2024-2025學(xué)年四川省遂寧市高二上冊10月月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年四川省遂寧市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.學(xué)校組織知識(shí)競賽，某班8名學(xué)生的成績（單位：分）分別是65，60，75，78，86，84，90，94，則這8名學(xué)生成績的75%分位數(shù)是（）A.88分 B.84分 C.85分 D.90分2.已知點(diǎn)，，則線段的垂直平分線所在的直線方程為（）A. B.C. D.3.如圖，已知空間四邊形OABC，其對角線OB，AC，M，N分別是對邊OA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，且，現(xiàn)用向量，，表示向量，設(shè)，則x，y，z的值分別為（）A. B.C. D.4.已知兩點(diǎn)，，過點(diǎn)的直線與線段AB（含端點(diǎn)）有交點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍為（）A. B. C. D.5.設(shè)，為兩個(gè)隨機(jī)事件，以下命題正確的為（）A.若，是對立事件，則B.若，是互斥事件，，則C.若，且，則，是獨(dú)立事件D.若，是獨(dú)立事件，，則6.已知直線：，：，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.已知是棱長為8的正方體的一條體對角線，點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（）A. B. C. D.08.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”事實(shí)上，很多代數(shù)問題可以都轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，列如，與相關(guān)的代數(shù)問題，可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離的幾何問題.已知點(diǎn)在直線，點(diǎn)在直線上，且，結(jié)合上述觀點(diǎn)，的最小值為（）A. B. C. D.5二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.直線經(jīng)過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對值相等，則直線的方程可能是（）A. B.C D.10.下列命題中，正確的是（）A.兩條不重合直線的方向向量分別是，，則B.直線l方向向量，平面的法向是，則C.兩個(gè)不同平面，的法向量分別是，，則D.直線l的方向向量，平面的法向量，則直線l與平面所成角的大小為11.如圖，四棱錐中，底面是正方形，平面，，、分別是的中點(diǎn)，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.B.存在點(diǎn)，使平面C.存在點(diǎn)，使直線與所成的角為D.點(diǎn)到平面與平面距離和為定值三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.為了了解高一、高二、高三年級(jí)學(xué)生的身體狀況，現(xiàn)用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為的樣本，三個(gè)年級(jí)學(xué)生人數(shù)之比依次為.已知高一年級(jí)共抽取了人，則高三年級(jí)抽取的人數(shù)為___________人.13.已知，，動(dòng)點(diǎn)P在直線上.則的最小值為______.14.已知15個(gè)數(shù)，，…，的平均數(shù)為6，方差為9，現(xiàn)從中剔除，，，，這5個(gè)數(shù)，且剔除的這5個(gè)數(shù)的平均數(shù)為8，方差為5，則剩余的10個(gè)數(shù)，，…，的方差__________．四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.某校從參加某次知識(shí)競賽的同學(xué)中，選取100名同學(xué)將其成績（百分制，均為整數(shù)）分成六組：第1組40,50，第2組50,60，第3組60,70，第4組，第5組80,90，第6組90,100，得到部分頻率分布直方圖（如圖），觀察圖形中的信息，回答下列問題：（1）從頻率分布直方圖中，利用組中值估計(jì)本次考試成績的平均數(shù)；（2）已知學(xué)生成績評(píng)定等級(jí)有A、B兩個(gè)等級(jí)，其中成績不小于60分時(shí)為A級(jí)，若從第1組和第3組兩組學(xué)生中，按照分層抽樣方法抽取6人，再從這6隨機(jī)抽取2人，求所抽取的2人中兩人成績均為A級(jí)的概率．16.根據(jù)下列條件，求直線的一般方程：（1）過點(diǎn)且與直線平行的直線方程；（2）若，的角平分線所在直線方程.17.為了選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生，教育部啟動(dòng)了“強(qiáng)基計(jì)劃”的招生改革工作.某校強(qiáng)基招生面試有兩道題，兩道題都答對者才能通過強(qiáng)基招生面試.假設(shè)兩題作答相互獨(dú)立，現(xiàn)有甲?乙?丙三名學(xué)生通過考核進(jìn)入面試環(huán)節(jié)，他們答對第一題的概率分別是，答對第二題的概率分別是.（1）求甲考生通過某校強(qiáng)基招生面試的概率；（2）求甲?乙兩位考生中有且只有一位考生通過強(qiáng)基招生面試的概率；（3）求甲?乙?丙三人中至少有一人通過強(qiáng)基招生面試的概率.18.