高考復(fù)習(xí)專題練習(xí)專題15球體外接內(nèi)切綜合問題小題(學(xué)生版+解析)

專題15球體外接內(nèi)切綜合問題小題解題秘籍解題秘籍球的表面積和體積公式球的表面積：S＝4πR2球的體積：V＝eq\f(4,3)πR3球的切接概念空間幾何體的外接球：球心到各個(gè)頂點(diǎn)距離相等且等于半徑的球是幾何體的外接球空間幾何體的內(nèi)切球：球心到各面距離相等且等于半徑的球是幾何體的內(nèi)切球幾個(gè)與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論(1)正方體的棱長為a，球的半徑為R，①若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R＝eq\r(3)a；②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R＝a；③若球與正方體的各棱相切，則2R＝eq\r(2)a.(2)若長方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1.墻角模型（三條直線兩兩垂直）補(bǔ)形為長方體，長方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).直棱柱外接球之漢堡模型（1）補(bǔ)型：補(bǔ)成長方體，若各個(gè)頂點(diǎn)在長方體的頂點(diǎn)上，則外接球與長方體相同（2）作圖：構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理直三校柱內(nèi)接于一球（棱柱的上下底面為直角三角形）R底面外接圓的半徑r的求法（1）正弦定理（2）直角三角形：半徑等于斜邊的一半（3）等邊三角形：半徑等于三分之二高（4）長（正）方形：半徑等于對(duì)角線的一半正棱錐類型h?R2+側(cè)棱垂直與底面-垂面型R側(cè)面垂直與底面-切瓜模型如圖：平面PAC⊥平面BAC,AB⊥BC(AC為小圓直徑)

（1）由圖知球心O必為△PAC的外心,即△PAC在大圓面上,先求出小圓面直徑AC的長;

如圖：:平面PAC⊥平面BAC（1）確定球心O的位置,由圖知P,O,H三點(diǎn)共線;

（2）算出小圓面半徑AH=r,算出棱錐的高PH=?內(nèi)切球如圖：求任意三棱雉的內(nèi)切球半徑(等體積法)

（1）先求出四個(gè)表面的面積和整個(gè)椎體的體積;

（2）設(shè)內(nèi)切球半徑為r,建立等式:VP?

（3）解出r結(jié)論：若棱錐的體積為V，表面積為S，則內(nèi)切球的半徑為.模擬訓(xùn)練模擬訓(xùn)練一、單選題1．（22·23下·湖北·二模）已知直三棱柱存在內(nèi)切球，若，則該三棱柱外接球的表面積為（

）A． B． C． D．2．（22·23·福州·二模）已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，，，則球的體積為（

）A． B． C． D．3．（22·23下·南京·二模）直角三角形中，斜邊長為2，繞直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成一個(gè)幾何體．若該幾何體外接球表面積為，則長為（

）A． B．1 C． D．4．（22·23·德州·三模）在四棱錐中，底面為矩形，平面，點(diǎn)為上靠近的三等分點(diǎn)，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．5．（22·23下·廈門·二模）西施壺是紫砂壺器眾多款式中最經(jīng)典的壺型之一，是一款非常實(shí)用的泡茶工具（如圖1）．西施壺的壺身可近似看成一個(gè)球體截去上下兩個(gè)相同的球缺的幾何體．球缺的體積（R為球缺所在球的半徑，h為球缺的高）．若一個(gè)西施壺的壺身高為8cm，壺口直徑為6cm（如圖2），則該壺壺身的容積約為（不考慮壺壁厚度，π取3.14）（

）A．494ml B．506ml C．509ml D．516ml6．（22·23下·莆田·二模）某?？萍忌缋?D打印技術(shù)制作實(shí)心模型．如圖，該模型的上部分是半球，下部分是圓臺(tái)．其中半球的體積為，圓臺(tái)的上底面半徑及高均是下底面半徑的一半．打印所用原料密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量約為（

）（）A． B． C． D．7．（22·23·邯鄲·二模）如圖①，“球缺”是指一個(gè)球被平面所截后剩下的部分，截得的圓面叫做球缺的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的體積公式為，其中是球的半徑，是球缺的高.某航空制造公司研發(fā)一種新的機(jī)械插件，其左右兩部分為圓柱，中間為球切除兩個(gè)相同的“球缺”剩余的部分，制作尺寸如圖②所示（單位：cm）.則該機(jī)械插件中間部分的體積約為（）（

）A． B．C． D．8．（22·23·黃山·三模）如圖，球的表面積為，四面體內(nèi)接于球，是邊長為的正三角形，平面平面，則該四面體體積的最大值為（

）A． B． C． D．9．（22·23下·廣州·三模）已知克列爾公式：對(duì)任意四面體，其體積和外接球半徑滿足，其中，，，，，，分別為四面體的三組對(duì)棱的長.在四面體中，若，，則該四面體的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．10．（22·23下·岳陽·三模）已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，，二面角的大小為，若球的表面積等于，則三棱錐的體積等于（

）A． B．C． D．11．（22·23下·長沙·二模）蹴鞠（如圖所示），又名蹴球、蹴圓、筑球、踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實(shí)米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動(dòng)，類似于今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)已列入第一批國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄．已知某鞠（球）的表面上有四個(gè)點(diǎn)，平面，則該鞠（球）的表面積為（

）

A． B． C． D．12．（22·23·佛山·二模）科技是一個(gè)國家強(qiáng)盛之根，創(chuàng)新是一個(gè)民族進(jìn)步之魂，科技創(chuàng)新鑄就國之重器，極目一號(hào)（如圖1）是中國科學(xué)院空天信息研究院自主研發(fā)的系留浮空器．2022年5月，“極目一號(hào)”III型浮空艇成功完成10次升空大氣科學(xué)觀測，最高升空至9050米，超過珠穆朗瑪峰，創(chuàng)造了浮空艇大氣科學(xué)觀測海拔最高的世界紀(jì)錄，彰顯了中國的實(shí)力．“極目一號(hào)”III型浮空艇長55米，高19米，若將它近似看作一個(gè)半球、一個(gè)圓柱和一個(gè)圓臺(tái)的組合體，正視圖如圖2所示，則“極目一號(hào)”III型浮空艇的體積約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，，，）A． B． C． D．13．（22·23·泰安·二模）我國古代《九章算術(shù)》將上下兩個(gè)平行平面為矩形的六面體稱為芻童.如圖所示的池盆幾何體是一個(gè)芻童，其中上下底面為正方形，邊長分別為6和2，側(cè)面是全等的等腰梯形，梯形的高為.已知盆中有積水，將一半徑為1的實(shí)心鐵球放入盆中之后，盆中積水深變?yōu)槌嘏韪叨鹊囊话?，則該盆中積水的體積為（

