人教版九年級數(shù)上冊 全冊課時作業(yè)

21.1一元二次方程

一、選擇題

1.（2023河北保定期末）下列方程是一元二次方程的是（）

A.ar2+te+c=0（ti>b、c是常數(shù)）B.Z^+Sx-1=2（x2-4）

Cf+2=0

0.4^+-X=5

2.（2023四川達(dá)州達(dá)川期末）一元二次方程3^+1=5x的二次項(xiàng)系數(shù)，一

次項(xiàng)系數(shù),常數(shù)項(xiàng)分別是（）

A.3,5』B.3』,5C.3,-5,1D.3』,-5

3.（2023青海西寧城西期末）若m是方程/+工-1=0的根，則2/n2+2/n+

2022的值為（）

A.2024B.2023C.2022D.2021

4.（2023福建泉州期末）某足球賽小組內(nèi)比賽采用單循環(huán)制，即每支球

隊必須和其余球隊比賽一場.現(xiàn)A組有x支球隊參加，共比賽了28場,

則下列方程中符合題意的是（）

AJC（X-1）=28B.-x（x-1）=28

1

C.-x（x+1）=28D.x（x+1）=28

二、填空題

5.（2022廣東中考）若是方程P2x+a=0的根，則a=.

6.已知》1-2一是關(guān)于x的一元二次方程，則卜的值

為.

三、解答題

7.把方程(3x+2)(x-3)=2x-6化成一般形式，并寫出它的二次項(xiàng)系數(shù)，一次

項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).

8.已知關(guān)于X的方程(加2?1)爐-("2+1)]+用=0.

⑴當(dāng)加為何值時，此方程是一元一次方程？

⑵當(dāng)m為何值時，此方程是一元二次方程?并寫出一元二次方程的二

次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng).

9.已知戶，+3x-10=0和鏟4+6光+8=0都是一元二次方程,

求(VH-VF)2023X(Va+圾2024的值.

答案全解全析

1.答案CA項(xiàng),。=0時，狽2+法+c=0不是一元二次方程;B項(xiàng),整理得

31+7=0,不是一元二次方程;C項(xiàng),/+2=0是一元二次方程;D項(xiàng),4好￡二5

是分式方程,故選C.

2.答案C化為一般形式為3/?5x+l=0,???二次項(xiàng)系數(shù),一次項(xiàng)系數(shù),

常數(shù)項(xiàng)分別是3,-5,1.故選C.

3.答案A丁根是方程x^+x-i=0的根，,加2+怯1=0,ni2+m=l,/.

2m2+2^+2022=2(/n2+/n)+2022=2x1+2022=2024.故選A.

4.答案B根據(jù)題意得其x-l)=28.故選B.

5.答案1

解析把x=\代入方程F2x+〃=0中，得1?2+所0,解得67=1.

6.答案-2

解析由小一2一VT=Tx+1=0是關(guān)于x的一元二次方程，得3.2=2,

且1-40,解得仁2.

7.解析去括號，得3f-9x+2x-6=2x-6,

移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得3r-9戶0,

所以它的二次項(xiàng)系數(shù)是3,一次項(xiàng)系數(shù)是-9,常數(shù)項(xiàng)是0.

8.解析⑴根據(jù)一元一次方程的定義可知加勺=0廠(切+1)力0,

解得m=\,

???當(dāng)加=1時，此方程是一元一次方程.

⑵根據(jù)一元二次方程的定義可知M-1W0,

解得加W±l,???當(dāng)機(jī)#±1時，此方程是一元二次方程.

此時一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)為機(jī)2-1,一次項(xiàng)系數(shù)為常數(shù)項(xiàng)

為m.

9.解析由題意得3?。=2,即〃=1；

3。-4=2,艮Pb=2.

(Va-Vb)2023x(VH+VF)2024

=[(Va4-yfb){y[a—VF)]2023x(Va+Vb)

=(?-Z?)2023(Va+yfb),

把a(bǔ)=\,b=2代入，

2023

得原式=(1-2)x(l+V2)=-1-V2.

21.2解一元二次方程

21.2.1配方法

第1課時直接開平方法

一、選擇題

1.(2023天津津南期末)一元二次方程(=2的解為()

A.XI=V2,X2=-V2B.XI=1,X2=2

C.XI=%2=V3D.xl=x2=-V3

2.(2023河北唐山路北月考)關(guān)于x的方程(工-2)2=1-〃?無實(shí)數(shù)根，那么m

滿足的條件是()

A.〃?2B."2<2C.ni>lD.m<l

3.(2022湖北恩施州咸豐期末)如果5是關(guān)于工的方程/-°=0的一個根,

那么這個方程的另一個根是()

A.25B.-25C.-5D.V5

4.(2022河北滄州南皮月考)老師出示問題:“解方程f-4=0.”四位同學(xué)

給出了以下答案：

甲支二2；乙：沏=尬=2；丙Lri=X2=-2；T：XI=2,X2=-2.

下列判斷正確的是()

A.甲正確B.乙正確C.丙正確D.丁正確

二、填空題

5.(2023福建三明尤溪期中)對于解一元二次方程(尤+3)2=4,通過降次轉(zhuǎn)

化為兩個一元一次方程，其中一個一元一次方程是“3二2,則另一個一

元一次方程是.

6.小明設(shè)計了一個如圖所示的實(shí)數(shù)運(yùn)算程序,若輸出的數(shù)為5,則輸入

的數(shù)x為.

輸入乂-"回~?麗

三、解答題

7.解下列方程：

(1)2^=16；

(2)3^-1=26；

(3)2(x-l)2=i

O

8.李老師在課上布置了一個如下的練習(xí)題:

若（x2+產(chǎn)3產(chǎn)=16,求f+V的值.

看到此題后,曉梅立馬寫出了如下的解題過程：

解:???（/+產(chǎn)3）2=16Q

?,./+）2?3=±4,②

?,?/+），2=7或f+y2=.1.③

曉梅上述的解題步驟哪一步出錯了？請寫出正確的解題步驟.

