教學(xué)課件-信號與系統(tǒng)(楊勇)

第1章信號與系統(tǒng)概述1.1信號1.2系統(tǒng)

1.1信號

1.1.1信號的基本分類

由語音、圖像、數(shù)碼等形成的電信號,其形式是多種多樣的,根據(jù)其本身的特征,可以進(jìn)行如下分類。

1.確定信號與隨機(jī)信號

如果信號可以表示為一個或幾個自變量的確定函數(shù),則稱此信號為確定信號,例如正弦信號、階躍信號等。

如果一個信號在發(fā)生之前無法確定它的波形,即該信號沒有確定的函數(shù)表達(dá)式,而只能預(yù)測該信號對某一數(shù)值的概率,這樣的信號稱之為隨機(jī)信號。信息傳輸過程中的信號嚴(yán)格說來都是隨機(jī)的,因?yàn)檫@種信號包含著干擾和噪聲。

2.周期信號與非周期信號

如果一個信號每隔固定的時間T精確地再現(xiàn)該信號的本身則稱為周期信號。周期信號的特點(diǎn)是:既周而復(fù)始又無始無終。一個時間周期信號的表達(dá)式為

f(t)=f(t±nT)n=0,1,2,…

滿足此式的最小T值為信號的周期。只要給出該信號在一個周期內(nèi)的變化過程,便可以確定它在任一時刻的數(shù)值。通信系統(tǒng)中測試所采用的正弦波,雷達(dá)中的矩形脈沖等都是周期信號。

非周期信號則具有無固定時間長度的周期。如語音波形、開關(guān)啟閉所造成的瞬態(tài)等都是非周期信號。

3.連續(xù)信號與離散信號

連續(xù)信號也可稱為模擬信號,如果一個信號在所討論的時間內(nèi),除有限個間斷點(diǎn)外都有定義,即能夠表示為連續(xù)時間t的函數(shù),便稱此信號在此時間范圍內(nèi)為連續(xù)時間信號,簡稱連續(xù)信號,用f(t)表示。如生物的生長與時間的關(guān)系、一年四季溫度的變化等,這些都是隨連續(xù)時間t變化的連續(xù)時間信號。在某些離散的時刻有定義的信號稱為離散時間信號,簡稱離散信號,又稱為離散序列,通常用函數(shù)f(n)表示。在離散信號中,相鄰離散時刻的間隔可以是相等的,也可以是不相等的,在這些離散時刻以外的時間信號無定義。如電傳打字機(jī)輸出的電信號、電子計(jì)算機(jī)輸出的脈沖信號都是離散信號。離散時間信號中時間離散、幅值連續(xù)的信號稱為抽樣信號;經(jīng)過量化后的離散信號,其時間和幅值均離散,稱為數(shù)字信號。圖1-1(a)所示信號為連續(xù)信號,而圖1-1(b)所示信號為離散信號。圖1-1連續(xù)信號與離散信號

4.能量信號與功率信號

能量信號是一個脈沖式信號,它通常只存在于有限的時間間隔內(nèi)。當(dāng)然還有一些信號存在于無限時間間隔內(nèi),但其能量的主要部分都集中在有限時間間隔內(nèi),對于這樣的信號也稱為能量信號。圖1-2所示是某些能量信號。

為了了解信號能量或功率特性，常常研究信號f(t)(電壓或電流)在單位電阻上消耗的能量或功率。

在(－∞,∞)區(qū)間信號的平均功率P為圖1-2某些能量信號在(－∞,∞)區(qū)間信號的能量E為如果信號f(t)的能量有界，即0<E<∞,而平均功率P=0,則它就是能量信號，例如單脈沖信號。如果信號f(t)的平均功率有界，即0<P<∞,而能量E趨于無窮大，那么它就是功率信號，例如周期正弦信號。如果有信號能量E趨于無窮大，且功率P亦趨于無窮大，那么它就是非能量非功率信號，例如e－an信號。也就是說，按能量信號與功率信號分類并不能包括所有信號。

【例1-1】判斷下列信號是能量信號還是功率信號。

(1)f1(t)=e－at

a>0,t>0;

(2)f2(t)=e－t。

解

(1)(2)故信號f1(t)為能量信號,f2(t)是一個既非能量信號又非功率信號的信號。1.1.2信號的基本運(yùn)算及波形變換

1.加法運(yùn)算

已知信號f1(t)和f2(t),它們的和是指同一瞬時兩信號的函數(shù)值對應(yīng)相加所構(gòu)成的“和信號”,相加后的表達(dá)式為

f(t)=f1(t)+f2(t)

【例1-2】

信號f1(t)和f2(t)如圖1-3所示,求信號f1(t)與f2(t)之和。圖1-3信號的加法解信號f1(t)與f2(t)的函數(shù)表達(dá)式分別為

f1(t)=t,－∞<t<∞f1(t)與f2(t)之和為

2.乘法運(yùn)算

已知信號f1(t)和f2(t),它們的積是指同一瞬時兩信號的函數(shù)值對應(yīng)相乘所構(gòu)成的“積信號”,相乘后的表達(dá)式為

f(t)=f1(t)·f2(t)

【例1-3】信號f1(t)和f2(t)如圖1-4(a)和圖(b)所示,求信號

f1(t)與f2(t)之積。圖1-4信號的乘法解

f1(t)與f2(t)之積為

3.信號的反折

信號的反折又稱翻轉(zhuǎn),就是把原信號沿縱軸翻轉(zhuǎn)180°。已知原信號f(t),其反折運(yùn)算后得到y(tǒng)(t),表示為

y(t)=f(－t)

上式表明,將f(t)中的自變量t置換為(－t)就得到反折信號f(－t)。實(shí)際上,對錄制好的音像信號進(jìn)行倒放的過程就是對信號的反折過程,如圖1-5所示。圖1-5信號的反折

4.信號的時移

信號的時移又稱平移,是將原信號沿時間軸向左或向右移動,但波形的形狀不變。原信號為f(t),時移后得到y(tǒng)(t),表示為

y(t)=f(t+b)

其中,b為實(shí)常數(shù),信號是將f(t)平移|b|個單位后的信號。當(dāng)b<0時,信號滯后于f(t),f(t)向右平移|b|個單位;當(dāng)b>0時,信號超前于f(t),將f(t)向左平移b個單位。用表達(dá)式表示時將信號f(t)函數(shù)式中的t置換為t+b。

超前可以簡單地認(rèn)為“時間起點(diǎn)(或終點(diǎn))靠前”;滯后可以簡單地認(rèn)為“時間起點(diǎn)(或終點(diǎn))靠后”,如圖1-6所示。圖1-6信號的時移

5.信號尺度變換

信號尺度變換運(yùn)算(信號壓、擴(kuò)運(yùn)算)就是將信號由f(t)轉(zhuǎn)換成新信號f(at)的過程,即f(t)→f(at),其中a為壓擴(kuò)系數(shù),a為正實(shí)常數(shù),但a≠0。

若a>1,則是將f(t)的圖像壓縮到原來的1/a,即得到f(at)的圖像,就是說圖像壓縮了;若0<a<1,則是將f(t)圖像擴(kuò)展a倍,即得到的圖像,就是說圖像展寬了。

