高考復(fù)習專題練習專題06圓錐曲線大題(學生版+解析)

專題06圓錐曲線大題解題秘籍解題秘籍1.利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解2.若直線與圓雉曲線相交于，兩點，由直線與圓錐曲線聯(lián)立，消元得到（）則：則：弦長或圓錐曲線弦長萬能公式（硬解定理）設(shè)直線方程為:y=kx+圓錐曲線的方程為:fx可化為ax設(shè)直線和曲線的兩交點為Ax1,y1,Bx2,AB

(2)若消去x,得aAB處理定點問題的思路：（1）確定題目中的核心變量（此處設(shè)為），（2）利用條件找到與過定點的曲線的聯(lián)系，得到有關(guān)與的等式，（3）所謂定點，是指存在一個特殊的點，使得無論的值如何變化，等式恒成立，此時要將關(guān)于與的等式進行變形，直至找到，①若等式的形式為整式，則考慮將含的式子歸為一組，變形為“”的形式，讓括號中式子等于0，求出定點；②若等式的形式是分式，一方面可考慮讓分子等于0，一方面考慮分子和分母為倍數(shù)關(guān)系，可消去變?yōu)槌?shù).處理定值問題的思路：聯(lián)立方程，用韋達定理得到、（或、）的形式，代入方程和原式化簡即可.模擬訓練模擬訓練一、解答題1．（22·23下·無錫·三模）已知，，為橢圓上三個不同的點，滿足，其中.記中點的軌跡為.(1)求的方程；(2)若直線交于，兩點，交于，兩點，求證：.2．（22·23·深圳·二模）已知橢圓的離心率，且點在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)若經(jīng)過定點的直線與橢圓交于兩點，記橢圓的上頂點為，當直線的斜率變化時，求面積的最大值.3．（22·23下·河北·一模）已知拋物線的焦點為F，直線與C交于A，B兩點，當時，.(1)求拋物線C的方程；(2)若直線與拋物線C交于M，N兩點，證明：由直線，直線及y軸圍成的三角形為等腰三角形.4．（22·23下·河北·三模）已知橢圓，其焦距為，連接橢圓的四個頂點所得四邊形的面積為6．(1)求橢圓的標準方程；(2)已知點，過點作斜率不為0的直線交橢圓于不同兩點，求證：直線與直線所成的較小角相等．5．（22·23下·浙江·二模）已知雙曲線的左、右頂點分別為A，B，過點的直線l交雙曲線于P，Q兩點（不與A，B重合），直線，分別與y軸交于M，N兩點．(1)記直線，的斜率分別為，，求；(2)記，的面積分別為，，當時，求直線l的方程．6．（22·23下·長沙·二模）已知雙曲線的左、右頂點分別為A1，A2，動直線l：與圓相切，且與雙曲線左、右兩支的交點分別為（，），（，）．

(1)求k的取值范圍；(2)記直線P1A1的斜率為k1，直線P2A2的斜率為k2，那么是定值嗎？證明你的結(jié)論．7．（22·23下·浙江·三模）已知雙曲線為其左右焦點，點為其右支上一點，在處作雙曲線的切線.(1)若的坐標為，求證：為的角平分線；(2)過分別作的平行線，其中交雙曲線于兩點，交雙曲線于兩點，求和的面積之積的最小值.8．（22·23·寧德·二模）在平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率，橢圓的右焦點到直線的距離．(1)求橢圓的方程．(2)已知，是橢圓上的兩個不同的動點，以線段為直徑的圓經(jīng)過坐標原點．試判斷圓與直線的位置關(guān)系并說明理由．9．（22·23·廈門·一模）已知圓：，點，是圓上任意一點，線段的垂直平分線和半徑相交于(1)求動點的軌跡的方程；(2)經(jīng)過點和的圓與直線：交于，，已知點，且、分別與交于、.試探究直線是否經(jīng)過定點.如果有，請求出定點；如果沒有，請說明理由.10．（22·23下·湖北·三模）已知分別為橢圓的左、右焦點，點是橢圓C上一點．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)是橢圓C上且處于第一象限的動點，直線與橢圓C分別相交于兩點，直線，相交于點N，試求的最大值．11．（22·23下·武漢·三模）已知橢圓過點，左焦點為．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線與橢圓C交于A，B兩點，點M為橢圓C外一點，直線，分別與橢圓C交于點C，D（異于點A，B），直線，交于點N，求證：直線的斜率為定值．12．（22·23下·黃岡·三模）如圖，雙曲線的中心在原點，焦點到漸近線的距離為，左、右頂點分別為．曲線是以雙曲線的實軸為長軸，虛軸為短軸，且離心率為的橢圓，設(shè)在第一象限且在雙曲線上，直線交橢圓于點，直線與橢圓交于另一點．

(1)求橢圓及雙曲線的標準方程；(2)設(shè)與軸交于點，是否存在點使得（其中為點的橫坐標），若存在，求出點(1)求橢圓的方程；(2)直線：交橢圓于，兩點，的角平分線所在的直線與直線交于點，記直線的斜率為，試問是否為定值，若是定值，求出該定值；若不是定值，請說明理由.18．（22·23·廣州·三模）直線經(jīng)過點且與拋物線交于兩點．(1)若，求拋物線的方程；(2)若直線與坐標軸不垂直，，證明：的充要條件是．19．（22·23·唐山·二模）已知橢圓，連接E的四個頂點所得四邊形的面積為4，是E上一點．(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)斜率為的直線與橢圓E交于A，B兩點，D為線段的中點，O為坐標原點，若E上存在點C，使得，求三角形的面積．20．（22·23·秦皇島·二模）已知雙曲線實軸的一個端點是，虛軸的一個端點是，直線與雙曲線的一條漸近線的交點為.(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與曲線有兩個不同的交點是坐標原點，求的面積最小值.21．（22·23·滄州·三模）已知為圓：上任一點，，，，且滿足.(1)求動點的軌跡的方程；(2)直線：與軌跡相交于，兩點，與軸交于點，過的中點且斜率為的直線與軸交于點，記，若，求的取值范圍.22．（22·23下·南京·二模）已知拋物線和圓．(1)若拋物線的準線與軸相交于點，是過焦點的弦，求的最小值；(2)已知，，是拋物線上互異的三個點，且點異于原點．若直線，被圓截得的弦長都為2，且，求點的坐標．23．（22·23下·蘇州·三模）已知點是圓上一動點，點，線段的垂直平分線交線段于點.(1)求動點的軌跡方程；(2)定義：兩個離心率相等的圓錐曲線為“相似”曲線.若關(guān)于坐標軸對稱的曲線與曲線相似，且焦點在同一條直線上，曲線經(jīng)過點.過曲線上任一點作曲線的切線，切點分別為，這兩條切線分別與曲線交于點（異于點），證明：.24．（22·23下·江蘇·三模）已知橢圓E：，橢圓上有四個動點A，B，C，D，，AD與BC相交于P點.如圖所示.

