2023年四川樂(lè)山中考數(shù)學(xué)真題試卷含答案

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2023年四川省樂(lè)山市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分．1．（3分）計(jì)算：A． B． C． D．12．（3分）下面幾何體中，是圓柱的為A． B． C． D．3．（3分）下列各點(diǎn)在函數(shù)圖象上的是A． B． C． D．4．（3分）從水利部長(zhǎng)江水利委員會(huì)獲悉，截止2023年3月30日17時(shí)，南水北調(diào)中線一期工程自2014年12月全面通水以來(lái)，已累計(jì)向受水區(qū)實(shí)施生態(tài)補(bǔ)水約90億立方米．其中9000000000用科學(xué)記數(shù)法表示為A． B． C． D．5．（3分）樂(lè)山是一座著名的旅游城市，有著豐富的文旅資源．某校準(zhǔn)備組織初一年級(jí)500名學(xué)生進(jìn)行研學(xué)旅行活動(dòng)，政教處周老師隨機(jī)抽取了其中50名同學(xué)進(jìn)行研學(xué)目的地意向調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果制成如圖統(tǒng)計(jì)圖，如圖所示．估計(jì)初一年級(jí)愿意去“沫若故居”的學(xué)生人數(shù)為A．100 B．150 C．200 D．4006．（3分）如圖，菱形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)，為邊的中點(diǎn)，連結(jié)．若，，則A．2 B． C．3 D．47．（3分）若關(guān)于的一元二次方程兩根為、，且，則的值為A．4 B．8 C．12 D．168．（3分）我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出“趙爽弦圖”，如圖所示，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形．如果大正方形面積為25，小正方形面積為1，則A． B． C．4 D．9．（3分）如圖4，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，且，有下列結(jié)論：①；②；③；④若點(diǎn)，，，在拋物線上，則．其中，正確的結(jié)論有A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)10．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，、是半徑為1的上兩動(dòng)點(diǎn)，且，為弦的中點(diǎn)．當(dāng)、兩點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，面積的最大值是A．8 B．6 C．4 D．3二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分．11．（3分）不等式的解集是．12．（3分）小張?jiān)凇瓣?yáng)光大課間”活動(dòng)中進(jìn)行了5次一分鐘跳繩練習(xí)，所跳個(gè)數(shù)分別為：160，163，160，157，160．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為．13．（3分）如圖，點(diǎn)在直線上，是的平分線，若，則的度數(shù)為．14．（3分）若、滿足，則．15．（3分）如圖，在平行四邊形中，是線段上一點(diǎn)，連結(jié)、交于點(diǎn)．若，則．16．（3分）定義：若，滿足，且為常數(shù)），則稱點(diǎn)為“和諧點(diǎn)”．（1）若是“和諧點(diǎn)”，則；（2）若雙曲線存在“和諧點(diǎn)”，則的取值范圍．三、解答題：本大題共10個(gè)小題，共102分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17．（9分）計(jì)算：．18．（9分）解二元一次方程組：．19．（9分）如圖，已知與相交于點(diǎn)，，，求證：．20．（10分）如圖，在中，，點(diǎn)為邊上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），過(guò)點(diǎn)作，，分別交、于點(diǎn)、，連結(jié)．（1）求證：四邊形是矩形；（2）若，，求點(diǎn)到的距離．21．（10分）為了踐行習(xí)近平總書記提出的“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，某地計(jì)劃在規(guī)定時(shí)間內(nèi)種植梨樹6000棵．開(kāi)始種植時(shí)，由于志愿者的加入，實(shí)際每天種植梨樹的數(shù)量比原計(jì)劃增加了，結(jié)果提前2天完成任務(wù)．問(wèn)原計(jì)劃每天種植梨樹多少棵？22．（10分）為培養(yǎng)同學(xué)們愛(ài)勞動(dòng)的習(xí)慣，某班開(kāi)展了“做好一件家務(wù)”主題活動(dòng)，要求全班同學(xué)人人參與．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，同學(xué)們做的家務(wù)類型為“洗衣”“拖地”“煮飯”“刷碗”，班主任將以上信息繪制成了統(tǒng)計(jì)圖表，如圖所示．