）A． B． C． D．14．（22·23下·江蘇·一模）三星堆古遺址作為“長江文明之源"，被譽(yù)為人類最偉大的考古發(fā)現(xiàn)之一.3號(hào)坑發(fā)現(xiàn)的神樹紋玉琮，為今人研究古蜀社會(huì)中神樹的意義提供了重要依據(jù).玉琮是古人用于祭祀的禮器，有學(xué)者認(rèn)為其外方內(nèi)圓的構(gòu)造，契合了古代“天圓地方”觀念，是天地合一的體現(xiàn)，如圖，假定某玉琮形狀對(duì)稱，由一個(gè)空心圓柱及正方體構(gòu)成，且圓柱的外側(cè)面內(nèi)切于正方體的側(cè)面，圓柱的高為12cm，圓柱底面外圓周18．（22·23下·益陽·三模）如圖所示，該幾何體是由兩個(gè)全等的直四棱柱相嵌而成的，且前后、左右、上下均對(duì)稱，兩個(gè)四棱柱的側(cè)棱互相垂直，已知該幾何體外接球的體積為，四棱柱的底面是正方形，且側(cè)棱長為4，則兩個(gè)直四棱柱公共部分的幾何體的內(nèi)切球體積為（

）

A． B． C． D．19．（22·23下·浙江·二模）《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．現(xiàn)有鱉臑，其中平面ABC，，過A作，，記四面體，四棱錐，鱉臑的外接球體積分別為，，V，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．20．（22·23下·溫州·二模）如今中國被譽(yù)為基建狂魔，可謂是逢山開路，遇水架橋.公路里程?高鐵里程雙雙都是世界第一.建設(shè)過程中研制出用于基建的大型龍門吊?平衡盾構(gòu)機(jī)等國之重器更是世界領(lǐng)先.如圖是某重器上一零件結(jié)構(gòu)模型，中間最大球?yàn)檎拿骟w的內(nèi)切球，中等球與最大球和正四面體三個(gè)面均相切，最小球與中等球和正四面體三個(gè)面均相切，已知正四面體棱長為，則模型中九個(gè)球的表面積和為（

）A． B． C． D．二、多選題21．（22·23·淮南·二模）如圖，棱長為2的正四面體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，球的表面與線段相切于點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）

A．平面B．球的體積為C．球被平面截得的截面面積為D．球被正四面體表面截得的截面周長為22．（23·24上·永州·一模）菱形的邊長為，且，將沿向上翻折得到，使二面角的余弦值為，連接，球與三棱錐的6條棱都相切，下列結(jié)論正確的是（

）A．平面B．球的表面積為C．球被三棱錐表面截得的截面周長為D．過點(diǎn)與直線所成角均為的直線可作4條23．（22·23·濟(jì)南·三模）如圖，圓錐的軸截面是邊長為2的正三角形，圓錐的內(nèi)接圓柱的底面半徑為，圓柱的體積為，則（

）A．圓錐的表面積為B．圓柱的體積最大值為C．圓錐的外接球體積為D．24．（22·23下·長沙·三模）已知四面體ABCD中，面BCD，，E、F分別是棱AC、AD上的點(diǎn)，且，.記四面體ABEF、四棱錐、四面體ABCD的外接球體積分別是、、，則的值不可能是（

）A．1 B． C． D．25．（22·23下·杭州·二模）如圖圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等，，為圓柱上下底面的圓心，O為球心，EF為底面圓的一條直徑，若球的半徑，則（

）A．球與圓柱的體積之比為B．四面體CDEF的體積的取值范圍為C．平面DEF截得球的截面面積最小值為D．若P為球面和圓柱側(cè)面的交線上一點(diǎn)，則的取值范圍為三、填空題26．（22·23下·全國·二模）在正四棱臺(tái)中，上?下底面邊長分別為，該正四棱臺(tái)的外接球的表面積為，則該正四棱臺(tái)的高為.27．（22·23·淄博·三模）已知圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，則該圓錐的側(cè)面積與其內(nèi)切球的表面積之比為.28．（22·23·衡水·一模）如圖，已知臺(tái)體的上、下底面均為長方形，且上、下底面中心的連線與底面垂直，上、下底面的距離為.若，，，則該臺(tái)體的外接球的表面積為.