(1)當A，B恰好分別為橢圓的上頂點和右頂點時，試探究：直線AD與BC的斜率之積是否為定值？若為定值，請求出該定值；否則，請說明理由；(2)若點P的坐標為，求直線AB的斜率.25．（22·23下·常州·一模）已知橢圓：的短軸長為，離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)過點的動直線與橢圓相交于不同的兩點，在線段上取點，滿足，證明：點總在某定直線上．26．（22·23下·浙江·二模）已知雙曲線的左、右焦點分別為，且到的一條漸近線的距離為.(1)求的方程；(2)過的左頂點且不與軸重合的直線交的右支于點，交直線于點，過作的平行線，交直線于點，證明：在定圓上.27．（22·23·茂名·三模）已知雙曲線的離心率為2.(1)求雙曲線的漸近線方程；(2)若雙曲線的右焦點為，若直線與的左，右兩支分別交于兩點，過作的垂線，垂足為，試判斷直線是否過定點，若是，求出定點的坐標；若不是，請說明理由.28．（22·23下·溫州·三模）已知拋物線與雙曲線相交于兩點是的右焦點，直線分別交于（不同于點），直線分別交軸于兩點.(1)設(shè)，求證：是定值；(2)求的取值范圍.29．（22·23下·浙江·二模）已知雙曲線的漸近線方程為，左右頂點為，設(shè)點，直線分別與雙曲線交于兩點（不同于）.(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)的面積分別為，若，求直線方程.（寫出一條即可）30．（22·23·三明·三模）已知是橢圓的右焦點，為坐標原點，為橢圓上任意一點，的最大值為.當時，的面積為.(1)求橢圓的方程；(2)、為橢圓的左、右頂點，點滿足，當與、不重合時，射線交橢圓于點，直線、交于點，求的最大值.31．（22·23·龍巖·二模）已知橢圓的左、右焦點分別為，，過右焦點的直線交橢圓K于M，N兩點，以線段為直徑的圓C與圓內(nèi)切．(1)求橢圓K的方程；(2)過點M作軸于點E，過點N作軸于點Q，與交于點P，是否存在直線使得的面積等于？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．32．（22·23·淄博·三模）已知雙曲線C：的左、右焦點分別為、，焦距為4，右頂點為A，以A為圓心，b為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線相交于R，S兩點，且∠RAS＝60°.(1)求雙曲線C的標準方程；(2)已知點M，Q是雙曲線C上關(guān)于坐標原點對稱的兩點，其中M位于第一象限，的角平分線記為l，過點M做l的垂線，垂足為E，與雙曲線右支的另一交點記為點N，求的最大值.33．（22·23·山東·二模）已知拋物線，過點的兩條直線、分別交于、兩點和、兩點．當?shù)男甭蕿闀r，．(1)求的標準方程；(2)設(shè)為直線與的交點，證明：點在定直線上．34．（22·23·菏澤·三模）已知橢圓與直線相交于兩點，橢圓上一動點，滿足（其中表示兩點連線的斜率），且為橢圓的左、右焦點，面積的最大值為．(1)求橢圓的標準方程；(2)過點的直線交橢圓于兩點，求的內(nèi)切圓面積的最大值．35．（22·23下·武漢·三模）已知雙曲線：的一條漸近線為，橢圓：的長軸長為4，其中.過點的動直線交于A，B兩點，過點Р的動直線交于M，N兩點.(1)求雙曲線和橢圓的方程；(2)是否存在定點Q，使得四條直線QA，QB，QM，QN的斜率之和為定值?若存在，求出點Q坐標；若不存在，說明理由.36．（22·23下·湖南·二模）已知為雙曲線的左右焦點，且該雙曲線離心率小于等于，點和是雙曲線上關(guān)于軸對稱非重合的兩個動點，為雙曲線左右頂點，恒成立．(1)求該雙曲線的標準方程；(2)設(shè)直線和的交點為，求點的軌跡方程．37．（22·23·梅州·三模）已知雙曲線的右焦點，右頂點分別為，，，，點在線段上，且滿足，直線的斜率為1，為坐標原點.(1)求雙曲線的方程.(2)過點的直線與雙曲線的右支相交于，兩點，在軸上是否存在與不同的定點，使得恒成立？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.38．（22·23·福州·三模）已知M是平面直角坐標系內(nèi)的一個動點，直線MA與直線垂直，A為垂足且位于第三象限；直線MB與直線垂直，B為垂足且位于第二象限.四邊形OAMB(O為原點)的面積為2，記動點M的軌跡為C.(1)求C的方程；(2)點，直線PE，QE與C分別交于P，Q兩點，直線PE，QE，PQ的斜率分別為，，.若，求△PQE周長的取值范圍.39．（22·23·德州·三模）已知分別為雙曲線的左，右焦點，點在上，且雙曲線的漸近線與圓相切．(1)求雙曲線的方程；(2)若過點且斜率為的直線交雙曲線的右支于兩點，為軸上一點，滿足，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．40．（22·23下·煙臺·三模）已知雙曲線的焦距為4，點在上．(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，斜率為且不過的直線與交于點，若為直線斜率的等差中項，求到直線的距離的取值范圍．專題06圓錐曲線大題解題秘籍解題秘籍1.利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解2.若直線與圓雉曲線相交于，兩點，由直線與圓錐曲線聯(lián)立，消元得到（）則：則：弦長或圓錐曲線弦長萬能公式（硬解定理）設(shè)直線方程為:y=kx+圓錐曲線的方程為:fx可化為ax設(shè)直線和曲線的兩交點為Ax1,y1,Bx2,AB

(2)若消去x,得aAB處理定點問題的思路：（1）確定題目中的核心變量（此處設(shè)為），（2）利用條件找到與過定點的曲線的聯(lián)系，得到有關(guān)與的等式，（3）所謂定點，是指存在一個特殊的點，使得無論的值如何變化，等式恒成立，此時要將關(guān)于與的等式進行變形，直至找到，①若等式的形式為整式，則考慮將含的式子歸為一組，變形為“”的形式，讓括號中式子等于0，求出定點；②若等式的形式是分式，一方面可考慮讓分子等于0，一方面考慮分子和分母為倍數(shù)關(guān)系，可消去變?yōu)槌?shù).處理定值問題的思路：聯(lián)立方程，用韋達定理得到、（或、）的形式，代入方程和原式化簡即可.模擬訓練模擬訓練一、解答題1．（22·23下·無錫·三模）已知，，為橢圓上三個不同的點，滿足，其中.記中點的軌跡為.(1)求的方程；(2)若直線交于，兩點，交于，兩點，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)向量的坐標計算和橢圓的標準方程即可求解；（2）根據(jù)直線和橢圓的方程聯(lián)立以及中點坐標公式即可求解.【詳解】（1）設(shè)，，則，，將代入，得將代入，得，即，又因為且所以，所以，所以的方程為.即的方程為.（2）

設(shè)中點為，中點為.當垂直軸時，由對稱性可得；當不垂直軸時，設(shè)，將直線的方程代入，得，所以，，所以，，即，同理，由此可知.2．（22·23·深圳·二模）已知橢圓的離心率，且點在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)若經(jīng)過定點的直線與橢圓交于兩點，記橢圓的上頂點為，當直線的斜率變化時，求面積的最大值.【答案】(1)(2)16【分析】根據(jù)離心率的值和定義可以求出之間的關(guān)系式，待定系數(shù)法設(shè)出橢圓方程后把已知點代入求解即可.設(shè)出直線方程后，聯(lián)立直線和橢圓方程，消元化簡后，可得，利用弦長公式求出弦長，再利用點到直線距離公式求出三角形的高，的面積可用直線斜率進行表達，通過換元轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，求出最值即可.【詳解】（1）橢圓的離心率，則，即，所以，橢圓方程為.將點代入方程得，故所求方程為.（2）點在橢圓內(nèi)，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，由得.設(shè)，則..點到的距離.令，則則.因為，所以當時，是所求最大值.

