《高等函數(shù)的連續(xù)性與極限》課件

《高等函數(shù)的連續(xù)性與極限》本課件旨在幫助您理解高等函數(shù)的連續(xù)性與極限的概念、性質及應用，并掌握相關計算技巧。課程大綱11.連續(xù)性的定義22.函數(shù)的連續(xù)性分類33.一般函數(shù)的連續(xù)性判定44.復合函數(shù)的連續(xù)性55.初等函數(shù)的連續(xù)性66.函數(shù)的性質與連續(xù)性77.函數(shù)極限的定義88.極限的性質99.利用性質計算極限1010.極限的代數(shù)運算1111.函數(shù)極限的性質1212.單側極限與雙側極限1313.無窮小與無窮大1414.無窮小的性質1515.常見無窮小的比較1616.利用比較判斷極限1717.極限存在的充要條件1818.函數(shù)極限存在的充要條件1919.初等函數(shù)極限計算技巧2020.利用代數(shù)方法計算極限2121.利用夾逼定理計算極限2222.利用洛必達法則計算極限2323.間斷點及其分類2424.間斷點的判定2525.間斷函數(shù)的連續(xù)性2626.函數(shù)的連續(xù)性與可導性2727.函數(shù)的可導性概念2828.可導性的充要條件2929.可導性與連續(xù)性的關系3030.導數(shù)的概念及性質3131.基本初等函數(shù)的導數(shù)3232.復合函數(shù)的求導法則3333.反函數(shù)的求導法則3434.高階導數(shù)及其應用3535.習題演練3636.總結與展望連續(xù)性的定義定義設函數(shù)f(x)在點x0的某個鄰域內有定義，若lim(x->x0)f(x)=f(x0)，則稱函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù).直觀理解函數(shù)在某點連續(xù)意味著函數(shù)的圖像在該點沒有“斷裂”，可以“平滑”地穿過該點.函數(shù)的連續(xù)性分類連續(xù)函數(shù)函數(shù)在定義域內每一點都連續(xù)，則稱該函數(shù)為連續(xù)函數(shù).間斷函數(shù)函數(shù)在定義域內至少有一點不連續(xù)，則稱該函數(shù)為間斷函數(shù).一般函數(shù)的連續(xù)性判定直接判定若函數(shù)f(x)在點x0處有定義，且lim(x->x0)f(x)=f(x0)，則f(x)在x0處連續(xù).間接判定若函數(shù)f(x)在點x0處有定義，且lim(x->x0)f(x)不存在或lim(x->x0)f(x)不等于f(x0)，則f(x)在x0處不連續(xù).復合函數(shù)的連續(xù)性復合函數(shù)定義設y=f(u)和u=g(x)均為連續(xù)函數(shù)，則復合函數(shù)y=f(g(x))在g(x)的定義域內連續(xù).判定方法若g(x)在點x0處連續(xù)，且f(u)在u0=g(x0)處連續(xù)，則復合函數(shù)y=f(g(x))在點x0處連續(xù).初等函數(shù)的連續(xù)性多項式函數(shù)多項式函數(shù)在其定義域內處處連續(xù).有理函數(shù)有理函數(shù)在其分母不為零的點處連續(xù).指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)在其定義域內處處連續(xù).對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)在其定義域內處處連續(xù).三角函數(shù)三角函數(shù)在其定義域內處處連續(xù).函數(shù)的性質與連續(xù)性1有界性連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上一定有界.2最大值最小值定理連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上一定存在最大值和最小值.3介值定理設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)≠f(b)，則對于f(a)和f(b)之間的任意值c，一定存在一點ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=c.函數(shù)極限的定義定義設函數(shù)f(x)在點x0的去心鄰域內有定義，如果存在一個常數(shù)A，對于任意小的正數(shù)ε，總存在正數(shù)δ，使得當0<|x-x0|<δ時，有|f(x)-A|<ε成立，則稱常數(shù)A為函數(shù)f(x)當x趨近于x0時極限，記為lim(x->x0)f(x)=A.