答案全解全析

1.答案Af=2,開方得x=土近，即所企因二班.故選A.

2.答案C當(dāng)1■根＜0時，方程無解，即加＞1.故選C.

3.答案C將x=5代入方程，得25-片0,解得。=25,?,?方程為P25=0,

則x2=25,

/?x=5或x=-5,即這個方程的另一個根為x=-5.故選C.

4.答案D???32_4=0,.??￡=4,則X\=2,X2=-2,/.丁正確.故選D.

5.答案x+3=-2

解析（龍+3y=4,.”+3=±2,Ax+3=2或x+3=-2.

6.答案土遙

解析依題意知xM=5,.??1x2=5+l,「.x2=6,，4土遙，則輸入的數(shù)x為

±V6.

7.解析（1）二次項(xiàng)系數(shù)化為L得（=8,

開平方，得x=±2^2t

x\=2V2,X2=-2V2.

⑵移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得3f二27,

二次項(xiàng)系數(shù)化為1,得f=9,

開平方，得x=±3,

^X\=3,X2=-3.

⑶兩邊同時除以2,得（41尸二，

16

開平方，得心口土3

4

?53

??所產(chǎn)=1

8.解析第③步出錯了，正確解題步驟如下：

???伊+產(chǎn)3）2=16,

?,?/+），2-3二±4,

,.?/+）220,

.?.f+y2=7.

21.2.1配方法

第2課時配方法

一、選擇題

1.（2022山西晉中壽陽月考）用配方法解一元二次方程f+8廣?7,下一步

驟正確的是（）

A.^+8x+42=-7+42Bf+8x+42=?7

C./+&X+82=-7D./+8X+82=?7+8?

2.（2022湖北恩施州期末）用配方法解下列方程，其中應(yīng)在方程的左右

兩邊同時加上4的是（）

Af-2x=5B.x2+4x=5C.x2+2x=5D.2f-4x=5

3.(2023河南南陽臥龍期末)用配方法解一元二次方程/_6『4=0,變形

后的結(jié)果正確的是()

A.(X-6)2=-5B.(X-6)2=5

C.(x-3)2=13D.(x-3)2=5

4.(2022河北滄州南皮月考)已知方程f?6x+4=口，等號右側(cè)的數(shù)字印刷

不清楚.若可以將其配方成(x-p)2=7的形式，則印刷不清的數(shù)字是

()

A.6B.9C.2D.-2

二、填空題

2

5.(2023廣東佛山南海期中)用配方法解方程%心-3=0,配方得(戶團(tuán))2=7,

則常數(shù)m的值是.

6.(2023陜西漢中寧強(qiáng)期末)如果方程/+4/+〃=0可以配方成(x+m)2=3,

那么(〃?m)2023=

三、解答題

7.用配方法解下列方程：

⑴x2+12x-15=0；

⑵3/-5%=2；

⑶工/*4=0.

4

8.（2023廣東惠州惠陽開學(xué)測試）用配方法解一元二次方

程：2爐+31+1=0.小明同學(xué)的解題過程如下：

解人+|%+1=0,

X2+三14----4--=0,

2442

1+丁，

」3,V7

2~2

3+V73-V7

汨二-工―,12二-三一.

小明的解題過程是否正確？若正確，請回答“正確”；若錯誤，請寫出你的

解題過程.

9.(2023河南周口沈丘期末)閱讀材料:在求多項(xiàng)式/+以+8的最小值時,

2222

小明的解法如T：X+4X+8=X+4X+4+4=(X+2)+4,0為(x+2)20,所以

("2)2+424,即/+以+8的最小值為4.請仿照以上解法，解決以下問題:

⑴求多項(xiàng)式2%2+16x+20的最小值；

⑵猜想多項(xiàng)式-f+12x?25有最大值還是最小值，并求出這個最值.

答案全解全析

1.答案A由e+SA，,得/+心+代4+夕.故選A.

2.答案B選項(xiàng)A中,配方，得P2x+1=5+1，即(x-l)2=6,不合題意;選項(xiàng)

B中，配方，得/+以+4=5+4,即-2)2=9,符合題意;選頊C中，配方，得

f+2x+l=5+L即(x+l)2=6,不合題意;選項(xiàng)D中，方程化為P2x=|,配方,

得P2x+l=|+l,即(心1)2W,不合題意,故選B.

3.答案Cf-Gx/uO,配方得P6x+9=4+9,即(x?3)2=13.故選C.

4.答案c設(shè)印刷不清的數(shù)字是4???a-p)2=7,即a2px+p2=7,；.

*-2px=7-p2,???P2px+4=lI-/,?.?方程x2-6x+4=Q的等號右側(cè)的數(shù)字印

刷不清楚且可以將其配方成(心p)2=7的形式，????2p=6M=U-p2,：.

〃=3,。=11?32=2,即印刷不清的數(shù)字是2,故選C.

5.答案-2

22

解析方程爐?4%?3二0,移項(xiàng)，得r?4%=3,配方，得x-4x+4=3+4,(x-2)=7z

/.m=-2.

6.答案-1

解析方程(+4冗+〃=0移項(xiàng)，得工2+4戶-及,配方，得f+4x+4=4-〃,即

0232023

(X+2)2=4-〃，又(1+加)2=3,/.tn=2,n=1,則(/w力2=(i-2)=-l.

7.解析⑴移項(xiàng)，得/+12x=15,

22

配方，得丫+12X+6=15+6,

即(X+6)2=51,

/.x+6=±V51/

解得xi=-6+V51,X2=-6-A/51.

⑵方程兩邊都除以3,得號%=|,

配方，得F|x+(-3=：+(-》，

即(1)7,

57

.?.X—=±?-

66’

解得X1=2,X2=-1.

⑶方程兩邊都乘4,得P4x.16=0,

移項(xiàng)，得f-4x=16,

配方，得/心+(-2)2=16+(-2)2,

即(*2)2=20,

/.x-2=±2V5,

解得汨=2+2西陽=2-2遍.

