2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《有理數(shù)》專項測試卷含答案

第第頁2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《有理數(shù)》專項測試卷含答案學(xué)校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________一．選擇題（共10小題）1．（2024秋?揚州期末）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶的著作《數(shù)書九章》里記載有這樣一道題：“問有沙田一塊，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知為田幾何？”這道題講的是：有一塊三角形沙田，三條邊長分別為5里，12里，13里，則該沙田的面積為（）（“里”是我國市制長度單位，1里＝500米）A．7.5平方千米 B．75平方千米 C．1平方千米 D．750平方千米2．（2024秋?福田區(qū)校級期末）|a﹣3|與（b+2）2的和為0，則ba＝（）A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．83．（2024秋?東城區(qū)期末）若有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，在下列結(jié)論中，正確的是（）A．|a|＜|b| B．a(chǎn)+3＞0 C．a(chǎn)2＜b2 D．a(chǎn)＞﹣b4．（2024秋?姑蘇區(qū)校級期末）如圖，數(shù)軸上點A，B，C對應(yīng)的有理數(shù)分別為a，b，c，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A．a(chǎn)?b?c＞0 B．0＜ba＜1 C．a(chǎn)+b+c＞0 D．|a|＞|b5．（2024秋?浦東新區(qū)校級期末）如果|a|＝3，|b|＝4，且a＞b，那么a+b的值為（）A．﹣7 B．﹣1 C．﹣7或﹣1 D．76．（2024秋?瑤海區(qū)期末）超越數(shù)主要有自然常數(shù)（e）和圓周率（π）．自然常數(shù)的知名度比圓周率低很多，但實際上自然數(shù)e是數(shù)學(xué)中的一個重要常數(shù)，它與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、復(fù)利增長、概率統(tǒng)計、微積分以及物理學(xué)和工程學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用．e的出現(xiàn)使得我們能夠更好地描述和理解自然界和現(xiàn)實世界中的增長、衰減和變化過程．其數(shù)值約為：e＝2.718281828459045235360287471352……，下列對自然常數(shù)e取近似數(shù)正確的是（）A．2.7（精確到十分位） B．2.71（精確到0.01） C．2.719（精確到千分位） D．2.7182（精確到0.0001）7．（2024秋?本溪期末）已知|x|＝2，|y|＝4，若xy＞0，則x+y的值為（）A．6 B．2 C．﹣2 D．6或﹣68．（2024秋?成華區(qū)期末）已知a，b，c三個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，下列選項正確的是（）A．a(chǎn)＜c＜b B．a(chǎn)c＞0 C．|a﹣b|＝a﹣b D．|b|+|c|＝b+c9．（2024秋?遵義期末）下列等式中，正確的是（）A．﹣3+1﹣2＝﹣3+2﹣1 B．3×（﹣3）＝（﹣3）+（﹣3）+（﹣3） C．1÷(1D．43＝3×3×3×310．（2024秋?烏魯木齊期末）2024年12月21日是中國二十四節(jié)氣之冬至，冬至意味著寒冷的冬天正式來臨．表格中是新疆四地當(dāng)天的最高氣溫，其中氣溫最低的城市是（）城市烏魯木齊吐魯番阿勒泰喀什最高氣溫﹣5℃4℃﹣6℃3℃A．烏魯木齊 B．吐魯番 C．阿勒泰 D．喀什二．填空題（共5小題）11．（2024秋?寧夏期末）我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事非”，如圖，在邊長為1的正方形紙板上，依次貼上面積為12，14，112．（2024秋?集美區(qū)期末）數(shù)都可以表示成各個數(shù)位上的數(shù)字與該進制下基數(shù)的冪的乘積之和的形式．“十進制記數(shù)法”是目前應(yīng)用最廣泛的記數(shù)系統(tǒng)，十進制的基數(shù)是10，其特征是逢十進一，如3721表示成基數(shù)的冪的乘積之和為：3×103+7×102+2×101+1×100（規(guī)定當(dāng)a≠0時，a0＝1）．“二進制記數(shù)法”是計算機使用的記數(shù)系統(tǒng)，二進制的基數(shù)是2，其特征是逢二進一，如二進制數(shù)（1011）2表示成基數(shù)的冪的乘積之和為：1×23+0×22+1×21+1×20．根據(jù)以上介紹，回答下列問題：①二進制數(shù)（101101）2表示成基數(shù)的冪的乘積之和為：；②若某二進制數(shù)a與（101101）2之和是一個8位的二進制數(shù)，則a的最小值是．