家務(wù)類型洗衣拖地煮飯刷碗人數(shù)（人101210根據(jù)上面圖表信息，回答下列問(wèn)題：（1）；（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“拖地”所占的圓心角度數(shù)為；（3）班會(huì)課上，班主任評(píng)選出了近期做家務(wù)表現(xiàn)優(yōu)異的4名同學(xué)，其中有2名男生．現(xiàn)準(zhǔn)備從表現(xiàn)優(yōu)異的同學(xué)中隨機(jī)選取兩名同學(xué)分享體會(huì)，請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法求所選同學(xué)中有男生的概率．23．（10分）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．（1）求的值和一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）已知為反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，，求點(diǎn)的坐標(biāo)．24．（10分）如圖，已知是的外接圓，，是圓上一點(diǎn)，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連結(jié)，，且，．（1）求證：直線是是的切線；（2）若，的半徑為3，求的長(zhǎng)．25．（12分）在學(xué)習(xí)完《圖形的旋轉(zhuǎn)》后，劉老師帶領(lǐng)學(xué)生開(kāi)展了一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)．【問(wèn)題情境】劉老師先引導(dǎo)學(xué)生回顧了華東師大版教材七年級(jí)下冊(cè)第121頁(yè)“探索”部分內(nèi)容：如圖1，將一個(gè)三角形紙板繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)的位置△的位置，那么可以得到：，，；，，．（_____）劉老師進(jìn)一步談到：圖形的旋轉(zhuǎn)蘊(yùn)含于自然界的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律中，即“變”中蘊(yùn)含著“不變”，這是我們解決圖形旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵．故數(shù)學(xué)就是一門哲學(xué)．【問(wèn)題解決】（1）上述問(wèn)題情境中“（_____）”處應(yīng)填理由：；（2）如圖2，小王將一個(gè)半徑為，圓心角為的扇形紙板繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)扇形紙板的位置．①請(qǐng)?jiān)趫D中作出點(diǎn)；②如果，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為；【問(wèn)題拓展】小李突發(fā)奇想，將與（2）中完全相同的兩個(gè)扇形紙板重疊，一個(gè)固定在墻上，使得一邊位于水平位置．另一個(gè)在弧的中點(diǎn)處固定，然后放開(kāi)紙板，使其擺動(dòng)到豎直位置時(shí)靜止．此時(shí)，兩個(gè)紙板重疊部分的面積是多少呢？如圖3所示，請(qǐng)你幫助小李解決這個(gè)問(wèn)題．26．（13分）已知，，，是拋物線為常數(shù)）上的兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，總有．（1）求的值；（2）將拋物線平移后得到拋物線．當(dāng)時(shí)，探究下列問(wèn)題：①若拋物線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍；②設(shè)拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)，外接圓的圓心為點(diǎn)．如果對(duì)拋物線上的任意一點(diǎn)，在拋物線上總存在一點(diǎn)，使得點(diǎn)、的縱坐標(biāo)相等．求長(zhǎng)的取值范圍．

2023年四川省樂(lè)山市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分．1．（3分）計(jì)算：A． B． C． D．1【分析】直接合并同類項(xiàng)得出答案．【解答】解：．故選：．2．（3分）下面幾何體中，是圓柱的為A． B． C． D．【分析】根據(jù)各個(gè)選項(xiàng)中的幾何體的形體特征進(jìn)行判斷即可．【解答】解：．選項(xiàng)中的幾何體是圓錐體，因此選項(xiàng)不符合題意；．選項(xiàng)中的幾何體是球體，因此選項(xiàng)不符合題意；．選項(xiàng)中的幾何體是圓柱體，因此選項(xiàng)符合題意；．選項(xiàng)中的幾何體是四棱柱，因此選項(xiàng)不符合題意；故選：．3．（3分）下列各點(diǎn)在函數(shù)圖象上的是A． B． C． D．【分析】利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，逐一對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證即可求解．【解答】解：．當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)不在函數(shù)圖象上；．當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)不在函數(shù)圖象上；．當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)不在函數(shù)圖象上；．