8.解析小明的解題過程不正確，

正確的解題過程如下：

原方程可化為占|%+呆0,

移項(xiàng)，得=

配方，得f+lx+Cf=,

即1+Z

開方，得x+^=±*

即x+7=；或％+：=

4444

解得X1=T，X2=?L

9.解析(1)???泊+16x+20=2(/+8x+16)-12=2(x+4)2-l2,由(工+4尸20,

得2(x+4)2-122?12,

???多項(xiàng)式加+161+20的最小值是-12.

(2)-x2+12x-25=-(x2-12x+36)+ll=-(x-6)2+l1,

2

V-(x-6)^0z

???G6)2+11〈1L

???多項(xiàng)式?f+12x.25有最大值，最大值為11.

21.2.2公式法

一、選擇題

1.（2019湖南郴州中考）一元二次方程2f+3x-5=0的根的情況為（）

A.有兩個相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個不相等的實(shí)數(shù)根

C.只有一個實(shí)數(shù)根D.沒有實(shí)數(shù)根

2.（2023上海黃浦期末）下列一元二次方程中，有兩個相等的實(shí)數(shù)根的

方程是（）

A./+』B.（x-2）2=5

C.x1+2x=0D.2X2?V5X+1=0

3.（2023河北滄州東光月考）若下列方程都存在實(shí)數(shù)根，則以

A?5x?c=0BF+Sx-cu。

C.f?5元+c=0D^+Sx+c-O

4.（2022青海西寧中考）關(guān)于x的一元二次方程2x2^x-k=0沒有實(shí)數(shù)根,

則火的取值范圍是（）

A.k<—B.左<一C.k>—D.A2?一

8888

二、填空題

5.(2022江蘇徐州中考)若一元二次方程x2+x.c=0沒有實(shí)數(shù)根，則c的取

值范圍是.

6.(2022廣東佛山三水開學(xué)測試)方程2^-10x=3的解

是.

7.等腰三角形的兩邊長是方程f-2&x+l=0的兩根，則它的周長

為.

三、解答題

8.用公式法解下列方程：

(1)(2021湖南常德中考濡*2=0；

(2)3X2+1=2V3X；

(3)2(X-1)2-(X+1)(1-X)=(X+2)2.

9.小明在解方程f-5x=l時出現(xiàn)了錯誤，解答過程如下：

,:a=llb=-5,c=L(第一步)

AJ=/?2-4ac=(-5)2-4x1x1=21,(第二步)

...卡誓，(第三步)

.??X尸紀(jì)學(xué),及=手.(第四步)

⑴小明的解答過程是從第步開始出錯的，其錯誤原因

是一；

⑵寫出此題正確的解答過程.

10.(2023四川成都金牛期末)已知關(guān)于x的一元二次方程

x2+(2/n+l)x+nr+1=0.

⑴若方程有實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

⑵若方程一實(shí)數(shù)根為?3,求實(shí)數(shù)m的值.

答案全解全析

1.答案B一元二次方程2x2+3x-5=0中,/=32-4X2X(-5)=49>0,Z.該方

程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根故選B.

2.答案AA項(xiàng)片-x+；=0,???/=(-l)2-4xlx；=0,???方程有兩個相等的實(shí)

數(shù)根;B項(xiàng)也4x?l=0,???/=(-4)2?4X(-1)=20>0,/.方程有兩個不相等的實(shí)

數(shù)根;C項(xiàng),/+2下0,,??4=22-4x1x0=4>0,/.方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)

22

根;D^/2x-V2x+l=0rVJ=(-V2)-4x2xl=-6<0,A方程沒有實(shí)數(shù)根.故選

A.

3.答案BA項(xiàng),此方程的根為廣出等，不符合題意;B項(xiàng),此方程

的根為廣上等”符合題意;C項(xiàng),此方程的根為尸歸尹，不符合題

意;D項(xiàng),此方程的根為戶-5±了府,不符合題意.故選氏

4.答案A???關(guān)于x的一元二次方程2^+“仁0沒有實(shí)數(shù)根,???/<0,

2

?,.1-4X2X(-Z：)<0/

???l+8Z<0,.??M上故選A.

8

5.答案c<--

4

解析根據(jù)題意得』=12+4”0,解得C<-1

4

(儉安5+同5-V31

6.答案xi=—,X2=—

解析原方程移項(xiàng)，得2X2-10x-3=0,VJ=(-l0)2-4X2X(-3)=100+24=124,

.10±V124_10±2V31_5±VH

??X——―i

442

5+V315-V31

--X\=—^—,X2=-

7.答案3V2+1

解析解方程f-2V2x+l=Oz得x\=V2+1,X2=A/2-1.V

等腰三角形的兩邊長是方程%2-2V2x+l=0的兩根，，等腰三角形的

三邊長分別為①a+1,&+1,奩-1或②&+1,聲-1,或-l.vV2+

1>或-1+或」?,?②不能構(gòu)成三角形，，等腰三角形的三邊長分別

為/+1,々+1,&」?,?它的周長為3V2+1.

8.解析(1]a=\,b=-l,c=-2,

2

J=fe2_4ac=(-l)-4x1x(-2)=9>0,

?—「±，匕2-4ac1+V91±3

.?.r=---------2--a---------=-----2----=—2,

/*X1=2,X2=-1.

⑵整理，得3/?2岳+1=0,

a=3lb=-2y/3lc=\l

A=b2-4ac=(-2V3)2-4x3x1=0,

.2V3±V0

??X-/

2x3

?V3

.?X\=X2=一.

3

2

⑶整理，得2x-8x-3=0,

tz=2/Z?=-8/c=-3,

/%2_4ac=(-8)2-4x2x(-3)=88,

.8±2y/224±V22

..x=--------=——,

2X22

.4+V224-V22

..X\-------.X2=------.

22

9.解析(1)一;沒有將原方程化成一般形式.