13．（2024秋?昆都侖區(qū)期末）我們學(xué)過+、﹣、×、÷這四種運算，現(xiàn)在規(guī)定“*”是一種新的運算，A*B表示：4A﹣B．如：5*3＝4×5﹣3＝17，那么2*（3*4）＝．14．（2024秋?郫都區(qū)期末）計算：(1+1215．（2024秋?朝陽區(qū)期末）由于科技創(chuàng)新與產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化，某種產(chǎn)品的原材料實現(xiàn)了一定幅度的降價，因而廠家決定對產(chǎn)品進行降價，現(xiàn)有三種方案：①第一次降價a%，第二次降價b%；②第一次降價b%，第二次降價a%；③第一、二次降價均為a+b2記降價后方案①的產(chǎn)品價格為A，方案②的產(chǎn)品價格為B，方案③的產(chǎn)品價格為C．若a＝10，b＝15，則AB（填“＞”“＜”或“＝”）；若a，b均為正數(shù)，則A，B，C的大小關(guān)系是．三．解答題（共5小題）16．（2024秋?裕華區(qū)期末）我們知道，在數(shù)軸上，|a|表示有理數(shù)a對應(yīng)的點到原點的距離，|a|＝|a﹣0|，同樣的道理，|a﹣3|表示有理數(shù)a對應(yīng)的點到有理數(shù)3對應(yīng)的點的距離，例如，|7﹣3|＝4，表示數(shù)軸上有理數(shù)7對應(yīng)的點到有理數(shù)3對應(yīng)的點的距離是4．請根據(jù)上面的材料解答下列問題：（1）請用上面的方法計算數(shù)軸上有理數(shù)﹣3對應(yīng)的點到有理數(shù)4對應(yīng)的點的距離；（2）|a﹣5|表示有理數(shù)a對應(yīng)的點與有理數(shù)對應(yīng)的點的距離；如果|a﹣5|＝2，那么有理數(shù)a的值為；（3）如果|a﹣3|+|a+1|＝8，請計算a的值；（4）現(xiàn)有一個有理數(shù)a，滿足|a﹣2|+|a﹣7|＝m，若滿足等式的a有無數(shù)個，求m的值．若不存在能使等式成立的a，求m的取值范圍．17．（2024秋?寧波期末）鐘表中蘊含著有趣的數(shù)學(xué)運算．例如，現(xiàn)在是10時，問4小時以后是幾時？雖然10+4＝14，但在表盤上看到的是2時．如果用符號“⊕”表示鐘表上的加法，則10⊕4＝2．若問3時之前5小時是幾時，就得到鐘表上的減法概念，若用符號“”表示鐘表上的減法，則35＝10．（注：此處用0時代替12時）．根據(jù)上述材料解決下列問題：（1）9⊕6＝，47＝．（2）在有理數(shù)運算中，相加得0的兩個數(shù)互為相反數(shù)．如果在鐘表運算中沿用這個概念，那么5的相反數(shù)是多少？（3）規(guī)定在鐘表運算中也有0＜1＜2＜3＜4＜5＜6＜7＜8＜9＜10＜11，對于鐘表上的任意數(shù)字a，b，c，若a＜b，判斷ac＜b⊕c是否一定成立，若一定成立，說明理由；若不一定成立，寫出一組反例加以說明．18．（2024秋?昆都侖區(qū)期末）閱讀材料：在學(xué)習(xí)絕對值時，根據(jù)絕對值的幾何意義，我們知道|4﹣2|表示4與2在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點之間的距離：|4+2|＝|4﹣（﹣2）|，所以|4+2|表示4與﹣2在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點之間的距離；|4|＝|4﹣0|，所以|4|表示4在數(shù)軸上對應(yīng)的點到原點的距離．一般地，點A，B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a，b，那么A，B兩點之間的距離可以表示為AB＝|a﹣b|．回答問題：（1）數(shù)軸上表示5與﹣2的兩點之間的距離是；數(shù)軸上表示x與2的兩點之間的距離是；（2）若|m﹣2|＝3，求m的值；（3）若|n﹣2|+|n+3|＝5，寫出整數(shù)n的值；（4）若代數(shù)式|x﹣1|+|x+a|的最小值是4，請直接寫出a的值．19．（2024秋?寧鄉(xiāng)市期末）根據(jù)給出的數(shù)軸及已知條件，解答下面的問題：（1）A，B兩點之間的距離為；（2）到點B的距離為3的點表示的數(shù)是；（3）已知在數(shù)軸上點M表示的數(shù)是m，點M向左移動6個單位，此時點M表示的數(shù)和m互為相反數(shù)，求出m的值；（4）若將數(shù)軸折疊，使得A點與C點重合，求與B點重合的點表示的數(shù)．20．（2024秋?米脂縣期末）米脂紅蔥是米脂縣的特產(chǎn)，全國農(nóng)產(chǎn)品地理標(biāo)志，某蔬菜超市購進20捆米脂紅蔥，以每捆5千克為標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量，超過的質(zhì)量用正數(shù)表示，不足的質(zhì)量用負(fù)數(shù)表示，結(jié)果記錄如下：與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的差值（單位：千克）﹣0.4﹣0.3﹣0.100.20.3捆數(shù)（單位：捆）142328（1）這20捆米脂紅蔥中，最重的一捆有千克，比最輕的一捆重千克．