3．（22·23下·河北·一模）已知拋物線的焦點為F，直線與C交于A，B兩點，當時，.(1)求拋物線C的方程；(2)若直線與拋物線C交于M，N兩點，證明：由直線，直線及y軸圍成的三角形為等腰三角形.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)直線拋物線方程的聯(lián)立以及拋物線的定義即可求解；（2）根據(jù)直線與拋物線方程的聯(lián)立以及坐標關(guān)系即可求解.【詳解】（1）

當時，直線，與聯(lián)立消去y，整理可得，由得，即.設(shè)，，可得，所以，由題意可得，準線方程為，根據(jù)拋物線的定義可得，，所以，解得，滿足，所以拋物線C的方程為.（2）

直線與聯(lián)立可得，由得，即或（舍）設(shè)，，則；直線與聯(lián)立消去y，整理可得，由得，即或（舍），故，設(shè)，，則；因為，同理，所以，所以由直線，直線及y軸圍成的三角形為等腰三角形.4．（22·23下·河北·三模）已知橢圓，其焦距為，連接橢圓的四個頂點所得四邊形的面積為6．(1)求橢圓的標準方程；(2)已知點，過點作斜率不為0的直線交橢圓于不同兩點，求證：直線與直線所成的較小角相等．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由題意可得，進而解方程求解即可；（2）設(shè)直線的方程為，，設(shè)，，聯(lián)立直線和橢圓方程，利用韋達定理得到、，轉(zhuǎn)化直線與直線所成的較小角相等為，進而求證即可.【詳解】（1）由題意得，，解得，，，所以橢圓的標準方程為.（2）證明：由題意，直線的斜率一定存在，設(shè)直線的方程為，，設(shè)，，聯(lián)立，整理得，所以，即，且，，，因為直線平行于軸，所以要證直線與直線所成的較小角相等，即證直線的傾斜角互補，即證，下面進行證明：，所以直線與直線所成的較小角相等.

5．（22·23下·浙江·二模）已知雙曲線的左、右頂點分別為A，B，過點的直線l交雙曲線于P，Q兩點（不與A，B重合），直線，分別與y軸交于M，N兩點．(1)記直線，的斜率分別為，，求；(2)記，的面積分別為，，當時，求直線l的方程．【答案】(1)見解析(2)或或【分析】（1）設(shè)直線的方程為，將其與雙曲線的方程聯(lián)立，得到關(guān)于的一元二次方程，再結(jié)合韋達定理和直線的斜率公式，計算的值，即可．（2）根據(jù)可得，根據(jù)兩點坐標求解直線的方程，進而可得的坐標，結(jié)合韋達定理即可代入求值.【詳解】（1）由題意知，，，設(shè)直線的方程為，,,，聯(lián)立，得，，，，，直線的斜率，直線的斜率，，為定值．（2）設(shè),則，,由于,得，設(shè)直線，可得，設(shè)直線，可得，所以，所以由得，當時，則，解得，此時直線方程為當時，則，解得，此時直線方程為故直線方程為或或【點睛】圓錐曲線中求定值的常見求解策略，利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造等量關(guān)系，利用直線與曲線的聯(lián)立，得到韋達定理，以及距離公式，弦長公式，直線方程的交點等關(guān)系式，還要注意向量的應(yīng)用，根據(jù)向量的共線得到點的坐標之間的關(guān)系，代入等量關(guān)系中化簡，即可找到解題突破.6．（22·23下·長沙·二模）已知雙曲線的左、右頂點分別為A1，A2，動直線l：與圓相切，且與雙曲線左、右兩支的交點分別為（，），（，）．

(1)求k的取值范圍；(2)記直線P1A1的斜率為k1，直線P2A2的斜率為k2，那么是定值嗎？證明你的結(jié)論．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)直線與圓相切，可得，聯(lián)立直線與雙曲線，根據(jù)可得的范圍；（2）根據(jù)斜率公式以及韋達定理，將變形化簡可得結(jié)果.【詳解】（1）與圓相切，，，由，得，，，故的取值范圍為.（2）由已知可得的坐標分別為，，，又因為，所以，為定值.7．（22·23下·浙江·三模）已知雙曲線為其左右焦點，點為其右支上一點，在處作雙曲線的切線.(1)若的坐標為，求證：為的角平分線；(2)過分別作的平行線，其中交雙曲線于兩點，交雙曲線于兩點，求和的面積之積的最小值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）易得點處的切線方程，根據(jù)交軸于點，由判斷；（2）過的切線，由時，得到，聯(lián)立，得到，再由，然后由求解.【詳解】（1）解：由題意點處的切線為，所以過點處的切線方程為，交軸于點，則，即，所以為的角平分線；（2）過的切線，當時，即不為右頂點時，，即，（或由直線與單支有兩個交點，則也可）聯(lián)立設(shè)，則所以又所以，，當時，即點為右頂點時，，所以，所以的最小值為.8．（22·23·寧德·二模）在平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率，橢圓的右焦點到直線的距離．(1)求橢圓的方程．(2)已知，是橢圓上的兩個不同的動點，以線段為直徑的圓經(jīng)過坐標原點．試判斷圓與直線的位置關(guān)系并說明理由．【答案】(1)(2)圓與直線相切，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率公式以及點到直線的距離公式，建立方程，可得答案；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立可得一元二次方程，寫出韋達定理，結(jié)合直線與圓相切的性質(zhì)，可得答案.【詳解】（1）設(shè)橢圓的右焦點為，因為橢圓的右焦點到直線的距離是，所以，所以．又因為離心率，所以，所以，所以橢圓方程為．（2）圓與直線相切．理由：設(shè)，．當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為．由，得．，化簡可得：.所以，，．因為以線段為直徑的圓過坐標原點，所以，所以，且，所以圓心到直線的距離．當直線的斜率不存在時，由題知，所以，所以，所以圓心到直線的距離．綜上所述，圓與直線相切．9．（22·23·廈門·一模）已知圓：，點，是圓上任意一點，線段的垂直平分線和半徑相交于(1)求動點的軌跡的方程；(2)經(jīng)過點和的圓與直線：交于，，已知點，且、分別與交于、.試探究直線是否經(jīng)過定點.如果有，請求出定點；如果沒有，請說明理由.【答案】(1)(2)經(jīng)過定點，定點坐標為【分析】（1）利用橢圓的定義即可求出動點的軌跡的方程；（2）設(shè)，，直線的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達定理列出，，，之間的關(guān)系，再利用兩點式寫出直線的方程，求出點，，再寫出以為直徑的圓的方程，根據(jù)圓的方程經(jīng)過點，得到關(guān)系式，進而求得為定值，從而得到直線過定點.【詳解】（1）如圖所示，