【例1-4】畫出圖1-7所示信號f(t)的尺度變換信號f(2t)及

。

解以新的時間變量2t代替f(t)中變量t,此時壓擴(kuò)系數(shù)a=2,因此得到f(2t)的圖像是將原信號f(t)圖像沿時間軸壓縮1/2,如圖1-8(a)所示。同理,以新的時間變量(1/2)t代替f(t)中變量t,此時壓擴(kuò)系數(shù)a=1/2,則f(

t)的圖像是將原信號f(t)圖像沿時間軸擴(kuò)展1倍,如圖1-8(b)所示。圖1-7原信號f(t)圖1-8f(2t)及f(t)的圖像

【例1-5】信號f(t)的波形如圖1-9(a)所示。畫出信號

f(－2t+4)的波形。圖1-9例1-5的圖形解將信號f(t)翻轉(zhuǎn)得到f(－t),如圖1-9(b)所示;然后將f(－t)波形向右平移,得到f(－t+4)波形,如圖1-9(c)所示;最后將

f(－t+4)波形壓縮,即得f(－2t+4)的波形,如圖1-9(d)所示。也可以將信號f(t)先向左平移,得到f(t+4),然后再翻轉(zhuǎn),得到信號f(－t+4)的波形,最后進(jìn)行尺度變換,得到f(－2t+4)的波形。

1.2系統(tǒng)

1.2.1系統(tǒng)的定義及描述

廣義而言,系統(tǒng)是一個由若干相互關(guān)聯(lián)的事物組成的具有某種特定功能的整體。如宇宙、太陽系、地球、人體等屬于自然系統(tǒng);社會、國家、民族、政治機(jī)構(gòu)、企事業(yè)管理機(jī)構(gòu)等屬于非物理系統(tǒng);人為建立的通信系統(tǒng)、控制系統(tǒng)、計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)等屬于物理系統(tǒng)。而在通信系統(tǒng)、控制系統(tǒng)、計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)等物理系統(tǒng)中,若僅傳輸電信號,則稱之為電系統(tǒng);若僅傳輸光信號,則稱之為光系統(tǒng);若既傳輸電信號,又傳輸光信號,則稱之為光電系統(tǒng)。

電系統(tǒng)是指對電信號進(jìn)行產(chǎn)生、傳輸、加工處理和存儲的電路(網(wǎng)絡(luò))或設(shè)備(包括軟件和硬件設(shè)備),簡稱系統(tǒng)。如由R、C組成的積分器、微分器;由R、L、C組成的振蕩器、濾波器;由晶體管等組成的放大器、檢波器、混頻器、分頻器、直流穩(wěn)壓電源、交流發(fā)電設(shè)備、雷達(dá)等。

系統(tǒng)表示為方框形式,如圖1-10所示。系統(tǒng)的輸入信號x(t)稱為激勵信號,輸出信號y(t)稱為響應(yīng)信號。系統(tǒng)的功能是將x(t)轉(zhuǎn)變?yōu)閥(t),其中輸入x(t)與輸出y(t)呈現(xiàn)一一對應(yīng)的關(guān)系,表示為

y(t)=H［x(t)］圖1-10系統(tǒng)的框圖系統(tǒng)的輸入與輸出關(guān)系還可以簡單地表示為

x(t)→y(t)

同一系統(tǒng)在不同激勵作用下,一般會產(chǎn)生不同的響應(yīng)。不同系統(tǒng)在同一激勵作用下,一般也會產(chǎn)生不同的響應(yīng),這說明系統(tǒng)不同,功能各異。

圖1-10所示的系統(tǒng)只有一個輸入信號,一個輸出信號,稱為單輸入單輸出系統(tǒng)。另外還有單輸入多輸出系統(tǒng)、多輸入單輸出系統(tǒng)和多輸入多輸出系統(tǒng)。1.2.2系統(tǒng)的特性及分類

1.動態(tài)系統(tǒng)與非動態(tài)系統(tǒng)

按照是否含有存儲元件,可以將系統(tǒng)劃分為動態(tài)系統(tǒng)和非動態(tài)系統(tǒng)。

含有儲能元件的系統(tǒng),在某時刻t0的輸出,不僅與該時刻的輸入有關(guān),還與該時刻的系統(tǒng)狀態(tài)有關(guān),這類系統(tǒng)稱為動態(tài)系統(tǒng),又稱為記憶系統(tǒng)。系統(tǒng)狀態(tài)是t0時刻以前的激勵信號對系統(tǒng)作用后產(chǎn)生的持續(xù)性影響。

不含儲能元件的系統(tǒng),在某時刻t0的輸出僅與該時刻的輸入有關(guān),這類系統(tǒng)稱為非動態(tài)系統(tǒng),又稱為即時系統(tǒng)。

2.連續(xù)時間系統(tǒng)與離散時間系統(tǒng)

按照系統(tǒng)傳輸、處理的信號是連續(xù)時間信號還是離散時間信號,可將系統(tǒng)劃分為連續(xù)時間系統(tǒng)和離散時間系統(tǒng)。

傳輸和處理連續(xù)時間信號的系統(tǒng)稱為連續(xù)時間系統(tǒng)。由R、L、C組成的振蕩器,以及由晶體管組成的放大器等都屬于連續(xù)時間系統(tǒng)。

傳輸和處理離散時間信號的系統(tǒng)稱為離散時間系統(tǒng),如單片機(jī)和計(jì)算機(jī)等都屬于離散時間系統(tǒng)。

3.線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)

按照組成系統(tǒng)的元件是否為線性元件,可將系統(tǒng)劃分為線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)。由線性元件所組成的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng),其同時具有疊加性和齊次性。含有非線性元件的系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng),其不具備疊加性和齊次性。線性系統(tǒng)不含非線性元件,但是非線性系統(tǒng)可以含有線性元件。

4.時不變系統(tǒng)與時變系統(tǒng)

按照組成系統(tǒng)的元件的參數(shù)是否時變,可將系統(tǒng)劃分為時不變系統(tǒng)或時變系統(tǒng)。

如果系統(tǒng)內(nèi)元器件的參數(shù)不隨時間而變化,則稱此系統(tǒng)為時不變系統(tǒng)或非時變系統(tǒng),也稱定長系統(tǒng)。如果系統(tǒng)內(nèi)元器件的參數(shù)隨時間而變化,則稱此系統(tǒng)為時變系統(tǒng)或參變系統(tǒng)。

5.因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng)

按照系統(tǒng)是否具有物理可實(shí)現(xiàn)性,可將系統(tǒng)分為因果系統(tǒng)和非因果系統(tǒng)。

先有起因,后有結(jié)果,在物理上可以實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)稱為因果系統(tǒng),該類系統(tǒng)在激勵信號作用之后才會產(chǎn)生輸出響應(yīng),激勵是產(chǎn)生響應(yīng)的原因,響應(yīng)是引入激勵的結(jié)果。實(shí)際的物理系統(tǒng)均為因果系統(tǒng)。

非因果系統(tǒng)則是先有結(jié)果,后有起因,在物理上是不可以實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)。非因果系統(tǒng)的響應(yīng)出現(xiàn)在激勵之前。1.2.3系統(tǒng)模擬與相似系統(tǒng)

