2025高考數(shù)學(xué)專項講義第05講平面向量之極化恒等式(高階拓展、競賽適用)(學(xué)生版+解析)

第05講平面向量之極化恒等式（高階拓展、競賽適用）（2類核心考點精講精練）在向量的命題考查中，數(shù)量積的運算一直是熱點問題，一般情況下，我們掌握公式法、基底法、投影法和坐標(biāo)法來求解數(shù)量積，但有時會計算量繁瑣、解題時間較長。而本節(jié)要學(xué)的極化恒等式可以從另一角度來綜合解題。利用向量的極化恒等式可以快速對共起點(終點)的兩向量的數(shù)量積問題數(shù)量積進行轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了向量的幾何屬性，讓“秒殺”向量數(shù)量積問題成為一種可能，此恒等式的精妙之處在于建立了向量的數(shù)量積與幾何長度(數(shù)量)之間的橋梁，實現(xiàn)向量與幾何、代數(shù)的巧妙結(jié)合，對于不共起點和不共終點的問題可通過平移轉(zhuǎn)化法等價轉(zhuǎn)化為對共起點(終點)的兩向量的數(shù)量積問題，從而用極化恒等式解決，需大家強化學(xué)習(xí)。知識講解極化恒等式恒等式右邊有很直觀的幾何意義:向量的數(shù)量積可以表示為以這兩個向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的，恒等式的作用在于向量的線性運算與數(shù)量積之間的聯(lián)系如圖在平行四邊形中,則在上述圖形中設(shè)平行四邊形對角線交于點,則對于三角形來說:極化恒等式的適用條件共起點或共終點的兩向量的數(shù)量積問題可直接進行轉(zhuǎn)化(2)不共起點和不共終點的數(shù)量積問題可通過向量的平移，等價轉(zhuǎn)化為共起點或共終點的兩向量的數(shù)量積問題在確定求數(shù)量積的兩個向量共起點或共終點的情況下，極化恒等式的一般步驟如下第一步:取第三邊的中點，連接向量的起點與中點;第二步:利用極化恒等式公式，將數(shù)量積轉(zhuǎn)化為中線長與第三邊長的一半的平方差;第三步:利用平面幾何方法或用正余弦定理求中線及第三邊的長度，從而求出數(shù)量積如需進一步求數(shù)量積范圍，可以用點到直線的距離最小或用三角形兩邊之和大于等于第三邊，兩邊之差小于第三邊或用基本不等式等求得中線長的最值(范圍)?？键c一、極化恒等式求值1．（全國·高考真題）設(shè)向量滿足，，則A．1 B．2 C．3 D．5【答案】A方法一：基本方法，詳見解析版方法二：極化恒等式由極化恒等式可得：，故選A．2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）正方形的邊長是2，是的中點，則（

）A． B．3 C． D．5【答案】B【詳解】方法一、二、三，詳見解析版方法四：極化恒等式設(shè)CD中點為O點，由極化恒等式可得：，故選：B.1．（江蘇·高考真題）如圖，在中，是的中點，是上的兩個三等分點，，，則的值是.

【答案】方法一：詳見解析版方法二：極化恒等式因為是上的兩個三等分點,所以聯(lián)立解得:，所以2.如圖,在中,已知,點分別在邊上,且,若為的中點,則的值為________3．（23-24高三下·湖南長沙·階段練習(xí)）向量的數(shù)量積可以表示為：以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的四分之一，即如圖所示，，我們稱為極化恒等式.已知在中，是中點，，，則（

）A． B．16 C． D．84．（21-22高一下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）向量的數(shù)量積可以表示為：以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的四分之一.即如圖所示：，我們稱為極化恒等式.在△中，是中點，，，則（

）A．32 B．-32 C．16 D．-16考點二、極化恒等式求范圍1．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在中，．P為所在平面內(nèi)的動點，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．如圖所示,正方形的邊長為分別在軸,軸的正半軸(含原點)上滑動,則的最大值是_________2．（全國·高考真題）已知是邊長為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點，則的最小值是A． B． C． D．如圖,在平面四邊形中,,則的最大值為____設(shè)銳角的面積為1,邊的中點分別為為線段上的動點,則的最小值為_______已知的斜邊,設(shè)是以為圓心,1為半徑的圓上任意一點,則的取值范圍是（）A.B.C.D.1．（23-24高一下·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，若動點P在以AB為直徑的半圓E（正方形ABCD內(nèi)部，含邊界），則的取值范圍為.2．（2023·天津紅橋·二模）已知菱形ABCD的邊長為2，，點E在邊BC上，，若G為線段DC上的動點，則的最大值為（