∵，且，∴點的軌跡是以，為焦點的橢圓，設(shè)橢圓方程，則，，∴，.所以點的軌跡方程為：.（2）設(shè)直線的方程為：，由，得設(shè)，，則，.所以，，因為直線的方程為：，令，得，所以，，同理可得，以為直徑的圓的方程為：，即，因為圓過點，所以，，得，代入得，化簡得，，解得或（舍去），所以直線經(jīng)過定點，當直線的斜率為0時，此時直線與軸重合，直線經(jīng)過點，綜上所述，直線經(jīng)過定點.10．（22·23下·湖北·三模）已知分別為橢圓的左、右焦點，點是橢圓C上一點．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)是橢圓C上且處于第一象限的動點，直線與橢圓C分別相交于兩點，直線，相交于點N，試求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義求出，然后根據(jù)的關(guān)系即可求解；（2）設(shè)，得到，將的方程與曲線方程聯(lián)立，利用韋達定理得到，，代入進而利用基本不等式即可求解.【詳解】（1）由，得，∴橢圓C的方程是；（2）設(shè)，根據(jù)題意設(shè)的方程為：，由題意知，，

將，代入中，整理得，，又，．，，同理可得，，

（當且僅當時取等號）的最大值是．11．（22·23下·武漢·三模）已知橢圓過點，左焦點為．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線與橢圓C交于A，B兩點，點M為橢圓C外一點，直線，分別與橢圓C交于點C，D（異于點A，B），直線，交于點N，求證：直線的斜率為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)已知過點和橢圓性質(zhì)即可求解.（2）利用已知求出兩點坐標，解設(shè)出，然后利用斜率并表示出方程，再表示出直線的斜率即可得出結(jié)論.【詳解】（1）由已知得，解得，．即橢圓C的方程為.（2）由，得，．設(shè)，，則，同理．設(shè)，，則由直線過點得：．

①由直線過點N得：．

②①×②得：．

③同理，由直線過點M得：．

④由直線過點N得：．

⑤④×⑤得：．

⑥③－⑥得：，進而．所以直線的斜率為定值．12．（22·23下·黃岡·三模）如圖，雙曲線的中心在原點，焦點到漸近線的距離為，左、右頂點分別為．曲線是以雙曲線的實軸為長軸，虛軸為短軸，且離心率為的橢圓，設(shè)在第一象限且在雙曲線上，直線交橢圓于點，直線與橢圓交于另一點．

(1)求橢圓及雙曲線的標準方程；(2)設(shè)與軸交于點，是否存在點使得（其中為點的橫坐標），若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）根據(jù)雙曲線以及橢圓的幾何性質(zhì)即可求解的值，（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程得到韋達定理，結(jié)合坐標運算即可求解.【詳解】（1）由已知可設(shè)雙曲線方程為，橢圓方程，則雙曲線的一條漸近線方程為，即，故，即，又，解得，所以雙曲線方程：，橢圓方程為：；（2）設(shè)，直線，，顯然，由，又因為在雙曲線上，滿足，即，所以，即．同理直線，由于是直線與橢圓的兩個交點，所以,在雙曲線上，滿足,即可得，所以，若存在，即，而在第一象限，所以，即【點睛】解析幾何簡化運算的常見方法：（1）正確畫出圖形，利用平面幾何知識簡化運算；（2）坐標化，把幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標運算；（3）巧用定義，簡化運算.13．（22·23下·長沙·二模）已知圓是圓上任意一點，線段的垂直平分線與半徑相交于點，當點運動時，點的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)過點的直線與曲線相交于點，與軸相交于點，過點的另一條直線與相交于兩點，且的面積是面積的倍，求直線的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意和橢圓的定義即可求解；（2）首先求出直線的方程，以及點的坐標，討論直線的斜率存在與否，當斜率存在時，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立解方程組求出，根據(jù)的面積是面積的倍，化簡可以得到，進一步求出斜率，從而得出答案.【詳解】（1）因為點為線段的垂直平分線與半徑的交點，所以，所以，所以點的軌跡是以為焦點，長軸長為4的橢圓，在橢圓中，所以曲線的方程為．（2）由已知得，所以直線的方程為，所以點的坐標為．當直線的斜率不存在時，，或都與已知不符；當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，由得，易知，則，，由的面積是面積的倍可得，化簡得，即，又，所以，即，也就是，所以，解得，所以直線的方程為．

14．（22·23下·長沙·三模）已知橢圓E：的左、右焦點分別為,焦距與短軸長均為4.設(shè)過F2的直線l交E于M,N,過M,N分別作E在點M,N上的兩條切線,記它們的交點為P,MN的中點為Q.(1)證明：O,P,Q三點共線；(2)過F1作平行于l的直線分別交PM,PN于A,B,求的取值范圍.參考結(jié)論：點T(,)為橢圓()上一點,則過點T(,)的橢圓的切線方程為.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先求得橢圓方程,再設(shè)的方程為,聯(lián)立橢圓的方程,并化簡切線方程組可得.再設(shè)的中點為,證明即可；（2）取中點,根據(jù)三角形的性質(zhì)有四點共線,再結(jié)合橢圓的對稱性有即可.【詳解】（1）由題意,,,解得,,故橢圓的方程為.又,顯然的斜率不為0,故設(shè)的方程為,,則,即,故,.聯(lián)立過的切線方程,即,相減可得,即,化簡可得.代入可得,故.設(shè)的中點為,則,,故.因為,,故,所以三點共線.（2）由作平行于l的直線分別交于,易得,取中點,根據(jù)三角形的性質(zhì)有四點共線,

結(jié)合橢圓的對稱性有,當且僅當時取等號.故.【點睛】方法點睛：根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系,結(jié)合向量的性質(zhì),聯(lián)立方程利用韋達定理證明三點共線與求取值范圍的問題.需要根據(jù)題意聯(lián)立直線與橢圓的方程,利用韋達定理得到P,Q的坐標,再根據(jù)三角形與向量的性質(zhì)轉(zhuǎn)化所求的量從而進行簡化求解范圍.屬于難題.15．（22·23下·長沙·三模）已知P為圓C：上一動點，點，線段PN的垂直平分線交線段PC于點Q．(1)求點Q的軌跡方程；(2)點M在圓上，且M在第一象限，過點M作圓的切線交Q點軌跡于A，B兩點，問的周長是否為定值？若是，求出定值；若不是，說明理由.【答案】(1)(2)的周長為定值【分析】（1）根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可知，可得，滿足橢圓定義，由此可求得點軌跡方程；（2）設(shè)，，分別求出，再根據(jù)，利用勾股定理分別求出，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）由題意得：圓，則圓心，半徑，設(shè)中點為，則為線段的垂直平分線，則，所以，所以點軌跡是以為焦點，長軸長為的橢圓，即，，則，所以點軌跡方程為：；

（2）設(shè)，由題意可得，則，故，故，同理可得，因為，所以，同理可得，所以，即的周長為定值.