⑵將原方程化為一般形式為f-5x-l=0,

?.?a=llb=-5,c=-ll

：.^l=b2-4ac=(-5)2-4x1x(-1)=29.

.5±V29Hn5+V295-V29

..X=-HPX!=-X2=—

10.解析⑴1/=2m+1,(7=團(tuán)2+1,方程有實(shí)數(shù)根,

/.J=(2m4-1)2-4Xl-(m2+l)=4/n-320,

.?./n2=

4，

即實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為機(jī)2；

⑵方程一實(shí)數(shù)根為?3,

2

則9-6m-3+m+l=0/

/./??-6〃2+7=0,

2

/.nr-6m+9=2,/.(zn-3)=2z

//i1=3+V2,/n2=3-V2,

由⑴得當(dāng)加2：時，方程有實(shí)數(shù)根，

???兩個解都符合題意，

J實(shí)數(shù)m的值為3+直或3-V2.

21.2.3因式分解法

一、選擇題

1.(2023山東青島市南期末)方程f=2x的根是()

A.x=2B.x=0C.XI=-2,X2=0D.xi=0rX2=2

2.(2023湖南郴州汝城期末)方程x(x-3)=x-3的解是()

A.x=3B.XI=0,X2=3

C.XI=1,X2=3D.XI=1,X2=-3

3.(2023湖南婁底漣源期中)若方程x2+px+^=0的根是xi=2和&=3,則

代數(shù)式Ppx+q可分解因式為()

A.(x-2)(x-3)B.(x+2)(x+3)

C.(x+2)(x-3)D.(x-2)(x+3)

4.(2021四川雅安中考)若直角三角形的兩邊長分別是方程f-7無+12=0

的兩根，則該直角三角形的面積是()

A.6B.12C.12或誓D.6或苧

二、填空題

5.(2022海南?？谄谀?已知關(guān)于x的一元二次方程f+bx+c=0的兩個

實(shí)數(shù)根分別為2和?3,分解因式P+法+廣.

6.方程(x)(x-3)=0和方程/-2犬?3=0同解，則m-.

7.(2023廣東深圳龍崗期末)規(guī)定:在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義一種運(yùn)算“◎”，其

規(guī)則為?！蜇怠?a+b),則方程(x?2)?7=0的根為.

三、解答題

8.(2021甘肅慶陽鎮(zhèn)原期末)解方程：

(l)(2x+3)2-81=0；

⑵/7y+6=0；

(3)x(2x+l)=2x+l.

9.多項(xiàng)式乘法：(x+〃)a+b)=/+(〃+協(xié):+她將該式從右到左使用，即可得

到“十字相乘法”分解因式的公式：爐+(。+協(xié)；+次ka+q)a+》).

示例:分解因式＜+5%+6=寸+(2+3)工+2乂3=(無+2)(x+3).

(1)嘗試:分解因式：f+6x+8=(x+)(x+)；

⑵應(yīng)用:請用上述方法解方程言③.4=0.

10.（2022甘肅白銀期末）小明與小霞兩位同學(xué)解方程3（r3）二（『3）2的過

程如下：

小霞：

小明：移項(xiàng)，得3(x-3)-(x-3尸=0,

兩邊同除以（43）,得3二外3,提取公因式，得(x-3)(3?x?3)=0,

則x=6.貝IJ43=0或3-x-3=0,

解得Xl=3,X2=0.

請你分別判斷他們的解法是否正確，若都不正確，請寫出你的解答過

程.

11.（2022河北唐山期中）老師在黑板上書寫了一個正確的演算過程，隨

后用手掌捂住了一部分，形式如下：

二f-5尢+6.

⑴當(dāng)A1時，求所捂部分的值；

⑵若所捂部分的值為0,求X的值；

⑶若所捂的部分為2f?x+10,求x的值.

答案全解全析

1.答案Df=2x,移項(xiàng)，得因式分解，得x(x-2)=0,則有x=O或

心2=0,解得即=0,初=2.故選D.

2.答案C原方程移項(xiàng)，得Mx?3)?(x-3)=0,因式分解，得(犬?3)(、?1)=0,解

得為=1陽=3.故選C.

3.答案B,:方程x2+/?x+^=0的根是xi=2和%2=3,/.

f+px+q=(尤?2)(x?3),貝I]x2+px+q=x2-5x+6,/.p=-5,q=6,/.

x2-px+^=x2+5x+6=(x+2)(x+3).AijitB.

4.答案D方程12-71+12=0,因式分解，得Cr-3)(x-4)=0,解得x=3或x=4.

①當(dāng)長是4的邊是直角邊時,，該直角三角形的面積是$<3x4=6；②當(dāng)長

是4的邊是斜邊時，第三邊的長是祈矛=V7,該直角三角形的面積

是[x3x77=字故選D.

5.答案(x?2)(x+3)

解析??,關(guān)于x的一元二次方程公+。=0的兩個實(shí)數(shù)根分別為2和

-3,

/.^r+bx+c=(x-2)(x+3).

6.答案-1

解析解方程9?2￥?3=0,得XI=3,%2=-1,解方程(x?M(x?3)=0,得

X1=加,12=3,

?方程a?M(x-3)=0和方程「然小二。同解,

7.答案XI=2,X2=-5

解析由題意得(x?2)(x?2+7)=0,即(42)。+5)=0,則有42=0或x+5=0,解

得XI=2,X2=-5.

8.解析(1)移項(xiàng)，得3+3)2=81,

開平方，得2%+3=±9,

所以xi=3,i2=?6.

⑵因式分解，得。?l)G-6)=0,

所以y?l=0或y-6=0,

所以8=1,”=6.

⑶移項(xiàng)，得M2x+l)?(2x+l)=0,

因式分解，得(2x+1)(41)=0,

所以2x+l=0或x?l=0,

解得的=?0.5戶2=1.

9.解析(1)2；4.

(2)V^-3%-4=0,

.?.x2+(-4+l)x+(-4)xl=0,

/.(x-4)(x+l)=0,

貝I」x+l=0或x-4=0,

解得4?1或x=4.

