2.3 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式（教師版）

15/162.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式（精講）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖常見考法常見考法考點一解一元二次不等式【例1】（2021·利辛縣闞疃金石中學(xué)）解下列不等式：（1）；（2）.（3）（3）（4）（5）【答案】（1）；（2）.（3）；（4）（5）.【解析】（1）由可得，解原不等式可得.因此，不等式的解集為；（2）由可得，變形得，解原不等式可得或.因此，不等式的解集為.(3)化為，，即，或，原不等式的解集為．由得，即，解得：或，所以不等式的解集是，（5）化為，即，，且，即(且)原不等式的解集為．【一隅三反】1．（2021·安徽亳州市）不等式的解集為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由可得，解得，所以不等式的解集為.故選：B2．（2021·全國高一課時練習(xí)）求下列不等式的解集.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）R..【解析】（1）同解于：或，解得：或，所以原不等式的解集為.（2）可化為即或，解得：或無解所以原不等式的解集為.（3）可化為：，解得：，所以原不等式的解集為.（4）可化為：，所以，無解.所以原不等式的解集為.（5）可化為：，即或，解得：或所以原不等式的解集為.（6）．可化為：，所以,所以原不等式的解集為R.考點二根據(jù)一元二次不等式解求參【例2】（1）（2021·江蘇）已知不等式ax2﹣bx+2＞0的解集為{x|＜x＜2}，則不等式2x2+bx+a＜0的解集為（）A．{x|＜x＜1} B．{x|x＜或x＞}C．{x|＜x＜} D．{x|x＜或x＞1}（2）（2021·重慶市育才中學(xué)高一月考）關(guān)于的方程有兩個正的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（）.A． B．C． D．（3）（2021·重慶市萬州南京中學(xué)高一開學(xué)考試）如果方程的兩個實根一個小于1，另一個大于1，那么實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【答案】（1）A（2）D（3）C【解析】（1）不等式ax2﹣bx+2＞0的解集為{x|＜x＜2}，所以，2是方程ax2-bx+2＝0的兩個實數(shù)根，且a＜0，由根與系數(shù)的關(guān)系知，解得；所以不等式2x2+bx+a＜0化為2x2﹣x﹣1＜0，解得＜x＜1；所以不等式2x2+bx+a＜0的解集為{x|＜x＜1}．故選：A．（2）方程有兩個實數(shù)根，△，，的方程有兩個正的實數(shù)根，對應(yīng)的二次函數(shù)的開口向上，對稱軸所以，可得，或，，故選：．（3）因為方程的兩個實根一個小于1，另一個大于1，所以可作出函數(shù)的簡圖如下：由圖可得：，即：解得：故選C【一隅三反】1．（2021·合肥一六八中學(xué)高一期末）關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】的解集是，，得，則不等式，即，解得：，所以不等式的解集是.故選：D2．（2021·廣東湛江市·高一期末）已知不等式的解集為，則不等式的解集是（）A． B．C．或 D．或【答案】A【解析】的解集為,則的根為，即，，解得，則不等式可化為，即為，解得或，故選：A.3．（2021·江蘇）（多選）關(guān)于x的不等式的解集為，則下列正確的是（）A．B．關(guān)于x的不等式的解集為C．D．關(guān)于x的不等式的解集為【答案】ACD【解析】A．由已知可得且是方程的兩根，A正確，B．由根與系數(shù)的關(guān)系可得：，解得，則不等式可化為：，即，所以，B錯誤，C．因為，C正確，D．不等式可化為：，即，解得或，D正確，故選：ACD．4．（2021·上海高一）已知方程有兩個負(fù)根，求的取值范圍．【答案】【解析】設(shè)方程兩個負(fù)根分別為：，因此有：且且，解得：，所以的取值范圍是.5．（2021·上海市楊浦高級中學(xué)高一期末）若方程的三個根可以作為一個三角形的三條邊的長，則實數(shù)的取值范圍是______________.【答案】【解析】方程有三根，，有根，方程的，得．又原方程有三根，且為三角形的三邊和長．有，，而已成立；當(dāng)時，兩邊平方得：．即：．解得．．故答案為：6．（2021·全國高二單元測試）已知方程,求使方程有兩個大于的實數(shù)根的充要條件．【答案】【解析】令，方程有兩個大于的實數(shù)根，解得所以，方程,求使方程有兩個大于的實數(shù)根的充要條件為考法三含參數(shù)的一元二次不等式的解法【例3】（2021·廣東）解關(guān)于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R)．【答案】答案見解析【解析】若a＝0，原不等式等價于－x＋1<0，解得x>1．若a<0，原不等式等價于，解得或x>1．若a>0，原不等式等價于．①當(dāng)a＝1時，，無解；②當(dāng)a>1時，，解，得；③當(dāng)0<a<1時，，解，得；綜上所述，當(dāng)a<0時，解集為或；當(dāng)a＝0時，解集為{x|x>1}；當(dāng)0<a<1時，解集為；當(dāng)a＝1時，解集為?；當(dāng)a>1時，解集為．【一隅三反】1．（2021·六安市裕安區(qū)新安中學(xué)高一期末）已知，關(guān)于x的不等式的解集為（）A．或 B． C．或 D．【答案】A【解析】不等式化為，，，故不等式的解集為或.故選：A.2．（2021·全國高一）解關(guān)于的不等式.