）A．2 B．C． D．43．（23-24高一下·北京昌平·期末）在矩形中，，，為矩形所在平面內(nèi)的動點，且，則的最大值是（

）A．9 B．10 C．11 D．124．（23-24高二下·浙江·期中）在△ABC中，BC＝2，，D為BC中點，在△ABC所在平面內(nèi)有一動點P滿足，則的最大值為（）A． B． C． D．5．（23-24高一下·湖南常德·期中）如圖，直線，點是，之間的一個定點，點到，的距離分別為和．點是直線上一個動點，過點作，點在線段上運動（包括端點）且，若的面積為．則的最小值為（

）

A． B． C． D．6．（2024·黑龍江牡丹江·模擬預(yù)測）已知是邊長為1的正六邊形邊上相異的三點，則的取值范圍是.1．（23-24高二下·河北唐山·期末）已知圓的弦的中點為，點為圓上的動點，則的最大值為（

）A．2 B． C．8 D．2．（23-24高一下·北京順義·期中）已知點A，點B，點P都在單位圓上，且，則的最大值是（

）A． B．3 C．1 D．23．（23-24高一下·福建泉州·期中）在中，，D為BC的中點，點P在斜邊BC的中線AD上，則的取值范圍為（）A． B． C． D．4．（23-24高一下·重慶·期末）如圖，已知正方形的邊長為2，若動點在以為直徑的半圓上（正方形內(nèi)部，含邊界），則的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．（23-24高一下·北京·階段練習(xí)）在直角梯形中，，，，點為梯形四條邊上的一個動點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（23-24高一下·重慶·期末）已知向量滿足，且向量在方向上的投影向量為．若動點C滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．7．（23-24高一下·湖北·期中）在中，點E，F(xiàn)分別是線段的中點，點在直線上，若的面積為4，則的最小值是（

）A．2 B． C．4 D．8．（23-24高一下·湖南張家界·期中）青花瓷（blue

and

white

porcelain），又稱白地青花瓷，常簡稱青花，是中國瓷器的主流品種之一，屬釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已見端倪，成熟的青花瓷則出現(xiàn)在元代景德鎮(zhèn)的湖田窯.圖一是一個由波濤紋和葡萄紋構(gòu)成的正六邊形青花瓷盤，已知圖二中正六邊形的邊長為，圓的圓心為正六邊形的中心，半徑為，若點在正六邊形的邊上運動，動點在圓上運動且關(guān)于圓心對稱，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．9．（23-24高一下·江蘇常州·階段練習(xí)）已知圖中正六邊形的邊長為4，圓O的圓心為正六邊形的中心，直徑為2，若點P在正六邊形的邊上運動，為圓O的直徑，則的取值范圍是（

）

A． B． C． D．10．（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）鍵線式可以簡潔直觀地描述有機物的結(jié)構(gòu)，在有機化學(xué)中極其重要，有機物萘可以用左圖所示的鍵線式表示，其結(jié)構(gòu)簡式可以抽象為右圖所示的圖形，已知與為全等的正六邊形，且，點P為線段（包括頂點）上的一點，則的取值范圍為（

）

A． B． C． D．1．（21-22高二上·浙江衢州·期末）已知點P在圓上，已知，，則的最小值為.2．（21-22高一下·浙江·期中）正方形ABCD的邊長為2，O是正方形ABCD的中心，過中心O的直線l與邊AB交于點M，與邊CD交于點N，P為平面內(nèi)一點，且滿足，則·的最小值為（）A． B． C． D．3．（21-22高一下·江西·期中）已知點是正六邊形內(nèi)部（包括邊界）一動點，，則的最大值為．4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知A，B，C，D是半徑為2的圓O上的四個動點，若，則的最大值為（

）A．6 B．12 C．24 D．3224．5．（23-24高一下·浙江·期中）已知中，，，若在平面內(nèi)一點滿足，則的最大值為6．（22-23高一下·湖北襄陽·期中）已知四邊形中，，點在四邊形的邊上運動，則的最小值是（