直觀理解函數(shù)極限表示當自變量無限接近某個值時，函數(shù)的值無限接近于某個常數(shù)，而并不一定等于該常數(shù).極限的性質唯一性如果函數(shù)f(x)的極限存在，則該極限是唯一的.有界性如果函數(shù)f(x)在點x0的某個去心鄰域內有界，且lim(x->x0)f(x)存在，則lim(x->x0)f(x)也是有界的.保號性如果函數(shù)f(x)在點x0的某個去心鄰域內恒大于零(或恒小于零)，且lim(x->x0)f(x)存在，則lim(x->x0)f(x)也大于零(或小于零).夾逼定理如果函數(shù)f(x)、g(x)和h(x)在點x0的某個去心鄰域內滿足f(x)≤g(x)≤h(x)，且lim(x->x0)f(x)=lim(x->x0)h(x)=A，則lim(x->x0)g(x)存在，且lim(x->x0)g(x)=A.利用性質計算極限1.唯一性如果函數(shù)f(x)的極限存在，則該極限是唯一的.2.有界性如果函數(shù)f(x)在點x0的某個去心鄰域內有界，且lim(x->x0)f(x)存在，則lim(x->x0)f(x)也是有界的.3.保號性如果函數(shù)f(x)在點x0的某個去心鄰域內恒大于零(或恒小于零)，且lim(x->x0)f(x)存在，則lim(x->x0)f(x)也大于零(或小于零).4.夾逼定理如果函數(shù)f(x)、g(x)和h(x)在點x0的某個去心鄰域內滿足f(x)≤g(x)≤h(x)，且lim(x->x0)f(x)=lim(x->x0)h(x)=A，則lim(x->x0)g(x)存在，且lim(x->x0)g(x)=A.極限的代數(shù)運算1和差運算lim(x->x0)[f(x)±g(x)]=lim(x->x0)f(x)±lim(x->x0)g(x)2乘積運算lim(x->x0)[f(x)*g(x)]=lim(x->x0)f(x)*lim(x->x0)g(x)3商運算lim(x->x0)[f(x)/g(x)]=lim(x->x0)f(x)/lim(x->x0)g(x)，其中l(wèi)im(x->x0)g(x)≠04常數(shù)倍運算lim(x->x0)[c*f(x)]=c*lim(x->x0)f(x)，其中c為常數(shù)函數(shù)極限的性質極限的唯一性如果函數(shù)f(x)的極限存在，則該極限是唯一的.1極限的有界性如果函數(shù)f(x)在點x0的某個去心鄰域內有界，且lim(x->x0)f(x)存在，則lim(x->x0)f(x)也是有界的.2極限的保號性如果函數(shù)f(x)在點x0的某個去心鄰域內恒大于零(或恒小于零)，且lim(x->x0)f(x)存在，則lim(x->x0)f(x)也大于零(或小于零).3極限的夾逼定理如果函數(shù)f(x)、g(x)和h(x)在點x0的某個去心鄰域內滿足f(x)≤g(x)≤h(x)，且lim(x->x0)f(x)=lim(x->x0)h(x)=A，則lim(x->x0)g(x)存在，且lim(x->x0)g(x)=A.4單側極限與雙側極限單側極限左極限：lim(x->x0-)f(x)=A表示當x從x0的左側無限接近x0時，函數(shù)f(x)的極限為A.雙側極限雙側極限：lim(x->x0)f(x)=A表示當x從x0的兩側無限接近x0時，函數(shù)f(x)的極限為A.無窮小與無窮大無窮小如果函數(shù)f(x)當x趨近于x0時極限為0，則稱f(x)為x趨近于x0時的無窮小.無窮大如果函數(shù)f(x)當x趨近于x0時極限為無窮大，則稱f(x)為x趨近于x0時的無窮大.無窮小的性質1.唯一性如果函數(shù)f(x)當x趨近于x0時極限為0，則稱f(x)為x趨近于x0時的無窮小.2.有界性如果函數(shù)f(x)當x趨近于x0時極限為0，則f(x)在點x0的某個去心鄰域內一定有界.3.保號性如果函數(shù)f(x)當x趨近于x0時極限為0，且f(x)在點x0的某個去心鄰域內恒大于零(或恒小于零)，則f(x)在該去心鄰域內一定恒大于零(或恒小于零).4.無窮小與無窮大的關系如果函數(shù)f(x)為x趨近于x0時的無窮大，則1/f(x)為x趨近于x0時的無窮小.常見無窮小的比較x1x^22x^33sinx1tanx1ln(1+x)1e^x-11利用比較判斷極限1比較法如果函數(shù)f(x)和g(x)在點x0的某個去心鄰域內滿足|f(x)|≤|g(x)|，且lim(x->x0)g(x)=0，則lim(x->x0)f(x)=0.2夾逼定理如果函數(shù)f(x)、g(x)和h(x)在點x0的某個去心鄰域內滿足f(x)≤g(x)≤h(x)，且lim(x->x0)f(x)=lim(x->x0)h(x)=A，則lim(x->x0)g(x)存在，且lim(x->x0)g(x)=A.