（2）與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量相比，這20捆米脂紅蔥的總質(zhì)量超過或不足多少千克？（3）若這些紅蔥以每千克6元的價格售出，求這20捆米脂紅蔥可賣多少元？參考答案與試題解析題號12345678910答案AABCCADCBC一．選擇題（共10小題）1．（2024秋?揚州期末）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶的著作《數(shù)書九章》里記載有這樣一道題：“問有沙田一塊，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知為田幾何？”這道題講的是：有一塊三角形沙田，三條邊長分別為5里，12里，13里，則該沙田的面積為（）（“里”是我國市制長度單位，1里＝500米）A．7.5平方千米 B．75平方千米 C．1平方千米 D．750平方千米【考點】數(shù)學(xué)常識．【專題】閱讀型；運算能力．【答案】A【分析】直接利用勾股定理的逆定理，進而結(jié)合直角三角形面積求法得出答案．【解答】解：∵52+122＝132，∴三條邊長分別為5里，12里，13里，構(gòu)成了直角三角形，∴這塊沙田面積為：12故選：A．【點評】此題主要考查了數(shù)學(xué)常識，正確得出三角形的形狀是解題關(guān)鍵．2．（2024秋?福田區(qū)校級期末）|a﹣3|與（b+2）2的和為0，則ba＝（）A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8【考點】非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對值．【專題】實數(shù)；運算能力．【答案】A【分析】根據(jù)絕對值和平方的非負(fù)性，求出a、b的值，進而求出結(jié)果．【解答】解：由條件可知|a﹣3|+（b+2）2＝0，∴a﹣3＝0，b+2＝0，∴a＝3，b＝﹣2，∴ba＝（﹣2）3＝﹣8，故選：A．【點評】本題考查絕對值和平方的非負(fù)性．熟練掌握幾個非負(fù)數(shù)的和為0得每一個非負(fù)數(shù)均為0是解題的關(guān)鍵．3．（2024秋?東城區(qū)期末）若有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，在下列結(jié)論中，正確的是（）A．|a|＜|b| B．a(chǎn)+3＞0 C．a(chǎn)2＜b2 D．a(chǎn)＞﹣b【考點】數(shù)軸；絕對值．【專題】計算題；運算能力．【答案】B【分析】利用數(shù)軸知識和絕對值的定義解答．【解答】解：由數(shù)軸圖可知，﹣2＜a＜﹣1＜0＜b＜1，∴|a|＞|b|，a+3＞0，a2＞b2，a＜﹣b，∴只有選項B正確，符合題意．故選：B．【點評】本題考查了數(shù)軸和絕對值，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)軸知識和絕對值的定義．4．（2024秋?姑蘇區(qū)校級期末）如圖，數(shù)軸上點A，B，C對應(yīng)的有理數(shù)分別為a，b，c，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A．a(chǎn)?b?c＞0 B．0＜ba＜1 C．a(chǎn)+b+c＞0 D．|a|＞|b【考點】數(shù)軸；絕對值．【專題】實數(shù)；運算能力．【答案】C【分析】先由數(shù)軸得出a＜﹣2＜b＜﹣1＜0＜c＜1，再根據(jù)有理數(shù)的加法法則、有理數(shù)的乘除法法則等分別分析，可得答案．【解答】解：由數(shù)軸可得：a＜﹣2＜b＜﹣1＜0＜c＜1，∴abc＞0，a+b+c＜0，故A正確，C錯誤；∵a＜﹣2＜b＜﹣1，∴0＜ba＜|a|＞|b|＞|c|，故D正確．故選：C．【點評】本題考查了數(shù)軸和絕對值，數(shù)形結(jié)合，是解題的關(guān)鍵．5．（2024秋?浦東新區(qū)校級期末）如果|a|＝3，|b|＝4，且a＞b，那么a+b的值為（）A．﹣7 B．﹣1 C．﹣7或﹣1 D．7【考點】有理數(shù)的加法；絕對值．【專題】實數(shù)；運算能力．【答案】C【分析】先根據(jù)題意求出a和b的值，然后再計算a+b的值即可．【解答】解：由條件可知a＝±3，b＝±4，∴a＝3，b＝﹣4或a＝﹣3，b＝﹣4，∴a+b＝3+（﹣4）＝﹣1或a+b＝﹣3+（﹣4）＝﹣7，故選：C．【點評】本題主要考查了絕對值的意義，有理數(shù)加法運算等知識點，深刻理解絕對值的意義并熟練掌握有理數(shù)的加法運算法則是解題的關(guān)鍵．6．（2024秋?瑤海區(qū)期末）超越數(shù)主要有自然常數(shù)（e）和圓周率（π）．自然常數(shù)的知名度比圓周率低很多，但實際上自然數(shù)e是數(shù)學(xué)中的一個重要常數(shù)，它與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、復(fù)利增長、概率統(tǒng)計、微積分以及物理學(xué)和工程學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用．