【答案】答案見解析.【解析】不等式，化為，當(dāng)時，解得或，當(dāng)時，解得R,當(dāng)時，解得或，綜上：當(dāng)時，不等式的解集是或；當(dāng)時，不等式的解集是R；當(dāng)時，不等式的解集是或；3．（2021·安徽省臨泉第一中學(xué)）解關(guān)于的不等式.【答案】答案見解析【解析】由題意可知，可化為（1）當(dāng)時，不等式化為，解得，（2）當(dāng)時，不等式化為，解得，（3）當(dāng)時，不等式化為，解得或，（4）當(dāng)時，不等式化為，解得，（5）當(dāng)時，不等式化為，解得或，綜上所述，時，不等式的解集為時，不等式的解集為；時，不等式的解集為；時，不等式的解集為；時，不等式的解集為;4．（2021·全國高一課時練習(xí)）解關(guān)于x的不等式ax2－2(a＋1)x＋4>0.【答案】答案見解析.【解析】(1)當(dāng)a＝0時，原不等式可化為－2x＋4>0，解得x<2，所以原不等式的解集為{x|x<2}．(2)當(dāng)a>0時，原不等式可化為(ax－2)(x－2)>0，對應(yīng)方程的兩個根為x1＝，x2＝2.①當(dāng)0<a<1時，>2，所以原不等式的解集為或；②當(dāng)a＝1時，＝2，所以原不等式的解集為{x|x≠2}；③當(dāng)a>1時，<2，所以原不等式的解集為或.(3)當(dāng)a<0時，原不等式可化為(－ax＋2)(x－2)<0，對應(yīng)方程的兩個根為x1＝，x2＝2，則<2，所以原不等式的解集為.綜上，a<0時，原不等式的解集為；a＝0時，原不等式的解集為{x|x<2}；0<a≤1時，原不等式的解集為或；當(dāng)a>1時，原不等式的解集為或.考法四一元二次不等式恒成立【例4】（1）（2021·陵川縣高級實驗中學(xué)校）不等式對一切實數(shù)都成立，則實數(shù)a的范圍是（2）．（2021·浙江高一期末）若不等式對一切恒成立，則的取值范圍是___．（3）．（2021·全國高一）若關(guān)于的不等式的解集為，則實數(shù)的取值范圍是（4）（2021·北京）若關(guān)于的不等式在區(qū)間(1，4)內(nèi)有解，則實數(shù)a的取值范圍是【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】（1）不等式可變形為由不等式對一切實數(shù)都成立，，即，解得故選：C（2）因為不等式對一切恒成立，所以對一切恒成立，令，可知成立，當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以.（3）當(dāng)時，，此不等式無解；當(dāng)，要使原不等式無解，應(yīng)滿足：，解得：.（4）不等式等價于存在，使成立，即設(shè)當(dāng)時，所以.【一隅三反】1．（2021·北京高一其他模擬）已知不等式的解集為則的取值范圍是【答案】【解析】因為不等式的解集為所以，解得，所以的取值范圍是2．（2021·全國高三專題練習(xí)）若關(guān)于x的不等式x2－4x≥m對任意x∈(0，1]恒成立，則m的取值范圍為________．【答案】m≤－3【解析】只需要在x∈(0，1]時，(x2－4x)min≥m即可．因為函數(shù)f(x)＝x2－4x在(0，1]上為減函數(shù)，所以當(dāng)x＝1時，(x2－4x)min＝1－4＝－3，所以m≤－3．3．（2021·江蘇揚州市·揚州中學(xué)）不等式的解集是空集，則實數(shù)的范圍為【答案】【解析】令，解得；當(dāng)時，不等式化為，解得，不合題意，舍去；當(dāng)時，不等式化為，無解，符合題意；當(dāng)，即時，因為的解集是空集，所以恒成立，所以，解得，4．（2021·江西贛州市）若不等式在上有解，則實數(shù)的取值范圍是?！敬鸢浮俊窘馕觥恳驗椴坏仁皆谏嫌薪猓圆坏仁皆谏嫌薪?，令，則，所以考點五實際問題【例5】（2021·浙江湖州市·湖州中學(xué)高一月考）如圖所示，某學(xué)校要在長為米，寬為米的一塊矩形地面上進(jìn)行綠化，計劃四周種花卉，花卉帶的寬度相同，均為米，中間植草坪.為了美觀，要求草坪的面積大于矩形土地面積的一半，則的取值范圍為________.【答案】【解析】設(shè)花卉帶寬度為米，則中間草坪的長為米，寬為米，根據(jù)題意可得，整理得：，即，解得或，不合題意，舍去，故所求花卉帶寬度的范圍為，故答案為：.【一隅三反】1．（2021·浙江高一期末）某小型服裝廠生產(chǎn)一種風(fēng)衣，日銷售量x（件）與單價P（元）之間的關(guān)系為，生產(chǎn)x件所需成本為C（元），其中元，若要求每天獲利不少于1300元，則日銷量x的取值范圍是A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)該廠每天獲得的利潤為元，則，，根據(jù)題意知，，解得：，所以當(dāng)時，每天獲得的利潤不少于元，故選．2．（2020·河北滄州市·高一期中）某種雜志原以每本元的價格銷售，可以售出萬本.根據(jù)市場調(diào)查，雜志的單價每提高元，銷售量就減少本.設(shè)每本雜志的定價為元，要使得提價后的銷售總收入不低于萬元，則應(yīng)滿足（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)提價后雜志的定價設(shè)為元，則提價后的銷售量為：萬本，因為銷售的總收入不低于萬元，列不等式為：，即，即，故選：A.3．（2020·吉林長春市·長春十一高高一期中）某地每年銷售木材約20萬立方米，每立方米價格為2400元，為了減少木材消耗，決定按銷售收入的征收木材稅，這樣每年的木材銷售量減少萬立方米，為了既減少木材消耗又保證稅金收入每年不少于900萬元，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意可得，，整理可得解得故選