10.解析小明:錯誤;小霞:錯誤.

正確的解答方法：

2

移項(xiàng)，得3(x-3)-(x-3)=0z

提取公因式，得(x-3)(3?x+3)=0,

貝ijx-3=0或3-尤+3=0,

解得XI=3,X2=6.

11.解析⑴當(dāng)x=\時片?5/+6=12?5'1+6=2,即所捂部分的值為2.

2

⑵根據(jù)題意得X-5X+6=0,

因式分解，得（13）卜2）=0,

即x-3=0或x-2=0,

解得XI=3,X2=2,

即x的值為2或3.

⑶根據(jù)題意，得2x2-x+10=x2-5x+6,

整理，得f+以+4=0,

即（x+2）2=0,

解得X[=X2=-2,

即x的值為2

*21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

一、選擇題

1.（2021江蘇鹽城中考）設(shè)孫元2是一元二次方程爐?級.3=0的兩個根，則

X1+X2的值為（）

A.-2B.-3C.2D.3

2.（2023河北石家莊橋西期末）已知2是關(guān)于x的一元二次方程

f-6x+c=0的一個根,則另一個根是（）

A.2B.3C.4D.8

3.（2021廣西玉林中考）已知關(guān)于x的一元二次方程P2x+〃-0有兩個

不相等的實(shí)數(shù)根孫X2，則（）

A.Xl+X2<0B.XlX2<0C.X1X2>-1D.X|X2<1

4.（2021廣西貴港中考）已知關(guān)于x的一元二次方程x2依+h3=0的兩個

實(shí)數(shù)根分別為孫孫且好+蟾=5,則k的值是（）

A.-2B.2C.-lD.1

5.（2021貴州遵義中考）在解一元二次方程f+px+q=0時,小紅看錯了常

數(shù)項(xiàng)/得到方程的兩個根分別是-3,1.小明看錯了一次項(xiàng)系數(shù)p,得到方

程的兩個根分別是5,-4,則原來的方程是（）

A.X2+2X-3=06.^+2￥-20=0

C.x2-2x-20=00.^-2￥-3=0

二、填空題

6.（2022湖南婁底中考）已知實(shí)數(shù)孫也是方程/+/-1=0的兩根，則

X1X2=.

7.（2021黑龍江綏化中考）己知犯〃是一元二次方程P3x-2=0的兩個根,

8.（2023山東荷澤東明期末）若一元二次方程（+辦:-2025=0的兩個根

分別為加人則代數(shù)式>+3加+〃的值為.

三、解答題

9.（2023湖北恩施州月考）已知方程P3x+l=0的兩個根分別為即和x2,

不解方程，求下列各式的值：

（1）（X|-1）（X2-1）；

上+3

%1+1x2+l

10.（2022北京海淀期末）己知關(guān)于x的一元二次方程f+（2.〃必+1.加=0.

⑴求證:該方程總有兩個實(shí)數(shù)根；

⑵若加＜0,且該方程的兩個實(shí)數(shù)根的差為3,求m的值.

答案全解全析

1.答案C在一元二次方程/々工小二。中，〃=l,b=-2,JXI+JQ=心=2.故選

C.

2.答案C設(shè)方程的另一個根是xi,V2是關(guān)于x的一元二次方程

P6x+c=0的一個根,，2+汨=6,???無尸4,???該方程的另一個根是4.故選

C.

3.答案D根據(jù)題意得》+%2=2,/二(?2)2?4切＞0,解得機(jī)＜1,所以

尤1%2=加＜1.故選D.

4.答案D??,關(guān)于x的一元二次方程/?履+上3=0的兩個實(shí)數(shù)根分別

為X\,X2,X\-^X2=k,X\X2=k-3.?/好+%2=5,；?(X1+X2)2-2X1X2=5,；?

R?2(Z?3)=5,整理得3?2攵+1=0,解得防=22=1.故選D.

5.答案B設(shè)此方程的兩個根分別是%S，根據(jù)題意得

a+￡=?p=?3+l=-2,3=g=5x(-4)=?20,「.〃二？，??.以為根的一元二次方

程是小+法?20=0.故選B.

6.答案-1

解析二?方程?中的a=,c=-

f+xl=O11,/.%iX2=a-=-1.

7.答案-|

解析Vtn,n是一元二次方程r-3太-2=0的兩個根，，加+〃=3,"2〃=?2,.\

1,1m+n3

-m---F-n=mn-=---2.

8.答案2023

解析,?,一元二次方程/+2x-2025=0的兩根分別為〃2,〃,.?.

2222

/n+?=-2//n+2/n-2025=0,即/n+2/n=2025,m+3zn+n=/n+2w+/n+n=2

025-2=2023.

9.解析⑴由題意知X1+A：2=3,X1X2=1.

(X1-1)(X2-1)=X1X2-(X|+%2)+1=1-3+1=-1.

⑵含+含

x2(x2+l)+Xl(Xl+l)

(5+1)(%2+1)(必+1)(%2+1)

_送+好+X1+M

/

x1x2+(x1+x2)+l

VX1+X2=3/X1X2=1/

22

/.+X2=(xi+X2)-2xiX2=3-2xl=7,

.x,Xt_xl+xl+x+x7+310.

2t2------=——=2.

%1+1x2+lx1x2+(x1+x2)+l1+3+15

10.解析⑴證析,:J=(2-/n)2-4xlx(l-7n)=m220,

?,?原方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根或兩個不等的實(shí)數(shù)根,

即該方程總有兩個實(shí)數(shù)根.

⑵設(shè)該方程的較大的實(shí)數(shù)根為孫較小的實(shí)數(shù)根為應(yīng)

依題意，得X|-X2=3,X1+X2=W-2,X|X2=1-m,

,:(xi-X2)2+4X1X2=(X1+X2)2,

22

/.3+4(l-/??)=(/?t-2),

整理，得整理,

解得m=3或〃2=?3,

???加＜0,

A/?7=-3.