1.系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

當(dāng)系統(tǒng)的激勵是連續(xù)信號時,若其響應(yīng)也是連續(xù)信號,則稱其為連續(xù)系統(tǒng)。當(dāng)系統(tǒng)的激勵是離散信號時,若其響應(yīng)也是離散信號,則稱其為離散系統(tǒng)。連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)常組合使用,稱為混合系統(tǒng)。

描述連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是微分方程,而描述離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是差分方程。

如果系統(tǒng)的輸入、輸出信號都只有一個,則稱為單輸入單輸出系統(tǒng),如果系統(tǒng)的輸入、輸出信號有多個,則稱為多輸入多輸出系統(tǒng)。

圖1-11所示是RLC串聯(lián)電路。圖1-11電路系統(tǒng)如將電壓源us(t)看做是激勵,選電容兩端電壓uC(t)為

響應(yīng),則由基爾霍夫電壓定律(KVL)有

uL(t)+uR(t)+uC(t)=us(t)

根據(jù)各元件端電壓與電流的關(guān)系可整理得二階微分方程為

2.系統(tǒng)的框圖表示

連續(xù)或離散系統(tǒng)除用數(shù)學(xué)方程描述外,還可用框圖表示系統(tǒng)的激勵與響應(yīng)之間的數(shù)學(xué)運(yùn)算關(guān)系。一個方框(或其他形狀)可以表示一個具有某種功能的部件,也可以表示一個子系統(tǒng)。各個方框內(nèi)部的具體結(jié)構(gòu)并非考察重點(diǎn),而只注重其輸入、輸出之間的關(guān)系。因而在用框圖描述的系統(tǒng)中,各單元在系統(tǒng)中的作用和地位可以一目了然。

表示系統(tǒng)功能的常用基本單元有積分器(用于連續(xù)系統(tǒng))或延遲單元(用于離散系統(tǒng))以及加法器或數(shù)乘器(標(biāo)量乘法器),對于連續(xù)系統(tǒng),有時還需要用延遲時間為T的延遲器。它們的表示符號如圖1-12所示。圖1-12框圖的基本單元

【例1-6】

某連續(xù)系統(tǒng)的框圖如圖1-13所示,寫出該系統(tǒng)的微分方程。

解系統(tǒng)框圖中有兩個積分器,所以描述該系統(tǒng)的是二階微分方程。由于積分器的輸出是其輸入信號的積分,因而積分器的輸入信號是其輸出信號的一階導(dǎo)數(shù)。

由加法器的輸出,得

y″(t)=－a1y′(t)－a0y(t)+f(t)

將上式移項(xiàng)得

y″(t)+a1y′(t)+a0y(t)=f(t)

上式就是描述圖1-13系統(tǒng)的微分方程。圖1-13連續(xù)系統(tǒng)的框圖第2章連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析2.1線性連續(xù)系統(tǒng)的描述及其響應(yīng)2.2奇異信號2.3沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)

2.1線性連續(xù)系統(tǒng)的描述及其響應(yīng)

2.1.1線性連續(xù)系統(tǒng)的描述

1.元件約束VAR

電流、電壓需取關(guān)聯(lián)參考方向即滿足:

(1)電阻R,UR(t)=RiR(t);

(2)電感L,

(3)電容C,

(4)互感(同名端、異名端連接)、理想變壓器等原邊、副邊電壓、電流關(guān)系等。

2.結(jié)構(gòu)約束KCL與KVL

這里通過舉例來說明結(jié)構(gòu)約束KCL與KVL。

【例2-1】

如圖2-1所示電路,試分別列出電流i1(t)、

電流i2(t)和電壓uo(t)的數(shù)學(xué)模型。圖2-1例2-1圖解

KCL:KVL:VAR:解此聯(lián)立方程,最后求得2.1.2系統(tǒng)的響應(yīng)——微分方程的經(jīng)典解

將例2-1推廣到一般情況,如果單輸入、單輸出線性非時變的激勵為f(t),其全響應(yīng)為y(t),則描述線性非時變系統(tǒng)的激勵f(t)與響應(yīng)y(t)之間關(guān)系的是n階常系數(shù)線性微分方程,它可寫為式中,an、an－1、…、a1、a0和bm、bm－1、b0、…均為常數(shù)。該方程的全解由齊次解和特解組成。齊次方程的解即齊次解,用yh(t)表示;非齊次方程的特解用yp(t)表示,即有

y(t)=yh(t)+yp(t)

(2-1)

1.齊次解

齊次解滿足齊次微分方程:

any(n)(t)+an－1yn－1(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0

由高等數(shù)學(xué)經(jīng)典理論知,該齊次微分方程的特征方程為

anλn+an－1λn－1+…+a1λ+a0=0

(2-2)

特征方程的n個根λ1、λ2、…、λn稱為微分方程的特征根。在系統(tǒng)分析中常稱之為自然頻率或固有頻率。根據(jù)特征根的特點(diǎn),微分方程的齊次解有下面幾種形式:

(1)特征根均為單根。如果幾個特征根都互不相同(即無重根),則微分方程的齊次解為(2-3)式中,Ci(i=1,2,…,n)是由初始條件確定的常數(shù)。

(2)特征根有重根。若λ1是特征方程的γ重根,即有λ1=λ2=λ3=…=λγ,而其余(n－γ)個根λγ+1、λγ+2、…、λn都是單根,則微分方程的齊次解為(2-4)式中,Ci(i=1,2,…,γ)和Cj(i=γ+1,γ+2,…,n)均由初始條件確定。

(3)特征根有一對單復(fù)根,即λ1,2=a±jb,則微分方程的齊次解

yh(t)=C1eαtcosbt+C2eαtsinbt

(2-5)式中C1與C2由初始條件確定。

(4)特征根有一對m重復(fù)根,即共有m重λ1,2=a±jb的復(fù)根,則微分方程的齊次解為(2-6)yh(t)=C1eαtcosbt+C2teαtcosbt+…+Cmtm－1eαtcosbt+d1eαtsinbt+d2teαtsinbt+…+dmtm－1eαtsinbt

【例2-2】求微分方程y″(t)+3y′(t)+2y(t)=f(t)的齊次解。

解由特征方程λ2+3λ+2=0解得特征根λ1=－1,λ1=－2。因此該方程的齊次解為

yh(t)=C1e－t+C2e－2t

【例2-3】

求微分方程y″(t)+2y′(t)+y(t)=f(t)的齊次解。

解由特征方程λ2+2λ+1=0解得二重根λ1=λ2=－1,因此該方程的齊次解

yh(t)=C1te－t+C2e－t

2.特解

特解的函數(shù)形式與激勵函數(shù)的形式有關(guān)。表2-1列出了幾種類型的激勵函數(shù)f(t)及其所對應(yīng)的特解yp(t)。選定特解后將它代入原微分方程,求出其特定系數(shù)Pi,就可求出特解。