29．（22·23下·遼寧·一模）正四面體的棱中點(diǎn)為O，平面截球所得半徑為的圓與相切，則球的表面積為.30．（22·23下·郴州·三模）已知三棱錐的棱長均為4，先在三棱錐內(nèi)放入一個(gè)內(nèi)切球，然后再放入一個(gè)球，使得球與球及三棱錐的三個(gè)側(cè)面都相切，則球的表面積為.31．（22·23·哈爾濱·一模）設(shè)是表面積為的球的球面上的五個(gè)點(diǎn)，平面，且四邊形為正方形，則四棱錐體積的最大值為．32．（22·23下·商洛·二模）在三棱錐中，底面是邊長為2的等邊三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形，若二面角的大小為，則三棱錐外接球的表面積為.33．（22·23下·包頭·二模）已知A，B，C為球的球面上的三個(gè)點(diǎn)，為的外接圓，若的面積為，，則當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，球的表面積為．34．（22·23下·全國·二模）如圖，直三棱柱中，，點(diǎn)在棱上，且，當(dāng)?shù)拿娣e取最小值時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為.35．（2023下·淄博·二模）在三棱錐中，底面為的中點(diǎn).若三棱錐的頂點(diǎn)均在球的球面上，是該球面上一點(diǎn)，且三棱錐體積的最大值是，則球的表面積為.36．（22·23下·邵陽·三模）三棱錐中，PA⊥平面ABC，，則三棱錐外接球的表面積為.37．（2023下·遂寧·三模）如圖，在中，，，是的中點(diǎn)，以為折痕把折疊，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，則當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，其外接球的體積為.38．（22·23·晉中·三模）在中，，，D是AC邊的中點(diǎn)，且AC=2．將沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，形成四面體A-BCD．則該四面體外接球的表面積為．39．（22·23下·樂山·三模）在三棱錐中，，平面平面ABC，則三棱錐的外接球表面積的最小值為．40．（22·23·南寧·二模）蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圈”等，“蹴”有用腳蹴、踢的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動(dòng)，類似今日的足球，現(xiàn)已知某“鞠”的表面上有四個(gè)點(diǎn)滿足，，則該“鞠”的表面積為.專題15球體外接內(nèi)切綜合問題小題解題秘籍解題秘籍球的表面積和體積公式球的表面積：S＝4πR2球的體積：V＝eq\f(4,3)πR3球的切接概念空間幾何體的外接球：球心到各個(gè)頂點(diǎn)距離相等且等于半徑的球是幾何體的外接球空間幾何體的內(nèi)切球：球心到各面距離相等且等于半徑的球是幾何體的內(nèi)切球幾個(gè)與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論(1)正方體的棱長為a，球的半徑為R，①若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R＝eq\r(3)a；②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R＝a；③若球與正方體的各棱相切，則2R＝eq\r(2)a.(2)若長方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1.墻角模型（三條直線兩兩垂直）補(bǔ)形為長方體，長方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).直棱柱外接球之漢堡模型（1）補(bǔ)型：補(bǔ)成長方體，若各個(gè)頂點(diǎn)在長方體的頂點(diǎn)上，則外接球與長方體相同（2）作圖：構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理直三校柱內(nèi)接于一球（棱柱的上下底面為直角三角形）R底面外接圓的半徑r的求法（1）正弦定理（2）直角三角形：半徑等于斜邊的一半（3）等邊三角形：半徑等于三分之二高（4）長（正）方形：半徑等于對(duì)角線的一半正棱錐類型h?R2+側(cè)棱垂直與底面-垂面型R側(cè)面垂直與底面-切瓜模型如圖：平面PAC⊥平面BAC,AB⊥BC(AC為小圓直徑)

（1）由圖知球心O必為△PAC的外心,即△PAC在大圓面上,先求出小圓面直徑AC的長;

如圖：:平面PAC⊥平面BAC（1）確定球心O的位置,由圖知P,O,H三點(diǎn)共線;

（2）算出小圓面半徑AH=r,算出棱錐的高PH=?內(nèi)切球如圖：求任意三棱雉的內(nèi)切球半徑(等體積法)

（1）先求出四個(gè)表面的面積和整個(gè)椎體的體積;

（2）設(shè)內(nèi)切球半徑為r,建立等式:VP?

（3）解出r結(jié)論：若棱錐的體積為V，表面積為S，則內(nèi)切球的半徑為.模擬訓(xùn)練模擬訓(xùn)練一、單選題1．（22·23下·湖北·二模）已知直三棱柱存在內(nèi)切球，若，則該三棱柱外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出直三棱柱的高后可求其外接球的半徑，從而可求外接球的表面積.【詳解】因?yàn)椋?，故的?nèi)切圓的半徑為.因?yàn)橹比庵嬖趦?nèi)切球，故直三棱柱的高即為內(nèi)切球的直徑.而內(nèi)切球的半徑即為底面三角形內(nèi)切圓的半徑，故內(nèi)切球的半徑為1，故直三棱柱的高為2.將直三棱柱補(bǔ)成如圖所示的長方體，則外接球的直徑即為該長方體的體對(duì)角線，故外接球的半徑為，故外接球的的表面積為.故選：D.2．（22·23·福州·二模）已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，，，則球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】過點(diǎn)作平面，垂足為，結(jié)合可得為的外心，則，則，可得，進(jìn)而可得，設(shè)為球心，為球的半徑，結(jié)合勾股定理可得，進(jìn)而求解.【詳解】過點(diǎn)作平面，垂足為，因?yàn)?，所以為的外心，則（為的外接圓半徑），則，所以，,設(shè)為球心，為球的半徑，則，因?yàn)?，解得，所以球的體積為.故選：C.3．（22·23下·南京·二模）直角三角形中，斜邊長為2，繞直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成一個(gè)幾何體．若該幾何體外接球表面積為，則長為（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】設(shè)，則，依題意可得旋轉(zhuǎn)后得到的幾何體為圓錐，根據(jù)外接球的表面積求出球的半徑，設(shè)外接球的球心為，則球心在直線上，利用勾股定理得到方程，即可求出.【詳解】設(shè)，因?yàn)椋?，繞直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成一個(gè)幾何體為圓錐，設(shè)圓錐外接球的半徑為，所以，解得，設(shè)外接球的球心為，則球心在直線上，所以，解得.故選：D4．（22·23·德州·三模）在四棱錐中，底面為矩形，平面，點(diǎn)為上靠近的三等分點(diǎn)，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正弦定理可得三角形的外接圓半徑為，根據(jù)勾股定理即可求解外接球半徑，進(jìn)而可求表面積.【詳解】由題意可得所以在三角形中，由等面積法可得,設(shè)三角形的外接圓半徑為，圓心為,則由正弦定理得，由于平面,設(shè)三棱錐外接球的半徑為,球心到平面的距離為，過作,則，因此,故外接球的表面積為,故選：A

5．（22·23下·廈門·二模）西施壺是紫砂壺器眾多款式中最經(jīng)典的壺型之一，是一款非常實(shí)用的泡茶工具（如圖1）．西施壺的壺身可近似看成一個(gè)球體截去上下兩個(gè)相同的球缺的幾何體．球缺的體積（R為球缺所在球的半徑，h為球缺的高）．若一個(gè)西施壺的壺身高為8cm，壺口直徑為6cm（如圖2），則該壺壺身的容積約為（不考慮壺壁厚度，π取3.14）（