如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，，，，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值．19.在空間直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)且以為方向向量的直線方程可表示為，過點(diǎn)且以為法向量的平面方程可表示為．（1）若直線與都在平面內(nèi)，求平面的方程；（2）在三棱柱中，點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，點(diǎn)在平面內(nèi)，平面以為法向量，平面的方程為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）若集合中所有的點(diǎn)構(gòu)成了多面體的各個(gè)面，求的體積和相鄰兩個(gè)面所在平面的夾角的余弦值.2024-2025學(xué)年四川省遂寧市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.學(xué)校組織知識(shí)競賽，某班8名學(xué)生的成績（單位：分）分別是65，60，75，78，86，84，90，94，則這8名學(xué)生成績的75%分位數(shù)是（）A.88分 B.84分 C.85分 D.90分【正確答案】A【分析】先對這8名學(xué)生的成績按從小到大排列，然后用百分位數(shù)的定義求解即可.【詳解】8名學(xué)生成績從小到大排列為：60，65，75，78，84，86，90，94，因?yàn)?，所?5%分位數(shù)為第6個(gè)數(shù)和第7個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即分．故選：A.2.已知點(diǎn)，，則線段的垂直平分線所在的直線方程為（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】先求出線段的中點(diǎn)坐標(biāo)及直線的斜率，再通過垂直求出其垂直平分線的斜率，最后利用點(diǎn)斜式即可求出方程.【詳解】線段的中點(diǎn)為，，則線段垂直平分線的斜率為，則線段垂直平分線方程為，即.故選：B.3.如圖，已知空間四邊形OABC，其對角線OB，AC，M，N分別是對邊OA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，且，現(xiàn)用向量，，表示向量，設(shè)，則x，y，z的值分別為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)已知條件用，，表示，即可得答案.【詳解】由題設(shè)，結(jié)合，得，故選：C4.已知兩點(diǎn)，，過點(diǎn)的直線與線段AB（含端點(diǎn)）有交點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】求出直線、的斜率后可求直線的斜率的范圍.【詳解】，而，故直線的取值范圍為，故選：A.5.設(shè)，為兩個(gè)隨機(jī)事件，以下命題正確的為（）A.若，是對立事件，則B.若，是互斥事件，，則C.若，且，則，是獨(dú)立事件D.若，是獨(dú)立事件，，則【正確答案】C【分析】根據(jù)對立事件的概念判斷A，根據(jù)互斥事件的概率加法公式判斷B，根據(jù)獨(dú)立事件的定義及概率公式判斷C、D.【詳解】對于A，若是對立事件，則，A錯(cuò)誤；對于B，若是互斥事件，，則，B錯(cuò)誤；對于C，，則，，又，則是獨(dú)立事件，C正確；對于D，若是獨(dú)立事件，則是獨(dú)立事件，而，則，D錯(cuò)誤.故選：C6.已知直線：，：，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】C【分析】根據(jù)直線平行、充分、必要條件的知識(shí)求得正確答案.【詳解】依題意，：，：，若兩直線平行，則，解得或.當(dāng)時(shí)，：，：，此時(shí)兩直線重合，不符合.當(dāng)時(shí)，：，：，符合題意.所以“”是“”的充要條件.故選：C7.已知是棱長為8的正方體的一條體對角線，點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（）A. B. C. D.0【正確答案】B【分析】求得正方體外接球的半徑，根據(jù)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算求得的表達(dá)式，確定的最小值，即得答案.【詳解】如圖，是棱長為8的正方體的一條體對角線，則也是正方體外接球的一條直徑，由正方體的特征可得其外接球半徑為,設(shè)外接球球心為，則，則,由于點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，故的最小值為球心與正方體面的中心連線的長，即為正方體棱長的一半，為，所以的最小值為，故選：B.8.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”事實(shí)上，很多代數(shù)問題可以都轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，列如，與相關(guān)的代數(shù)問題，可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離的幾何問題.已知點(diǎn)在直線，點(diǎn)在直線上，且，結(jié)合上述觀點(diǎn)，的最小值為（）A. B. C. D.5【正確答案】D【分析】根據(jù)兩點(diǎn)距離公式將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到點(diǎn)的距離和，過點(diǎn)作，垂足為，證明，由求目標(biāo)函數(shù)最小值.