第6章圖形的相似專題03相似三角形的性質(zhì)題型專練【含試卷答案】數(shù)學(xué)蘇科版九年級(jí)下冊

專題03

相似三角形的性質(zhì)（四大類型）【題型1相似三角形的性質(zhì)】【題型2相似三角形的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用】【題型3作圖-相似變換】【題型4射影定理】【題型1相似三角形的性質(zhì)】（2022秋?常州期末）1．如圖，，則的長是（）A． B． C．2 D．3（2023?隴南模擬）2．兩個(gè)相似三角形的相似比是，則其面積之比是（

）A． B． C． D．（2023?沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬）3．如圖，，若，則的長是（）

A．1 B．2 C．3 D．4（2022秋?鼓樓區(qū)期末）4．已知，若的三邊分別長為6，8，10，的面積為96，則的周長為．（2023?惠城區(qū)校級(jí)一模）5．若△ABC∽△DEF，△ABC的面積81，△DEF的面積是36，且AB=12cm，則DE=．（2022秋?于洪區(qū)期末）6．兩個(gè)相似三角形的周長比是，其中較小三角形的面積為，則較大三角形的面積為．（2022秋?雞西期末）7．如果兩個(gè)相似三角形的周長比為，那么這兩個(gè)三角形的面積比為．（2023?長寧區(qū)一模）8．如果兩個(gè)相似三角形的面積比是，那么它們的周長比是．（2022秋?內(nèi)鄉(xiāng)縣期末）9．如圖，已知?jiǎng)t．

（2022秋?零陵區(qū)期末）10．若，且，的面積為，則的面積為．【題型2相似三角形的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用】（2022秋?代縣期末）11．如圖，中，，，．E是上一點(diǎn)，，，垂足為D．求的長．（2023?灞橋區(qū)校級(jí)開學(xué)）12．如圖，在中，D、E、F分別是上的點(diǎn)，且，．

(1)當(dāng)，時(shí)，求的長；(2)求證：．（2022秋?泰興市期末）13．如圖，在中，是邊的延長線上一點(diǎn)，連接交邊于點(diǎn)，交對(duì)角線于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，求的值．（2023春?朝陽區(qū)校級(jí)期末）14．如圖，在和中，．

(1)求證：；(2)若，求的長．（2023春?倉山區(qū)校級(jí)期末）15．如圖，D、E分別是上的點(diǎn)，連接，且，若，，，求的長．（2022秋?內(nèi)江期末）16．如圖，已知中，，點(diǎn)D，E分別在邊上，．

(1)求證：；(2)若，求點(diǎn)E到的距離．（2023春?煙臺(tái)期末）17．如圖，在中，，高，正方形一邊在上，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在，上，交于點(diǎn)N，求的長．（2023?松原一模）18．如圖，在矩形中，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，于點(diǎn)F．(1)求證：．(2)已知，，求的長．【題型3作圖-相似變換】19．在中，，用直尺和圓規(guī)在AC上確定點(diǎn)D，使，如下四個(gè)尺規(guī)作圖，正確的是（

）．A．（作一個(gè)角的平分線） B．（作線段的垂直平分線）C．（作高） D．（作等腰三角形）20．如圖，在中，，請(qǐng)利用尺規(guī)作圖法，在邊上求作一點(diǎn)P，使得．（保留作圖痕跡，不寫作法）