）A． B． C． D．-17．（2023高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在等腰直角三角形中，斜邊，為線段上的動點（包含端點），為的中點．將線段繞著點旋轉(zhuǎn)得到線段，則的最小值為（）

A． B．C． D．8．（23-24高三上·湖北襄陽·階段練習(xí)）已知的半徑為1，直線與相切于點，直線與交于兩點，為的中點，若，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．9．（2022·上海徐匯·模擬預(yù)測）已知圓半徑為是圓上不重合的點，則的最小值為.10．（22-23高一下·遼寧沈陽·階段練習(xí)）已知中，，，且的最小值為，若P為邊AB上任意一點，則的最小值是（

）A． B． C． D．第05講平面向量之極化恒等式（高階拓展、競賽適用）（2類核心考點精講精練）在向量的命題考查中，數(shù)量積的運算一直是熱點問題，一般情況下，我們掌握公式法、基底法、投影法和坐標(biāo)法來求解數(shù)量積，但有時會計算量繁瑣、解題時間較長。而本節(jié)要學(xué)的極化恒等式可以從另一角度來綜合解題。利用向量的極化恒等式可以快速對共起點(終點)的兩向量的數(shù)量積問題數(shù)量積進行轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了向量的幾何屬性，讓“秒殺”向量數(shù)量積問題成為一種可能，此恒等式的精妙之處在于建立了向量的數(shù)量積與幾何長度(數(shù)量)之間的橋梁，實現(xiàn)向量與幾何、代數(shù)的巧妙結(jié)合，對于不共起點和不共終點的問題可通過平移轉(zhuǎn)化法等價轉(zhuǎn)化為對共起點(終點)的兩向量的數(shù)量積問題，從而用極化恒等式解決，需大家強化學(xué)習(xí)。知識講解極化恒等式恒等式右邊有很直觀的幾何意義:向量的數(shù)量積可以表示為以這兩個向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的，恒等式的作用在于向量的線性運算與數(shù)量積之間的聯(lián)系如圖在平行四邊形中,則在上述圖形中設(shè)平行四邊形對角線交于點,則對于三角形來說:極化恒等式的適用條件共起點或共終點的兩向量的數(shù)量積問題可直接進行轉(zhuǎn)化(2)不共起點和不共終點的數(shù)量積問題可通過向量的平移，等價轉(zhuǎn)化為共起點或共終點的兩向量的數(shù)量積問題在確定求數(shù)量積的兩個向量共起點或共終點的情況下，極化恒等式的一般步驟如下第一步:取第三邊的中點，連接向量的起點與中點;第二步:利用極化恒等式公式，將數(shù)量積轉(zhuǎn)化為中線長與第三邊長的一半的平方差;第三步:利用平面幾何方法或用正余弦定理求中線及第三邊的長度，從而求出數(shù)量積如需進一步求數(shù)量積范圍，可以用點到直線的距離最小或用三角形兩邊之和大于等于第三邊，兩邊之差小于第三邊或用基本不等式等求得中線長的最值(范圍)。考點一、極化恒等式求值1．（全國·高考真題）設(shè)向量滿足，，則A．1 B．2 C．3 D．5【答案】A方法一：基本方法【詳解】試題分析：因為，所以………………①，又，所以…………②，②得，所以考點：1．向量模的定義及運算；2．向量的數(shù)量積．方法二：極化恒等式由極化恒等式可得：故選A．2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）正方形的邊長是2，是的中點，則（

）A． B．3 C． D．5【答案】B【分析】方法一：以為基底向量表示，再結(jié)合數(shù)量積的運算律運算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐標(biāo)運算求解；方法三：利用余弦定理求，進而根據(jù)數(shù)量積的定義運算求解.【詳解】方法一：以為基底向量，可知，則，所以；方法二：如圖，以為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，則，可得，所以；方法三：由題意可得：，在中，由余弦定理可得，所以.方法四：極化恒等式設(shè)CD中點為O點，由極化恒等式可得：故選：B.1．（江蘇·高考真題）如圖，在中，是的中點，是上的兩個三等分點，，，則的值是.