3.完全解

根據(jù)式(2-1),完全解是齊次解與特解之和,如果微分方程的特征根全為單根,則微分方程的全解為(2-7)當(dāng)特征根中λ1為γ重根,而其余(n－γ)個根均為單根時,方程的全解為(2-8)式中,系數(shù)Ci、Cj由初始條件確定。設(shè)激勵信號f(t)是在t=0時接入的,微分方程解適合于區(qū)間0<t<∞。對于n階線性微分方程,用給定的n個初始條件y(0)、y′(0)、y″(0)、…、y(n－1)(0)就可以確定全部的待定系數(shù)

Ci、Cj。這里只討論特征根都是單根的情形,特征方程有重根的情形也類似。

如果微分方程的特征根都是單根,則方程的完全解為式(2-7),將給定的初始條件分別代入到式(2-7)及其各階導(dǎo)數(shù),即可得方程組:由以上方程組可以解得待定系數(shù)系統(tǒng)Ci(i=1,2,…,n)。下面舉例說明。

【例2-4】

描述某線性非時變連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為y″(t)+3y′(t)+2y(t)=f(t),已知系統(tǒng)的初始條件是y(0)=y′(0)=0,輸入激勵f(t)=e－tu(t),試求全響應(yīng)y(t)。

解在例2-2中求得該方程的齊次解,即yh(t)=C1e－t+C2e－2t,下面來求其特解。

因f(t)=e－t,α=－1與一個特征根λ1=－1相同,所以該方程的特解為

yp(t)=P1te－t+P0e－t

將特解yp(t)代入微分方程,有

(P1te－t+P0e－t)″+3(P1te－t+P0e－t)′+2(P1te－t+P0e－t)=e－t由待定系數(shù)法求得P0=0、P1=1,所以特解為

yp(t)=te－t

因此完全解是

y(t)=C1e－t+C2e－2t+te－t

由初始條件y(0)=y′(0)=0,有

y(0)=C1+C2=0

y′(0)=－C1－2C2+1=0

解得C1=－1、C2=1,所以,全響應(yīng)為

y(t)=(－e－t+e－2t+te－t)u(t)2.1.3零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)

1.零輸入響應(yīng)

所謂零輸入響應(yīng),是指系統(tǒng)無外加激勵,即激勵信號f(t)=0時,僅由系統(tǒng)初始儲能產(chǎn)生的響應(yīng),系統(tǒng)方程為

any(n)(t)+an－1y(n－1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0

(2-9)

式(2-9)為齊次微分方程,其特征方程為

anλn+an－1λn－1+…+a1λ+a0=0

(2-10)

對其進(jìn)行因式分解得

(λ－p1)(λ－p2)…(λ－pn)=0

其中,p1、p2、…、pn為方程的n個特征根。根據(jù)特征根的不同情況,零輸入響應(yīng)將具有不同的形式。

(1)當(dāng)特征根均為單根時,零輸入響應(yīng)的一般形式為其中,pi為各個單根;Ai為單根對應(yīng)指數(shù)項(xiàng)的待定系數(shù)。

(2)當(dāng)特征根中含有k重根,其他為單根時,零輸入響應(yīng)的一般形式為其中,p1為k重根,Ai為重根對應(yīng)各項(xiàng)的待定系數(shù);pj為各個單根,Aj為單根對應(yīng)指數(shù)項(xiàng)的待定系數(shù)。

【例2-5】

已知某系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為y′(t)+3y(t)=x(t),激勵f(t)=e－4tu(t),系統(tǒng)的初始狀態(tài)y(0－)=5,求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yzi(t)。

解系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)滿足方程由特征方程λ+3=0得特征根λ=－3,則零輸入響應(yīng)的形式為

yzi(t)=Ae－3t

t≥0由系統(tǒng)的初始值特定系數(shù),得yzi(0+)=y(0－)=A=5,所以零輸入響應(yīng)為

yzi(t)=5e－3t

t≥0

2.零狀態(tài)響應(yīng)

所謂零狀態(tài)響應(yīng),是指系統(tǒng)沒有初始儲能,系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零,即yzi(0－)=y(1)(0－)=…=y(n－1)(0－)=0,這時僅由系統(tǒng)的外加激勵所產(chǎn)生的響應(yīng)稱為零狀態(tài)響應(yīng)。

由于零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)與激勵f(t)有關(guān),因此,獲得零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)需要求解非齊次微分方程(2-11)零狀態(tài)響應(yīng)的求解采用經(jīng)典法,這實(shí)際上是一種純數(shù)學(xué)方法,即將yzs(t)分解為零狀態(tài)條件下的齊次解yh(t)和特解yp(t)

yzs(t)=yh(t)+yp(t)

(2-12)

【例2-6】

已知某二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為y(2)(t)+

3y(1)(t)+2y(t)=x(1)(t)－x(t),系統(tǒng)初始狀態(tài)y(0－)=1,y(1)(0－)=2;初始值y(0+)=1,y(1)(0+)=3。當(dāng)激勵x(t)=u(t)時,求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)。

解求齊次解:由特征方程λ2+3λ+2=0,解得特征根為

λ1=－1,λ2=－2,則

yh(t)=C1e－t+C2e－2t

t≥0

求特解:設(shè)yp(t)=B,為了求待定系數(shù),將其代入原微分方程,并將激勵x(t)=1(t>0)也代入原微分方程,得解得B=(1/2),故特解yp(t)=－(1/2),則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為由系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)及其微分方程y(1)zs(t)=－C1e－t－2C2e－2t可以得到方程解該方程,得C1=2,C2=－3/2,所以系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為

其波形如圖2-2(a)所示。

2.2奇異信號2.2.1奇異信號的時域描述

典型的奇異信號有如下幾種,其中單位階躍信號和單位沖激信號尤為重要。

1.單位斜變信號

斜變信號又稱斜坡信號,是指信號在某時刻以后隨時間呈現(xiàn)正比例增長。當(dāng)斜變信號隨時間增長的速率為1時,稱為單位斜變信號或單位斜坡信號,用符號R(t)表示,定義為圖2-2(b)所示為延遲的單位斜變信號,時間起始點(diǎn)為t0(t0>0),其定義為(2-14)隨時間增長的速率不為1的斜變信號稱為一般的斜變信號,也可以表示成單位斜變信號的形式,如信號f(t)=2R(t)。在實(shí)際應(yīng)用中,斜變信號一般有時間延遲,且當(dāng)信號增長到一定數(shù)值時不再發(fā)生變化,如圖2-2(c)所示,此信號可表示為(2-15)若用斜變信號表示,則有圖2-2斜變信號(2-16)

2.單位階躍信號

單位階躍信號又稱開關(guān)信號,如圖2-3所示,用符號u(t)來表示,其定義為(2-17)式(2-17)表明,在t=0時刻,信號無定義,其值發(fā)生了跳變,即u(0－)=0,u(0+)=1。圖2-3單位階躍信號單位直流電壓源或電壓源在t=0時刻接入電路并且無限持續(xù)下去,此種電源激勵信號可以表示為單位階躍信號。

如果單位直流電源的接入時間為t=t0,且t0>0,可以用延遲的單位階躍信號來表示,如圖2-4(a)所示,可表示為(2-18)一般直流電源接入電路時,可能存在時間延遲,而且電源的電壓值或電流值不為1,稱為一般階躍信號,如圖2-4(b)所示,可表示為

f(t)=Ku(t－t0)