213實(shí)際問題與一元二次方程

第1課時傳播問題與單、雙循環(huán)問題

一、選擇題

1.（2023重慶江津期末）奧密克戎是新冠病毒的變異毒株，傳染性強(qiáng)，有

一人感染了此病毒，未被有效隔離,經(jīng)過兩輪傳染，共有196名感染者,

在每輪傳染中，設(shè)平均一個人傳染了x人,則可列方程為（）

A.l+x=196B.（1+X）2=196

C.l+^=196D.l+x+^196

2.（2022四川自貢期末）距期末考試還有20天的時候，為激勵大家，班主

任要求班上每一位同學(xué)要給同組的其他同學(xué)寫一份拼搏進(jìn)取的留言,

小明所在的“戰(zhàn)無不勝”學(xué)習(xí)小組共寫了30份留言，則該學(xué)習(xí)小組共有

學(xué)生（）

A.4人B.5人C.6人D.7人

3.（2022湖南長沙岳麓模擬）為了宣傳垃圾分類，小明寫了一篇倡議書,

決定用微博轉(zhuǎn)發(fā)的方式傳播.他設(shè)計了如下的傳播規(guī)則:將倡議書發(fā)表

在自己的微博上,再邀請，個好友轉(zhuǎn)發(fā)，每個好友轉(zhuǎn)發(fā)之后，又各自邀請

n個互不相同的好友轉(zhuǎn)發(fā),依此類推.已知經(jīng)過兩輪轉(zhuǎn)發(fā)后，共有111個

人參與了宣傳活動，則〃的值為（）

A.9B.10C.UD.12

4.（2023廣東佛山南海月考）某?！把袑W(xué)”活動小組在一次野外實(shí)踐中,

發(fā)現(xiàn)一種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目

的小分支,主干、支干和小分支的總數(shù)是57,則這種植物每個支干長出

的小分支的個數(shù)是（）

A.8B.7C.6D.5

二、填空題

5.（2023北京西城月考）參加活動的每個人都和其他人各握了一次手,

所有人共握手10次,有多少人參加活動?設(shè)有x人參加活動，可列方程

為.

6.（2023天津紅橋期末）生物興趣小組的同學(xué)，將自己收集的標(biāo)本向本

組其他成員各贈送一件,全組共贈送了210件，則全組共有名

同學(xué).

三、解答題

7.（2022陜西寶雞鳳翔期末）有一個人患了流感,經(jīng)過兩輪傳染后有若

干人患上流感.假設(shè)在每輪的傳染中平均一個人傳染了尢個人.

⑴第二輪被傳染上流感的人數(shù)是;（用含x的代數(shù)式表示）

⑵在進(jìn)入第二輪傳染之前,如果有4名患者被及時隔離（未治愈），經(jīng)過

兩輪傳染后是否會有81人患上流感的情況發(fā)生?請說明理由.

8.（2021廣西北流期中）某生物實(shí)驗(yàn)室需培育一群有益菌，現(xiàn)有90個活

體樣本，經(jīng)過兩輪培育后,總和達(dá)36000個，其中每個有益菌每一次可

分裂出若干個相同數(shù)目的有益菌.

⑴每輪分裂中每個有益菌可分裂出多少個有益菌？

⑵按照這樣的分裂速度,經(jīng)過三輪培育后有多少個有益菌？

答案全解全析

1.答案B??,在每輪傳染中，平均一個人傳染了x人;第一輪傳染中

有x人被傳染，第二輪傳染中有Ml+x）人被傳染.根據(jù)題意，得

1+尢+武1+式）=196,即（1+工）2=196.故選B.

2.答案C設(shè)該學(xué)習(xí)小組共有學(xué)生x人,則每人需寫（x?l）份拼搏進(jìn)取

的留言，依題意得x（“l(fā)）=30,整理得解得a=6,檢=5（不合題意,

舍去）.故選C.

3.答案B依題意，得1+〃+/=111,解得功二10,〃2二-11（不合題意，舍去）.

故選B.

4.答案B設(shè)這種植物每個支干長出的小分支的個數(shù)是即依題意得

l+x+f=57,整理得了+尢?56=0,解得羽=7幽二-8（不合題意,舍去），，這種

植物每個支干長出的小分支的個數(shù)是7.故選B.

5.答案號^二10

解析有工人參加活動,由題意，得卓3=10.

6.答案15

解析設(shè)全組共有x名同學(xué)，由題意，得x（x-l）=210,

解得后15或尸-14（舍去），即全組共有15名同學(xué).

7.解析⑴無（X+1）.

⑵經(jīng)過兩輪傳染后會有81人患上流感的情況發(fā)生，理由如下:

依題意，得l+x+x（x+l-4）=81,

整理，得1-統(tǒng)用。二。，

解得x尸10陷=-8（不合題意，舍去），

???x=10為正整數(shù)，

???第二輪傳染后會有81人患上流感的情況發(fā)生.

8.解析（1）設(shè)每輪分裂中每個有益菌可分裂出x個有益菌，

依題意，得90（l+x）2=36000,

解得汨=19,及=?21（不合題意，舍去）.

答:每輪分裂中每個有益菌可分裂出19個有益菌.

（2）36000x（1+19）=720000（個）.

答:按照這樣的分裂速度，經(jīng)過三輪培育后有720000個有益菌.