極限存在的充要條件1條件一函數(shù)f(x)在點x0的某個去心鄰域內有定義，且lim(x->x0)f(x)存在.2條件二函數(shù)f(x)的左右極限都存在且相等.3結論如果條件一和條件二都滿足，則函數(shù)f(x)在點x0處有極限.函數(shù)極限存在的充要條件條件一函數(shù)f(x)在點x0的某個去心鄰域內有定義.條件二函數(shù)f(x)的左右極限都存在且相等.結論如果條件一和條件二都滿足，則函數(shù)f(x)在點x0處有極限.初等函數(shù)極限計算技巧代數(shù)方法利用極限的代數(shù)運算性質，直接計算函數(shù)極限.夾逼定理利用夾逼定理，將目標函數(shù)夾在兩個已知極限的函數(shù)之間，從而求得目標函數(shù)的極限.洛必達法則利用洛必達法則，將目標函數(shù)的極限轉化為分子分母的導數(shù)的極限.利用代數(shù)方法計算極限11.因式分解如果目標函數(shù)可以進行因式分解，則可以約去公共因子，從而簡化計算.22.合并同類項如果目標函數(shù)包含多個同類項，則可以將同類項合并，從而簡化計算.33.提取公因式如果目標函數(shù)包含多個公因式，則可以提取公因式，從而簡化計算.44.利用有理化如果目標函數(shù)包含根式，則可以利用有理化，消除根式，從而簡化計算.利用夾逼定理計算極限1夾逼定理如果函數(shù)f(x)、g(x)和h(x)在點x0的某個去心鄰域內滿足f(x)≤g(x)≤h(x)，且lim(x->x0)f(x)=lim(x->x0)h(x)=A，則lim(x->x0)g(x)存在，且lim(x->x0)g(x)=A.2應用將目標函數(shù)夾在兩個已知極限的函數(shù)之間，利用夾逼定理求得目標函數(shù)的極限.利用洛必達法則計算極限1洛必達法則如果函數(shù)f(x)和g(x)在點x0的某個去心鄰域內都可導，且lim(x->x0)f(x)=lim(x->x0)g(x)=0或lim(x->x0)f(x)=lim(x->x0)g(x)=∞，且lim(x->x0)[f'(x)/g'(x)]存在，則lim(x->x0)[f(x)/g(x)]存在，且lim(x->x0)[f(x)/g(x)]=lim(x->x0)[f'(x)/g'(x)].2應用將目標函數(shù)的極限轉化為分子分母的導數(shù)的極限，利用洛必達法則求解.間斷點及其分類定義如果函數(shù)f(x)在點x0處不連續(xù)，則稱x0為f(x)的間斷點.分類可去間斷點、跳躍間斷點、無窮間斷點.間斷點的判定可去間斷點如果函數(shù)f(x)在點x0處有定義，且lim(x->x0)f(x)存在，但lim(x->x0)f(x)≠f(x0)，則x0為f(x)的可去間斷點.跳躍間斷點如果函數(shù)f(x)在點x0處有定義，且lim(x->x0-)f(x)和lim(x->x0+)f(x)都存在，但lim(x->x0-)f(x)≠lim(x->x0+)f(x)，則x0為f(x)的跳躍間斷點.無窮間斷點如果函數(shù)f(x)在點x0處有定義，且lim(x->x0)f(x)=∞，則x0為f(x)的無窮間斷點.間斷函數(shù)的連續(xù)性定義如果函數(shù)f(x)在定義域內至少有一點不連續(xù)，則稱該函數(shù)為間斷函數(shù).性質間斷函數(shù)在其間斷點處不連續(xù)，但在其他點處可能連續(xù).函數(shù)的連續(xù)性與可導性連續(xù)性函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)意味著函數(shù)的圖像在該點沒有“斷裂”，可以“平滑”地穿過該點.可導性函數(shù)f(x)在點x0處可導意味著函數(shù)的圖像在該點存在切線，且該切線的斜率存在.函數(shù)的可導性概念定義設函數(shù)f(x)在點x0的某個鄰域內有定義，若極限lim(h->0)[f(x0+h)-f(x0)]/h存在，則稱函數(shù)f(x)在點x0處可導.幾何意義函數(shù)f(x)在點x0處可導意味著函數(shù)的圖像在該點存在切線，且該切線的斜率存在.可導性的充要條件1條件一函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù).2條件二函數(shù)f(x)在點x0處的左右導數(shù)都存在且相等.3結論如果條件一和條件二都滿足，則函數(shù)f(x)在點x0處可導.可導性與連續(xù)性的關系可導性如果函數(shù)f(x)在點x0處可導，則f(x)在點x0處一定連續(xù).1連續(xù)性如果函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)，則f(x)在點x0處不一定可導.2導數(shù)的概念及性質定義設函數(shù)f(x)在點x0處