e的出現(xiàn)使得我們能夠更好地描述和理解自然界和現(xiàn)實世界中的增長、衰減和變化過程．其數(shù)值約為：e＝2.718281828459045235360287471352……，下列對自然常數(shù)e取近似數(shù)正確的是（）A．2.7（精確到十分位） B．2.71（精確到0.01） C．2.719（精確到千分位） D．2.7182（精確到0.0001）【考點】近似數(shù)和有效數(shù)字．【專題】實數(shù)；數(shù)感．【答案】A【分析】根據(jù)四舍五入的方法進行判斷即可．【解答】解：自然常數(shù)e精確到十分位是2.7，故A選項符合題意；自然常數(shù)e精確到0.01是2.72，故B選項不符合題意；自然常數(shù)e精確到千分位是2.718，故C選項不符合題意；自然常數(shù)e精確到0.0001是2.7183，故D選項不符合題意，故選：A．【點評】本題考查了近似數(shù)和有效數(shù)字，解題的關(guān)鍵是掌握四舍五入法來求近似數(shù)．7．（2024秋?本溪期末）已知|x|＝2，|y|＝4，若xy＞0，則x+y的值為（）A．6 B．2 C．﹣2 D．6或﹣6【考點】有理數(shù)的乘法；絕對值；有理數(shù)的加法．【專題】實數(shù)；運算能力．【答案】D【分析】根據(jù)xy＞0可知x、y同號，由|x|＝2，|y|＝4進而即可求解．【解答】解：由條件可知：x＝±2，y＝±4，∵xy＞0，∴當(dāng)x＝2時，y＝4；當(dāng)x＝﹣2時，y＝﹣4；∴x+y＝±6．故選：D．【點評】本題主要考查絕對值的意義，有理數(shù)的加法和乘法，根據(jù)xy＞0判斷x、y同號是解題的關(guān)鍵．8．（2024秋?成華區(qū)期末）已知a，b，c三個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，下列選項正確的是（）A．a(chǎn)＜c＜b B．a(chǎn)c＞0 C．|a﹣b|＝a﹣b D．|b|+|c|＝b+c【考點】數(shù)軸；絕對值．【專題】計算題；運算能力．【答案】C【分析】利用數(shù)軸知識，絕對值的定義解答．【解答】解：由數(shù)軸圖可知，b＜a＜0＜c，|b|＞|a|，∴ac＜0；|a﹣b|＝a﹣b；|b|+|c|＝﹣b+c，∴只有選項C正確符合題意．故選：C．【點評】本題考查了數(shù)軸和絕對值，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)軸知識和絕對值的定義．9．（2024秋?遵義期末）下列等式中，正確的是（）A．﹣3+1﹣2＝﹣3+2﹣1 B．3×（﹣3）＝（﹣3）+（﹣3）+（﹣3） C．1÷(1D．43＝3×3×3×3【考點】有理數(shù)的混合運算．【專題】實數(shù)；運算能力．【答案】B【分析】根據(jù)有理數(shù)運算法則計算各個選項即可．【解答】解：A、﹣3+1﹣2＝﹣3﹣2+1，選項錯誤；B、3×（﹣3）＝（﹣3）+（﹣3）+（﹣3），選項正確；C、1÷(1D、43＝4×4×4，選項錯誤；故選：B．【點評】本題考查有理數(shù)減法法則、乘法定義、除法運算、乘方定義，熟記運算法則是解題的關(guān)鍵．10．（2024秋?烏魯木齊期末）2024年12月21日是中國二十四節(jié)氣之冬至，冬至意味著寒冷的冬天正式來臨．表格中是新疆四地當(dāng)天的最高氣溫，其中氣溫最低的城市是（）城市烏魯木齊吐魯番阿勒泰喀什最高氣溫﹣5℃4℃﹣6℃3℃A．烏魯木齊 B．吐魯番 C．阿勒泰 D．喀什【考點】有理數(shù)大小比較；正數(shù)和負(fù)數(shù)．【專題】實數(shù)；符號意識．【答案】C【分析】先求出兩個負(fù)數(shù)的絕對值，通過比較絕對值的大小，從而比較﹣5與﹣6的大小，從而比較3，4，﹣5，﹣6的大小，進行判斷即可．【解答】解：|﹣5|＝5，|﹣6|＝6，∵5＜6，∴﹣5＞﹣6，∴4＞3＞﹣5＞﹣6，∴氣溫最低的城市是阿勒泰，故選：C．【點評】本題主要考查了實數(shù)的大小比較，解題關(guān)鍵是熟練掌握比較兩個負(fù)數(shù)大小的方法．二．填空題（共5小題）11．（2024秋?寧夏期末）我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事非”，如圖，在邊長為1的正方形紙板上，依次貼上面積為12，14，18，?，【考點】有理數(shù)的加法．【專題】實數(shù)；運算能力．【答案】1?1【分析】12可以看作面積為1正方形減去一半的面積，所12+14可以看作面積為1正方形減去14的面積，12【解答】解：12可以看作面積為1正方形減去一半的面積，所以112+14可以看作面積為1正方形減去12+14+……，∴12+1∴12故答案為：1?1【點評】本題考查了規(guī)律題的探究．發(fā)現(xiàn)規(guī)律是關(guān)鍵．12．（2024秋?集美區(qū)期末）數(shù)都可以表示成各個數(shù)位上的數(shù)字與該進制下基數(shù)的冪的乘積之和的形式．“十進制記數(shù)法”是目前應(yīng)用最廣泛的記數(shù)系統(tǒng)，十進制的基數(shù)是10，其特征是逢十進一，如3721表示成基數(shù)的冪的乘積之和為：3×103+7×102+2×101+1×100（規(guī)定當(dāng)a≠0時，a0＝1）．