【答案】方法一【詳解】因為，，因此，【考點】向量數(shù)量積【名師點睛】研究向量的數(shù)量積，一般有兩個思路，一是建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)研究向量的數(shù)量積；二是利用一組基底表示所有向量，兩種思路實質(zhì)相同，但坐標(biāo)法更易理解和化簡.對于涉及中線的向量問題，一般利用向量加、減法的平行四邊形法則進行求解．方法二：極化恒等式因為是上的兩個三等分點,所以聯(lián)立解得:所以2.如圖,在中,已知,點分別在邊上,且,若為的中點,則的值為________解：取的中點,連接,則,在中,,3．（23-24高三下·湖南長沙·階段練習(xí)）向量的數(shù)量積可以表示為：以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的四分之一，即如圖所示，，我們稱為極化恒等式.已知在中，是中點，，，則（

）A． B．16 C． D．8【答案】A【分析】可以把三角形補形為平行四邊形，,利用已知條件求解即可.【詳解】由題設(shè)，可以補形為平行四邊形，由已知得．故選：A．4．（21-22高一下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）向量的數(shù)量積可以表示為：以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的四分之一.即如圖所示：，我們稱為極化恒等式.在△中，是中點，，，則（

）A．32 B．-32 C．16 D．-16【答案】D【分析】由題設(shè)有，代入極化恒等式求即可.【詳解】由題設(shè)，，，.故選：D考點二、極化恒等式求范圍1．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在中，．P為所在平面內(nèi)的動點，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D方法一【分析】依題意建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，表示出，，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示、輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；【詳解】解：依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，因為，所以在以為圓心，為半徑的圓上運動，設(shè)，，所以，，所以，其中，，因為，所以，即；方法二：極化恒等式記AB的中點為M，連接CM，則由極化恒等式可得：即故選：D2．如圖所示,正方形的邊長為分別在軸,軸的正半軸(含原點)上滑動,則的最大值是_________答案:2解:如圖,取的中點,的中點,連接,則（當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時等號成立.)由極化恒等式得2．（全國·高考真題）已知是邊長為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點，則的最小值是A． B． C． D．【答案】B方法一【分析】根據(jù)條件建立坐標(biāo)系，求出點的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)法結(jié)合向量數(shù)量積的公式進行計算即可．【詳解】建立如圖所示的坐標(biāo)系，以中點為坐標(biāo)原點，則，，，設(shè)，則，，，則當(dāng)，時，取得最小值，方法二：極化恒等式解：取的中點,連接,取的中點,連接,由是邊長為2的等邊三角形,為中線的中點,則：所以.故選：．如圖,在平面四邊形中,,則的最大值為____解：取的中點,連接,由,由四點共圓,且直徑為.則.所以.設(shè)銳角的面積為1,邊的中點分別為為線段上的動點,則的最小值為_______解：如圖所示,取的中點為點到的距離,由極化恒等式,,,則已知的斜邊,設(shè)是以為圓心,1為半徑的圓上任意一點,則的取值范圍是（）A.B.C.D.解：如圖所示,在Rt上,不妨取的中點,則.設(shè)圓的半徑為,而,則,,則,因此的取值范圍是.故選：C1．（23-24高一下·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，若動點P在以AB為直徑的半圓E（正方形ABCD內(nèi)部，含邊界），則的取值范圍為.【答案】【分析】先求得的取值范圍，再利用向量數(shù)量積的運算法則將所求轉(zhuǎn)化為，從而得解.【詳解】因為正方形的邊長為2，取的中點，連接，當(dāng)在點或點時，，當(dāng)在弧中點時，，所以的取值范圍為，因為，，所以，因為，所以，故，所以，即的取值范圍為.故答案為：.2．（2023·天津紅橋·二模）已知菱形ABCD的邊長為2，，點E在邊BC上，，若G為線段DC上的動點，則的最大值為（

）A．2 B．C． D．4【答案】B【分析】利用向量的數(shù)量積的定義及數(shù)量積的運算，結(jié)合向量的線性運算即可求解.【詳解】由題意可知，如圖所示