當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)在函數(shù)圖象上；故選：．4．（3分）從水利部長(zhǎng)江水利委員會(huì)獲悉，截止2023年3月30日17時(shí)，南水北調(diào)中線一期工程自2014年12月全面通水以來(lái)，已累計(jì)向受水區(qū)實(shí)施生態(tài)補(bǔ)水約90億立方米．其中9000000000用科學(xué)記數(shù)法表示為A． B． C． D．【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值時(shí)，是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值時(shí)，是負(fù)數(shù)．【解答】解：．故選：．5．（3分）樂(lè)山是一座著名的旅游城市，有著豐富的文旅資源．某校準(zhǔn)備組織初一年級(jí)500名學(xué)生進(jìn)行研學(xué)旅行活動(dòng)，政教處周老師隨機(jī)抽取了其中50名同學(xué)進(jìn)行研學(xué)目的地意向調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果制成如圖統(tǒng)計(jì)圖，如圖所示．估計(jì)初一年級(jí)愿意去“沫若故居”的學(xué)生人數(shù)為A．100 B．150 C．200 D．400【分析】用總?cè)藬?shù)乘以樣本中去“沫若故居”的學(xué)生人數(shù)所占比例即可．【解答】解：估計(jì)初一年級(jí)愿意去“沫若故居”的學(xué)生人數(shù)為（人，故選：．6．（3分）如圖，菱形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)，為邊的中點(diǎn)，連結(jié)．若，，則A．2 B． C．3 D．4【分析】由菱形的性質(zhì)得到，，，由勾股定理求出的長(zhǎng)，由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，即可求出的長(zhǎng)．【解答】解：四邊形是菱形，，，，，，，，，為邊的中點(diǎn)，．故選：．7．（3分）若關(guān)于的一元二次方程兩根為、，且，則的值為A．4 B．8 C．12 D．16【分析】首先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出，再根據(jù)，求得，，進(jìn)一步得出求得答案即可．【解答】解：一元二次方程的兩根為，，，，解得，，．故選：．8．（3分）我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出“趙爽弦圖”，如圖所示，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形．如果大正方形面積為25，小正方形面積為1，則A． B． C．4 D．【分析】根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以求出斜邊各邊的長(zhǎng)，然后即可計(jì)算出的值．【解答】解：設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為，直角三角形的短直角邊為，長(zhǎng)直角邊為，由題意可得：，，，解得，，，，故選：．9．（3分）如圖4，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，且，有下列結(jié)論：①；②；③；④若點(diǎn)，，，在拋物線上，則．其中，正確的結(jié)論有A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【分析】根據(jù)題意畫出拋物線的大致圖象，利用函數(shù)圖象，由拋物線開(kāi)口方向得，由拋物線的對(duì)稱軸位置得，由拋物線與軸的交點(diǎn)位置得，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象分別判斷即可得出答案．【解答】解：拋物線開(kāi)口向上，，拋物線的對(duì)稱軸在軸的右側(cè)，，故①正確；拋物線與軸的交點(diǎn)在軸下方，，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，當(dāng)時(shí)，，，，，，故②正確；，，，，，故③正確；點(diǎn)，到對(duì)稱軸的距離比點(diǎn)，到對(duì)稱軸的距離近，，故④的結(jié)論錯(cuò)誤．故選：．10．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，、是半徑為1的上兩動(dòng)點(diǎn)，且，為弦的中點(diǎn)．當(dāng)、兩點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，面積的最大值是A．8 B．6 C．4 D．3【分析】判斷三角形和三角形都是等腰直角三角形，由題得，當(dāng)、、共線時(shí)，最大，求出、，根據(jù)面積公式計(jì)算即可．【解答】解：作，連接、、，，，，為等腰直角三角形，由得，點(diǎn)、，，為等腰直角三角形，，，由題得，當(dāng)、、共線時(shí)，最大，為中點(diǎn)，，，．故選：．二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分．11．（3分）不等式的解集是．【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，左右兩邊同時(shí)加上1，就可求出的取值范圍．【解答】解：解不等式得，．12．