1.4 充分、必要條件（教師版）

.4充分、必要條件（精講）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖常見(jiàn)考法常見(jiàn)考法考法一命題及其判斷【例1】（1）（2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）下列語(yǔ)句為命題的是（）A． B．求證對(duì)頂角相等C．不是偶數(shù) D．今天心情真好?。?）（2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）命題“三角形中，大邊對(duì)大角”，改成“若，則”的形式，則（)A．三角形中，若一邊較大，則其對(duì)的角也大，真命題B．三角形中，若一邊較大，則其對(duì)的角也大，假命題C．若一個(gè)平面圖形是三角形，則大邊對(duì)大角，真命題D．若一個(gè)平面圖形是三角形，則大邊對(duì)大角，假命題【答案】（1）C（2）A）【解析】（1）對(duì)于A選項(xiàng)，為不等式，不能判定真假，故不是命題；對(duì)于B選項(xiàng)，“求證對(duì)頂角相等”為操作命令；對(duì)于D選項(xiàng)，為感嘆句，不是命題.故選：C.（2））命題中“三角形中”是大前提，條件應(yīng)該是“大邊”，結(jié)論是“對(duì)大角”，所以正確選項(xiàng)為A.命題的判斷：（1）陳述句（2）可以判斷對(duì)錯(cuò)命題的判斷：（1）陳述句（2）可以判斷對(duì)錯(cuò)命題的一般形式：若p則q命題的逆命題、否命題、逆否命題的改寫(xiě)時(shí)，先把原命題改成若p則q【一隅三反】1．（2019·寧波市第四中學(xué)高二期中）命題“若，都是奇數(shù)，則是偶數(shù)”的逆否命題是（）A．若兩個(gè)整數(shù)與的和是偶數(shù)，則，都是奇數(shù)B．若兩個(gè)整數(shù)，不都是奇數(shù)，則不是偶數(shù)C．若兩個(gè)整數(shù)與的和不是偶數(shù)，則，都不是奇數(shù)D．若兩個(gè)整數(shù)與的和不是偶數(shù)，則，不都是奇數(shù)【答案】D【解析】由逆否命題定義可知：命題“，都是奇數(shù)，則是偶數(shù)”的逆否命題是：“若不是偶數(shù)，則，不都是奇數(shù)”．故選：D．2．（2020·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)（文））命題“若，則”的逆否命題是（）A．若，則，或 B．若，則C．若，或，則 D．若或，則【答案】D【解析】命題“若，則”的逆否命題是“若或，則”.故選：D.3．（2020·黑龍江高二期末（文））若，則的否命題是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【解析】“若，則”的否命題是“若，則”.故選：C.考法二充分、必要條件【例2】（1）（2019年天津市高考數(shù)學(xué)試卷（理科））設(shè)，則“”是“”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件（2）（2019安徽省合肥市第一中學(xué)）不等式成立的一個(gè)充分不必要條件是（）A． B．或C． D．或【答案】（1）B（2）C【解析】（1）化簡(jiǎn)不等式，可知推不出；由能推出，故“”是“”的必要不充分條件，故選B．（2）解不等式，得或，結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)，D是其充要條件，AB是其既不充分也不必要條件，C選項(xiàng)是其充分不必要條件.故選：C.【一隅三反】1.（北師大版新教材2.1必要條件與充分條件）設(shè)集合，，則“”是“”的（)A．充分條件 B．必要條件C．沒(méi)有充分、必要性 D．既是充分又是必要條件【答案】A【解析】當(dāng)，集合，，所以正確，即“”是“”的充分條件，所以正確選項(xiàng)為A.2．（2020屆山東省煙臺(tái)市高考診斷性測(cè)試）設(shè)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】，解得，，解得或，“”成立，則“或”成立，而“或”成立，“”不一定成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A3．若集合，下列各式是“”的充分不必要條件的是（)A． B． C． D．【答案】B【解析】集合，當(dāng)時(shí)，，反之不成立，即為充分不必要條件，所以正確選項(xiàng)為B.考法三求參數(shù)【例3】（《2020年高考一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)》）已知，，且是的充分不必要條件，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意知：可化簡(jiǎn)為，，所以中變量取值的集合是中變量取值集合的真子集，所以.利用原命題與其逆否命題的等價(jià)性，對(duì)利用原命題與其逆否命題的等價(jià)性，對(duì)是的充分不必要條件進(jìn)行命題轉(zhuǎn)換，使問(wèn)題易于求解.【一隅三反】1“關(guān)于x的不等式的解集為R”的一個(gè)必要不充分條件是()A． B．C． D．或【答案】C【解析】因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集為，所以函數(shù)的圖象始終落在軸的上方，即，解得，因?yàn)橐移浔匾怀浞謼l件，從而得到是對(duì)應(yīng)集合的真子集，對(duì)比可得C選項(xiàng)滿足條件，故選C.2．已知，，若p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，即，解得，由得，若是的充分不必要條件，則，解得，實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：C.3．（河南省高中畢業(yè)班階段性測(cè)試（四）理科數(shù)學(xué)試）關(guān)于的不等式成立的一個(gè)充分不必要條件是，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題可知是不等式的解集的一個(gè)真子集.當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，，合乎題意；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，由題意可得，此時(shí).綜上所述，.故選：D.考法四充分性必要性的證明【例4】（2020年【銜接教材暑假作業(yè)】初高中銜接數(shù)學(xué)）已知都是非零實(shí)數(shù)，且，求證：的充要條件是.【答案】見(jiàn)解析【解析】（1）必要性：由，得，即，又由，得，所以.（2）充分性：由及，得，即.綜上所述，的充要條件是【一隅三反】1．（2020年【銜接教材暑假作業(yè)】初高中銜接數(shù)學(xué)（新人教版））求證：關(guān)于x的方程有兩個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是．【答案】詳見(jiàn)解析【解析】充分性：，，方程有實(shí)根，設(shè)的兩根為，，由韋達(dá)定理知：，、同號(hào)，又，，同為負(fù)根；必要性：的兩個(gè)實(shí)根，均為負(fù)，且，，．所以命題得證．2．求證：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac<0.【答案】見(jiàn)解析．【解析】(1)必要性：因?yàn)榉匠逃幸徽鸵回?fù)根，所以為方程的兩根)，所以ac<0.(2)充分性：由ac<0