）A．494ml B．506ml C．509ml D．516ml【答案】A【分析】依題意作出幾何體的軸截面圖，即可求出對(duì)應(yīng)線段的長，進(jìn)而求出球的半徑和球缺的高，再根據(jù)球的體積公式和球缺的體積求解即可.【詳解】如圖作出幾何體的軸截面如下面所示，依題意，，為球心，為壺口所在圓的圓心，所以，因?yàn)?，所以，且，，所以球的半徑，所以球缺的高，所以球缺的體積，所以該壺壺身的容積約為：.故選：A.6．（22·23下·莆田·二模）某?？萍忌缋?D打印技術(shù)制作實(shí)心模型．如圖，該模型的上部分是半球，下部分是圓臺(tái)．其中半球的體積為，圓臺(tái)的上底面半徑及高均是下底面半徑的一半．打印所用原料密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量約為（

）（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可知所需要材料的體積即為半球體積與圓臺(tái)體積之和，先求出圓臺(tái)的體積，再利用組合體的體積乘以打印所用原料密度可得結(jié)果.【詳解】設(shè)半球的半徑為，因?yàn)?，所以，由題意圓臺(tái)的上底面半徑及高均是3，下底面半徑為6，所以，所以該實(shí)心模型的體積為，所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為故選：C7．（22·23·邯鄲·二模）如圖①，“球缺”是指一個(gè)球被平面所截后剩下的部分，截得的圓面叫做球缺的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的體積公式為，其中是球的半徑，是球缺的高.某航空制造公司研發(fā)一種新的機(jī)械插件，其左右兩部分為圓柱，中間為球切除兩個(gè)相同的“球缺”剩余的部分，制作尺寸如圖②所示（單位：cm）.則該機(jī)械插件中間部分的體積約為（）（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)球的截面的性質(zhì)由條件求出球的半徑，切除掉的“球缺”的高，結(jié)合球的體積公式和“球缺”的體積公式可得結(jié)論.【詳解】過球心和“球缺”的底面圓的圓心作該幾何體的截面，可得截面圖如下：由已知可得，設(shè)為的中點(diǎn)，則，由已知可得，又，所以，由求得截面性質(zhì)可得為以為斜邊的直角三角形，所以，即球的半徑，所以以為球心，為半徑的球的體積，又，所以，因?yàn)榍虻陌霃?，，所以“球缺”的高為，所以一個(gè)“球缺”的體積，所以該機(jī)械插件中間部分的體積約為.故選：C.8．（22·23·黃山·三模）如圖，球的表面積為，四面體內(nèi)接于球，是邊長為的正三角形，平面平面，則該四面體體積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根據(jù)球的表面積求得求得半徑，再根據(jù)題意得出當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到底面的距離最大，求出點(diǎn)到底面的距離即可求出最大值.【詳解】因?yàn)榍虻谋砻娣e為，所以，由題意知底面三角形的面積為定值，要使四面體體積的最大，只須頂點(diǎn)到底面的距離最大即可，又因?yàn)槠矫嫫矫妫芍?dāng)時(shí)，點(diǎn)到底面的距離最大，外接圓的半徑，則到面的距離為，且到面的距離為，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，解得，此時(shí)體積最大值為.故選：B.9．（22·23下·廣州·三模）已知克列爾公式：對(duì)任意四面體，其體積和外接球半徑滿足，其中，，，，，，分別為四面體的三組對(duì)棱的長.在四面體中，若，，則該四面體的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出四面體的體積和p的值，利用克列爾公式即可求得四面體外接球半徑，即可求得外接球的表面積.【詳解】如圖，設(shè)E為的中點(diǎn)，連接，

由于，故，而平面，則平面，而，，故，則四面體的體積為，由題意，故可得，解得，故該四面體的外接球的表面積為，故選：C10．（22·23下·岳陽·三模）已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，，二面角的大小為，若球的表面積等于，則三棱錐的體積等于（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)球心到三棱錐各頂點(diǎn)的距離相等，作出輔助線，找到球心，求出外接球半徑，結(jié)合二面角的平面角的定義，求出三棱錐的高、底面積，得到三棱錐的體積.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以到的距離相等，故即為球心．由球的表面積等于，設(shè)外接球半徑為，故，解得，過作垂直于于點(diǎn)，因?yàn)?，，所以，同理，過點(diǎn)作，且，則，是二面角的平面角，，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn).因?yàn)?，，且兩直線在平面內(nèi)，所以平面，又平面，所以，,且兩直線在平面內(nèi)，所以平面，則為三棱錐的高，故三棱錐的高為，其中，所以三棱錐的體積．故選：B.11．（22·23下·長沙·二模）蹴鞠（如圖所示），又名蹴球、蹴圓、筑球、踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實(shí)米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動(dòng)，類似于今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)已列入第一批國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄．已知某鞠（球）的表面上有四個(gè)點(diǎn)，平面，則該鞠（球）的表面積為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】取的中點(diǎn)為，連接，可證為外接球的球心，故可求半徑，從而可得球的表面積.【詳解】