（3分）小張?jiān)凇瓣?yáng)光大課間”活動(dòng)中進(jìn)行了5次一分鐘跳繩練習(xí)，所跳個(gè)數(shù)分別為：160，163，160，157，160．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為160．【分析】根據(jù)眾數(shù)的定義求解即可．【解答】解：由題意知，這組數(shù)據(jù)中160出現(xiàn)3次，次數(shù)最多，所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為160，故答案為：160．13．（3分）如圖，點(diǎn)在直線上，是的平分線，若，則的度數(shù)為．【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角定義求得的度數(shù)，再根據(jù)角平分線定義即可求得答案．【解答】解：，，是的平分線，，故答案為：．14．（3分）若、滿足，則16．【分析】直接利用冪的乘方運(yùn)算法則將原式變形，進(jìn)而計(jì)算得出答案．【解答】解：，，．故答案為：16．15．（3分）如圖，在平行四邊形中，是線段上一點(diǎn)，連結(jié)、交于點(diǎn)．若，則．【分析】通過(guò)證明，可得，即可求解．【解答】解：四邊形是平行四邊形，，，，設(shè)，則，，，，，，故答案為：．16．（3分）定義：若，滿足，且為常數(shù)），則稱點(diǎn)為“和諧點(diǎn)”．（1）若是“和諧點(diǎn)”，則；（2）若雙曲線存在“和諧點(diǎn)”，則的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)題意得出，消去得到，解方程即可求得；（2）根據(jù)題意得出，①②得，整理得，由，得出，理得，由，得出．【解答】解：（1）是“和諧點(diǎn)”，，消去得到，解得或3，，；故答案為：；（2）雙曲線存在“和諧點(diǎn)”，，①②得，，，，整理得，，．故答案為：．三、解答題：本大題共10個(gè)小題，共102分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17．（9分）計(jì)算：．【分析】直接利用絕對(duì)值的性質(zhì)以及零指數(shù)冪的性質(zhì)、二次根式的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)，進(jìn)而得出答案．【解答】解：原式．18．（9分）解二元一次方程組：．【分析】利用加減消元法進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：，①得：③，②③得：，解得：，把代入①中得：，解得：，原方程組的解為：．19．（9分）如圖，已知與相交于點(diǎn)，，，求證：．【分析】由平行線的性質(zhì)可得，，利用即可判定，從而得．【解答】證明：，，，在和中，，，．20．（10分）如圖，在中，，點(diǎn)為邊上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），過(guò)點(diǎn)作，，分別交、于點(diǎn)、，連結(jié)．（1）求證：四邊形是矩形；（2）若，，求點(diǎn)到的距離．【分析】（1）先證四邊形為平行四邊形，即可求解；（2）由勾股定理可求的長(zhǎng)，由面積法可求解．【解答】（1）證明：，，四邊形為平行四邊形，又，四邊形為矩形；（2）解：過(guò)點(diǎn)作于，在中，，，，，，點(diǎn)到的距離為．21．（10分）為了踐行習(xí)近平總書記提出的“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，某地計(jì)劃在規(guī)定時(shí)間內(nèi)種植梨樹6000棵．開(kāi)始種植時(shí)，由于志愿者的加入，實(shí)際每天種植梨樹的數(shù)量比原計(jì)劃增加了，結(jié)果提前2天完成任務(wù)．問(wèn)原計(jì)劃每天種植梨樹多少棵？【分析】設(shè)原計(jì)劃每天種植梨樹棵，則實(shí)際每天種植梨樹棵，利用工作時(shí)間工作總量工作效率，結(jié)合實(shí)際比原計(jì)劃提前2天完成任務(wù)，可得出關(guān)于的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)原計(jì)劃每天種植梨樹棵，則實(shí)際每天種植梨樹棵，根據(jù)題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的解，且符合題意．答：原計(jì)劃每天種植梨樹500棵．22．（10分）為培養(yǎng)同學(xué)們愛(ài)勞動(dòng)的習(xí)慣，某班開(kāi)展了“做好一件家務(wù)”主題活動(dòng)，要求全班同學(xué)人人參與．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，同學(xué)們做的家務(wù)類型為“洗衣”“拖地”“煮飯”“刷碗”，班主任將以上信息繪制成了統(tǒng)計(jì)圖表，如圖所示．家務(wù)類型洗衣拖地煮飯刷碗人數(shù)（人101210根據(jù)上面圖表信息，回答下列問(wèn)題：（1）8；（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“拖地”所占的圓心角度數(shù)為；（3）班會(huì)課上，班主任評(píng)選出了近期做家務(wù)表現(xiàn)優(yōu)異的4名同學(xué)，其中有2名男生．現(xiàn)準(zhǔn)備從表現(xiàn)優(yōu)異的同學(xué)中隨機(jī)選取兩名同學(xué)分享體會(huì)，請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法求所選同學(xué)中有男生的概率．