2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章統(tǒng)計案例1.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用練習(xí)含解析新人教A版選修1-2

PAGE1-1.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．下面是調(diào)查某地區(qū)男女中學(xué)生喜愛理科的等高條形圖，陰影部分表示喜愛理科的百分比，從圖中可以看出()A．性別與喜愛理科無關(guān)B．女生中喜愛理科的比為80%C．男生比女生喜愛理科的可能性大些D．男生不喜愛理科的比為60%解析：選C.由等高條形圖知：女生喜愛理科的比例為20%，男生不喜愛理科的比例為40%，因此，B、D不正確．從圖形中看出，男生比女生喜愛理科的可能性大些．2．在探討打鼾與患心臟病之間的關(guān)系中，通過收集數(shù)據(jù)、整理分析數(shù)據(jù)得到“打鼾與患心臟病有關(guān)”的結(jié)論，并且在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為這個結(jié)論是成立的．下列說法中正確的是()A．100個心臟病患者中至少有99人打鼾B．1個人患心臟病，則這個人有99%的概率打鼾C．100個心臟病患者中肯定有打鼾的人D．100個心臟病患者中可能一個打鼾的人都沒有解析：選D.這是獨立性檢驗，在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“打鼾與患心臟病有關(guān)”．這只是一個概率，即打鼾與患心臟病有關(guān)的可能性為99%.依據(jù)概率的意義可知答案應(yīng)選D.3．某高校數(shù)學(xué)學(xué)院學(xué)生會為了調(diào)查愛好羽毛球運動與性別是否有關(guān)，隨機詢問110名性別不同的高校生是否愛好羽毛球運動，得到如下的列聯(lián)表：男女總計愛好402060不愛好203050總計6050110經(jīng)計算，K2的觀測值k≈7.8.附表：P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828參照附表，得到的正確結(jié)論是()A．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好羽毛球運動與性別有關(guān)”B．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好羽毛球運動與性別無關(guān)”C．有99%以上的把握認(rèn)為“愛好羽毛球運動與性別有關(guān)”D．有99%以上的把握認(rèn)為“愛好羽毛球運動與性別無關(guān)”解析：選C.因為k≈7.8>6.635，但7.8<10.828，所以有99%以上的把握認(rèn)為“愛好羽毛球運動與性別有關(guān)”，故選C.4．通過隨機詢問100名小學(xué)生是否愛吃零食，得到如下的列聯(lián)表：男女總計愛吃104050不愛吃203050總計3070100則以下結(jié)論正確的為()A．在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，認(rèn)為愛吃零食與性別有關(guān)B．在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，認(rèn)為愛吃零食與性別無關(guān)C．有97.5%以上的把握認(rèn)為愛吃零食與性別有關(guān)D．有97.5%以上的把握認(rèn)為愛吃零食與性別無關(guān)解析：選A.因為k＝eq\f(100×（10×30－20×40）2,50×50×30×70)≈4.762>3.841，所以在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，認(rèn)為愛吃零食與性別有關(guān)．故選A.5．假設(shè)有兩個分類變量X與Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列聯(lián)表為：y1y2總計x1aba＋bx2cdc＋d總計a＋cb＋da＋b＋c＋d以下各組數(shù)據(jù)中，對于同一樣本能說明X與Y有關(guān)系的可能性最大的一組為()A．a(chǎn)＝5，b＝4，c＝3，d＝2B．a(chǎn)＝5，b＝3，c＝4，d＝2C．a(chǎn)＝2，b＝3，c＝4，d＝5D．a(chǎn)＝2，b＝3，c＝5，d＝4解析：選D.比較eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,a＋b)－\f(c,c＋d)))的大小，值越大，說明兩個分類變量關(guān)系性越強．選項A中，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(5,9)－\f(3,5)))＝eq\f(2,45)；選項B中，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(5,8)－\f(4,6)))＝eq\f(1,24)；選項C中，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)－\f(4,9)))＝eq\f(2,45)；選項D中，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)－\f(5,9)))＝eq\f(7,45).6．為了考察長頭發(fā)與女性頭暈是否有關(guān)系，隨機抽取了301名女性，得到如下列聯(lián)表，試依據(jù)表格中已有數(shù)據(jù)填空．常常頭暈很少頭暈總計長發(fā)35①121短發(fā)37143②總計72③④空格中的數(shù)據(jù)應(yīng)分別為①________；②________；③________；④________．解析：題表中最右側(cè)的總計是對應(yīng)的行上的兩個數(shù)據(jù)的和，由此可求出①和②；而題表中最下面的總計是對應(yīng)的列上兩個數(shù)據(jù)的和，由剛才的結(jié)果可求得③④.答案：861802293017．在一個2×2列聯(lián)表中，由其數(shù)據(jù)計算得K2的觀測值k＝7.097，則這兩個變量間有關(guān)系的可能性為__________．(填百分?jǐn)?shù))解析：因為7.097＞6.635，所以我們有99%的把握認(rèn)為這兩個變量有關(guān)系．答案：99%8．為了探究電離輻射的劑量與人體的受損程度是否有關(guān)，用兩種不同劑量的電離輻射照耀小白鼠，在照耀后14天內(nèi)的結(jié)果如表所示：死亡存活總計第一種劑量141125其次種劑量61925總計203050進(jìn)行統(tǒng)計分析時的統(tǒng)計假設(shè)是____________．