取的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)槠矫?，而平面，故，?同理，而，平面，故平面，而平面，故，故，綜上，為三棱錐外接球的球心，而，故外接球的半徑為3，故球的表面積為，故選：C12．（22·23·佛山·二模）科技是一個(gè)國家強(qiáng)盛之根，創(chuàng)新是一個(gè)民族進(jìn)步之魂，科技創(chuàng)新鑄就國之重器，極目一號(hào)（如圖1）是中國科學(xué)院空天信息研究院自主研發(fā)的系留浮空器．2022年5月，“極目一號(hào)”III型浮空艇成功完成10次升空大氣科學(xué)觀測，最高升空至9050米，超過珠穆朗瑪峰，創(chuàng)造了浮空艇大氣科學(xué)觀測海拔最高的世界紀(jì)錄，彰顯了中國的實(shí)力．“極目一號(hào)”III型浮空艇長55米，高19米，若將它近似看作一個(gè)半球、一個(gè)圓柱和一個(gè)圓臺(tái)的組合體，正視圖如圖2所示，則“極目一號(hào)”III型浮空艇的體積約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，，，）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)圖2得半球、圓柱底面和圓臺(tái)一個(gè)底面的半徑為，而圓臺(tái)一個(gè)底面的半徑為，再根據(jù)球、圓柱和圓臺(tái)的體積公式即可求解．【詳解】由圖2得半球、圓柱底面和圓臺(tái)一個(gè)底面的半徑為（m），而圓臺(tái)一個(gè)底面的半徑為（m），則（m3），（m3），（m3），所以（m3）．故選：A．13．（22·23·泰安·二模）我國古代《九章算術(shù)》將上下兩個(gè)平行平面為矩形的六面體稱為芻童.如圖所示的池盆幾何體是一個(gè)芻童，其中上下底面為正方形，邊長分別為6和2，側(cè)面是全等的等腰梯形，梯形的高為.已知盆中有積水，將一半徑為1的實(shí)心鐵球放入盆中之后，盆中積水深變?yōu)槌嘏韪叨鹊囊话耄瑒t該盆中積水的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可知，這個(gè)芻童為棱臺(tái)，求出棱臺(tái)的高，從而求出放入球后水面的高度和邊長，再將棱臺(tái)的體積減去水中球的體積即可得解.【詳解】根據(jù)題意可知，這個(gè)芻童為棱臺(tái)，如圖，為垂直底面的截面，則棱臺(tái)的高為，因?yàn)榕柚蟹e水深變?yōu)槌嘏韪叨鹊囊话?，所以水面邊長為，高為，則實(shí)心球只有一半在水中，所以該盆中積水的體積為.故選：D.14．（22·23下·江蘇·一模）三星堆古遺址作為“長江文明之源"，被譽(yù)為人類最偉大的考古發(fā)現(xiàn)之一.3號(hào)坑發(fā)現(xiàn)的神樹紋玉琮，為今人研究古蜀社會(huì)中神樹的意義提供了重要依據(jù).玉琮是古人用于祭祀的禮器，有學(xué)者認(rèn)為其外方內(nèi)圓的構(gòu)造，契合了古代“天圓地方”觀念，是天地合一的體現(xiàn)，如圖，假定某玉琮形狀對(duì)稱，由一個(gè)空心圓柱及正方體構(gòu)成，且圓柱的外側(cè)面內(nèi)切于正方體的側(cè)面，圓柱的高為12cm，圓柱底面外圓周和正方體的各個(gè)頂點(diǎn)均在球O上，則球O的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可知正方體的體對(duì)角線即是外接球的直徑，又因圓柱的外側(cè)面內(nèi)切于正方體的側(cè)面，可利用勾股定理得出正方體邊長，繼而求出球的表面積.【詳解】不妨設(shè)正方體的邊長為，球О的半徑為R，則圓柱的底面半徑為a，因?yàn)檎襟w的體對(duì)角線即為球О直徑，故，利用勾股定理得：，解得，球的表面積為，故選：C.15．（22·23·邯鄲·三模）三棱錐中，平面，，．過點(diǎn)分別作，交于點(diǎn)，記三棱錐的外接球表面積為，三棱錐的外接球表面積為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連，，，，證明是三棱錐的外接球的球心，為該球的直徑；是三棱錐的外接球的球心，為該球的直徑，設(shè)，求出，根據(jù)球的表面積公式可求出結(jié)果.【詳解】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連，，，，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，，，因?yàn)?，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，在直角三角形中，是斜邊的中點(diǎn)，所以，在直角三角形中，是斜邊的中點(diǎn)，所以，所以是三棱錐的外接球的球心，為該球的直徑.因?yàn)?，是斜邊的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，是斜邊的中點(diǎn)，所以，所以是三棱錐的外接球的球心，為該球的直徑.設(shè)，則，則，，所以.故選：B.16．（23·24上·汕頭·一模）已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在球的球面上，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，，，則（

）A．三棱錐的體積為16 B．三棱錐的表面積為C．球的表面積為 D．球的體積為【答案】D【分析】先根據(jù)題中給出的的長度，可知，，繼而平面PBC；再根據(jù)數(shù)量關(guān)系證明，進(jìn)而可構(gòu)造出包含三棱錐的長方體，從而可求出三棱錐的體積和表面積，根據(jù)三棱錐的外接球也是長方體的外接球，從而求得外接球表面積和體積.【詳解】由，，得，，可得，，又，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC，又平面PBC，所以，因?yàn)镈，E分別是PB，BC的中點(diǎn)，且，所以，，又，所以，有，得，故兩兩互相垂直，故可將三棱錐放在長方體中，如圖：則三棱錐外接球的直徑等于該長方體的對(duì)角線，設(shè)其外接球的半徑為R，則，所以，所以球的表面積為，球的體積為，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，D正確.三棱錐的體積為，在中，，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，則的高，所以，三棱錐的表面積為，故選項(xiàng)AB錯(cuò)誤.故選：D.17．（22·23·梅州·一模）《九章算術(shù)》是我國古代著名的數(shù)學(xué)著作，書中記載有幾何體“芻甍”.現(xiàn)有一個(gè)芻甍如圖所示，底面為正方形，平面，四邊形，為兩個(gè)全等的等腰梯形，，且，則此芻甍的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，求出點(diǎn)到平面的距離，再由幾何體的結(jié)構(gòu)特征確定球心位置，結(jié)合球面的性質(zhì)求解作答.【詳解】取、中點(diǎn)、，正方形中心，中點(diǎn)，連接，根據(jù)題意可得平面，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，在等腰中，，，同理，則等腰梯形的高為，根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征可知，芻甍的外接球的球心在直線上，連接，正方體的外接圓的半徑，則有，而，，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線（含點(diǎn)）時(shí)，

視為非負(fù)數(shù)，若點(diǎn)在線段的延長線（不含點(diǎn)）時(shí)，

視為負(fù)數(shù)，即有，則，解得，則芻甍的外接球的半徑為，則芻甍的外接球的表面積為，故選：C.18．（22·23下·益陽·三模）如圖所示，該幾何體是由兩個(gè)全等的直四棱柱相嵌而成的，且前后、左右、上下均對(duì)稱，兩個(gè)四棱柱的側(cè)棱互相垂直，已知該幾何體外接球的體積為，四棱柱的底面是正方形，且側(cè)棱長為4，則兩個(gè)直四棱柱公共部分的幾何體的內(nèi)切球體積為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】分析該幾何體的結(jié)構(gòu)特征，先求得底面正方形的邊長，求出幾何體的邊長及體積，再利用等體積法求出內(nèi)切球的半徑，代入球的體積公式即可求解.【詳解】由題意，該幾何體的直觀圖如圖所示：