21.3實(shí)際問題與一元二次方程

第2課時增長率問題與銷售問題

一、選擇題

1.（2022重慶中考B卷）學(xué)校連續(xù)三年組織學(xué)生參加義務(wù)植樹,第一年

共植樹400棵,第三年共植樹625棵,設(shè)該校植樹棵數(shù)的年平均增長率

為x,根據(jù)題意，下列方程正確的是（）

A.625（1㈤2=400B.400（1+X）2=625

C.625^=4000.400^=625

2.（2021遼寧阜新中考）在育紅學(xué)校開展的課外閱讀活動中，學(xué)生人均

閱讀量從七年級的每年100萬字增加到九年級的每年121萬字.設(shè)該

校七至九年級人均閱讀量年均增長率為匹根據(jù)題意，所列方程正確的

是（）

A.100(1+X)2=121B.100x2(1+?=121

C.100（l+2x）=121D.100（1+X）+100（1+X）2=121

3.（2023河北邢臺南宮期末）2022年7月至9月，市場上某款新能源汽車

的售價由260000元/輛下降到210600元刷，則該款汽車售價的月平

均下降率是（）

A.5%B.10%C.15%D.20%

4.（2023廣東深圳南山期末）超市經(jīng)銷一種水果，每千克盈利10元每天

銷售500千克，經(jīng)市場調(diào)查，若每千克漲價1元，則日銷售量減少20千

克，如果超市要保證每天盈利6000元，則每千克應(yīng)該漲價（）

A.15元或20元B.10元或15元

C.10元或20元D.5元或10元

二、填空題

5.（2021四川宜賓中考）據(jù)統(tǒng)計,2021年宜賓市第一季度實(shí)現(xiàn)地區(qū)生產(chǎn)

總值約652億元，若使該市第三季度實(shí)現(xiàn)地區(qū)生產(chǎn)總值960億元，設(shè)該

市第二、三季度地區(qū)生產(chǎn)總值平均增長率為％則可列方程

為.

6.（2021浙江杭州蕭山期中）商場某種商品進(jìn)價為120元/件，當(dāng)售價為

130元/件時，每天可銷售70件;當(dāng)售價高于130元/件時,每件商品每漲

價1元，日銷售量就減少1件.據(jù)此，當(dāng)售價為元/件時，商

場每天盈利可達(dá)1500元.

三、解答題

7.（2023廣東廣州海珠為明學(xué)校開學(xué)測試）某共享汽車租賃公司年初在

某地投放了一批共享汽車，全天包車的租金定為每輛120元.據(jù)統(tǒng)計，三

月份的全天包車數(shù)為25,在租金不變的基礎(chǔ)上，四、五月份的全天包車

數(shù)持續(xù)走高，五月份的全天包車數(shù)達(dá)到64.

⑴若從三月份到五月份的全天包車數(shù)月平均增長率不變，求全天包車

數(shù)的月平均增長率；

⑵從六月份起，該公司決定降低租金,盡可能地讓利于顧客，經(jīng)調(diào)查發(fā)

現(xiàn)，租金每降價1元，全天包車數(shù)增加1.6,當(dāng)租金降價多少元時，公司將

獲利8800元？

8.（2021山東濱州中考）某商品原來每件的售價為60元,經(jīng)過兩次降價

后每件的售價為48.6元，并且每次降價的百分率相同.

⑴求該商品每次降價的百分率；

⑵若該商品每件的進(jìn)價為40元，計劃通過以上兩次降價的方式，將該

商品庫存的20件全部售出，并且確保兩次降價銷售的總利潤不少于

200元，則第一次降價至少售出多少件后，方可進(jìn)行第二次降價？

答案全解全析

1.答案B由題知該校植樹棵數(shù)的年平均增長率為用第一年共植樹

400棵，則第二年共植樹400(1+%)棵,第三年共植樹400(l+x)2棵,因?yàn)榈?/p>

三年共植樹625棵,所以列方程為400(l+x)2=625.故選B.

2.答案A該校七至九年級人均閱讀量年均增長率為九，則八年級人

均閱讀量為100(1+、)萬字,九年級人均閱讀量為100(l+x)2萬字,列方程

為100(l+x)2=121.

3.答案B設(shè)該款汽車售價的月平均下降率是從根據(jù)題意得260

000(1㈤2=210600,解得為=0.1=10%,&=1.9(不符合題意,舍去),??.該款

汽車售價的月平均下降率是10%.故選B.

4.答案D設(shè)每千克水果應(yīng)漲價x元，

依題意得(500?20x)(10+x)=6000,整理，得xM5x+50=0,解得乃=5陽=10,

即每千克水果應(yīng)漲價5元或10元.故選D.

5.答案652(1+x)2=960

解析該市第二、三季度地區(qū)生產(chǎn)總值平均增長率為％則第三季度地

區(qū)生產(chǎn)總值為652(l+x)2億元可列方程為652(1+X)2=960.

6.答案150或170

解析設(shè)售價為尢元/件,則每天可銷售70?(4130)=(200.?件，依題意得

(x-120)(200-x)=l500,整理得f?32ftx+25500=0,解得為=150,及=170.故

當(dāng)售價為150元/件或170元/件時，商場每天盈利可達(dá)1500元.

7.解析(1)設(shè)全天包車數(shù)的月平均增長率為無

根據(jù)題意，得25(1+X)2=64,

解得％1=0.6=60%陽=-2.6（不合題意，舍去）.

答:全天包車數(shù)的月平均增長率為60%.

⑵設(shè)租金降價a元，則（120㈤（64+1.6。）=8800,

化簡，得次?80。+700=0,

解得〃尸1（）,。2=7（）.

因?yàn)楣疽M可能地讓利于顧客,所以取。二70.

答:當(dāng)租金降價70元時，公司將獲利8800元.

8.解析（1）設(shè)該商品每次降價的百分率為歷

由題意可得,60（1㈤2=48.6,

解得x[=0.l=10%,X2=1.9（不合題意，舍去）.

答:該商品每次降價的百分率是10%.

⑵設(shè)第一次降價售出a件，則第二次降價售出（20-力件，

由題意可得,[60x（l?10%）?40]a+（48.6-40）x（20?a）2200,

解得a25弟

,.Z為整數(shù),，。的最小值是6.

答:第一次降價至少售出6件后，方可進(jìn)行第二次降價.

