中考數(shù)學(xué)圖形的相似與位似試題

-、圖形的相似與位似選擇題

1.(2016?山東省濟(jì)寧市?3分)如圖，AB〃CD〃EF,AF與BE相交于點G,且AG=2,

GD=LDF=5,那么黑的值等于尚_.

CE—5-

【考點】平行線分線段成比例.

【分析】首先求出AD的長度，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理，列出比例式番喘口

可得到結(jié)論.

【解答】解：：AG=2,GD=1,

；.AD=3,

；AB〃CD〃EF,

?.?1BC1=■AD=_"3,

CEDF5

故答案為：

5

2.(2016?山東省東營市?3分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A(—3,6)、B(—9,

一3),以原點O為位似中心，相似比為/把AAB。縮小，則點A的對應(yīng)點4的坐標(biāo)是

()

A.(—1,2)B.(—9,18)

C.(—9,18)或(9,—18)D.(―1,2)或(1,—2)

【知識點】相似三角形——位似圖形、位似變換

【答案】D.

r

0A1.A'E

【解析】方法一：AB。和△A50關(guān)于原點位似，.ABOszXAb。且777=3

Cz/iJ-',AD~

^^^\.^.A!E—\AD—2,OE=^OD=\..".A'(—1,2).

同理可得A"(1,—2).

方法二：：點A(—3,6)且相似比為:，

.,.點A的對應(yīng)點4的坐標(biāo)是(一3x；,6x1),(-1,2).

?.?點A"和點4(一1,2)關(guān)于原點。對稱，

(1,—2).

故選擇D.

第8題答案圖

【點撥】每對對應(yīng)點的連線所在的直激都相交于一點的相似圖形叫做位似圖形.位似圖形

對應(yīng)點到位似中心的距離比等于位似比（相似比）；在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似圖形是

以原點為位似中心，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)比等于相似比.注意：本題中，AAB。以

原點。為位似中心的圖形有兩個，所以本題答案有兩解.

3.（2016?山東省東營市?3分）如圖，在矩形A8CO中，E是AZ）邊的中點，BE±AC,垂

足為點凡連接。尸，分析下列四個結(jié)論：①②C『=2AF；@DF=DC；

④tan/CAD=45.其中正確的結(jié)論有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

【知識點】特殊平行四邊形——矩形的性質(zhì)、相似三角形——相似三角形的判定與性質(zhì)、銳

角三角函數(shù)——銳角三角函數(shù)值的求法

【答案】B.

【解析】?.?矩形A8C。中，.............①正確；

4/7AJ71

■:MEFsXCAB,二無=訐=3，.'.CF=2AF......................②正確；

Cr￡>CZ

過點D作DHLAC于點”.易證4ABF^/\CDH(AAS).：.AF=CH.

?AF_AE

,:EF〃DH,.?麗=麗=1.???AF=FH.：.FH=CH.

???Q”垂直平分CF.：.DF=DC.③正確;

第10題答案圖

ApBF________l

設(shè)EF=1,則BF=2.?:.?.而=而.：.AF=yJEF^BF=4l^2=y[2.

sp、歷、歷

；：.......④錯誤.

.?.tan/ABFD=r,=Z4.ZCAD=NABF,.tanZCAD=tanZABF=Z\-

故選擇B.

【點撥】本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，圖形面積的計算，銳角三角函

數(shù)值的求法，正確的作出輔助線是解本題的關(guān)鍵.

4.（2016?重慶市A卷M分）△ABC與ADEF的相似比為1：4,則△ABC與△DEF的周長

比為（）

A.1：2B.1：3C.1：4D.I：16

【分析】由相似三角形周長的比等于相似比即可得出結(jié)果.

【解答】解：:△ABC與△DEF的相似比為1：4,

.二△ABC與4DEF的周長比為1：4；

故選：C.

【點評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)；熟記相似三角形周長的比等于相似比是解決問題的

關(guān)鍵.

5.（2016廣西南寧3分）有3個正方形如圖所示放置，陰影部分的面積依次記為，，S2,

則S|：S2等于（）

A.1：72B.1：2C.2：3D.4：9

【考點】正方形的性質(zhì).