【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．16．（23·24上·永州·一模）已知點A為圓上任意一點，點的坐標為，線段的垂直平分線與直線交于點．(1)求點的軌跡的方程；(2)設(shè)軌跡E與軸分別交于兩點（在的左側(cè)），過的直線與軌跡交于兩點，直線與直線的交于，證明：在定直線上．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意推出，結(jié)合雙曲線定義即可求得答案；（2）設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立雙曲線方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系，表示出直線和的方程，推得，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系化簡，即可證明結(jié)論.【詳解】（1）由得，其半徑為4，因為線段的垂直平分線與直線交于點，

故，則,而，故點的軌跡為以為焦點的雙曲線，則，故點的軌跡的方程為.（2）證明：由題意知，

若直線l斜率為0，則其與雙曲線的交點為雙曲線的兩頂點，不合題意；故直線l的斜率不能為0，故設(shè)其方程為，聯(lián)立，得，，故，設(shè)，則直線的方程為，直線的方程為，故，則，即，解得，故直線與直線的交點在定直線上.【點睛】難點點睛：本題考查了利用雙曲線定義求解雙曲線方程以及直線和雙曲線的位置關(guān)系中的點在定直線上的問題，難點在于證明直線與直線的交點在定直線上，解答時要設(shè)直線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系進行化簡，計算過程比較復(fù)雜，且大都是關(guān)于字母參數(shù)的運算，要十分細心.17．（22·23下·廣州·三模）已知橢圓：的左、右焦點為，，離心率為，為橢圓上的一點，且的內(nèi)切圓半徑最大值為.(1)求橢圓的方程；(2)直線：交橢圓于，兩點，的角平分線所在的直線與直線交于點，記直線的斜率為，試問是否為定值，若是定值，求出該定值；若不是定值，請說明理由.【答案】(1)(2)是定值，【分析】（1）判斷出的內(nèi)切圓半徑最大時點為橢圓的上（下）頂點，用等面積法列出方程組，解方程組可得；（2）（法一）設(shè)直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，則，，，又在的角平分線所在的直線上，則，計算可得出為定值；（法二）齊次化處理橢圓方程后亦通過，計算可得出為定值.【詳解】（1）因為的周長等于為定值，所以內(nèi)切圓半徑最大時，即的面積最大，此時點為橢圓的上（下）頂點可得；又因為，，解得，，，所以橢圓的方程為；（2）（法一）設(shè)點由條件可知直線的斜率，設(shè)點，，由得：所以，（*）由（*）可得①②③由對稱性，不妨令點位于第四象限，設(shè)直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，當直線、直線的斜率均存在時，則，，，又在的角平分線所在的直線上，則，

可得出，化簡得，即，將①②③式代入上式得：，則，解得，（舍去），故直線方程為，令得點，則，故為定值；當直線、直線有一條斜率不存在時，不妨設(shè)，此時，，所以，直線、直線，設(shè)，則，所以（正值舍去），所以，所以；綜上所述，為定值.（法二）由條件可知直線的斜率，當直線、直線的斜率均存在時，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，直線的斜率為，設(shè)直線：，其中由得即整理得即令，則，其中，為方程的根，所以，由對稱性，不妨令點位于第四象限，設(shè)直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，則，，，又在的角平分線所在的直線上，則，由得，代入整理得，則，故（舍去）或者，所以直線的方程為，令得點故，則為定值;當直線、直線有一條斜率不存在時，不妨設(shè)，此時，，所以，直線、直線，設(shè)，則，所以（正值舍去），所以，所以；綜上所述，為定值.18．（22·23·廣州·三模）直線經(jīng)過點且與拋物線交于兩點．(1)若，求拋物線的方程；(2)若直線與坐標軸不垂直，，證明：的充要條件是．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由拋物線經(jīng)過點，代入求得，即可求得拋物線的方程；（2）設(shè)直線，，聯(lián)立方程組求得，，當時，求得，得到充分性成立，反之由時，根據(jù)，求得，得到，得出必要性成立，即可得證.【詳解】（1）解：因為拋物線經(jīng)過點，可得，解得，所以拋物線的方程為.（2）證明：設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立方程組，整理得，則，．當時，直線的斜率之和為，因為，所以，即的傾斜角互補，所以．反之，當時，直線的斜率之和為0，即，所以，即，因為，所以，即，所以，可得，

綜上所述，的充要條件是．【點睛】方法點睛：解決拋物線問題的方法與策略：1、涉及拋物線的定義問題：拋物線的定義是解決拋物線問題的基礎(chǔ)，它能將兩種距離(拋物線上的點到焦點的距離、拋物線上的點到準線的距離)進行等量轉(zhuǎn)化．如果問題中涉及拋物線的焦點和準線，又能與距離聯(lián)系起來，那么用拋物線定義就能解決問題．因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點弦問題，可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點到準線的距離，這樣就可以使問題簡單化．2、涉及直線與拋物線的綜合問題：通常設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，合理進行轉(zhuǎn)化運算求解，同時注意向量、基本不等式、函數(shù)及導數(shù)在解答中的應(yīng)用.19．（22·23·唐山·二模）已知橢圓，連接E的四個頂點所得四邊形的面積為4，是E上一點．(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)斜率為的直線與橢圓E交于A，B兩點，D為線段的中點，O為坐標原點，若E上存在點C，使得，求三角形的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）由面積和的坐標建立方程組待定即可；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，由D為線段的中點，利用韋達定理得到，即的坐標，又，則點坐標也可用表示，根據(jù)點在橢圓上，化簡得到的關(guān)系，由點線距及弦長公式求解面積，再由比例關(guān)系即可得到三角形的面積.【詳解】（1）由題意知連接E的四個頂點所得四邊形的面積為，又點在E上，得，解得，，故橢圓E的方程為．（2）設(shè)直線的方程為，由，消去得，又，得，設(shè)，，，則，．由，可得為三角形的重心，所以，且，，，故由在橢圓E上，得，得，，又原點到直線的距離為，所以，故．

【點睛】面積計算的一般方法就是弦長乘以點到直線距離（高），當然注意到弦過定點的話，我們可以將其拆分成鉛錘高或水平長的計算，而四邊形面積一般轉(zhuǎn)化為三角形來計算.而有關(guān)面積比的轉(zhuǎn)化問題，關(guān)鍵則在觀察已知條件中等底或等高或公共邊的特點，化為共線長度比或點線距離比或夾角正弦比等問題再加以探求.20．（22·23·秦皇島·二模）已知雙曲線實軸的一個端點是，虛軸的一個端點是，直線與雙曲線的一條漸近線的交點為.(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與曲線有兩個不同的交點是坐標原點，求的面積最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用雙曲線的性質(zhì)待定系數(shù)法計算即可；（2）聯(lián)立方程，根據(jù)弦長公式及韋達定理可表示三角形面積，利用換元法求最值即可.【詳解】（1）設(shè)點，點，則直線的方程為，與漸近線聯(lián)立，得，解之得，即直線與雙曲線的一條漸近線交點為，又直線與雙曲線的一條漸近線的交點為，所以，即，因此雙曲線方程為.（2）