21．在的網(wǎng)格中，格點(diǎn)的頂點(diǎn)都在邊長為1的小正方形的頂點(diǎn)上．(1)填空：的面積為___________．(2)請(qǐng)利用網(wǎng)格再畫一個(gè)格點(diǎn)，且面積最小，并將此三角形涂上陰影．（注：標(biāo)上字母）22．閱讀下列材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：黃金分割：兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯（Eudoxus，約前408年一前355年）發(fā)現(xiàn)：如圖1，將一條線段AB分割成長、短兩條線段AP、PB，若短段與長段的長度之比等于長段的長度與全長之比，即（此時(shí)線段AP叫做線段PB，AB的比例中項(xiàng)），則可得出這一比值等于（0.618…）．這種分割稱為黃金分割，這個(gè)比值稱為黃金比，點(diǎn)P叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)．采用如下方法可以得到黃金分割點(diǎn)：如圖2，設(shè)AB是已知線段，經(jīng)過點(diǎn)B作BD⊥AB于點(diǎn)B，且使BD＝AB，連接DA，在DA．上截取DE＝DB，在AB上截取AC＝AE，C就是線段AB的黃金分割點(diǎn)．任務(wù)：（1）求證：C是線段AB的黃金分割點(diǎn)．（2）若BD＝1，則BC的長為．23．（1）如圖1，在中，，請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)在上確定一點(diǎn)P，使得（保留作圖痕跡，不要求寫作法）

（2）在（1）的條件下，若，，則的長為；（3）在如圖2的正方形網(wǎng)格中，的三個(gè)頂點(diǎn)均為格點(diǎn)，請(qǐng)用無刻度的直尺，在邊上確定一點(diǎn)M，使得．（保留作圖痕跡，不要求寫作法）

【題型4射影定理】24．如圖，在中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．AB2＝BD?BC B．AC2＝DC?BC C．AD2＝BD?DC D．BC2＝AB?AC25．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，BE平分∠ABC交CD于F，EH⊥CD于H，則下列結(jié)論：①；②；③；④若F為BE中點(diǎn)，則AD=3BD，其中正確的結(jié)論有(

)

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)26．如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)，，均為格點(diǎn)，點(diǎn)，，均在以格點(diǎn)為圓心的圓上.（1）線段的長等于.（2）請(qǐng)你只用無刻度的直尺，在線段上畫點(diǎn)，使，并簡要說明點(diǎn)是如何找到的（不要求證明）27．如圖，在中，，于點(diǎn)D，，，則的長是．28．如圖，在中，，是邊上的高，，，則的長為．29．如圖，在中，，是斜邊上的高，，，求的長．30．如圖，中，是斜邊上的高，．(1)求證；(2)求的長．31．在中，，為邊上一點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)若為任意三角形，試問：在邊上（不包括、兩個(gè)頂點(diǎn)）是否仍存在一點(diǎn)，使，若存在，請(qǐng)加以證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．參考答案：1．C【分析】根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出等式，即可求解．【詳解】解：，，即，解得，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例．2．D【分析】直接利用相似三角形的性質(zhì)分析得出答案．【詳解】解：∵兩個(gè)相似三角形的相似比是，∴其面積之比是，故選：D【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，正確掌握相似三角形面積比等于相似比的平方是解題關(guān)鍵．3．B【分析】直接利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：，，即，解得：，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．48【分析】首先根據(jù)勾股定理的逆定理，可證得是直角三角形，即可求得的面積，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：的三邊分別長為6，8，10，，是直角三角形，的面積為：，設(shè)的周長為x，，，解得，故答案為：48．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握和運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．5．8cm【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的面積的比等于相似比的平方即可求解．【詳解】解：∵△ABC∽△DEF，∴，∵△ABC的面積81，△DEF的面積是36，且AB=12cm，∴，解得cm，故答案為：8cm【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，熟記相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．32【分析】根據(jù)相似三角形的周長之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方進(jìn)行求解即可【詳解】解：∵兩個(gè)相似三角形的周長比是，∴這兩個(gè)相似三角形的相似比是，∴這兩個(gè)相似三角形的面積比是，∵較小三角形的面積為，∴較大的三角形面積為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形的周長之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．7．【分析】根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方解答即可．【詳解】解：∵兩個(gè)相似三角形的周長比為，∴兩個(gè)相似三角形的相似比為，∴這兩個(gè)三角形的面積比為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．8．##【分析】根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得它們的相似比，又由相似三角形周長的比等于相似比，即可求得它們的周長比.【詳解】∵兩個(gè)相似三角形的面積比是，∴這兩個(gè)相似三角形的相似比是，∴它們的周長比是.故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的面積比、周長比與相似比之間的關(guān)系.9．6【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，列出比例式，即可求解．【詳解】解：∵∴，∴，即：，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式是關(guān)鍵．10．27【分析】根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比的平方，可以直接求出結(jié)果．【詳解】∵，，∴，即，解得：的面積為．故答案為：27．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的面積之比等于相似比的平方．11．4【分析】通過證明，可得，即可求解.【詳解】解：∵∴，∴，【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，證明是本題的關(guān)鍵．12．(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)平行線分線段成比例定理得到，由此即可得到答案；（2）分別證明，得到，，進(jìn)而得到，由此即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∴；（2）證明：∵，∴，∴，∵，∴∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟知平行線分線段成比例定理，相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵．13．(1)見解析(2)【分析】（1）由四邊形是平行四邊形得，.根據(jù)“兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似”得.（2）設(shè)，根據(jù)“相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例”列比例式得，則.同（1）證，根據(jù)“相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例”即可求出的值.【詳解】（1）四邊形是平行四邊形，，（2）四邊形是平行四邊形設(shè)由（1）得，四邊形是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì).熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.14．(1)見解析(2)【分析】（1）由，可得出，結(jié)合，可證出；（2）由，利用相似三角形的性質(zhì)可得出，結(jié)合，可求出的長．【詳解】（1）證明：，，，又，；（2）解：，，，.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”；（2）牢記“相似三角形面積的比等于相似比的平方”．15．24【分析】先證，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求解．【詳解】解：∵，，∴，∴．∵，，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法．16．(1)見解析(2)點(diǎn)E到的距離為【分析】（1）由，可得，由，可得，進(jìn)而可證；（2）如圖，過點(diǎn)E作于M，過點(diǎn)A作于H，過點(diǎn)D作DG⊥AB于G，由，可得，由勾股定理得，則，由，可得，由，可得，由，可得，即，計(jì)算求解即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，，∴，∵，，∴；（2）解：如圖，過點(diǎn)E作于M，過點(diǎn)A作于H，過點(diǎn)D作于G，