21.3實(shí)際問題與一元二次方程

第3課時圖形問題

一、選擇題

1.（2023廣東廣州番禺期末）如圖，有一張長為12cm,寬為9cm的矩形

紙片，在它的四個角各剪去一個同樣大小的小正方形，然后折疊成一個

無蓋的長方體紙盒.若紙盒的底面（圖中陰影部分）面積是70cm）求剪

去的小正方形的邊長.設(shè)剪去的小正方形的邊長是xcm,根據(jù)題意，可

列方程為

A.12x9-4x910B.12x9-4x2=70

C.（l2?x）（9?x）=70D.（l2-2x）（9-2x）=70

2.（2023湖南衡陽衡山期末）如圖，將一塊正方形空地劃出部分區(qū)域（圖

中陰影部分）進(jìn)行綠化，剩余的矩形空地面積為30n?則原正方形空地

的邊長為

3.（2022山西太原期末）學(xué)校計劃在長為12m,寬為9m的矩形地塊的

正中間建一座勞動實(shí)踐大棚,大棚是占地面積為88n?的矩形.建成后,

大棚外圍留下寬度都相同的區(qū)域，這個寬度應(yīng)設(shè)計為（）

A.1.8mB.1.5mD.0.5m

4.（2022浙江紹興竦州期末）空地上有一堵長為。米的舊墻MN,利用舊

墻和木欄圍成一個矩形菜園（如圖1或圖2）,已知木欄總長為40米，所

圍成的菜園面積為S平方米,下列說法錯誤的是（）

圖1圖2

A.若。=16,5=196,則有一種圍法

B.若斫20,S=198,則有兩種圍法

C.若〃=24,S=198,則有兩種圍法

D.若。=24,5=200,則有一種圍法

二、填空題

5.（2022浙江衢州中考）將一個容積為360cm3的包裝盒剪開鋪平，紙樣

如圖所示.利用容積列出圖中Mem）滿足的一元二次方程:（不

必化簡）.

I*20cm?

TTTFT

15cm

6.（2022浙江臺州仙居期末）如圖，在一塊長為22m,寬為14m的矩形空

地內(nèi)修建三條寬度相等的小路，其余部分種植花草.若花草的種植面積

為240n?,則小路的寬為m.

三、解答題

7.（2021湖南郴州期末）如圖，某居民小區(qū)改造，計劃在居民小區(qū)的一塊

長50米，寬20米的矩形空地內(nèi)修建兩塊相同的矩形綠地，使得兩塊矩

形綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道，且兩塊矩形綠地的面積

之和為原矩形空地面積的;那么人行通道的寬度是多少米?

4

20米

50米

8.（2022四川成都青羊期末）如圖,有長為24米的籬笆，一面利用墻（墻長

為11米）,另三面用籬笆圍成如圖所示的矩形花圃.

⑴如果要圍成面積為64平方米的花圃，那么AD的長為多少米？

⑵能否圍成面積為80平方米的花圃?若能，求出AD的長;若不能，請說

明理由.

DC

----------

答案全解全析

1.答案D由題得剪去的小正方形的邊長是xcm,則紙盒底面的長

為(12-2x)cm,寬為(9-2x)cm,,?,紙盒的底面面積是70cm2,/.

(12?2x)(9?2x)=70.故選D.

2.答案C設(shè)原正方形空地的邊長為xm,依題意有(13)(12)=30,解

得汨=8,12=3(不合題意,舍去)，即原正方形空地的邊長為8m.故選C.

3.答案D設(shè)大棚外圍留下區(qū)域的寬度為xm,則大棚的長為

(12-2x)m,寬為(9-2x)m,依題意得(12-2x)(9-2x)=88,整理得2爐-2a+10=0,

解得即=0.5陽=10(不合題意,舍去).故選D.

4.答案A按題圖1所示的方法圍時,如圖，

MN

I).:A

.......................'R

設(shè)矩形ABCD的邊AB長為x米，則BC長為(40辦)米，根據(jù)題意得

22

S=(40-2x)x=-2x+40xSa=l6,S=]96時「Zf+dO—igG即x-20x+98=0/

解得即=10+V^,X2=10■企,均不符合題意(不能使40ZW16),故不能按

題圖1所示的方法圍;當(dāng)a=20,S=198時廠2?+4(比=198,即^^+99=0,

解得汨=9(不符合題意，舍去),松=11,所以按題圖1所示的方法圍時，有

一種圍法；當(dāng)〃=24,S=198時,-2/+40戶198,即/-20%+99=0,解得

龍尸11陷=9,均符合題意，所以按題圖1所示的方法圍時,有兩種圍法;當(dāng)

tz=24,S=200時,-2x2+40x=200,即x2-20^+100=0,解得X\=X2=10,符合題意,

所以按題圖1所示的方法圍時,有一種圍法.

按題圖2所示的方法圍時,如圖，

MN

b.]A

d'R

設(shè)AB的長為y米，則BC的長為史差3米，根據(jù)題意得s二義號型=

-y2+彳%,當(dāng)。=16,5=196時「)，+28產(chǎn)196,解得yi="=14,不符合題意

(不能使28-yN16),所以不能按題圖2所示的方法圍;當(dāng)所20,S=198

2

0't/-y+3Oy=198zWWyi=15+375,^2=15-3V5,經(jīng)檢驗(yàn)，僅”=15-3舊符合

題意，所以按題圖2所示的方法圍時,有一種圍法;當(dāng)所24,5=198

時,?產(chǎn)+32)，=198,解得yi=l6+而樂＞2=16?75^,均不符合題意，所以不能按

2

題圖2所示的方法圍；當(dāng)4=24,5=200時f-y+32.y=200/解得

6二16.2舊,竺二16+2值,均不符合題意,所以不能按題圖2所示的方法

圍.

綜上，當(dāng)d=16,S=196時，無圍法;當(dāng)62=20,5=198時,有兩種圍法;當(dāng)

a=24,S=198時,有兩種圍法;當(dāng)々=24,5=200時，有一種圍法.故A中說法

錯誤，故選A.

5.答案15x(10㈤=360

解析依題圖，得包裝盒的高為15cm,長為如0d)皿寬為xcm,則根

據(jù)題意，列出關(guān)于x的方程為15x(104)=360.

6.答案2

解