【分析】（1）先根據(jù)煮飯人數(shù)及其所占百分比求出總?cè)藬?shù)，繼而可得的值；（2）用乘以“拖地”所占比例即可；（3）列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．【解答】解：（1）因?yàn)楸徽{(diào)查的總?cè)藬?shù)為（人，所以，故答案為：8；（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“拖地”所占的圓心角度數(shù)為，故答案為：；（3）列表如下：男1男2女1女2男1（男1，男（男1，女（男1，女男2（男2，男（男2，女（男2，女女1（女1，男（女1，男（女1，女女2（女2，男（女2，男（女2，女由表知，共有12種等可能結(jié)果，其中所選同學(xué)中有男生的有10種結(jié)果，所以所選同學(xué)中有男生的概率為．23．（10分）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．（1）求的值和一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）已知為反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】（1）把代入反比例函數(shù)解析式求得的值，然后利用待定系數(shù)法即可求得一次函數(shù)的解析式；（2）過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，由得到，即，解得，即可求得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2或，進(jìn)一步求得點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，，，，又點(diǎn)、都在一次函數(shù)的圖象上，，解得，一次函數(shù)的解析式為；（2）對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，，，，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，，，即，解得，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2或，將或代入得或，點(diǎn)或．24．（10分）如圖，已知是的外接圓，，是圓上一點(diǎn)，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連結(jié)，，且，．（1）求證：直線是是的切線；（2）若，的半徑為3，求的長(zhǎng)．【分析】（1）先由，證明是的直徑，再證明，則，即可證明直線是是的切線；（2）由，得，則，，所以，則．【解答】（1）證明：，是的直徑，，，，，，，，，是的半徑，且，直線是是的切線．（2）解：作于點(diǎn)，則，，，，，，，，，的長(zhǎng)是．25．（12分）在學(xué)習(xí)完《圖形的旋轉(zhuǎn)》后，劉老師帶領(lǐng)學(xué)生開(kāi)展了一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)．【問(wèn)題情境】劉老師先引導(dǎo)學(xué)生回顧了華東師大版教材七年級(jí)下冊(cè)第121頁(yè)“探索”部分內(nèi)容：如圖1，將一個(gè)三角形紙板繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)的位置△的位置，那么可以得到：，，；，，．（_____）劉老師進(jìn)一步談到：圖形的旋轉(zhuǎn)蘊(yùn)含于自然界的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律中，即“變”中蘊(yùn)含著“不變”，這是我們解決圖形旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵．故數(shù)學(xué)就是一門哲學(xué)．【問(wèn)題解決】（1）上述問(wèn)題情境中“（_____）”處應(yīng)填理由：旋轉(zhuǎn)前后的圖形對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等；（2）如圖2，小王將一個(gè)半徑為，圓心角為的扇形紙板繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)扇形紙板的位置．①請(qǐng)?jiān)趫D中作出點(diǎn)；②如果，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為；【問(wèn)題拓展】小李突發(fā)奇想，將與（2）中完全相同的兩個(gè)扇形紙板重疊，一個(gè)固定在墻上，使得一邊位于水平位置．另一個(gè)在弧的中點(diǎn)處固定，然后放開(kāi)紙板，使其擺動(dòng)到豎直位置時(shí)靜止．此時(shí)，兩個(gè)紙板重疊部分的面積是多少呢？如圖3所示，請(qǐng)你幫助小李解決這個(gè)問(wèn)題．【分析】【問(wèn)題解決】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可知答案為旋轉(zhuǎn)前后的圖形對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等；（2）①作線段，的垂直平分線，兩垂直平分線交于，點(diǎn)為所求；②由，，可得，再用弧長(zhǎng)公式可得答案；【問(wèn)題拓展】連接，交于，連接，，，，，求出，，可