這兩個(gè)直四棱柱的中心既是外接球的球心也是內(nèi)切球的球心，設(shè)外接球的半徑為R，直四棱柱的底面邊長為a，則，所以，所以，解得，該幾何體是由兩個(gè)全等的四棱錐和組成，該幾何體前后、左右、上下均對(duì)稱，知四邊形是邊長為的菱形，側(cè)面均為全等的等腰三角形，腰長為，底邊為，設(shè)的中點(diǎn)為H，連接BH，SH，可知SH即為四棱錐的高，在等腰三角形中，，邊上的高為2，則，在中，，又，所以，又，所以，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，由八個(gè)側(cè)面的面積均為，內(nèi)切球的球心到各個(gè)側(cè)面的距離都是，利用等體積法得，解得，故幾何體的內(nèi)切球的體積為.故選：D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決與球有關(guān)的切、接問題，其通法是作截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思路是：（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為半徑，如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度作出截面（要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素間的關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化的目的；（3）求半徑、下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球半徑的方程并求解.19．（22·23下·浙江·二模）《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．現(xiàn)有鱉臑，其中平面ABC，，過A作，，記四面體，四棱錐，鱉臑的外接球體積分別為，，V，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】記四面體，四棱錐，鱉臑的外接球半徑分別為，，，記，，，先證明面，從而得到，，，再根據(jù)，從而得到，再構(gòu)造函數(shù)，其中，再利用導(dǎo)函數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而即可求得其值域．【詳解】記四面體，四棱錐，鱉臑的外接球半徑分別為，，，記，，，在鱉臑中，有，，又，平面，則面，又面，則，又，且，面，所以面，所以，，，又，即，所以，令，其中，則，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，；根據(jù)對(duì)稱性，當(dāng)，即時(shí)，，所以，即．故選：A．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：先根據(jù)題意得到，再構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導(dǎo)函數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得其值域是解答本題的關(guān)鍵．20．（22·23下·溫州·二模）如今中國被譽(yù)為基建狂魔，可謂是逢山開路，遇水架橋.公路里程?高鐵里程雙雙都是世界第一.建設(shè)過程中研制出用于基建的大型龍門吊?平衡盾構(gòu)機(jī)等國之重器更是世界領(lǐng)先.如圖是某重器上一零件結(jié)構(gòu)模型，中間最大球?yàn)檎拿骟w的內(nèi)切球，中等球與最大球和正四面體三個(gè)面均相切，最小球與中等球和正四面體三個(gè)面均相切，已知正四面體棱長為，則模型中九個(gè)球的表面積和為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出輔助線，先求出正四面體的內(nèi)切球半徑，再利用三個(gè)球的半徑之間的關(guān)系得到另外兩個(gè)球的半徑，得到答案.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，，則，，過點(diǎn)作⊥底面，垂足在上，且，所以，故，點(diǎn)為最大球的球心，連接并延長，交于點(diǎn)，則⊥，設(shè)最大球的半徑為，則，因?yàn)椤?，所以，即，解得，即，則，故設(shè)最小球的球心為，中間球的球心為，則兩球均與直線相切，設(shè)切點(diǎn)分別為，連接，則分別為最小球和中間球的半徑，長度分別設(shè)為，則，則，又，所以，解得，又，故，解得，所以，模型中九個(gè)球的表面積和為.故選：B【點(diǎn)睛】解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問題時(shí)，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置．對(duì)于外切的問題要注意球心到各個(gè)面的距離相等且都為球半徑；對(duì)于球的內(nèi)接幾何體的問題，注意球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，解題時(shí)要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑二、多選題21．（22·23·淮南·二模）如圖，棱長為2的正四面體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，球的表面與線段相切于點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）

A．平面B．球的體積為C．球被平面截得的截面面積為D．球被正四面體表面截得的截面周長為【答案】ABD【分析】根據(jù)題中條件，根據(jù)線線垂直，證明線面垂直，可判斷球?yàn)檎拿骟w的棱切球，可判斷BCD.【詳解】

設(shè)?分別為?的中點(diǎn)，連接，，，，，，，則，，，，故，，則四邊形為平行四邊形.故，交于一點(diǎn)，且互相平分，即點(diǎn)也為的中點(diǎn)，又，，故，.，，平面，故平面，由于，平面，則平面，故，結(jié)合點(diǎn)也為的中點(diǎn)，同理可證，，，平面，故平面，A正確；由球的表面正好經(jīng)過點(diǎn)，則球的半徑為，棱長為2的正四面體中，，為的中點(diǎn)，則，故，則，所以球的體積為，B正確；由平面，平面，故平面平面，平面平面，由于平面，延長交平面于點(diǎn)，則平面，垂足落在上，且為正的中心，故，所以，即為球心到平面的距離為故球被平面截得的截面圓的半徑為，則球被平面截得的截面圓的面積為，C錯(cuò)誤；由A的分析可知，也為棱，中點(diǎn)連線的中點(diǎn)，則球與每條棱都交于棱的中點(diǎn)，結(jié)合C的分析可知，球被正四面體的每個(gè)面截得的截面都為圓，且圓的半徑都為，故球被正四面體表面截得的截面周長為，D正確.故選：ABD.22．（23·24上·永州·一模）菱形的邊長為，且，將沿向上翻折得到，使二面角的余弦值為，連接，球與三棱錐的6條棱都相切，下列結(jié)論正確的是（

）A．平面B．球的表面積為C．球被三棱錐表面截得的截面周長為D．過點(diǎn)與直線所成角均為的直線可作4條【答案】AC【分析】利用余弦定理求得，說明三棱錐為正四面體，進(jìn)而補(bǔ)成正方體，則說明O點(diǎn)為正方體的中心，結(jié)合線面垂直的判定可判斷A；求得球O的半徑可判斷B；求出球O被三棱錐一個(gè)側(cè)面所截得的截面的周長，即可求得球被三棱錐表面截得的截面周長，判斷C；根據(jù)平行公理以及直線所成角的概念可判斷D.【詳解】如圖在菱形中，連接，則，設(shè)交于E，