設(shè)，把代入，得，則，，，點到直線的距離，所以的面積為，令，所以，令，則，因為，所以，由，得，由，得，由，得，即當時，等號成立，此時滿足，所以面積的最小值為.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.21．（22·23·滄州·三模）已知為圓：上任一點，，，，且滿足.(1)求動點的軌跡的方程；(2)直線：與軌跡相交于，兩點，與軸交于點，過的中點且斜率為的直線與軸交于點，記，若，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)向量的幾何性質(zhì)由得，進而可得，可得動點的軌跡為橢圓，進而可得軌跡方程；（2）根據(jù)弦長公式得，根據(jù)中垂線的方程可得，，由函數(shù)的單調(diào)性可得.【詳解】（1）

如圖，由，可得，因為，所以，所以動點的軌跡是以，為焦點，長軸長為的橢圓，所以動點的軌跡的方程為.（2）直線的方程為，聯(lián)立消去并整理，得，，設(shè)，，則，，又，可得線段的中點坐標為，所以線段垂直平分線的方程為，令，可得，對于直線，令，可得，所以，又，所以，令，則，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，所以，則.【點睛】方法點睛：弦長公式22．（22·23下·南京·二模）已知拋物線和圓．(1)若拋物線的準線與軸相交于點，是過焦點的弦，求的最小值；(2)已知，，是拋物線上互異的三個點，且點異于原點．若直線，被圓截得的弦長都為2，且，求點的坐標．【答案】(1)(2)或【分析】（1）首先求出拋物線的焦點坐標與準線方程，設(shè)方程為，，，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達定理，根據(jù)數(shù)量積的坐標表示得到，再根據(jù)重要不等式計算可得；（2）設(shè)，，，即可得到、的方程，由點到直線的距離公式得到、為方程的兩根，即可得到，由可得，由斜率之積為，求出，即可得解.【詳解】（1）拋物線的焦點為，準線為，則，設(shè)方程為，，，由，消去整理得，所以，，所以，，則，當且僅當時取等號，即的最小值為.（2）設(shè)，，，則，，圓的圓心為，半徑，所以，則，同理可得，所以、為方程的兩根，所以，又，所以，所以，即，解得，所以點坐標為或.23．（22·23下·蘇州·三模）已知點是圓上一動點，點，線段的垂直平分線交線段于點.(1)求動點的軌跡方程；(2)定義：兩個離心率相等的圓錐曲線為“相似”曲線.若關(guān)于坐標軸對稱的曲線與曲線相似，且焦點在同一條直線上，曲線經(jīng)過點.過曲線上任一點作曲線的切線，切點分別為，這兩條切線分別與曲線交于點（異于點），證明：.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合軸對稱的性質(zhì)及橢圓定義求出方程作答.（2）由（1）及已知求出曲線的方程，驗證斜率不存在的情況，當斜率存在時，設(shè)出它們的方程，再與，的方程聯(lián)立推理作答.【詳解】（1）依題意，，

由橢圓的定義知，交點的軌跡是以點為左右焦點的橢圓，且長軸長，焦距，則，所以曲線的方程為.（2）由（1）知，曲線的離心率為，且焦點在x軸上，則曲線的離心率為，曲線的焦點在x軸上，而曲線經(jīng)過點，，因此曲線的長半軸長，半焦距，短半軸長有，于是曲線的方程為，設(shè)，

當切線的斜率不存在時，的方程為，代入得，此時、與曲線都相切，為的中點，為的中點，則；當切線的斜率不存在時，同理有；當切線和的斜率都存在時，設(shè)切線的方程為，分別代入和，化簡得①，②，依題意，方程①有兩個相等的實數(shù)根，方程②有兩個不相等的實數(shù)根，于是，即，則，此時為的中點.同理可證，為的中點，因此，所以.【點睛】求橢圓的標準方程有兩種方法：①定義法：根據(jù)橢圓的定義，確定，的值，結(jié)合焦點位置可寫出橢圓方程．②待定系數(shù)法：若焦點位置明確，則可設(shè)出橢圓的標準方程，結(jié)合已知條件求出a，b；若焦點位置不明確，則需要分焦點在x軸上和y軸上兩種情況討論，也可設(shè)橢圓的方程為(A>0，B>0，A≠B)．24．（22·23下·江蘇·三模）已知橢圓E：，橢圓上有四個動點A，B，C，D，，AD與BC相交于P點.如圖所示.

(1)當A，B恰好分別為橢圓的上頂點和右頂點時，試探究：直線AD與BC的斜率之積是否為定值？若為定值，請求出該定值；否則，請說明理由；(2)若點P的坐標為，求直線AB的斜率.【答案】(1)是定值，定值為(2)【分析】（1）由題意求出直線的斜率，再求可設(shè)直線CD的方程為，設(shè)，，將直線方程代入橢圓方程化簡，利用根與系數(shù)的關(guān)系，然后求解即可；（2）設(shè)，，，記，表示出點的坐標，將A，D兩點的坐標代入橢圓方程，化簡得，再由可得，從而可得，進而可得直線的方程，則可求出其斜率.【詳解】（1）由題意知，，，所以，，所以，設(shè)直線CD的方程為，設(shè)，，聯(lián)立直線CD與橢圓的方程，整理得，由，解得，且，則，，所以，故直線AD與BC的斜率之積是定值，且定值為.（2）設(shè)，，，記()，得.所以.又A，D均在橢圓上，所以，化簡得，因為，所以，同理可得，即直線AB：，所以AB的斜率為.【點睛】關(guān)鍵點睛：此題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓中的定值問題，解題的關(guān)鍵是設(shè)出直線CD的方程，代入橢圓方程中消元化簡，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，再利用直線的斜率公式表示出，結(jié)合前面的式子化簡計算可得結(jié)果，考查計算能力和數(shù)形結(jié)合的思想，屬于較難題.25．（22·23下·常州·一模）已知橢圓：的短軸長為，離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)過點的動直線與橢圓相交于不同的兩點，在線段上取點，滿足，證明：點總在某定直線上．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意得，再結(jié)合可求出，從而可求得橢圓方程，（2）設(shè)，，，，設(shè)的方程為，代入橢圓方程化簡，利用根與系數(shù)的關(guān)系，由可得，再結(jié)合前面的式子化簡可求出關(guān)于的方程，從而可證得結(jié)論.【詳解】（1）由題意可知，因為，所以解得，．所以所求橢圓的方程為（2）設(shè)，，，，直線的斜率顯然存在，設(shè)為，則的方程為．因為，，，四點共線，不妨設(shè)，則，，，，由，可得，化簡得．（*）聯(lián)立直線和橢圓的方程，得，消去，得，，得，由韋達定理，得，．代入（*）化簡得，即．又，代入上式，得，化簡得．所以點總在一條定直線上．