【詳解】由已知表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，所以，過點(diǎn)作，垂足為，因?yàn)橹本€的方程為，，所以，又直線與直線平行，，所以，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)點(diǎn)為線段與直線的交點(diǎn)時(shí)，取最小值，最小值為，因?yàn)檫^點(diǎn)與直線垂直直線的方程為，聯(lián)立，可得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，所以的最小值為，故選：D.本題解決的關(guān)鍵在于根據(jù)兩點(diǎn)距離公式將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為求線段的距離和問題，進(jìn)一步結(jié)合圖形將問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離問題.二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.直線經(jīng)過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對值相等，則直線的方程可能是（）A. B.C. D.【正確答案】BCD【分析】根據(jù)題意，分直線的截距為0和直線的截距不為0，兩種情況討論，結(jié)合直線的截距式方程，即可求解.【詳解】當(dāng)直線的截距為0時(shí)，此時(shí)直線的方程為，即．當(dāng)直線的截距不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，則，解得或，當(dāng)時(shí)，可得直線的方程為，即；若時(shí)，可得則直線的方程為，即．故選：BCD.10.下列命題中，正確的是（）A.兩條不重合直線的方向向量分別是，，則B.直線l的方向向量，平面的法向是，則C.兩個(gè)不同的平面，的法向量分別是，，則D.直線l的方向向量，平面的法向量，則直線l與平面所成角的大小為【正確答案】AC【分析】由可判斷A；由可判斷B；由可判斷C；根據(jù)線面角的向量公式直接計(jì)算可判斷D.【詳解】A選項(xiàng)：因?yàn)?，且不重合，所以，A正確；B選項(xiàng)：因?yàn)?，所以所以或，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：因?yàn)?，所以，C正確；D選項(xiàng)：記直線l與平面所成角為，則，因?yàn)椋?，D錯(cuò)誤.故選：AC11.如圖，四棱錐中，底面是正方形，平面，，、分別是的中點(diǎn)，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.B.存在點(diǎn)，使平面C.存在點(diǎn)，使直線與所成的角為D.點(diǎn)到平面與平面的距離和為定值【正確答案】ABD【分析】根據(jù)已知條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的方法逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】根據(jù)已知條件，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，；由是棱上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，，因?yàn)?，，所以，即，故A正確；當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，是的中位線，所以，又平面，平面，所以平面，故B正確；，，若存在點(diǎn)，使直線與所成的角為，則，化簡得，無解，故C錯(cuò)誤；由題意可知：點(diǎn)到平面的距離，為平面的法向量，所以點(diǎn)到平面的距離為，所以，故D正確.故選：ABD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.為了了解高一、高二、高三年級(jí)學(xué)生的身體狀況，現(xiàn)用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為的樣本，三個(gè)年級(jí)學(xué)生人數(shù)之比依次為.已知高一年級(jí)共抽取了人，則高三年級(jí)抽取的人數(shù)為___________人.【正確答案】360【分析】根據(jù)高一年級(jí)學(xué)生所占的比例，求出，得到高三年級(jí)抽取的人數(shù)．【詳解】由已知高一年級(jí)抽取的比例為，所以，得，故高三年級(jí)抽取的人數(shù)為．故36013.已知，，動(dòng)點(diǎn)P在直線上.則的最小值為______.【正確答案】【分析】借助線段和的幾何意義求解即可.【詳解】設(shè)關(guān)于直線對稱對稱點(diǎn)坐標(biāo)為，則，解得，即，，所以的最小值為.故答案為.14.已知15個(gè)數(shù)，，…，的平均數(shù)為6，方差為9，現(xiàn)從中剔除，，，，這5個(gè)數(shù)，且剔除的這5個(gè)數(shù)的平均數(shù)為8，方差為5，則剩余的10個(gè)數(shù)，，…，的方差__________．【正確答案】8【分析】先求出剩余10個(gè)數(shù)的平均數(shù)，進(jìn)而根據(jù)方差公式得出的值，即可得出答案.【詳解】由題意知，，，所以，所以剩余的10個(gè)數(shù)的平均數(shù)為．根據(jù)方差公式得，，，即，，所以，所以剩余的10個(gè)數(shù)的方差為．故8.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.