則，平面,平面，即為二面角的平面角，即，又，即為正三角形，即，為正三角形，故，故，即，故三棱錐為棱長為a的正四面體；如圖，將該四面體補(bǔ)成正方體，四面體的各棱為正方體的面對(duì)角線，則正方體棱長為，

因?yàn)榍蚺c三棱錐的6條棱都相切，則O點(diǎn)即為正方體的中心，連接，則O為正方體體對(duì)角線的中點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫?，故，?而平面，故平面，平面，故；同理可證,平面，故平面，即平面，A正確；因?yàn)榍蚺c三棱錐的6條棱都相切，故球O即為正方體的內(nèi)切球，球的直徑為正方體棱長，則球的半徑為，故球的表面積為，B錯(cuò)誤；球O被平面截得的截面圓即為正三角形的內(nèi)切圓，由于，故正三角形的內(nèi)切圓半徑為，故內(nèi)切圓周長即球O被平面截得的截面圓周長為，故球被三棱錐表面截得的截面周長為，C正確；連接，因?yàn)?，即四邊形為平行四邊形，故，而，故，不妨取空間一點(diǎn)S，作的平行線，如圖，則和所成角均為的直線即為它們形成的角的角平分線，假設(shè)平面過且垂直于所確定的平面，當(dāng)繞點(diǎn)S且在內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，則此時(shí)直線l與所成角相等，但會(huì)變大，大于，即在所確定的平面外過點(diǎn)S不存在直線l與所成角為，

故過點(diǎn)與直線所成角均為的直線可作2條，D錯(cuò)誤，故選：AC23．（22·23·濟(jì)南·三模）如圖，圓錐的軸截面是邊長為2的正三角形，圓錐的內(nèi)接圓柱的底面半徑為，圓柱的體積為，則（

）A．圓錐的表面積為B．圓柱的體積最大值為C．圓錐的外接球體積為D．【答案】ABC【分析】根據(jù)圓錐的截面確定底面半徑和母線，代入圓錐表面積公式計(jì)算可判斷A，利用相似找到圓柱的底面半徑和高的關(guān)系，求出圓柱體積的解析式，利用導(dǎo)數(shù)法求解最大值可判斷B，找到外接球的球心，利用勾股定理求出球的半徑，求出體積即可判斷C，作差變形，判斷符號(hào)即可判斷D.【詳解】因?yàn)閳A錐的軸截面是邊長為2的正三角形，所以圓錐的母線長為2，底面圓的半徑為1，圓錐的高，所以圓錐的表面積為，故選項(xiàng)A正確；設(shè)圓柱的高為h，如圖則，解得，則圓柱的體積為，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，所以圓柱的體積最大值為，故選項(xiàng)B正確；如圖，設(shè)圓錐的外接球球的半徑為，則由是正三角形可得，,在中，，解得，所以圓錐的外接球體積為，故選項(xiàng)C正確；因?yàn)椋?，，所以，由于與1的關(guān)系無法判斷，所以與大小關(guān)系不確定，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：ABC.24．（22·23下·長沙·三模）已知四面體ABCD中，面BCD，，E、F分別是棱AC、AD上的點(diǎn)，且，.記四面體ABEF、四棱錐、四面體ABCD的外接球體積分別是、、，則的值不可能是（

）A．1 B． C． D．【答案】AB【分析】通過線面垂直的判定和性質(zhì)定理得到，，，再設(shè)，，計(jì)算知，利用換元法結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可求出答案.【詳解】設(shè)四面體ABEF、四棱錐、四面體ABCD的外接球的半徑分別是、、，分別取AD、BD的中點(diǎn)M、N，因?yàn)?，，所以易知的中點(diǎn)到點(diǎn)的距離相等，所以.又面，面，，，，面，平面，平面，所以，所以，從而.因?yàn)?，為中點(diǎn)，則為的外心，因?yàn)?，面，所以面，則四棱錐外接球的球心在直線MN上，因?yàn)椋?，平面，平面，所以，，面，所以平面ACD，平面，所以，于是，又因?yàn)?，故點(diǎn)N就是四棱錐外接球的球心，所以.設(shè)，，，則，，，所以.，令，則，.記，，則，所以在上單調(diào)遞減，故，而，，，，故選：AB.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用線面垂直關(guān)系從而確定三個(gè)空間幾何體的外接球得球心所在位置，從而再設(shè)，，利用三角函數(shù)和球的體積公式得，再根據(jù)和的關(guān)系設(shè)利用換元法得到，，再利用導(dǎo)數(shù)即可求出其值域，最后對(duì)照選項(xiàng)即可.25．（22·23下·杭州·二模）如圖圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等，，為圓柱上下底面的圓心，O為球心，EF為底面圓的一條直徑，若球的半徑，則（

）A．球與圓柱的體積之比為B．四面體CDEF的體積的取值范圍為C．平面DEF截得球的截面面積最小值為D．若P為球面和圓柱側(cè)面的交線上一點(diǎn)，則的取值范圍為【答案】AD【分析】根據(jù)給定的條件，利用球、圓柱的體積公式計(jì)算判斷A；利用建立函數(shù)關(guān)系判斷B；求出球心O到平面DEF距離的最大值判斷C；令點(diǎn)P在圓柱下底面圓所在平面上的投影點(diǎn)為Q，設(shè)，利用勾股定理建立函數(shù)關(guān)系，求出值域作答.【詳解】對(duì)于A，球的體積為，圓柱的體積，則球與圓柱的體積之比為，A正確；對(duì)于B，設(shè)為點(diǎn)到平面的距離，，而平面經(jīng)過線段的中點(diǎn)，四面體CDEF的體積，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，過作于，如圖，而，則，又，于是，設(shè)截面圓的半徑為，球心到平面的距離為，則，又，則平面DEF截球的截面圓面積，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令經(jīng)過點(diǎn)P的圓柱的母線與下底面圓的公共點(diǎn)為Q，連接，當(dāng)與都不重合時(shí)，設(shè)，則，當(dāng)與之一重合時(shí)，上式也成立，因此，，則，令，則，而，即，因此，解得，所以的取值范圍為，D正確.故選：AD【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖.三、填空題26．（22·23下·全國·二模）在正四棱臺(tái)中，上?下底面邊長分別為，該正四棱臺(tái)的外接球的表面積為，則該正四棱臺(tái)的高為.【答案】1或7【分析】求出外接球半徑，找到球心的位置，分球心在線段上和在的延長線上兩種情況，求出高.【詳解】設(shè)正四棱臺(tái)的外接球的半徑為，則，解得，連接相交于點(diǎn)，連接相交于點(diǎn)，連接，則球心在直線上，連接，如圖1，當(dāng)球心在線段上時(shí)，則，因?yàn)樯?下底面邊長分別為，所以，由勾股定理得，，此時(shí)該正四棱臺(tái)的高為，如圖2，當(dāng)球心在的延長線上時(shí)，同理可得，，此時(shí)該正四棱臺(tái)的高為.故答案為：1或727．（22·23·淄博·三模）已知圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，則該圓錐的側(cè)面積與其內(nèi)切球的表面積之比為.【答案】【分析】由已知先計(jì)算圓錐母線與底面圓半徑的關(guān)系，再確定其內(nèi)切球半徑，最后由圓錐的側(cè)面積與球的表面積公式計(jì)算即可.【詳解】

