若是奇函數(shù)，且，當時，，則【答案】BC【分析】根據(jù)函數(shù)的定義計算特殊值判斷A選項，根據(jù)定義域判斷B選項，根據(jù)值域判斷C選項，結合對稱性及周期性判斷D選項.【詳解】，錯誤.因為是既約真分數(shù)，或上的無理數(shù)，所以黎曼函數(shù)的定義域為正確.又為既約真分數(shù)，所以的最大值為正確.因為，所以.所以.因為是奇函數(shù)，所以，所以，即是以2為周期的周期函數(shù)，，所以錯誤.故選:.1．（2024·北京石景山·一模）黎曼函數(shù)在高等數(shù)學中有著廣泛應用，其一種定義為：時，．若數(shù)列，給出下列四個結論：①；②；③；④．其中所有正確結論的序號是．【答案】②③④【分析】根據(jù)黎曼函數(shù)的定義和性質逐項分析.【詳解】對于①，時，，故①錯誤；對于②，，，，故②正確；對于③，，故③正確；對于④，，，構造函數(shù)，，則，單調遞增，，即當時，，，當時，，，，故④正確.故選：②③④.【點睛】方法點睛：新定義題型的特點是：通過給出一個新概念，或約定一種新運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達到靈活解題的目的：遇到新定義問題，應耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證、運算，使問題得以解決．考點八、曲率1．（2024·廣西來賓·模擬預測）曲率是數(shù)學上衡量曲線彎曲程度的重要指標，對于曲線，其在點處的曲率，其中是的導函數(shù)，是的導函數(shù)．則拋物線上的各點處的曲率最大值為（

）A． B．p C． D．【答案】C【分析】先求出函數(shù)的導函數(shù)f′x及導函數(shù)的導函數(shù)，再根據(jù)公式求出各點處的曲率，并解出最大值即可.【詳解】由題可知拋物線方程為：，則，，則該拋物線在各點處的曲率，當時，取最大值.故選：C.2．（2024·全國·二模）廣州小蠻腰是廣州市的地標性建筑，奇妙的曲線造型讓建筑充滿了美感，數(shù)學上用曲率表示曲線的彎曲程度.設函數(shù)的導函數(shù)為的導函數(shù)記為，則函數(shù)的圖象在x0,fx0的曲率.(1)求橢圓在處的曲率；(2)證明：函數(shù)圖象的曲率的極大值點位于區(qū)間.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）先求導得出函數(shù)值再計算曲率；（2）先求二階導數(shù)得出曲率函數(shù)，再設變量構造新函數(shù)求導得出函數(shù)單調性繼而得出極值即可判斷證明區(qū)間.【詳解】（1）當時，由，得，則即橢圓在處的曲率為（2）由，得，令，則，令，.令，在區(qū)間上單調遞減，，故存在，使，當時，，即；當時，，即.為的極大值點，由，知，，即的極大值點位于區(qū)間.【點睛】方法點睛：設變量構造新函數(shù)求導得出函數(shù)單調性繼而得出極值即可判斷證明區(qū)間.1．（22-23高三上·山東·階段練習）（多選）曲線的曲率就是針對曲線上某個點的切線方向角對弧長的轉動率，表明曲線偏離直線的程度，曲率越大，表示曲線的彎曲程度越大．曲線在點處的曲率，其中是的導函數(shù)．下面說法正確的是（）A．若函數(shù)，則曲線在點與點處的彎曲程度相同B．若是二次函數(shù)，則曲線的曲率在頂點處取得最小值C．若函數(shù)，則函數(shù)的值域為D．若函數(shù)，則曲線上任意一點的曲率的最大值為【答案】ACD【分析】根據(jù)曲率的定義求出曲率，由曲率函數(shù)為偶函數(shù)判斷A，計算二次函數(shù)曲率，可知時有最大值判斷B，求出函數(shù)的曲率函數(shù)，換元后求值域即可判斷C，求出的曲率利用均值不等式求最大值判斷D.