2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)習(xí)題課三數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入北師大版選修2-2

PAGE1-習(xí)題課（三）數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入1．已知a，b∈R，i是虛數(shù)單位．若a＋i＝2－bi，則(a＋bi)2＝()A．3－4i B．3＋4iC．4－3i D．4＋3i解析：選A由a＋i＝2－bi可得a＝2，b＝－1，則(a＋bi)2＝(2－i)2＝3－4i.2．復(fù)數(shù)z滿意(－1＋i)z＝(1＋i)2，其中i為虛數(shù)單位，則在復(fù)平面上復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限解析：選Dz＝eq\f(1＋i2,－1＋i)＝eq\f(2i－1－i,－1＋i－1－i)＝eq\f(2i－1－i,2)＝1－i，故z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，－1)，位于第四象限．3．假如復(fù)數(shù)z＝eq\f(2,－1＋i)，則()A．|z|＝2 B．z的實(shí)部為1C．z的虛部為－1 D．z的共軛復(fù)數(shù)為1＋i解析：選C因?yàn)閦＝eq\f(2,－1＋i)＝eq\f(2－1－i,2)＝－1－i，所以|z|＝eq\r(2)，z的實(shí)部為－1，虛部為－1，共軛復(fù)數(shù)為－1＋i，因此選C.4．在復(fù)平面內(nèi)，向量eq\o(AB,\s\up7(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是2＋i，向量eq\o(CB,\s\up7(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是－1－3i，則向量eq\o(CA,\s\up7(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為()A．1－2i B．－1＋2iC．3＋4i D．－3－4i解析：選D∵eq\o(AB,\s\up7(→))對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)2＋i，eq\o(BC,\s\up7(→))對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)1＋3i，∴eq\o(AC,\s\up7(→))對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)(2＋i)＋(1＋3i)＝3＋4i，∴eq\o(CA,\s\up7(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是－3－4i.5．已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z＝eq\f(1－ai,1＋i)(a∈R)的實(shí)部為－3，則|z|＝()A.eq\r(10) B．2eq\r(3)C.eq\r(13) D．5解析：選D∵z＝eq\f(1－ai,1＋i)＝eq\f(1－ai1－i,1＋i1－i)＝eq\f(1－a－a＋1i,2)的實(shí)部為－3，∴eq\f(1－a,2)＝－3，解得a＝7.∴z＝－3－4i，則|z|＝5.故選D.6．設(shè)z是復(fù)數(shù)，則下列命題中的假命題是()A．若z2≥0，則z是實(shí)數(shù) B．若z2<0，則z是虛數(shù)C．若z是虛數(shù)，則z2≥0 D．若z是純虛數(shù)，則z2<0解析：選C設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，選項(xiàng)A，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi≥0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝0，,a2≥b2，))故b＝0或a，b都為0，即z為實(shí)數(shù)，正確．選項(xiàng)B，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi<0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝0，,a2<b2，))則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b≠0，))故z肯定為虛數(shù)，正確．選項(xiàng)C，若z為虛數(shù)，則b≠0，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，由于a的值不確定，故z2無法與0比較大小，錯(cuò)誤．選項(xiàng)D，若z為純虛數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b≠0，))則z2＝－b2<0，正確．7．復(fù)數(shù)z＝eq\f(3＋i,1＋2i)的共軛復(fù)數(shù)是________．解析：依題意得z＝eq\f(3＋i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(5－5i,5)＝1－i，因此z的共軛復(fù)數(shù)是1＋i.答案：1＋i8．設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)a－eq\f(10,3－i)(a∈R)是純虛數(shù)，則a的值為________．解析：復(fù)數(shù)a－eq\f(10,3－i)＝a－eq\f(103＋i,3－i3＋i)＝(a－3)－i為純虛數(shù)，則a－3＝0，即a＝3.答案：39．已知z，ω為復(fù)數(shù)，(1＋3i)z為純虛數(shù)，ω＝eq\f(z,2＋i)，且|ω|＝5eq\r(2)，則ω＝________.解析：由題意設(shè)(1＋3i)z＝ki(k≠0且k∈R)，則ω＝eq\f(ki,2＋i1＋3i).∵|ω|＝5eq\r(2)，∴k＝±50，故ω＝±(7－i)．答案：±(7－i)10．已知復(fù)數(shù)z＝(1－i)2＋1＋3i.(1)求|z|；(2)若z2＋az＋b＝eq\x\to(z)，求實(shí)數(shù)a，b的值．解：z＝(1－i)2＋1＋3i＝－2i＋1＋3i＝1＋i.(1)|z|＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2).(2)z2＋az＋b＝(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝2i＋a＋ai＋b＝a＋b＋(a＋2)i，∵eq\x\to(z)＝1－i，∴a＋b＋(a＋2)i＝1－i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝1，,a＋2＝－1，))∴a＝－3，b＝4.11．已知z＝eq\f(x－i,1－i)(x>0)，且復(fù)數(shù)ω＝z(z＋i)的實(shí)部減去它的虛部所得的差等于－eq\f(3,2)，求ω·eq\x\to(ω).解：ω＝z(z＋i)＝eq\f(x－i,1－i)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－i,1－i)＋i))＝eq\f(x－i,1－i)·eq\f(x＋1,1－i)＝eq\f(x＋1,2)＋eq\f(x2＋x,2)i.依據(jù)題意eq\f(x＋1,2)－eq\f(x2＋x,2)＝－eq\f(3,2)，得x2－1＝3.∵x>0，∴x＝2，∴ω＝eq\f(3,2)＋3i.∴ω·eq\x\to(ω)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)＋3i))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－3i))＝eq\f(45,4).12．已知等腰梯形OABC的頂點(diǎn)A，B在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1＋2i，－2＋6i，OA∥BC.求頂點(diǎn)C所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z.解：設(shè)z＝x＋yi，x，y∈R，如圖，因?yàn)镺A∥BC，|OC|＝|BA|，所以kOA＝kBC，|zC|＝|zB－zA|，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,1)＝\f(y－6,x＋2)，,\r(x