“二進制記數(shù)法”是計算機使用的記數(shù)系統(tǒng)，二進制的基數(shù)是2，其特征是逢二進一，如二進制數(shù)（1011）2表示成基數(shù)的冪的乘積之和為：1×23+0×22+1×21+1×20．根據(jù)以上介紹，回答下列問題：①二進制數(shù)（101101）2表示成基數(shù)的冪的乘積之和為：1×25+0×24+1×23+1×22+0×21+1×20；②若某二進制數(shù)a與（101101）2之和是一個8位的二進制數(shù)，則a的最小值是（1010011）2．【考點】有理數(shù)的混合運算．【專題】實數(shù)；運算能力．【答案】1×25+0×24+1×23+1×22+0×21+1×20；（1010011）2．【分析】①根據(jù)題干二進制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)的方法列式即可．②根據(jù)二進制的基數(shù)是2，其特征是逢二進一，8位的最小二進制數(shù)是（10000000）2求解即可．【解答】解：①（101101）2表示成基數(shù)的冪的乘積之和為：1×25+0×24+1×23+1×22+0×21+1×20；，故答案為：1×25+0×24+1×23+1×22+0×21+1×20；②由條件可知若某二進制數(shù)a與（101101）2之和是一個8位的二進制數(shù)，a的最小值是（1010011）2．故答案為：（1010011）2．【點評】本題主要考查了單位進制的轉(zhuǎn)化運算，含乘方的有理數(shù)混合運算，熟練掌握以上知識點是關(guān)鍵．13．（2024秋?昆都侖區(qū)期末）我們學(xué)過+、﹣、×、÷這四種運算，現(xiàn)在規(guī)定“*”是一種新的運算，A*B表示：4A﹣B．如：5*3＝4×5﹣3＝17，那么2*（3*4）＝0．【考點】有理數(shù)的混合運算．【專題】新定義；運算能力．【答案】0．【分析】根據(jù)新定義，先算3*4，再算2*（3*4）即可．【解答】解：2*（3*4）＝2*（4×3﹣4）＝2*8＝4×2﹣8＝0，故答案為：0．【點評】本題考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．14．（2024秋?郫都區(qū)期末）計算：(1+12+1【考點】有理數(shù)的混合運算．【專題】計算題；運算能力．【答案】?1【分析】從算式的特征，將1+12+13+?+1【解答】解：將1+12+將1+12+∴原式＝A×（B﹣1）﹣（A﹣1）×B＝AB﹣A﹣AB+B＝B﹣A，＝1+12+=?1【點評】本題考查了有理數(shù)的混合運算，解題的關(guān)鍵是運用整體代入法來解答．15．（2024秋?朝陽區(qū)期末）由于科技創(chuàng)新與產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化，某種產(chǎn)品的原材料實現(xiàn)了一定幅度的降價，因而廠家決定對產(chǎn)品進行降價，現(xiàn)有三種方案：①第一次降價a%，第二次降價b%；②第一次降價b%，第二次降價a%；③第一、二次降價均為a+b2記降價后方案①的產(chǎn)品價格為A，方案②的產(chǎn)品價格為B，方案③的產(chǎn)品價格為C．若a＝10，b＝15，則A＝B（填“＞”“＜”或“＝”）；若a，b均為正數(shù)，則A，B，C的大小關(guān)系是A＝B≤C．【考點】有理數(shù)大小比較．【專題】整式；推理能力．【答案】＝，A＝B≤C．【分析】記產(chǎn)品原價為x，根據(jù)題意分別表示出A，B即可比較A，B的大小，再同樣表示出C，結(jié)合整式的混合運算，完全平方公式的運用，作差法比較大小，即可解題．【解答】解：記產(chǎn)品原價為x，若a＝10，b＝15，則A＝（1﹣10%）×（1﹣15%）x＝0.765x，B＝（1﹣15%）×（1﹣10%）x＝0.765x，∴A＝B，若a，b均為正數(shù)，則A＝（1﹣a%）（1﹣b%）x，B＝（1﹣b%）（1﹣a%）x，C=(1?a+b∵(1?=[(1?a+b=[(200?a?b=x=x=x=x又∵a，b均為正數(shù)，∴x40000∴A＝B≤C，故答案為：＝，A＝B≤C．【點評】本題考查代數(shù)式表示式，整式的混合運算，完全平方公式和平方差公式的運用，作差法比較大小，解題的關(guān)鍵在于理解題意列出A，B，C表達式．三．解答題（共5小題）16．（2024秋?裕華區(qū)期末）我們知道，在數(shù)軸上，|a|表示有理數(shù)a對應(yīng)的點到原點的距離，|a|＝|a﹣0|，同樣的道理，|a﹣3|表示有理數(shù)a對應(yīng)的點到有理數(shù)3對應(yīng)的點的距離，例如，|7﹣3|＝4，表示數(shù)軸上有理數(shù)7對應(yīng)的點到有理數(shù)3對應(yīng)的點的距離是4．請根據(jù)上面的材料解答下列問題：（1）請用上面的方法計算數(shù)軸上有理數(shù)﹣3對應(yīng)的點到有理數(shù)4對應(yīng)的點的距離；（2）|a﹣5|表示有理數(shù)a對應(yīng)的點與有理數(shù)5對應(yīng)的點的距離；如果|a﹣5|＝2，那么有理數(shù)a的值為7或3；（3）如果|a﹣3|+|a+1|＝8，請計算a的值；（4）現(xiàn)有一個有理數(shù)a，滿足|a﹣2|+|a﹣7|＝m，若滿足等式的a有無數(shù)個，求m的值．