【詳解】對于A，，，則，又，所以為偶函數(shù)，曲線在兩點的彎曲長度相同，故A正確；對于B，設，，則，當且僅當，即時，曲率取得最大值，故B錯誤；對于C，，，令，則，當時，；當時，單調遞增且，單調遞減且，單調遞增且，根據(jù)復合函數(shù)的單調性知在時單調遞減，所以可知在時單調遞增，所以的最大值為，所以，即，故C正確；對于D，，，當且僅當時，等號成立，故D正確．故選：ACD．考點九、極值點與拐點1．（2024·湖南長沙·二模）極值的廣義定義如下：如果一個函數(shù)在一點的一個鄰域（包含該點的開區(qū)間）內處處都有確定的值，而以該點處的值為最大（小），這函數(shù)在該點處的值就是一個極大（?。┲?對于函數(shù)，設自變量x從變化到，當，是一個確定的值，則稱函數(shù)在點處右可導；當，是一個確定的值，則稱函數(shù)在點處左可導.當函數(shù)在點處既右可導也左可導且導數(shù)值相等，則稱函數(shù)在點處可導.(1)請舉出一個例子，說明該函數(shù)在某點處不可導，但是該點是該函數(shù)的極值點；(2)已知函數(shù).（?。┣蠛瘮?shù)在處的切線方程；（ⅱ）若為的極小值點，求a的取值范圍.【答案】(1)，說明見解析(2)（?。┣芯€方程為，（ⅱ）【分析】（1）根據(jù)題意，求出函數(shù)的左導數(shù)和右導數(shù)，即可說明；（2）（?。└鶕?jù)導數(shù)的幾何意義求切線；（ⅱ），通過利用導數(shù)研究函數(shù)的性質，解決的極小值問題，從而求a的取值范圍.【詳解】（1），為該函數(shù)的極值點，當，，當，，則該函數(shù)在處的左導數(shù)為，右導數(shù)為1，所以該函數(shù)在處不可導.（2）（?。└鶕?jù)題意，，則切點，又，則，所以切線方程為；（ⅱ），因為當時，，故與同號，，先考察的性質，由于為偶函數(shù)，只需分析其在上的性質即可，，，設，則，，則必有，即.①否則，若，即，則必存在一個區(qū)間，使得，則在單調遞減，又，則在區(qū)間內小于0，則在單調遞減，又，故在區(qū)間內小于0，故在區(qū)間內小于0，則不可能為的極小值點.②當時，，令，，令，則，易知在區(qū)間上單調遞增，對，，則在區(qū)間上大于0，故在區(qū)間上單調遞增.故在區(qū)間上單調遞增.又，故，故在區(qū)間上單調遞增，又，故，故在區(qū)間上單調遞增，又，故，，則，，故當時，，由偶函數(shù)知時，，故為的極小值點，所以a的取值范圍為.【點睛】關鍵點點睛：最后一問中由，通過利用導數(shù)研究函數(shù)的性質，解決的極小值問題，從而求a的取值范圍.2．（2024·貴州·模擬預測）定義：設是的導函數(shù)，是函數(shù)的導數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”.經過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”且“拐點”就是三次函數(shù)圖象的對稱中心.已知函數(shù)圖象的對稱中心為，則下列說法中正確的有（

）A．， B．函數(shù)的極大值與極小值之和為2C．函數(shù)有三個零點 D．在區(qū)間上單調遞減【答案】AB【分析】根據(jù)題意，對函數(shù)進行二次求導，可得“拐點”，而“拐點”同時也滿足函數(shù)解析式，這樣就可以得到參數(shù)的值，進而根據(jù)三次函數(shù)的圖象與性質，可得正確答案.【詳解】由，可得，，令，得，因為函數(shù)圖象的對稱中心為，因此，解得，，故選項A正確；由以上過程可知，，且當或時，；當時，.于是在和上都是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，故選項D錯誤；因為關于點對稱，所以的極大值與極小值之和為，故選項B正確；因為函數(shù)極小值，由三次函數(shù)的性質知，只有一個零點，所以選項C錯誤，故選：AB.1．（2024·河南·三模）設函數(shù)的導函數(shù)為的導函數(shù)為的導函數(shù)為