某校從參加某次知識(shí)競賽的同學(xué)中，選取100名同學(xué)將其成績（百分制，均為整數(shù)）分成六組：第1組40,50，第2組50,60，第3組60,70，第4組，第5組80,90，第6組90,100，得到部分頻率分布直方圖（如圖），觀察圖形中的信息，回答下列問題：（1）從頻率分布直方圖中，利用組中值估計(jì)本次考試成績的平均數(shù)；（2）已知學(xué)生成績評(píng)定等級(jí)有A、B兩個(gè)等級(jí)，其中成績不小于60分時(shí)為A級(jí)，若從第1組和第3組兩組學(xué)生中，按照分層抽樣方法抽取6人，再從這6隨機(jī)抽取2人，求所抽取的2人中兩人成績均為A級(jí)的概率．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由頻率之和為1得到分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率，從而計(jì)算出估計(jì)本次考試成績的平均數(shù)；（2）利用分層抽樣的概念計(jì)算出抽取的成績在和內(nèi)的人數(shù)，列舉法求出相應(yīng)的概率.【小問1詳解】由圖可得分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率為，本次考試成績的平均數(shù)約為．【小問2詳解】第1組人數(shù)為，第3組人數(shù)為，按照分層抽樣方法抽取6人，被抽取的成績在內(nèi)的人數(shù)為，分別記為，；成績在內(nèi)的人數(shù)為，分別記為，則從這6人中隨機(jī)抽取2人的情況為：，，，，，，，，，，，，，15種；被抽到2人成績均為A級(jí)的情況為：，，，，共6種．故抽到2人成績均為A級(jí)的概率為：．16.根據(jù)下列條件，求直線的一般方程：（1）過點(diǎn)且與直線平行的直線方程；（2）若，的角平分線所在直線方程.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）設(shè)與直線平行的直線方程為，把點(diǎn)代入，能求出所求直線方程.（2）求出直線和直線的斜率，從而得到的角平分線所在直線的斜率，由此能求出的角平分線所在直線方程.【小問1詳解】設(shè)與直線平行的直線方程為，把點(diǎn)代入，得，解得，∴所求直線方程為.【小問2詳解】∵，∴，，設(shè)的角平分線所在直線的斜率為，則，解得或，由圖可知，所以.∵的角平分線所在直線過點(diǎn)，∴直線方程為，即，∴的角平分線所在直線方程為.17.為了選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生，教育部啟動(dòng)了“強(qiáng)基計(jì)劃”的招生改革工作.某校強(qiáng)基招生面試有兩道題，兩道題都答對者才能通過強(qiáng)基招生面試.假設(shè)兩題作答相互獨(dú)立，現(xiàn)有甲?乙?丙三名學(xué)生通過考核進(jìn)入面試環(huán)節(jié)，他們答對第一題的概率分別是，答對第二題的概率分別是.（1）求甲考生通過某校強(qiáng)基招生面試的概率；（2）求甲?乙兩位考生中有且只有一位考生通過強(qiáng)基招生面試的概率；（3）求甲?乙?丙三人中至少有一人通過強(qiáng)基招生面試概率.【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）利用獨(dú)立事件概率乘法公式計(jì)算出答案；（2）求出乙考生通過某校強(qiáng)基招生面試的概率，從而分兩種情況，求出甲?乙兩位考生中有且只有一位考生通過強(qiáng)基招生面試的概率；（3）求出丙考生通過某校強(qiáng)基招生面試的概率，先求出無人通過強(qiáng)基招生面試的概率，利用對立事件求概率公式得到答案.【小問1詳解】甲通過考核進(jìn)入面試環(huán)節(jié)，答對第一題的概率分別是，答對第二題的概率分別是，甲考生通過某校強(qiáng)基招生面試的概率為.【小問2詳解】乙考生通過某校強(qiáng)基招生面試的概率為，甲?乙兩位考生中有且只有一位考生通過強(qiáng)基招生面試的概率為：.【小問3詳解】丙考生通過某校強(qiáng)基招生面試的概率為，甲?乙?丙三人中至少有一人通過強(qiáng)基招生面試的概率為：.18.如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，，，，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值．【正確答案】（1）證明見詳解；（2）【分析】（1）結(jié)合已知易證四邊形平行四邊形，可證，進(jìn)而得證；（2）作交于，連接，易證三垂直，采用建系法結(jié)合二面角夾角余弦公式即可求解.【小問1詳解】因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；【小?詳解】如圖所示，作交于，連接，因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪危?，所以，結(jié)合（1）為平行四邊形，可得，又，所以為等邊三角形，為中點(diǎn)，所以，又因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪危瑸橹悬c(diǎn)，所以，四邊形為平行四邊形，，所以為等腰三角形，與底邊上中點(diǎn)重合，，，因?yàn)?，所以，所以互相垂直，以方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，設(shè)平面的法向量為m=x1平面的法向量為n=x則，即，令，得，即m=3,3,1，則，即，令，得，即，，則，故二面角的正弦值為.19.在空間直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)且以為方向向量的直線方程可表示為，過點(diǎn)