因為菱形ABCD的邊長為2，，所以,，設(shè)，則，因為，所以,,,當(dāng)時，的最大值為.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點睛：解決此題的關(guān)鍵是利用向量的線性運算求出，結(jié)合向量數(shù)量積定義和運算即可.3．（23-24高一下·北京昌平·期末）在矩形中，，，為矩形所在平面內(nèi)的動點，且，則的最大值是（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)條件得到，從而得到，又，結(jié)合圖形，得，即可求出結(jié)果.【詳解】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，中點為，因為，，所以,，，，得到，所以，又因為，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)（在的延長線上）三點共線時取等號，所以，故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點晴：設(shè)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，得到，再利用圓的幾何性質(zhì)，即可求解.4．（23-24高二下·浙江·期中）在△ABC中，BC＝2，，D為BC中點，在△ABC所在平面內(nèi)有一動點P滿足，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)化簡整理得出，由此將化簡，可得．根據(jù)且，得到點A在以BC為弦的優(yōu)弧上運動（不含端點），以B為原點建立直角坐標(biāo)系，求出所在圓的方程，設(shè)出點A的坐標(biāo)，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算法則與圓的性質(zhì)求出的最大值，進而得到答案．【詳解】由，得，即，所以．因為，，所以點A在以BC為弦的優(yōu)弧上運動（不含端點）．設(shè)所在圓的圓心為M，連接MB、MC、MD，則MD⊥BC，，可得，，．以B為原點，BC所在直線為x軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，可得，圓M的方程為，設(shè)，則，結(jié)合，可得，因為A點在圓M：上運動，所以，可得當(dāng)時，，達到最大值．綜上所述，當(dāng)時，有最大值．故選：D．【點睛】平面向量解決幾何最值問題，通常有兩種思路：①形化，即用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或取值范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進行求解；②數(shù)化，即利用平面向量的坐標(biāo)運算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域，不等式的解集，方程有解等問題，然后利用函數(shù)，不等式，方程的有關(guān)知識進行求解.5．（23-24高一下·湖南常德·期中）如圖，直線，點是，之間的一個定點，點到，的距離分別為和．點是直線上一個動點，過點作，點在線段上運動（包括端點）且，若的面積為．則的最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，設(shè)，根據(jù)三角形面積求得，設(shè)，利用平面向量的線性運算可得，結(jié)合和數(shù)量積的運算律和二次函數(shù)的性質(zhì)計算即可求解.【詳解】如圖，設(shè)，則，

所以，得，又，所以，得，解得，所以，故，，設(shè)，則，所以，則，當(dāng)時，取得最小值，且為.故選：B【點睛】方法點睛：本題考查平面向量與幾何的最值問題，該類問題常見的處理方法為：（1）基底法：通過基底的建立與表示進行求解；（2）坐標(biāo)法：通過平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合坐標(biāo)公式進行求解；（3）轉(zhuǎn)化法：通過平方關(guān)系的轉(zhuǎn)化求解平面向量問題.6．（2024·黑龍江牡丹江·模擬預(yù)測）已知是邊長為1的正六邊形邊上相異的三點，則的取值范圍是.【答案】【分析】一方面，而，，不重合，所以；另一方面，設(shè)中點為，那么，設(shè)在六邊形的端點上，同理不妨設(shè)在六邊形的端點上．分四種情況即可得，剩下的只需證明何時取等并且可以遍歷中的每一個數(shù)．【詳解】首先，，這里是最長的那條對角線的長度，等號取到當(dāng)且僅當(dāng)同向，且，而這意味著重合，矛盾.所以.另一方面，我們先舍棄互不重合的條件，然后證明：設(shè)中點為，那么，然后，設(shè)A所在的邊的端點為，則，（這是因為，記，其中為原點，確定的，那么是一次函數(shù)，從而t屬于時，有）所以我們可以不妨設(shè)A在六邊形的端點上.同理，我們可以不妨設(shè)C在六邊形的端點上.此時分以下四種情況：(1)重合，此時，(2)為相鄰頂點，此時，(3)相隔一個頂點，此時，(4)為對徑點，此時，綜上，，所以，即使去掉互不重合的條件，我們?nèi)杂?，這就說明，互不重合時，有，然后，取等條件如圖所示：具體說明如下：構(gòu)造一個到六邊形的函數(shù)（即從數(shù)映射到點），使得，并且只沿著最近的軌道，這樣在的情況下，互不重合同時設(shè)，那么，而連續(xù)，所以在的情況下，必定取遍，這就意味著，的取值范圍就是，所以的取值范圍是.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：對分以下四種情況：(1)重合，此時，(2)為相鄰頂點，此時，(3)相隔一個頂點，此時，(4)為對徑點，此時1．（23-24高二下·河北唐山·期末）已知圓的弦的中點為，點為圓上的動點，則的最大值為（