(2-19)圖2-4階躍信號單位階躍信號u(t)和延遲的單位階躍信號u(t－t0)均可以理解為開關(guān)信號,可以借助二者確定任意信號的起始時刻。如單位斜變信號表示為R(t)=tu(t),延遲的單位斜變信號表示為

R(t－t0)=(t－t0)u(t－t0),單位指數(shù)信號表示為f(t)=Keatu(t),圖2-2(c)所示信號可表示為(2-20)

3.單位沖激信號

沖激信號記為δ(t),其一般定義式為且(2-21)其波形如圖2-5所示。圖2-5沖激信號

4.單位沖激偶信號

單位沖激信號的求導(dǎo)稱為單位沖激偶信號,又稱二次沖激信號,用符號δ(1)(t)表示。沖激偶信號顧名思義是有兩個上下對稱的沖激信號,如圖2-6所示。

由上述分析可以看出,信號R(t)、u(t)、δ(t)和δ(1)(t)之間具有如下關(guān)系:

(1)微分關(guān)系:(2-22)圖2-6沖激偶函數(shù)

(2)積分關(guān)系:(2-23)式(2-23)中的積分下限可以取0－。如果信號R(t)、u(t)、δ(t)和δ(1)(t)存在延遲,它們之間仍然存在上述關(guān)系。

5.門函數(shù)

門函數(shù)是一矩形脈沖信號,又稱矩形窗函數(shù),用符號

gτ(t)來表示,如圖2-7所示,其脈沖寬度為τ,脈沖幅度為1,定義為(2-24)式(2-24)還可以表示為gτ(t)=。圖2-7門函數(shù)

6.符號函數(shù)

符號函數(shù)又稱正負(fù)號函數(shù),用符號sgn(t)來表示,如圖2-8所示,定義為(2-25)式(2-25)還可以表示為sgn(t)=2u(t)－1。圖2-8符號函數(shù)2.2.2沖激信號的特點(diǎn)及物理意義

沖激信號的概念來源于某些物理現(xiàn)象,如自然界中的雷電、電力系統(tǒng)中開關(guān)啟閉產(chǎn)生的瞬間電火花、通信系統(tǒng)中的抽樣脈沖等。

圖2-9所示為一無初始儲能的充電電路,直流電壓源的電壓為E,當(dāng)電容容量C不變,電阻R減少時,充電速率提高;當(dāng)R→0時,開關(guān)閉合,電容兩端電壓由原來的0值突變到電源電壓值E,此時電流值為無限大,如何來表示這一無限大的電流呢？圖2-9無初始儲能的充電電路如圖2-10(a)所示的矩形脈沖信號pτ(t),其脈沖寬度為τ,脈沖幅度為1/τ,則矩形脈沖的面積為1。保持面積不變,當(dāng)τ減少時,脈沖幅度必然增加,如圖2-10(b)所示;當(dāng)τ→0,1/τ→∞時,矩形脈沖信號演變?yōu)閱挝粵_激信號,其定義為(2-26)單位沖激信號δ(t)的波形如圖2-10(c)所示,其幅度為∞,強(qiáng)度為1。圖2-10單位沖激信號的定義過程

δ(t)的定義是基于廣義函數(shù)的概念,它不符合普通函數(shù)的定義,函數(shù)與自變量之間沒有明確的關(guān)系。

當(dāng)單位沖激信號出現(xiàn)在t=t0時,稱其為延遲的單位沖激信號,表示為δ(t－t0),如圖2-11(a)所示,定義為(2-27)當(dāng)沖激信號的幅度無限大,強(qiáng)度為A時,如圖2-11(b)所示,可以稱其為一般沖激信號,即f(t)=Aδ(t),定義為圖2-11(c)所示為延遲的沖激信號,f2(t)=Aδ(t－t0)。圖2-11沖激信號

1.δ(t)的奇偶性

因?yàn)閷ι鲜揭裕璽換t,有所以δ(t)是偶函數(shù)。

2.δ(t)具有采樣(篩選)性

若函數(shù)f(t)在t=0連續(xù),由于δ(t)只在t=0存在,故有

f(t)δ(t)=f(0)δ(t)

(2-28)

若f(t)在t=t0連續(xù),則有

f(t)δ(t－t0)=f(t0)δ(t－t0)

(2-29)

以上說明,δ函數(shù)可以把信號f(t)在某時刻的值采樣(篩選)出來。

利用上述δ(t)的采樣性,可以得到兩個重要的積分結(jié)果(2-30)

2.3沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)2.3.1沖激響應(yīng)

一線性非時變系統(tǒng),當(dāng)其初始狀態(tài)為零,輸入為單位沖激信號δ(t)時所引起的響應(yīng)為單位沖激響應(yīng),簡稱沖激響應(yīng),記為h(t)。亦即沖激響應(yīng)是激勵為單位沖激信號δ(t)時,系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。

【例2-7】

已知某線性非時變系統(tǒng)的動態(tài)方程式為

y′(t)+6y(t)=3f′(t)+2f(t),(t≥0),試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。

解由原方程可得

h′(t)+6h(t)=3δ′(t)+2δ(t)(t≥0)

由于動態(tài)方程式右側(cè)存在沖激信號δ′(t),為了保持動態(tài)方程式的左右平衡,等式左側(cè)h(t)最高次h′(t)也必須含有δ′(t)。這樣沖激響應(yīng)h(t)必含有δ(t)項(xiàng)?？紤]到動態(tài)方程式的特征方程為λ+6=0,特征根為λ1=－6,因此設(shè)

h(t)=Ae－6tu(t)+Bδ(t)

式中,A、B為待定系數(shù),將h(t)代入原方程式有[Ae－6tu(t)+Bδ(t)]′+6[Ae－6tu(t)+Bδ(t)]=3δ′(t)+2δ(t)即解得因此,系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)=3δ(t)－16e－6tu(t)2.3.2階躍響應(yīng)

系統(tǒng)的階躍響應(yīng)屬于零狀態(tài)響應(yīng),它的定義如下:LTI系統(tǒng)在零狀態(tài)條件下,由單位階躍信號引起的響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng),簡稱階躍響應(yīng),記為g(t)。

系統(tǒng)階躍響應(yīng)的求法與沖激響應(yīng)的求法類似。所不同的是,由于輸入的階躍函數(shù)在t>0時不為零,因此系統(tǒng)的階躍響應(yīng)包括齊次解和特解兩部分。

【例2-8】

若描述系統(tǒng)的微分方程為試求系統(tǒng)的階躍響應(yīng)。

解系統(tǒng)的特征根為λ1=－1、λ2=－2,其階躍響應(yīng)為它的一階、二階導(dǎo)數(shù)(考慮到?jīng)_激函數(shù)的抽樣性質(zhì))分別為將f(t)=u(t)、y(t)=g(t)及其導(dǎo)數(shù)g′(t)和g″(t)代入系統(tǒng)的微分方程,稍加整理得由系統(tǒng)對應(yīng)相等有:解得所以系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為

下面討論階躍響應(yīng)與沖激響應(yīng)的關(guān)系,因?yàn)棣?t)和δ(t)的關(guān)系為由微積分特性必然有

h(t)=g′(t)