如圖所示圓錐IF，設(shè)其底面圓心為F，半徑為r，內(nèi)切球球心為O，半徑為R，內(nèi)切球與母線IH切于點(diǎn)G，則由題意可知，故，易知，即，所以，圓錐的側(cè)面積為，內(nèi)切球的表面積為，故.故答案為：28．（22·23·衡水·一模）如圖，已知臺(tái)體的上、下底面均為長方形，且上、下底面中心的連線與底面垂直，上、下底面的距離為.若，，，則該臺(tái)體的外接球的表面積為.

【答案】【分析】根據(jù)臺(tái)體的結(jié)構(gòu)特征可求得，作出截面，設(shè)，利用勾股定理可構(gòu)造關(guān)于和的方程組，解方程組可求得，代入球的表面積公式即可.【詳解】由臺(tái)體的結(jié)構(gòu)特征知：，，，；設(shè)臺(tái)體的外接球球心為，半徑為，中點(diǎn)分別為，作出截面如下圖所示，

設(shè)，則，在和中，，解得：，即球心為中點(diǎn)，該臺(tái)體的外接球表面積.故答案為：.29．（22·23下·遼寧·一模）正四面體的棱中點(diǎn)為O，平面截球所得半徑為的圓與相切，則球的表面積為.【答案】【分析】中點(diǎn)為，依題意為球O的半徑，設(shè)正四面體的棱長為a，，由平面截球所得的圓半徑為，求出a，可解球的表面積.【詳解】中點(diǎn)為，連接，如圖所示：由和為等腰三角形，所以O(shè)E為AB和CD的公垂線段；設(shè)正四面體的棱長為a，中，，中，，即球O的半徑，設(shè)中心為，由對(duì)稱性可知球截平面所得圓的圓心在上，平面且平面，則為的中點(diǎn)，所以.因?yàn)?，由可?于是球的半徑，球的表面積為.故答案為：.30．（22·23下·郴州·三模）已知三棱錐的棱長均為4，先在三棱錐內(nèi)放入一個(gè)內(nèi)切球，然后再放入一個(gè)球，使得球與球及三棱錐的三個(gè)側(cè)面都相切，則球的表面積為.【答案】/【分析】由等體積法求得內(nèi)切球半徑，再根據(jù)比例求得球的半徑，則問題可解．【詳解】如圖所示：依題意得，底面的外接圓半徑為，點(diǎn)到平面的距離為，所以，所以設(shè)球的半徑為，所以則，得設(shè)球的半徑為，則，又得所以球的表面積為故答案為：.31．（22·23·哈爾濱·一模）設(shè)是表面積為的球的球面上的五個(gè)點(diǎn)，平面，且四邊形為正方形，則四棱錐體積的最大值為．【答案】/【分析】把四棱錐補(bǔ)成一個(gè)長方體，知四棱錐的外接球即為該長方體的外接球，求出球半徑，設(shè)正方形邊長為，由長方體性質(zhì)求得棱錐的高，再由體積公式表示出棱錐的體積，然后利用導(dǎo)數(shù)求得最大值．【詳解】由題意把四棱錐補(bǔ)成一個(gè)長方體，如圖，四棱錐的外接球即為該長方體的外接球，設(shè)球半徑為，由得，設(shè)()，則，，，令，則，設(shè)()，，時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，，所以時(shí)，取得最大值為．故答案為：．32．（22·23下·商洛·二模）在三棱錐中，底面是邊長為2的等邊三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形，若二面角的大小為，則三棱錐外接球的表面積為.【答案】/【分析】取BC的中點(diǎn)H，連接AH，DH，則可得為二面角的平面角，過點(diǎn)H作與平面ABC垂直的直線，則球心O在該直線上，設(shè)球的半徑為R，連接OA，OD，然后在中利用余弦定理可求出R，從而可求得球的表面積.【詳解】如圖，取BC的中點(diǎn)H，連接AH，DH，由題意，，，所以，所以為二面角的平面角，所以，因?yàn)槭且詾樾边叺牡妊苯侨切?，且，所以，又是邊長為2的等邊三角形，所以，過點(diǎn)H作與平面ABC垂直的直線，則球心O在該直線上，設(shè)球的半徑為R，連接OA，OD，可得，在中，，利用余弦定理可得，所以，解得R2＝，所以其外接球的表面積為.故答案為：.33．（22·23下·包頭·二模）已知A，B，C為球的球面上的三個(gè)點(diǎn)，為的外接圓，若的面積為，，則當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，球的表面積為．【答案】【分析】求得的半徑，根據(jù)正弦定理得出，，然后代入整理得出的面積.設(shè)，，求導(dǎo)得出函數(shù)的最大值點(diǎn)，進(jìn)而得出.根據(jù)勾股定理求出球的半徑，即可得出答案.【詳解】設(shè)的半徑為，球的半徑為，則，所以.由正弦定理可得，，.因?yàn)?，所以，所?設(shè)，，則.因?yàn)?，由可得?由可得，.因?yàn)椋?，所以，所以，所以，在上單調(diào)遞增；由可得，，由，可知，所以，所以，在上單調(diào)遞減.所以，當(dāng)時(shí)，取得唯一極大值，也是最大值.此時(shí)，為等邊