∵，∴，由勾股定理得，∴，又∵，∴，∵，∴，又∵，∴，即，解得，∴點(diǎn)E到的距離為．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，外角的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．17．2【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，先根據(jù)正方形的性質(zhì)設(shè)，并證明，根據(jù)題意得四邊形是矩形，可得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列式代入計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)正方形的邊長，∵四邊形是正方形，∴，，∴，∵是的高，∴，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴（相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高的比等于相似比），∵，，∴，∴，解得：，∴．18．(1)見解析(2)【分析】（1）由四邊形為矩形，，可得，即可證明結(jié)論；（2）E為的中點(diǎn)，根據(jù)勾股定理可得，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可列出比例式求得的長，進(jìn)而求得的長即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形為矩形，，∴，，∴，∴；（2）解：∵E為的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判斷與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．C【分析】當(dāng)是的垂線時(shí)，根據(jù)相似三角形的判定定理，即可得出，據(jù)此對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，即可得出答案．【詳解】解：當(dāng)是的垂線時(shí)，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，根據(jù)作圖痕跡可知：A、是的角平分線，不與垂直，故不符合題意；B、是的中線，不與垂直，故不符合題意；C、是的垂線，故符合題意；D、，不與垂直，故不符合題意．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖、相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定是解本題的關(guān)鍵．20．見解析【分析】根據(jù)，可以得到，要使得，只要，即，因此只需要作的垂直平分線與的交點(diǎn)即可得到答案．【詳解】如圖，作的垂直平分線交于點(diǎn)P，所以點(diǎn)P即為所求．分別以A、C為圓心，以大于長的一半為半徑畫弧，連接兩弧的交點(diǎn)交于P，連接即為所求．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖—線段的垂直平分線，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握線段垂直平分線的作圖方法．21．(1)4(2)見解析【分析】（1）用三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．（2）將的各邊縮小為原來的一半即可．【詳解】（1）解：（2）解：如下圖所示，即為所求【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積、相似三角形的三邊關(guān)系，熟練運(yùn)用相似三角形的三邊關(guān)系對(duì)原三角形進(jìn)行縮小變換是解決此題的關(guān)鍵．22．（1）見解析；（2）【分析】（1）在直角三角形△ABD中設(shè)則，利用勾股定理求出，再求出，即，則，即可得出結(jié)論；（2）若BD＝1，則，把AB代入到即可求出AC，進(jìn)而可求出BC．【詳解】解：（1）∵BD⊥AB，∴△ABD是直角三角形，∵BD＝AB，∴設(shè)則，∴，∵DE＝DB，AC＝AE，∴，∴∴，∴，故C是線段AB的黃金分割點(diǎn)．（2）若BD＝1，則，由（1）知，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查黃金分割、勾股定理等知識(shí)，解題關(guān)鍵是正確理解題意，掌握黃金分割的定義．23．（1）見解析；（2）；（3）見解析【分析】（1）以點(diǎn)C為頂點(diǎn)，作，點(diǎn)P在線段上，則點(diǎn)P即為所求；（2）利用得到，代入數(shù)值即可得到答案；（3）在網(wǎng)格中取連接交于點(diǎn)M，則M點(diǎn)即為所求．【詳解】（1）如圖，點(diǎn)P滿足要求，