【分析】設(shè)小正方形的邊長為X,再根據(jù)相似的性質(zhì)求出S|、S2與正方形面積的關(guān)系，然后

進(jìn)行計算即可得出答案.

【解答】解：設(shè)小正方形的邊長為X,根據(jù)圖形可得：

..EF_1

AC3

.1

,?c-----=9'

bADAC

.SiJ_

S正方形2SBCD181

S「jgS正方彩ABCD，

S1

24'

S21

S正方形ABO

??§2=^5正方形ABCD，

o

.12

??Se2=^-X,

o

：

,'S1S2%2：iX2=4：9;

故選D.

【點評】此題考查了正方形的性質(zhì)，用到的知識點是正方形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、正

方形的面積公式，關(guān)鍵是根據(jù)題意求出，、S2與正方形面積的關(guān)系.

6.（2016河北3分）如圖，△ABC中，NA=78。，AB=4,AC=6.將△4BC沿圖示中的虛線剪

開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（C）

第15題圖

解析：只要三個角相等，或者一角相等，兩邊成比例即可。C項不成比例。

知識點：相似三角形

7.（2016?內(nèi)蒙古包頭—3分）如圖，在四邊形ABCD中，AD〃BC,ZABC=90°,E是AB上

一點，且DEJ_CE.若AD=1,BC=2,CD=3,則CE與DE的數(shù)量關(guān)系正確的是（）

A.CE=A/3DEB.CEM^/^DEC.CE=3DED.CE=2DE

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；矩形的判定與性質(zhì).

【分析】過點D作DHLBC,利用勾股定理可得AB的長，利用相似三角形的判定定理可

得△ADEsaBEC,設(shè)BE=X,由相似三角形的性質(zhì)可解得x,易得CE,DE的關(guān)系.

【解答】解：過點D作DHLBC,

VAD=1,BC=2,

；.CH=1,

DH=AB=VcD2-CH^Vs2-

VAD/7BC,ZABC=90°,

???ZA=90°,

VDEICE,

/.ZAED+ZBEC=90°,

VZAED+ZADE=90°,

AZADE=ZBEC,

.,.△ADE^ABEC,

,AD_AE_DE

一而童

設(shè)BE=x,則AE=2&-x,

即；運二x,

X2

解得x=亞，

.AD_DE1

??瓦■二CE二亞'

??.CE=&DE，

故選B.

D

8.（2016?湖北隨州?3分）如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點，且DE〃AC,

AE、CD相交于點O,若SADOE：SACOA=1：25,則SABDE與顯CDE的比是（）

A.1：3B.1：4C.1：5D.1：25

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì).

【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理得到△DOEsaCOA,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)定理得

到怨=!，黑器斗，結(jié)合圖形得到察士，得到答案.

AC5BCAC5EC4

【解答】解：：DE〃AC,

，△DOEs△COA,又DOE：SACOA=1：25,

,DE_1

??，

AC5

VDE/7AC,

?BE_DE_1

?,武正V

..?BE=—1,

EC4

；?SABDE與SACDE的比是1：4，

故選：B.

9.（2016?江西?3分）如圖，在?正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均相等.網(wǎng)格中三個多

邊形（分別標(biāo)記為①，②，③）的頂點均在格點上.被一個多邊形覆蓋的網(wǎng)格線中，豎直部

分線段長度之和記為m,水平部分線段長度之和記為n,則這三個多邊形中滿足m=n的是

（）

A.只有②B.只有③C.②③D.①②③

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理.

【分析】利用相似三角形的判定和性質(zhì)分別求出各多邊形豎直部分線段長度之和與水平部分

線段長度之和，再比較即可.

【解答】解：假設(shè)每個小正方形的邊長為1,

①：m=l+2+1=4,n=2+4=6,

則m知;

②在AACN中，BM〃CN,

.BM_AM_1

","CN=AN2

.\BM=—,

2

在AAGF中，DM〃NE〃FG,

■柿_DM=1AN_NE上

**AG^FG^'AG^FG~^3

i110

.?.=2+-±-2.5,n=i+l+-±-+-^=2.5,

m2233

/.m=n；

③由②得：BE』CF=g,

m=2+2+^+l+4^=6,n=4+2=6,

..m=n,

則這三個多邊形中滿足m=n的是②和③;

故選C.