(2-31)

相應(yīng)地有(2-32)第3章連續(xù)時間系統(tǒng)的頻域分析3.1復(fù)指數(shù)函數(shù)的正交性與傅立葉級數(shù)3.2周期信號的頻譜及特點(diǎn)3.3非周期信號的頻譜3.4傅立葉變換的性質(zhì)3.5線性非時變系統(tǒng)的頻域分析

3.1復(fù)指數(shù)函數(shù)的正交性與傅立葉級數(shù)

3.1.1復(fù)指數(shù)函數(shù)的正交

在通信系統(tǒng)中廣泛應(yīng)用正交信號的知識。如果定義在(t1,t2)區(qū)間的兩個函數(shù)f1(t)和f2(t),滿足(3-1)則稱f1(t)和f2(t)在區(qū)間(t1,t2)內(nèi)正交。三角函數(shù)集{1,cosω1t,cos2ω1t,…,cosmω1,…,sinω1t,sin2ω1t,…,sinnω1t,…}在區(qū)間(t0,t0+T)組成正交函數(shù)集。以正弦函數(shù)為基本信號分析工程上常用的周期和非周期信號的一些基本特性,以及信號在系統(tǒng)中的傳輸問題。由于(3-2)

故也可把虛指數(shù)函數(shù)ejωt作為基本信號,將任意周期信號和非周期信號分解為一系列虛指數(shù)函數(shù)的離散和或連續(xù)和。利用信號的正弦分解思想,系統(tǒng)的響應(yīng)則可表示為不同頻率正弦分量產(chǎn)生響應(yīng)的疊加。(3-3)3.1.2傅立葉級數(shù)

1.周期信號的三角級數(shù)表示

在電子技術(shù)、通信工程、自動控制等領(lǐng)域,除了正弦信號外,非正弦周期信號也經(jīng)常遇到。把非正弦周期信號分解為傅立葉級數(shù)是法國科學(xué)家傅立葉所做出的巨大貢獻(xiàn)。1807年,傅立葉以他驚人的洞察力大膽斷言:任何周期函數(shù)都可以用收斂的正弦級數(shù)表示。他的關(guān)于把信號分解為正弦分量的思想對后來的自然科學(xué)等領(lǐng)域產(chǎn)生了巨大的影響。

周期信號是定義在(－∞,∞)區(qū)間內(nèi),每隔一定時間T按相同規(guī)律重復(fù)變化的信號。

圖3-1所示是實(shí)際的周期性非正弦信號,它們一般表示為

f(t)=f(t+kT)(k=0,±1,±2,…)圖3-1周期性非正弦信號當(dāng)周期信號f(t)滿足狄里赫利條件:

(1)在一周內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點(diǎn)。

(2)一周內(nèi)函數(shù)只有有限個極值點(diǎn)。

(3)一周內(nèi)函數(shù)是絕對可積的,即

則f(t)可用傅立葉級數(shù)表示為(3-4)式中ω1=(2π/T),稱為f(t)的基波頻率,nω1稱為n次諧波;a0為f(t)的直流分量,an和bn為各余弦分量和正弦分量的幅度。式(3-4)就是三角形式的傅立葉級數(shù)。由高等數(shù)學(xué)可知,傅立葉系數(shù)為由此可以得出,當(dāng)f(t)給定后,a0、an和bn就可以確定,因而f(t)的傅立葉級數(shù)展開式就可以寫出。由于ancosnω1t+bnsinnω1t=Ancos(nω1t+jn)式中,

,故傅立葉級數(shù)又可以寫為(3-5)

【例3-1】

如圖3-2所示的周期矩形波,求其傅立葉級數(shù)。圖3-2例3-1圖解由于這里f(t)是奇函數(shù),故有所以,f(t)的傅立葉級數(shù)為

2.周期信號的對稱性與傅立葉系數(shù)的關(guān)系

要把已知周期信號f(t)展開為傅立葉級數(shù),如果f(t)為實(shí)函數(shù),且它的波形滿足某種對稱性,則在其傅立葉級數(shù)中有些項(xiàng)將不出現(xiàn),留下的各項(xiàng)系數(shù)表示式也變得比較簡單。周期信號的對稱關(guān)系主要有兩種:一種是整個周期相對于縱坐標(biāo)軸的對稱關(guān)系,這取決于周期信號是偶函數(shù)還是奇函數(shù),也就是展開式中是否含有正弦項(xiàng)或余弦項(xiàng);另一種是整個周期前后的對稱關(guān)系,這將決定傅立葉級數(shù)展開式中是否含有偶次項(xiàng)或奇次項(xiàng)。下面簡單說明函數(shù)的對稱性與傅立葉系數(shù)的關(guān)系。

(1)偶函數(shù)。若周期信號f(t)波形相對于縱坐標(biāo)軸是對稱的,即滿足:

f(t)=f(－t)則f(t)是偶函數(shù),其傅立葉級數(shù)展開式中只含有直流分量和余弦分量,沒有正弦分量,即(n=0,1,2,3,…)

(2)奇函數(shù)。若周期信號f(t)波形相對于縱坐標(biāo)軸是反對稱的,即滿足

f(t)=－f(－t)則f(t)是奇函數(shù),其傅立葉級數(shù)展開式中只含有正弦分量,沒有余弦分量,即(n=0,1,2,3,…)

(3)奇諧函數(shù)。若周期信號f(t)波形沿時間軸平移半個周期后與原波形相對于時間軸鏡像對稱,即滿足則f(t)稱為奇諧函數(shù)或半波對稱函數(shù)。這類函數(shù)的傅立葉級數(shù)展開式中只含有正弦和余弦項(xiàng)的奇次諧波分量,不含偶次項(xiàng)。

(4)偶諧函數(shù)。若周期信號f(t)波形沿時間軸平移半個周期后與原波形完全重疊,即滿足則f(t)稱為偶諧函數(shù)或半周期重疊函數(shù)。這類函數(shù)的傅立葉級數(shù)展開式中只含有正弦和余弦項(xiàng)的偶次諧波分量,不含奇次項(xiàng)。3.1.3傅立葉級數(shù)的指數(shù)形式及物理意義

三角函數(shù)形式的傅立葉級數(shù)含義比較明確,但運(yùn)算很不方便,因此經(jīng)常采用指數(shù)形式的傅立葉級數(shù)。將歐拉公式代入式(3-5),可得(3-6)令(3-7)由傅立葉系數(shù)可知an是n的偶函數(shù),bn是n的奇函數(shù),則(3-8)將式(3-7)和式(3-8)代入式(3-6),得(3-9)令F(0)=a0,并且式(3-9)又可寫為(3-10)式(3-10)稱為周期信號f(t)的指數(shù)形式傅立葉級數(shù)展開式,其中F(jnω1)為傅立葉系數(shù),簡寫為Fn,又稱為頻譜函數(shù)。由于Fn為復(fù)數(shù),所以式(3-10)又稱為復(fù)系數(shù)形式傅立葉級數(shù)展開式。

傅立葉系數(shù)Fn為(3-11)