若不存在能使等式成立的a，求m的取值范圍．【考點】有理數(shù)的減法；有理數(shù)；數(shù)軸；絕對值．【專題】實數(shù)；運算能力．【答案】（1）7；（2）5，7或3；（3）5或﹣3；（4）m＝5，m＜5．【分析】（1）根據(jù)絕對值的幾何意義表示即可；（2）根據(jù)絕對值的幾何意義列式計算即可；（3）按照絕對值代數(shù)意義分類討論即可得到結(jié)果；（4）根據(jù)絕對值的幾何意義和條件分析解答即可．【解答】解：（1）|﹣3﹣4|＝7；（2）|a﹣5|表示有理數(shù)a對應(yīng)的點與有理數(shù)5對應(yīng)的點的距離；如果|a﹣5|＝2，那么有理數(shù)a的值為7或3；故答案為：5；7或3；（3）當(dāng)a≤﹣1時，3﹣a﹣1﹣a＝8，解得a＝﹣3，當(dāng)﹣1＜a＜3時，3﹣a+a+1＝8，無解，不符合題意；當(dāng)a≥3時，a﹣3+a+1＝8，解得a＝5，綜上分析，滿足方程的a值為：5或﹣3；（4）∵|a﹣2|+|a﹣7|＝m，滿足等式的a有無數(shù)個，∴當(dāng)2≤a＜≤7時，m＝5，∵|a﹣2|+|a﹣7|＝m，有最小值5，∴若不存在能使等式成立的a，則m的取值范圍為：m＜5．【點評】本題考查了有理數(shù)減法、絕對值、數(shù)軸，熟練掌握以上知識點是關(guān)鍵．17．（2024秋?寧波期末）鐘表中蘊含著有趣的數(shù)學(xué)運算．例如，現(xiàn)在是10時，問4小時以后是幾時？雖然10+4＝14，但在表盤上看到的是2時．如果用符號“⊕”表示鐘表上的加法，則10⊕4＝2．若問3時之前5小時是幾時，就得到鐘表上的減法概念，若用符號“”表示鐘表上的減法，則35＝10．（注：此處用0時代替12時）．根據(jù)上述材料解決下列問題：（1）9⊕6＝3，47＝9．（2）在有理數(shù)運算中，相加得0的兩個數(shù)互為相反數(shù)．如果在鐘表運算中沿用這個概念，那么5的相反數(shù)是多少？（3）規(guī)定在鐘表運算中也有0＜1＜2＜3＜4＜5＜6＜7＜8＜9＜10＜11，對于鐘表上的任意數(shù)字a，b，c，若a＜b，判斷ac＜b⊕c是否一定成立，若一定成立，說明理由；若不一定成立，寫出一組反例加以說明．【考點】有理數(shù)的混合運算．【專題】實數(shù)；運算能力．【答案】（1）3；9；（2）5的相反數(shù)是7；（3）不一定成立，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)鐘表的定義及鐘表上的加減法定義即可求解；（2）根據(jù)鐘表運算中相反數(shù)的定義即可求解；（3）根據(jù)鐘表運算的定義舉出反例即可驗證．【解答】解：（1）9⊕6表示9點鐘再過去6小時，故為9+6＝15小時，即為3時；4?7表示4點鐘之前7小時，故為4+12﹣7＝9小時，即為9時，故答案為：3；9；（2）在有理數(shù)運算中，相加得零的兩個數(shù)互為相反數(shù)，在鐘表中，用0時代替12時，∴在鐘表中，相加為12的兩個數(shù)互為相反數(shù)，∴在鐘表中，5的相反數(shù)是12﹣5＝7；（3）不一定成立；理由如下：當(dāng)a＝3，b＝5，c＝7時，3⊕7＝10，5⊕7＝0，則3⊕7＞5⊕7，∴當(dāng)a＜b時，a⊕c＜b⊕c不一定成立．【點評】此題主要考查有理數(shù)的混合運算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到運算法則進行求解．18．（2024秋?昆都侖區(qū)期末）閱讀材料：在學(xué)習(xí)絕對值時，根據(jù)絕對值的幾何意義，我們知道|4﹣2|表示4與2在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點之間的距離：|4+2|＝|4﹣（﹣2）|，所以|4+2|表示4與﹣2在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點之間的距離；|4|＝|4﹣0|，所以|4|表示4在數(shù)軸上對應(yīng)的點到原點的距離．一般地，點A，B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a，b，那么A，B兩點之間的距離可以表示為AB＝|a﹣b|．回答問題：（1）數(shù)軸上表示5與﹣2的兩點之間的距離是7；數(shù)軸上表示x與2的兩點之間的距離是|x﹣2|；（2）若|m﹣2|＝3，求m的值；（3）若|n﹣2|+|n+3|＝5，寫出整數(shù)n的值；（4）若代數(shù)式|x﹣1|+|x+a|的最小值是4，請直接寫出a的值．【考點】數(shù)軸；絕對值；有理數(shù)．【專題】實數(shù)；運算能力．【答案】（1）7；|x﹣2|；（2）m＝﹣1或5；（3）n＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2；（4）a＝﹣5或a＝3．【分析】（1）數(shù)軸上兩點間的距離等于兩個數(shù)的差的絕對值；（2）根據(jù)絕對值幾何意義即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)絕對值幾何意義得出x的取舍范圍，進而得出結(jié)果；（4）根據(jù)絕對值的幾何意義列出式子，即可求出a．