）A．2 B． C．8 D．【答案】D【分析】由題意，圓心，半徑為3，且和，再由，即可求解.【詳解】圓，圓心，半徑為3，如圖，

為弦的中點，，共線時等號成立，.故選:D.2．（23-24高一下·北京順義·期中）已知點A，點B，點P都在單位圓上，且，則的最大值是（

）A． B．3 C．1 D．2【答案】A【分析】設(shè)的中點為，得，，將化為，根據(jù)可得結(jié)果.【詳解】設(shè)的中點為，因為，，所以，，則，因為，所以，即的最大值是.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：設(shè)的中點為，將化為，是解決本題的關(guān)鍵.3．（23-24高一下·福建泉州·期中）在中，，D為BC的中點，點P在斜邊BC的中線AD上，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先將轉(zhuǎn)化成，再結(jié)合平方差公式和已知條件即可求解.【詳解】由題，所以由點P在斜邊BC的中線AD上得，故，故選：A.4．（23-24高一下·重慶·期末）如圖，已知正方形的邊長為2，若動點在以為直徑的半圓上（正方形內(nèi)部，含邊界），則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取中點，連接，求出的取值范圍，再根據(jù)結(jié)合數(shù)量積的運算律求解即可.【詳解】取中點，連接，因為是邊長為2的正方形，動點在以為直徑的半圓上，所以當(dāng)在點或點時，取得最大值，當(dāng)在弧中點時，取得最小值，的取值范圍為，又因為，，，所以，因為的取值范圍為，所以的取值范圍為，的取值范圍為，故選：B5．（23-24高一下·北京·階段練習(xí)）在直角梯形中，，，，點為梯形四條邊上的一個動點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題可以先證明一下極化恒等式，再使用，輕松解決此題.【詳解】如圖中，O為AB中點，（極化恒等式）共起點的數(shù)量積問題可以使用.如圖，取中點，則由極化恒等式知，，要求取值范圍，只需要求最大，最小即可.由圖，可知最大時，P在D點，即，此時，最小時，P在O點，即，此時.綜上所得，取值范圍為:.故選：D.6．（23-24高一下·重慶·期末）已知向量滿足，且向量在方向上的投影向量為．若動點C滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】應(yīng)用數(shù)形結(jié)合及極化恒等式，化，求解即可．【詳解】解：如圖，根據(jù)投影向量，，則，且，因為，所以點C在以O(shè)為圓心，半徑的圓上運動．設(shè)M是AB的中點，由極化恒等式得：，因為，此時，即的最小值為，故選：D．7．（23-24高一下·湖北·期中）在中，點E，F(xiàn)分別是線段的中點，點在直線上，若的面積為4，則的最小值是（

）A．2 B． C．4 D．【答案】C【分析】利用圖形將轉(zhuǎn)化成，代入即得，根據(jù)的面積為4得，利用進行放縮，由即得最小值.【詳解】如圖，分別過點，作于，于，取中點,連接.易得，因，，則，故①又的面積為4，因點E，F(xiàn)分別是線段的中點，易得,故的面積,即得，由圖知，,則由①可得：,當(dāng)且僅當(dāng)且時等號成立，即的最小值是4.故選：C.8．（23-24高一下·湖南張家界·期中）青花瓷（blue