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解題的關(guān)鍵是設(shè)出直線的方程，利用弦長公式表示出，代入化簡，再將直線方程代入橢圓方程化簡，利用根與系數(shù)的關(guān)系，幾個式子相結(jié)合可證得結(jié)論.26．（22·23下·浙江·二模）已知雙曲線的左、右焦點分別為，且到的一條漸近線的距離為.(1)求的方程；(2)過的左頂點且不與軸重合的直線交的右支于點，交直線于點，過作的平行線，交直線于點，證明：在定圓上.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)焦點到漸近線的距離求出即可得解；（2）由題意可設(shè)PA，的斜率分別為，設(shè)直線AP的方程為，聯(lián)立雙曲線方程，求出，由三角函數(shù)可得，即化為得證.【詳解】（1）根據(jù)題意可知C的一條漸近線方程為，設(shè)到漸近線的距離為，所以，所以的方程為.（2）設(shè)C的左頂點為A，則,故直線為線段的垂直平分線.所以可設(shè)PA，的斜率分別為，故直線AP的方程為.與C的方程聯(lián)立有，設(shè)B），則，即，所以當軸時，，是等腰直角三角形，且易知當不垂直于x軸時，直線的斜率為，故因為，所以所以因為所以所以為定值，所以點Q在以為圓心且半徑為4的定圓上.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.27．（22·23·茂名·三模）已知雙曲線的離心率為2.(1)求雙曲線的漸近線方程；(2)若雙曲線的右焦點為，若直線與的左，右兩支分別交于兩點，過作的垂線，垂足為，試判斷直線是否過定點，若是，求出定點的坐標；若不是，請說明理由.【答案】(1)；(2)直線是否過定點，證明見解析.【分析】（1）根據(jù)題意可得，即可得出答案；（2）設(shè)直線的方程，直線與雙曲線的左右兩支分別交于點，則，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，設(shè)，結(jié)合韋達定理可得，寫出直線的方程，令，解得,即可得出答案．【詳解】（1）由雙曲線的離心率為2，所以，所以，所以雙曲線的漸近線方程為.（2）由題意可得直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程，因為直線與雙曲線的左右兩支分別交于點，則，聯(lián)立，得，設(shè)，則，直線的方程，令，得，所以直線過定點.

【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點坐標，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.28．（22·23下·溫州·三模）已知拋物線與雙曲線相交于兩點是的右焦點，直線分別交于（不同于點），直線分別交軸于兩點.(1)設(shè)，求證：是定值；(2)求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，設(shè)出直線的方程，與拋物線的方程聯(lián)立即可計算作答.（2）由（1）求出直線的方程并求出點的橫坐標，直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，借助直線求出點的橫坐標，再列式求出范圍作答.【詳解】（1）由是直線與拋物線的兩個交點，顯然直線不垂直y軸，點，故設(shè)直線的方程為，由消去并整理得，所以為定值.

（2）由（1）知，直線的斜率，方程為，令，得點的橫坐標，設(shè)，由消去得，，，而直線的方程為，依題意，令，得點的橫坐標，因此，所以的取值范圍是.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值或范圍．29．（22·23下·浙江·二模）已知雙曲線的漸近線方程為，左右頂點為，設(shè)點，直線分別與雙曲線交于兩點（不同于）.(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)的面積分別為，若，求直線方程.（寫出一條即可）【答案】(1)(2)，或，或，或（寫出一條即可）【分析】(1)由雙曲線的方程求出漸近線方程，再結(jié)合題目已知條件即可求出，代入雙曲線的方程，即可得到答案.(2)先由點的坐標得到，把的坐標代入得到，再結(jié)合雙曲線的方程，化簡得.設(shè)直線，與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合，即可化簡得到，將韋達定理代入解得，則可知直線恒過定點.把，代入，結(jié)合韋達定理化簡即可得到，解出，代入直線的方程即可.【詳解】（1）如圖，

由題意知雙曲線的漸近線方程為即，所以，所以雙曲線的方程.（2）由(1)得，所以，所以,設(shè)點,即，由得，所以①設(shè)直線，與雙曲線方程聯(lián)立得：，因為方程有兩個不同的實數(shù)根，所以，所以由①式代入變形得，將韋達定理代入消去化簡得，即直線恒過定點.由此可得.由于圖像的對稱性，不妨設(shè)，則，，所以，將韋達定理代入后得到，解得或.所以，直線方程為，或，或，或（寫出一條即可）【點睛】難點點睛：求解直線或曲線過定點問題的基本思路：（1）把直線或曲線方程中的變量x，y當作常數(shù)看待，把方程一端化為零，既然是過定點，那么這個方程就要對任意參數(shù)都成立，這時參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個關(guān)于x，y的方程組，這個方程組的解所確定的點就是直線或曲線所過的定點．（2）由直線方程確定其過定點時，若得到了直線方程的點斜式，則直線必過定點；若得到了直線方程的斜截式，則直線必過定點.30．（22·23·三明·三模）已知是橢圓的右焦點，為坐標原點，為橢圓上任意一點，的最大值為.當時，的面積為.(1)求橢圓的方程；(2)、為橢圓的左、右頂點，點滿足，當與、不重合時，射線交橢圓于點，直線、交于點，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出，分析出，利用勾股定理結(jié)合橢圓的定義、三角形的面積公式可得出，再由可得出、的值，即可得出橢圓的方程；（2）求出點的坐標，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，求出直線、的方程，將這兩條直線的方程聯(lián)立，求出點的橫坐標為，設(shè)點，其中，求出關(guān)于的函數(shù)表達式，利用基本不等式求出的最大值，即可得出的最大值.【詳解】（1）解：設(shè)點，則，，因為，所以，，設(shè)橢圓左焦點為，因為，所以.即，又因為，所以，所以，所以，所以，因為此時，所以，所以，所以.因為，所以，，所以橢圓的方程為.（2）解：設(shè)點，，，因為點滿足，則，解得，所以，

由題知不與軸重合，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，消整理得，，設(shè)、，則，.因為的方程為，的方程為兩直線方程聯(lián)立得：.因為.所以，解得，所以動點的軌跡方程為.由橢圓的對稱性不妨設(shè)，直線、的傾斜角為、，由圖可知，且，因為，則，因為，，所以，當且僅當時等號成立，此時，，所以的最大值為.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．31．（22·23·龍巖·二模）已知橢圓的左、右焦點分別為，，過右焦點的直線交橢圓K于M，N兩點，以線段為直徑的圓C與圓內(nèi)切．(1)求橢圓K的方程；(2)過點M作軸于點E，過點N作軸于點Q，與交于點P，是否存在直線使得的面積等于？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在；或【分析】（1）根據(jù)已知條件結(jié)合橢圓的定義求出，由焦點坐標可知的值，利用，，的關(guān)系可求出的值，從而求出橢圓的方程．（2）依題意可知直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線方程為，與橢圓的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理表示出點的坐標，將三角形的面積表示為關(guān)于的函數(shù)，解方程求出的值即可．【詳解】（1）