【解答】解：（1）數(shù)軸上表示5與﹣2的兩點之間的距離是5﹣（﹣2）＝7；數(shù)軸上表示x與2的兩點之間的距離是|x﹣2|，故答案為：7；|x﹣2|；（2）|m﹣2|＝3表示m與2的距離為3，則m＝﹣1或5；（3）|n﹣2|+|n+3|＝5，數(shù)軸上表示n與2和n與﹣3兩點之間的距離之和為5，則n在數(shù)軸上的位置在﹣3與2之間，∴﹣3≤n≤2，∵n為整數(shù)，∴n＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2；（4）∵|x﹣1|+|x+a|的最小值是4，即當(dāng)x在1和﹣a之間時，|x﹣1|+|x+a|＝4，∴﹣a＝5或﹣a＝﹣3，∴a＝﹣5或a＝3．【點評】本題考查了數(shù)軸，絕對值，兩點間的距離公式，正確理解絕對值的幾何意義是解題的關(guān)鍵．19．（2024秋?寧鄉(xiāng)市期末）根據(jù)給出的數(shù)軸及已知條件，解答下面的問題：（1）A，B兩點之間的距離為4；（2）到點B的距離為3的點表示的數(shù)是1或﹣5；（3）已知在數(shù)軸上點M表示的數(shù)是m，點M向左移動6個單位，此時點M表示的數(shù)和m互為相反數(shù)，求出m的值；（4）若將數(shù)軸折疊，使得A點與C點重合，求與B點重合的點表示的數(shù)．【考點】數(shù)軸；相反數(shù)．【專題】實數(shù)；運算能力．【答案】（1）4；（2）1或﹣5；（3）m＝3；（4）與B點重合的點表示的數(shù)為1．【分析】（1）由較大的數(shù)減去較小的數(shù)可得兩點之間的距離；（2）根據(jù)兩點間的距離確定即可；（3）先表示移動后對應(yīng)的數(shù)，再利用相反數(shù)的含義列方程解答即可；（4）先求折痕點對應(yīng)的數(shù)，再計算折痕點與B之間的距離，從而可得答案．【解答】解：（1）∵A表示的數(shù)為2，B表示的數(shù)為﹣2，A、B兩點之間的距離為2﹣（﹣2）＝2+2＝4；故答案為：4；（2）①當(dāng)這個數(shù)在點B左側(cè)時，﹣2﹣3＝﹣5，此時這個數(shù)為﹣5；②當(dāng)這個數(shù)在點B右側(cè)時，﹣2+3＝1，此時這個數(shù)為1；∴到點B的距離為4的點表示的數(shù)是1或﹣5，故答案為：1或﹣5；（3）∵在數(shù)軸上點M表示的數(shù)是m，點M向左移動6個單位，∴此時M對應(yīng)的數(shù)為m﹣6，∵點M表示的數(shù)和m互為相反數(shù)，∴m+m﹣6＝0，解得：m＝3；（4）∵點A表示的數(shù)為2，點C表示的數(shù)為﹣3，將數(shù)軸折疊，使得A點與C點重合，∴折疊點表示的數(shù)為2?32∴與B點重合的點表示的數(shù)為?12+【點評】本題考查的是數(shù)軸，涉及兩點之間的距離，相反數(shù)的含義，理解題意，選擇合適的方法解題是關(guān)鍵．20．（2024秋?米脂縣期末）米脂紅蔥是米脂縣的特產(chǎn)，全國農(nóng)產(chǎn)品地理標(biāo)志，某蔬菜超市購進20捆米脂紅蔥，以每捆5千克為標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量，超過的質(zhì)量用正數(shù)表示，不足的質(zhì)量用負(fù)數(shù)表示，結(jié)果記錄如下：與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的差值（單位：千克）﹣0.4﹣0.3﹣0.100.20.3捆數(shù)（單位：捆）142328（1）這20捆米脂紅蔥中，最重的一捆有5.3千克，比最輕的一捆重0.7千克．（2）與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量相比，這20捆米脂紅蔥的總質(zhì)量超過或不足多少千克？（3）若這些紅蔥以每千克6元的價格售出，求這20捆米脂紅蔥可賣多少元？【考點】正數(shù)和負(fù)數(shù)；有理數(shù)的混合運算．【專題】運算能力．【答案】（1）5.3，0.7；（2）這20捆米脂紅蔥的總質(zhì)量超過標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量1千克；（3）這20捆米脂紅蔥可賣606元．【分析】（1）根據(jù)正負(fù)數(shù)的實際意義即可求解；（2）運用有理數(shù)的乘法運算先計算出與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的差值，再進行比較，結(jié)果為正表示超過，結(jié)果為負(fù)表示不足，由此即可求解；（3）算出20捆米脂紅蔥的質(zhì)量，再乘以每千克的單價即可求解．【解答】解：（1）最重的一捆有5+0.3＝5.3（千克），∵0.3﹣（﹣0.4）＝0.7（千克），∴最重的比最輕的重0.7千克，故答案為：5.3，0.7；（2）﹣0.4×1﹣0.3×4﹣0.1×2+0×3+0.2×2+0.3×8＝﹣1.8+2.8＝1（千克），∴這20捆米脂紅蔥的總質(zhì)量超過標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量1千克；（3）（20×5+1）×6＝606（元），∴這20捆米脂紅蔥可賣606元．【點評】本題主要考查正負(fù)數(shù)，有理數(shù)的混合運算的運用，理解正負(fù)數(shù)的實際意義，有理數(shù)的混合運算是解題的關(guān)鍵．