and

white

porcelain），又稱白地青花瓷，常簡稱青花，是中國瓷器的主流品種之一，屬釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已見端倪，成熟的青花瓷則出現(xiàn)在元代景德鎮(zhèn)的湖田窯.圖一是一個由波濤紋和葡萄紋構(gòu)成的正六邊形青花瓷盤，已知圖二中正六邊形的邊長為，圓的圓心為正六邊形的中心，半徑為，若點在正六邊形的邊上運動，動點在圓上運動且關(guān)于圓心對稱，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】連接，則，利用向量數(shù)量積的運算律即可求解.【詳解】連接，如圖所示：則，根據(jù)圖形可知，當(dāng)點位于正六邊形各邊的中點時，有最小值為，此時，當(dāng)點位于正六邊形的頂點時，有最大值為2，此時，故，即的取值范圍是，故選：C9．（23-24高一下·江蘇常州·階段練習(xí)）已知圖中正六邊形的邊長為4，圓O的圓心為正六邊形的中心，直徑為2，若點P在正六邊形的邊上運動，為圓O的直徑，則的取值范圍是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，求得內(nèi)切圓和外接圓的半徑，再化簡得到，結(jié)合即可得解.【詳解】由正六邊形的邊長為4，圓的圓心為正六邊形的中心，半徑為1，所以正六邊形的內(nèi)切圓的半徑為，外接圓的半徑為，因為，又，即，可得，所以的取值范圍是.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵是，利用向量數(shù)量積的運算法則將轉(zhuǎn)化為，從而得解.10．（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）鍵線式可以簡潔直觀地描述有機物的結(jié)構(gòu)，在有機化學(xué)中極其重要，有機物萘可以用左圖所示的鍵線式表示，其結(jié)構(gòu)簡式可以抽象為右圖所示的圖形，已知與為全等的正六邊形，且，點P為線段（包括頂點）上的一點，則的取值范圍為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】取線段的中點，可得出，求出的最大值和最小值，即可得出的取值范圍.【詳解】取線段的中點，則，，由圖可知，當(dāng)點在線段上由點到的過程中，在逐漸增大，以線段的中點為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，線段的垂直平分線所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則、、、、、、，設(shè)點，當(dāng)點在線段上運動時，，，則，所以，；則的范圍為，即的取值范圍為.故選：C.1．（21-22高二上·浙江衢州·期末）已知點P在圓上，已知，，則的最小值為.【答案】【分析】推導(dǎo)出極化恒等式，即，結(jié)合最小值為，求出的最小值.【詳解】由題意，取線段AB的中點，則，，兩式分別平方得：①，②，①－②得：，因為圓心到距離為，所以最小值為，又，故最小值為：.故答案為：2．（21-22高一下·浙江·期中）正方形ABCD的邊長為2，O是正方形ABCD的中心，過中心O的直線l與邊AB交于點M，與邊CD交于點N，P為平面內(nèi)一點，且滿足，則·的最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，由得到為直線與的交點，再由極化恒等式·，由即可求解.【詳解】設(shè)，可得，故三點共線，又三點共線，故為直線與的交點.·，又，可得·，又，所以·.故選：D.3．（21-22高一下·江西·期中）已知點是正六邊形內(nèi)部（包括邊界）一動點，，則的最大值為．【答案】48【分析】通過分析圖形，將求解的最大值，轉(zhuǎn)化為求正六邊形內(nèi)部（包含邊界）一點到邊中點的距離的最大值，利用幾何意義解決問題【詳解】如圖，設(shè)的中點為，連接，則則．因為點為正六邊形內(nèi)部（包括邊界）一動點，所以當(dāng)點與點或點重合時，取得最大值;在中易知，所以最大值為．故答案為：48.4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知A，B，C，D是半徑為2的圓O上的四個動點，若，則的最大值為（

）A．6 B．12 C．24 D．32【答案】C【分析】利用極化恒等式進行轉(zhuǎn)化可求最大值.【詳解】如圖：分別取AB，CD的中點E，F(xiàn)，連接DE，CE，EF．又，所以由極化恒等式得，，所以．連接OE，OF，OA，OB，OC，OD，由，，得，所以E，F(xiàn)在以O(shè)為圓心，為半徑的圓上．所以EF的最大值為，所以的最大值為24．故選：【點睛】知識點點睛：極化恒等式：在中，若為中點，則.5．（23-24高一下·浙江·期中）已知中，，，若在平面內(nèi)一點滿足，則的最大值為【答案】【分析】設(shè)的中點為，則根據(jù)題意知為邊上的中線的靠近的7等分點，化簡得，利用余弦定理得，利用基本不等式可得，再利用，兩邊平方，化簡即可得到答案.【詳解】如圖，設(shè)的中點為，因為，所以，所以為邊上的中線的靠近的7等分點，所以，在，由余弦定理可得：，即，利用基本不等式可得：，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；因為為的中點，則，兩邊同時平方可得：，所以，即為等邊三角形時，，所以；故答案為：6．（22-23高一下·湖北襄陽·期中）已知四邊形中，，點在四邊形的邊上運動，則的最小值是（

）A． B． C． D．-1【答案