【例3-2】

將圖3-3所示的矩形脈沖信號f(t)展開為指數(shù)形式的傅立葉級數(shù)。圖3-3例3-2圖解由式(3-11)可得故f(t)展開為指數(shù)形式的傅立葉級數(shù)為

3.2周期信號的頻譜及特點(diǎn)

1.單邊頻譜

若周期信號f(t)的傅立葉級數(shù)展開式為(3-12)則對應(yīng)的振幅頻譜An和相位頻譜jn稱為單邊頻譜。

【例3-3】

求圖3-4所示周期矩形信號f(t)的單邊頻譜。圖3-4例3-3圖解由f(t)波形可知,f(t)為偶函數(shù),其傅立葉系數(shù)故因此即

a0=0.5

a1=0.45

a2≈0.32

a3=0.15

a4=0

a5≈0.09

a6≈0.106

單邊振幅頻譜如圖3-5所示。圖3-5例3-3單邊振幅頻譜

2.雙邊頻譜

若周期信號f(t)的傅立葉級數(shù)展開式為則|Fn|與nω所描述的振幅頻譜以及Fn的相位θn與nω所描述的相位頻譜稱為雙邊頻譜。

【例3-4】

畫出圖3-4所示矩形周期信號f(t)的雙邊頻譜圖形。解由得:

F0=0.25

F±1=0.225

F±2=0.159F±3=0.075F±4=0

F±5=－0.045F±6=0.053F±7=－…所以f(t)的雙邊頻譜如圖3-6所示。圖3-6例3-3雙邊頻譜圖形

3.周期信號頻譜的特點(diǎn)

(1)離散性。譜線沿頻率軸離散分布,這種譜線稱為離散頻譜或線譜。

(2)諧波性。各次諧波分量的頻率都是基波頻率ω=2π/T的整數(shù)倍,而且相鄰譜線的間隔是均勻的,即譜線在頻率軸上的位置是ω的整數(shù)倍。

(3)收斂性。指譜線幅度隨n→∞而衰減到零。因此這種頻譜具有收斂性或衰減性。

4.周期信號的有效頻譜寬度

在周期信號的頻譜分析中,周期矩形脈沖信號的頻譜具有典型的意義,得到了廣泛應(yīng)用。下面以圖3-7所示的周期矩形脈沖信號為例,進(jìn)一步研究其頻譜寬度與脈沖寬度之間的關(guān)系。

圖3-7所示信號f(t)的脈沖寬度為τ,脈沖幅度為E,重復(fù)周期為T,重復(fù)角頻率為ω=(2π/T)。

若將信號f(t)展開為傅立葉級數(shù),可得其中Fn為實(shí)數(shù),因此一般把振幅頻譜和相位頻譜合畫在一起,如圖3-8所示。圖3-7周期矩形脈沖信號圖3-8圖3-7所示周期信號的頻譜圖

5.周期信號的功率譜

周期信號f(t)的平均功率可定義在1Ω電阻上消耗的平均功率,即(3-13)周期信號f(t)的平均功率可以用式(3-13)在時域進(jìn)行計(jì)算,也可以在頻域進(jìn)行計(jì)算。若f(t)的指數(shù)形式傅立葉級數(shù)展開式為則將此式代入式(3-13),可得(3-14)(3-15)(3-16)F=是離散值nω1的函數(shù),可以寫為

3.3非周期信號的頻譜

3.3.1非周期信號的頻譜密度函數(shù)

對于周期信號,有如下關(guān)系當(dāng)T→∞時,譜線高度|F=|和譜線間隔ω1趨于無窮小,故ω1可用dω代替,nω1變?yōu)檫B續(xù)變量ω,同時T=(2π/ω1)也可用(2π/ω)表示,從而式(3-15)變?yōu)橛钟捎?3-17)可見F(jω)相當(dāng)于單位頻率占有的復(fù)振幅,具有密度的意義,所以常把F(jω)稱為頻譜密度函數(shù),簡稱頻譜函數(shù)。F(jω)為連續(xù)譜。由式(3-17),Fn表示為代入式(3-16),同時把nω1換為ω,求和變?yōu)榉e分可得3.3.2常見信號的頻譜分析

1.門函數(shù)的頻譜

幅度為1,寬度為τ的單個矩形脈沖常稱為門函數(shù),又稱矩形脈沖信號,記為gτ(t),它表示為其波形如圖3-9(a)所示,由式(3-18)可得gτ(t)的傅立葉變換,即頻譜函數(shù)為令則(3-21)圖3-9(b)為F(jω)的圖形。圖3-9門函數(shù)及其頻譜函數(shù)

2.指數(shù)信號的頻譜

設(shè)指數(shù)信號為

f(t)=e－at,(a>0,t>0)

其頻譜函數(shù)為即(3-22)其幅度頻譜為相位頻譜為頻譜圖分別見圖3-10的(b)和(c)。圖3-10指數(shù)信號及其頻譜圖

3.沖激信號的頻譜

圖3-11(a)所示為單位沖激函數(shù),即

f(t)=δ(t)

頻譜函數(shù)為因δ(t)·e－jωt=δ(t),并根據(jù)δ(t)的定義可得即δ(t)1

(3-23)式(3-23)表明:單位沖激函數(shù)的頻譜函數(shù)等于1,如圖3-11(b)所示。即是說,單位沖激函數(shù)的頻譜,在－∞<ω<∞整個頻率區(qū)間是均勻分布的,這樣的頻譜常稱為“均勻譜”。圖3-11單位沖激函數(shù)及其頻譜

4.直流信號的頻譜

幅度等于1的直流信號表示為

f(t)=1(－∞<t<∞)

由傅立葉反變換公式,且δ(t)為t的偶函數(shù),則δ(t)可表示為將上式中ω?fù)Q為t,t換為ω,有上式表明單位直流信號的傅立葉變換為2πδ(ω),即12πδ(ω)

(3-24)如圖3-12所示,可得直流僅由ω=0的分量組成。圖3-12直流信號及其頻譜

5.階躍信號的頻譜

單位階躍信號的表達(dá)式為波形如圖3-13(a)所示。顯然,它不滿足絕對可積條件,但可采用取極限的方法求其傅立葉變換。將u(t)看做單邊指數(shù)衰減信號e－atu(t)在a→0時的極限,即e－atu(t)的傅立葉變換為當(dāng)a→0時,階躍信號的頻譜函數(shù)為(3-25)其頻譜圖如圖3-13(b)所示。圖3-13階躍信號及其頻譜圖

3.4傅立葉變換的性質(zhì)

1.線性性質(zhì)

若f1(t)

F1(jω),f2(t)F2(jω),則

(3-26)

式中,a、b為常數(shù)。因?yàn)楦盗⑷~變換是一種線性變換,所以它滿足齊次性與疊加性。

【例3-5】

求圖3-14(a)所示信號f(t)的傅立葉變換F(jω)。

解將f(t)看成一直流信號與門函數(shù)g2(t)相減,即

f(t)=1－g2(t)

而由式(3-21)和式(3-24)可得

12πδ(ω)

g2(t)2Sa(ω)

所以,由線性性質(zhì)可得

F(jω)=2πδ(ω)－2Sa(ω)