考點卡片1．正數(shù)和負(fù)數(shù)1、在以前學(xué)過的0以外的數(shù)叫做正數(shù)，在正數(shù)前面加負(fù)號“﹣”，叫做負(fù)數(shù)，一個數(shù)前面的“+”“﹣”號叫做它的符號．2、0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)．0是正負(fù)數(shù)的分界點，正數(shù)是大于0的數(shù)，負(fù)數(shù)是小于0的數(shù)．3、用正負(fù)數(shù)表示兩種具有相反意義的量．具有相反意義的量都是互相依存的兩個量，它包含兩個要素，一是它們的意義相反，二是它們都是數(shù)量．2．有理數(shù)我們學(xué)習(xí)過正整數(shù)，如1，2，3，…；0；負(fù)整數(shù)，如﹣1，﹣2，﹣3，…．正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)．我們還學(xué)習(xí)過正分?jǐn)?shù)，如12，23，157，0.1，5.32，0.3?，……；負(fù)分?jǐn)?shù)，如?5進一步地，正整數(shù)可以寫成分?jǐn)?shù)的形式，例如2=21；負(fù)整數(shù)也可以寫成負(fù)分?jǐn)?shù)的形式，例如﹣3=?3可以寫成分?jǐn)?shù)形式的數(shù)稱為有理數(shù)．其中，可以寫成正分?jǐn)?shù)形式的數(shù)為有理數(shù)，可以寫成負(fù)分?jǐn)?shù)形式的數(shù)稱為負(fù)有理數(shù)．0.1=110，﹣0.5=?13．?dāng)?shù)軸（1）數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸．?dāng)?shù)軸的三要素：原點，單位長度，正方向．（2）數(shù)軸上的點：所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，但數(shù)軸上的點不都表示有理數(shù)．（一般取右方向為正方向，數(shù)軸上的點對應(yīng)任意實數(shù)，包括無理數(shù)．）（3）用數(shù)軸比較大小：一般來說，當(dāng)數(shù)軸方向朝右時，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大．4．相反數(shù)（1）相反數(shù)的概念：只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)．（2）相反數(shù)的意義：掌握相反數(shù)是成對出現(xiàn)的，不能單獨存在，從數(shù)軸上看，除0外，互為相反數(shù)的兩個數(shù)，它們分別在原點兩旁且到原點距離相等．（3）多重符號的化簡：與“+”個數(shù)無關(guān)，有奇數(shù)個“﹣”號結(jié)果為負(fù)，有偶數(shù)個“﹣”號，結(jié)果為正．（4）規(guī)律方法總結(jié)：求一個數(shù)的相反數(shù)的方法就是在這個數(shù)的前邊添加“﹣”，如a的相反數(shù)是﹣a，m+n的相反數(shù)是﹣（m+n），這時m+n是一個整體，在整體前面添負(fù)號時，要用小括號．5．絕對值（1）概念：數(shù)軸上某個數(shù)與原點的距離叫做這個數(shù)的絕對值．①互為相反數(shù)的兩個數(shù)絕對值相等；②絕對值等于一個正數(shù)的數(shù)有兩個，絕對值等于0的數(shù)有一個，沒有絕對值等于負(fù)數(shù)的數(shù)．③有理數(shù)的絕對值都是非負(fù)數(shù)．（2）如果用字母a表示有理數(shù)，則數(shù)a絕對值要由字母a本身的取值來確定：①當(dāng)a是正有理數(shù)時，a的絕對值是它本身a；②當(dāng)a是負(fù)有理數(shù)時，a的絕對值是它的相反數(shù)﹣a；③當(dāng)a是零時，a的絕對值是零．即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）6．非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對值在實數(shù)范圍內(nèi)，任意一個數(shù)的絕對值都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個數(shù)或式的絕對值相加和為0時，則其中的每一項都必須等于0．7．有理數(shù)大小比較（1）有理數(shù)的大小比較比較有理數(shù)的大小可以利用數(shù)軸，他們從右到左的順序，即從大到小的順序（在數(shù)軸上表示的兩個有理數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大）；也可以利用數(shù)的性質(zhì)比較異號兩數(shù)及0的大小，利用絕對值比較兩個負(fù)數(shù)的大?。?）有理數(shù)大小比較的法則：①正數(shù)都大于0；②負(fù)數(shù)都小