解析：依據(jù)獨立性檢驗的基本思想，可知其類似反證法，即要確認(rèn)“兩個分類變量有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可信程度，首先假設(shè)結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論“兩個分類變量沒有關(guān)系”成立．對本題，進(jìn)行統(tǒng)計分析時的統(tǒng)計假設(shè)應(yīng)是“小白鼠的死亡與劑量無關(guān)”．答案：小白鼠的死亡與劑量無關(guān)9．在探討某種新措施對豬白痢的治療效果時，得到了以下數(shù)據(jù)：存活數(shù)死亡數(shù)總計用新措施13218150未用新措施11436150總計24654300試?yán)玫雀邨l形圖來推斷新措施對治療豬白痢是否有效．解：作出等高條形圖如圖所示．圖中兩個深色條的高分別表示用新措施和未用新措施樣本中死亡的頻率．由等高條形圖可以看出用新措施的組中的豬的死亡頻率明顯低于未用新措施的組中豬的死亡頻率，因此我們直觀上可以認(rèn)為新措施對治療豬白痢是有效的．10．某地發(fā)生核泄漏后，專家為檢測當(dāng)?shù)貏游锸懿煌瑥姸鹊暮溯椛浜髮ι眢w健康影響的差異，隨機選取了110只羊進(jìn)行檢測(假設(shè)這110只羊都受到了輻射)，其中身體健康的50只中有30只受到了嚴(yán)峻輻射，20只受到了稍微輻射，余下的60只身體不健康的羊中有50只受到了嚴(yán)峻輻射，10只受到了稍微輻射．(1)作出2×2列聯(lián)表；(2)推斷有多大把握認(rèn)為羊受到不同強度的核輻射對身體健康的影響有差異．解：(1)依題意，得2×2列聯(lián)表：嚴(yán)峻輻射稍微輻射總計身體健康302050身體不健康501060總計8030110(2)依據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到K2的觀測值k＝eq\f(110×（30×10－20×50）2,50×60×80×30)≈7.486.因為7.486>6.635，所以有99%以上的把握認(rèn)為羊受到不同強度的核輻射對身體健康的影響有差異．[B實力提升]11．春節(jié)期間，“厲行節(jié)約，反對奢侈”之風(fēng)悄然吹開，某市通過隨機詢問100名性別不同的居民是否能做到“光盤”行動，得到列聯(lián)表：分類做不到“光盤”能做到“光盤”男4510女3015由此列聯(lián)表得到的正確結(jié)論是()A．在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認(rèn)為“該市居民能否做到‘光盤’與性別有關(guān)”B．在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認(rèn)為“該市居民能否做到‘光盤’與性別無關(guān)”C．在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下，認(rèn)為“該市居民能否做到‘光盤’與性別有關(guān)”D．在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下，認(rèn)為“該市居民能否做到‘光盤’與性別無關(guān)”解析：選C.列出列聯(lián)表：分類做不到“光盤”能做到“光盤”總計男451055女301545總計7525100所以K2的觀測值k＝eq\f(100×（45×15－30×10）2,75×25×55×45)≈3.030，又3.030>2.706，且P(K2≥2.706)≈0.10，所以在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下，認(rèn)為該市居民能否做到“光盤”與性別有關(guān)．12．有兩個分類變量X，Y，其一組的列聯(lián)表如下所示：Y1Y2X1a20－aX215－a30＋a其中a，15－a均為大于5的整數(shù)，若在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為X，Y有關(guān)，則a的值為________．解析：依據(jù)公式，得K2的觀測值k＝eq\f(65×[a（30＋a）－（15－a）（20－a）]2,20×45×15×50)＝eq\f(13×（13a－60）2,20×45×3×2)＞3.841，依據(jù)a＞5且15－a＞5，a∈Z，求得a＝8，9滿意題意．答案：8或913．“中國式過公路”存在很大的交通平安隱患．某調(diào)查機構(gòu)為了了解路人對“中國式過公路”的看法是否與性別有關(guān)，從公路旁隨機抽取30名路人進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到了如下列聯(lián)表：男性女性總計反感10不反感8總計30已知從這30人中隨機抽取1人，抽到反感“中國式過公路”的路人的概率是eq\f(8,15).將上面的列聯(lián)表補充完整，并據(jù)此分析能否有95%以上的把握認(rèn)為對“中國式過公路”的看法與性別有關(guān)．解：補充完整的列聯(lián)表如下：男性女性總計反感10616不反感6814總計161430因為K2的觀測值k＝eq\f(30×（10×8－6×6）2,16×14×16×14)≈1.158<3.841，所以沒有95%以上的把握認(rèn)為對“中國式過公路”的看法與性別有關(guān)．14．(選做題)某地區(qū)甲校高二年級有1100人，乙校高二年級有900人，為了統(tǒng)計兩個學(xué)校高二年級在學(xué)業(yè)水平考試中的數(shù)學(xué)學(xué)科成果，采納分層抽樣的方法在兩校共抽取了200名學(xué)生的數(shù)學(xué)成果，如表：(已知本次測試合格線是50分，兩校合格率均為100%)甲校高二年級數(shù)學(xué)成果：分組[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]頻數(shù)10253530x乙校高二年級數(shù)學(xué)成果：分組[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]頻數(shù)153025y5(1)計算x，y的值，并分別估計以上兩所學(xué)校數(shù)學(xué)成果的平均分(精確到1分)；(2)若數(shù)學(xué)成果不低于80分為優(yōu)秀，低于80分為非優(yōu)秀，依據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表，并回答能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“兩個學(xué)校的數(shù)學(xué)成果有差異？”分類甲校乙?？傆媰?yōu)秀非優(yōu)秀總計解：(1)依題意，知在甲校應(yīng)抽取110人，在乙校應(yīng)抽取90人，所以x＝10，y＝15.甲校的平均分為eq\f(55×10＋65×25＋75×35＋85×30＋95×10,110)≈75.