圖3-14例3-5圖

2.時移性質(zhì)

若f(t)F(jω),t0為常數(shù),則

f(t±t0)F(jω)e±jωt0

(3-27)

證明:因?yàn)樽髯兞看鷵Q,令t±t0=x,t=x

t0,dt=dx,代入上式,則有

【例3-6】

求圖3-15所示信號f(t)的傅立葉變換F(jω)。

解將f(t)看作門函數(shù)g2(t)右移1,即

f(t)=g2(t－1)

g2(t)2Sa(ω)

由時移性質(zhì),得

F(jω)=2Sa(ω)e－jω

圖3-15例3-6圖

3.頻移性質(zhì)

若f(t)F(jω),則

f(t)e±jω0tF[j(ω

ω0)]

(3-28)

證明

【例3-7】

求信號f(t)=ejω0t的傅立葉變換。

解將信號f(t)看作1與ejω0t相乘,即由直流信號變換對12πδ(ω)及頻移性質(zhì),得

F(jω)=2πδ(ω－ω0)

【例3-8】

求信號f1(t)=cosω0t,f2(t)=sinω0t的傅立葉變換。

解應(yīng)用歐拉公式將f1(t)、f2(t)分別改寫為

應(yīng)用頻移性質(zhì)和線性性質(zhì),可得

即(3-29)(3-30)

4.尺度變換性質(zhì)

若f(t)F(jω),a為非零常數(shù),則(3-31)證明:由傅立葉變換定義可得作變量替換,令at=x,t=x/a,則dx=adt,當(dāng)a>0時,有當(dāng)a<0時,有

【例3-9】

已知f(t)的傅立葉變換為F(jω),設(shè)y(t)=

,求y(t)的頻譜函數(shù)Y(jω)。

解

f(t)F(jω),且a=－1/2,得而所以再應(yīng)用時移性質(zhì),得

Y(jω)=2F(－2jω)e－2jω

5.對稱性質(zhì)

若f(t)F(jω),則

F(jt)2πf(－ω)

(3-32)

證明:由傅立葉反變換定義式可得則一定會有做變量替換,取ω?fù)Q成t,t換成ω,上式變?yōu)閮蛇呁?π,由此可得即F(jt)2πf(－ω)若f(t)是t的偶函數(shù),即f(t)=f(－t),則一定會有F(jt)2πf(－ω)=2πf(ω)

【例3-10】

求抽樣信號Sa(t)的頻譜函數(shù)。

解直接利用定義不易求出抽樣信號的傅立葉變換,利用對稱性則較為方便。

由門函數(shù)的傅立葉變換可知,幅度為1,寬度為τ的門函數(shù)g(t),其傅立葉變換為取τ/2=1,即τ=2,且幅度為1/2,如圖3-16(a)所示。根據(jù)傅立葉變換的線性性質(zhì),脈寬為2,幅度為1/2的門函數(shù),其傅立葉變換為即由于g2(t)是偶函數(shù),根據(jù)對稱性可得即其波形如圖3-16(b)所示。圖3-16例3-10圖

6.卷積定理

若f1(t)F1(jω),f2(t)F2(jω),則時域卷積定理為

f1(t)*f2(t)F1(jω)F2(jω)

(3-33)

證明:

【例3-11】

已知兩個完全相同的門函數(shù)卷積可以得到一個三角脈沖,如圖3-17所示。求三角脈沖的頻譜函數(shù)。圖3-17時域卷積運(yùn)算解由于f(t)=g(t)*g(t),則其對應(yīng)的頻譜函數(shù)為(3-34)

3.5線性非時變系統(tǒng)的頻域分析

3.5.1頻域分析

1.系統(tǒng)函數(shù)的定義

由時域分析可知,若LTI系統(tǒng)的輸入為f(t),系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t),則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)y(t)為

y(t)=f(t)*h(t)

若f(t)F(jω),h(t)H(jω),y(t)Y(jω),則系統(tǒng)響應(yīng)的頻譜函數(shù)為

Y(jω)=H(jω)F(jω)

系統(tǒng)函數(shù)H(jω)可定義為

2.H(jω)的物理意義

由式h(t)H(jω)可知H(jω)是系統(tǒng)單位響應(yīng)h(t)的頻譜函數(shù)。反之有即H(jω)是將h(t)分解為無窮多個指數(shù)信號之和,其相應(yīng)的頻率譜密度函數(shù)。

yf(t)=H(jω)ejωt可知,H(jω)的另一個物理意義是當(dāng)激勵為ejωt時系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的加權(quán)函數(shù),而且可以看出零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)隨時間t的變化規(guī)律與ejωt的變化規(guī)律相同,僅差一個加權(quán)函數(shù)H(jω)。

3.H(jω)的求法

頻域系統(tǒng)函數(shù)H(jω)的求解方法主要有以下四種:

(1)當(dāng)給定激勵與零狀態(tài)響應(yīng)時,根據(jù)定義可求:(2)當(dāng)已知系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)h(t)時,可求

(3)當(dāng)給定系統(tǒng)的電路模型時,用相量法求解。

(4)當(dāng)給定系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型(微分方程)時,用傅立葉變換法求解。

【例3-12】

試求圖3-18(a)中i2(t)為響應(yīng)時的系統(tǒng)函數(shù)H(jω)。圖3-18例3-12圖解圖3-18所示電路對應(yīng)的頻域電路模型如圖3-18(b)所示。

根據(jù)相量分析法

4.系統(tǒng)頻率特性

由于H(jω)是沖激響應(yīng)h(t)的頻譜函數(shù),而h(t)取決于系統(tǒng)本身結(jié)構(gòu),它描述了系統(tǒng)的時域固有特性,因此H(jω)同樣僅取決于系統(tǒng)本身結(jié)構(gòu)。系統(tǒng)一旦給定,其系統(tǒng)函數(shù)H(jω)也隨之確定,它反映了系統(tǒng)的頻域特性,所以H(jω)是表征系統(tǒng)特征的重要物理量。我們已知在這里,|H(jω)|稱為系統(tǒng)的幅頻特性;j(ω)稱為系統(tǒng)的相頻特性。因此通過研究H(jω)就可以了解系統(tǒng)的整個頻率特性,從而了解系統(tǒng)的功能。3.5.2無失真?zhèn)鬏?/p>

1.無失真?zhèn)鬏數(shù)亩x

對于一個線性系統(tǒng),一般要求能夠無失真地傳輸信號。信號的無失真?zhèn)鬏?從時域來說,就是要求系統(tǒng)輸出響應(yīng)的波形應(yīng)當(dāng)與系統(tǒng)輸入激勵信號的波形完全相同,而幅度大小可以不同,時間前后可能有所差異,即

y(t)=kf(t－t0)

(3-35)

式中,k是系統(tǒng)的增益,t0是延遲時間,k與t0均為常數(shù)。

這樣,雖然輸出響應(yīng)y(t)的幅度有增益k倍的變化,而且有

t0時間的滯后,但整個波形的形狀不變,見圖3-19。圖3-19無失真?zhèn)鬏斒疽鈭D

2.無失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件

若要保持系統(tǒng)無失真?zhèn)鬏斝盘?從頻域分析,可