∵，，∴（2）∵∴，∵，，∴，故答案為：（3）如圖，點(diǎn)M即為所求，

如圖，取連接交于點(diǎn)M，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴,∴點(diǎn)M滿足要求．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、基本作圖等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．D【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)A、B、C進(jìn)行判斷；利用等面積法對(duì)選項(xiàng)D進(jìn)行判斷．【詳解】解：如圖，∵∠B＝∠B，∠ADB＝∠CAB＝90°，∴△ADB∽△CAB，∴,即AB2＝BD?BC，同理可知，AC2＝DC?BC，AD2＝BD?DC，故選項(xiàng)A、B、C正確，不符合題意．AC?AB＝BC?AD，即BC?AD＝AB?AC．只有當(dāng)AD＝BC時(shí)BC2＝AB?AC才能成立，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行證明推理．25．D【分析】①證明△ACD∽△CBD即可作出判斷；②根據(jù)勾股定理即可得解；③作EM⊥AB，可證△BCE≌△BEM，從而得到為定值，依此即可作出判斷；④若F為BE中點(diǎn)，則CF=EF=BF，可得∠BCD=∠CBF=∠DBF=30°，再根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)即可作出判斷．【詳解】∵CD⊥AB，∴∠CDA=∠CDB，∠A+∠ACD=90°,∠CBD+∠BCD=90°，∵∠ACB=90°,∴∠ACD+∠BCD=90°,∴∠A=∠BCD∴△ACD∽△CBD∴∴故①正確；∵AC2-AD2=BC2-BD2=CD2，∴AC2+BD2=BC2+AD2，故②正確；作EM⊥AB，則BD+EH=BM，

∵BE平分∠ABC，△BCE≌△BEM，∴BC=BM=BD+EH，∴=1，故③正確；∵F為BE中點(diǎn)，∴BF=EF，∵BE是∠ABC的平分線，∴∠ABE=∠CBE，∴∠BFD=90°-∠DBF，∴∠CFE=90°-∠DBF，又∠CEF=∠A+∠ABE=90°-∠ABC+∠ABE=90°-∠ABE，∴∠CFE=∠CEF∴CE=CF∵F為BE中點(diǎn)∴CF=CE∴CF=EF=BF，∴∠BCD=∠CBF=∠DBF=30°，∠A=30°，∴AB=2BC=4BD，∴AD=3BD，故④正確．∴正確的結(jié)論有4個(gè).故選D．【點(diǎn)睛】考查了勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度中等．26．取格點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，點(diǎn)