設(shè)，為線段的中點，依題意，得：，，所以，，，又，所以，所以橢圓的方程為．（2）

依題意，當直線斜率為0時，不符合題意；當直線斜率不為0時，設(shè)直線方程為，聯(lián)立，得，易知．設(shè)，，則，，因為軸，軸，所以，，所以直線：①，直線②，聯(lián)立①②解得，因為，與直線平行，所以，因為，所以，由，解得，故存在直線l的方程為或，使得的面積等于．【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.32．（22·23·淄博·三模）已知雙曲線C：的左、右焦點分別為、，焦距為4，右頂點為A，以A為圓心，b為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線相交于R，S兩點，且∠RAS＝60°.(1)求雙曲線C的標準方程；(2)已知點M，Q是雙曲線C上關(guān)于坐標原點對稱的兩點，其中M位于第一象限，的角平分線記為l，過點M做l的垂線，垂足為E，與雙曲線右支的另一交點記為點N，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意可知：△ARS是正三角形，則利用點A到漸近線的距離為列方程組求解；（2）方法①設(shè)點，寫出直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理把，表示為點的縱坐標的函數(shù)進行求解；方法②設(shè)直線的斜率為k，利用角平分線的向量表示，韋達定理，弦長公式，參數(shù)間的轉(zhuǎn)化，最終把表示為關(guān)于k的函數(shù)進行求解.【詳解】（1）由題意可知：△ARS是正三角形，所以點A到漸近線的距離為

所以，解得，

所以雙曲線標準方程是：（2）方法①：由雙曲線的光學性質(zhì)，可知點Q處的切線即為的角平分線.設(shè)點，，則設(shè)直線的方程是：，由得：，，解得：，，，，，，即直線：，即：

由點到直線的距離公式得：直線方程：，即：由，得：所以，由都在雙曲線右支上，得：所以所以所以，令，則

當，即時，的最大值為.方法②：如圖，由題意知點Q在雙曲線左支上，設(shè)，則.易知直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為k，記，又為的平分線，則.因為，，所以，同理，又，代入，得，化簡得.又，，所以，由，，得，，所以，.所以直線的方程為，，由點到直線的距離公式得：，又直線MN的斜率為，且過點M，所以直線的方程為：，將其與聯(lián)立得.設(shè)，則，.易知點N在第四象限，所以，得：，.故，

當且僅當，即時，等號成立，所以當且僅當時，的最大值為.

【點睛】33．（22·23·山東·二模）已知拋物線，過點的兩條直線、分別交于、兩點和、兩點．當?shù)男甭蕿闀r，．(1)求的標準方程；(2)設(shè)為直線與的交點，證明：點在定直線上．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）當直線的斜率為時，寫出直線的方程，設(shè)點、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，利用弦長公式可得出關(guān)于的方程，結(jié)合可求出的值，即可得出拋物線的標準方程；（2）分析可知直線、都不與軸重合，設(shè)直線的方程為，將該直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，設(shè)、，由韋達定理可得，同理可得出，寫出直線、的方程，求出這兩條直線的交點的橫坐標，即可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）解：當直線的斜率為時，直線的方程為，設(shè)點、，聯(lián)立可得，，因為，可得，由韋達定理可得，，，整理可得，解得或（舍去），因此，拋物線的方程為.（2）證明：當直線與軸重合時，直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意，所以，直線不與軸重合，同理可知直線也不與軸重合，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，則可得，設(shè)點、，由韋達定理可得，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，同理可得，直線的方程為，即，化簡可得，同理可知，直線的方程為，因為點在拋物線的對稱軸上，由拋物線的對稱性可知，

交點必在垂直于軸的直線上，所以只需證明點的橫坐標為定值即可，由，消去，因為直線與相交，則，解得，所以，點的橫坐標為，因此，直線與的交點必在定直線上.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.34．（22·23·菏澤·三模）已知橢圓與直線相交于兩點，橢圓上一動點，滿足（其中表示兩點連線的斜率），且為橢圓的左、右焦點，面積的最大值為．(1)求橢圓的標準方程；(2)過點的直線交橢圓于兩點，求的內(nèi)切圓面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)面積的最大值為，得，再利用點差法和斜率公式得，結(jié)合，求出，，可得橢圓的標準方程；（2）設(shè)直線，代入，得，，根據(jù)，求出的最大值，再利用三角形面積關(guān)系，求出內(nèi)切圓半徑，進而求出內(nèi)切圓面積的最大值.【詳解】（1）設(shè)，，則，所以，依題意可知，兩點關(guān)于原點對稱，設(shè)，則，由，得，所以，所以，所以，又，所以，所以，所以，所以，所以，所以橢圓的標準方程為.

（2）易得，設(shè)直線，代入，得，則，設(shè)，，則，，所以，當且僅當時，等號成立，所以的最大值為.設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，所以，所以的內(nèi)切圓面積.所以的內(nèi)切圓面積的最大值為.

35．（22·23下·武漢·三模）已知雙曲線：的一條漸近線為，橢圓：的長軸長為4，其中.過點的動直線交于A，B兩點，過點Р的動直線交于M，N兩點.(1)求雙曲線和橢圓的方程；(2)是否存在定點Q，使得四條直線QA，QB，QM，QN的斜率之和為定值?若存在，求出點Q坐標；若不存在，說明理由.【答案】(1)雙曲線的方程為：；橢圓的方程為：(2)存在，點坐標為.【分析】（1）由橢圓及雙曲線的性質(zhì)計算即可；（2）兩直線與橢圓、雙曲線的交點沒有聯(lián)系，故可分開單獨計算各斜率之和即可，設(shè)點A、B、Q坐標及直線：與雙曲線聯(lián)立，結(jié)合韋達定理化簡計算得：，待定系數(shù)計算并檢驗可得，再代入驗證是否為定值即可.【詳解】（1）已知雙曲線漸近線為，即.因為橢圓的長軸長，即，.所以雙曲線的方程為：.橢圓的方程為：.（2）

當直線、的斜率不存在時，不滿足題意.故直線的方程設(shè)為：，直線過點，即.與雙曲線方程聯(lián)立，得.故，.設(shè)，，有，.設(shè)..化簡得.代入韋達定理得：.將代入其中消去化簡得：.由動直線、互不影響可知，要滿足為定值，則為定值，為定值.因此要滿足為定值，則有：①若，，計算得，.經(jīng)檢驗滿足，此時.②若，即，，有.無解.綜上，當，.下面只需驗證當時，是否為定值.設(shè)直線方程為：，直線過點，即.橢圓方程聯(lián)立，得.故.設(shè)，，有，..化簡得.代入韋達定理化簡可得：.將代入其中可得：.所以當，，，.所以點坐標為.【點睛】關(guān)鍵點睛：第二問斜率定值問題，關(guān)鍵在于待定系數(shù)化簡計算上，即設(shè)點A、B、Q的坐標及直線的方程，利用韋達定理消元化簡兩斜率之和可得：，待定系數(shù)求值即可確定斜率和為定值時的Q坐標，再確定此時是否為定值，注意檢驗.36．（22·23下·湖南·二模）已知為雙曲線的左右焦點，且該雙曲線離心率小于等于，點和是雙曲線上關(guān)于軸對稱非重合的兩個動點，為雙曲線左右頂點，恒成立．(1)求該雙曲線的標準方程；(2)設(shè)直線和的交點為，求點的軌跡方程．【答案】(