10.（2016?遼寧丹東?3分）如圖，在AABC中，AD和BE是高，NABE=45。，點F是AB

的中點,AD與FE、BE分別交于點G、H,NCBE=NBAD.有下列結(jié)論:①FD=FE；②AH=2CD；

③BOAD=&AE2；?SAABC=4SAADF.其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).

【分析】由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出FD=gAB,證明AABE是等腰直角三角形，

2

得出AE=BE,證出FE=LkB,延長FD=FE,①正確；

2

證出NABC=NC,得出AB=AC,由等腰三角形的性質(zhì)得出BC=2CD,

ZBAD=ZCAD=ZCBE,由ASA證明△AEH也ZXBEC,得出AH=BC=2CD,②正確；

證明AABD?ABCE,得出雙電，即BOAD=AB?BE,再由等腰直角三角形的性質(zhì)和三

ABAD

角形的面積得出BC?AD=V2AE2；③正確；

由F是AB的中點，BD=CD,得出SAABC=2SAABD=4SAADF.④正確；即可得出結(jié)論.

【解答】解：：在△ABC中，AD和BE是高，

ZADB=ZAEB=ZCEB=90°,

???點F是AB的中點，

.\FD=—AB,

2

VZABE=45O,

.?.△ABE是等腰直角三角形，

；.AE=BE,

:點F是AB的中點,

，F(xiàn)E」AB,

2

；.FD=FE,①正確;

VZCBE=ZBAD,ZCBE+ZC=90°,ZBAD+ZABC=90°,

ZABC=ZC,

；.AB=AC,

VAD±BC,

；.BC=2CD,ZBAD=ZCAD=ZCBE,

rZAEH=ZCEB

在△AEH和△BEC中，，AE=BE，

,ZEAH=ZCBE

A△AEHBEC(ASA),

；.AH=BC=2CD,②正確：

VZBAD=ZCBE,ZADB=ZCEB,

.".△ABD-ABCE,

.?.空"1,即BOAD=AB?BE,

ABAD

V2AE2=AB?AE=AB?BE,BOAD=AC?BE=AB?BE,

2

.,.BC?AD=A/2AE;③正確；

；F是AB的中點,BD=CD,

S△ABC=2S△ABD=4S△ADF.④正確；

故選：D.

11.（2016?遼寧丹東?3分）如圖，正方形ABCD邊長為3,連接AC,AE平分/CAD,交

BC的延長線于點E,FA1AE,交CB延長線于點F,則EF的長為6\sqrt{2}.

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì).

【分析】利用正方形的性質(zhì)和勾股定理可得AC的長，由角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可

得NCAE=NE,易得CE=CA,由FA_LAE,可得NFAC=NF,易得CF=AC,可得EF的長.

【解答】解：；四邊形ABCD為正方形，且邊長為3,

/.AC=3&,

YAE平分NCAD,

/CAE=/DAE,

：AD〃CE,

/DAE=/E,

/CAE=/E,

.".CE=CA=3-72>

VFA1AE,

AZFAC+ZCAE=90°,ZF+ZE=90°,

ZFAC=ZF,

；.CF=AC=3近,

EF=CF+CE=3&+35/2=65/2

故答案為：672.

12.（2016?四川內(nèi)江）一組正方形按如圖3所示的方式放置，其中頂點與在y軸上，頂點

G，Ei，E2,C2，E3,E4,C3...在無軸上，已知正方形4BC1D1的邊長為1,ZB1C1O=

60°,B\C\〃B2c2〃B3C3……則正方形A2OI6B2016c2。初2。16的邊長是（）

A.(1)2015B.(1)2016C.(爭2016口.(坐嚴(yán)5

［答案］D

［考點］三角形的相似，推理、猜想。

[解析]易知AB2c2E2sACQIEI，；.黑=舞=綽=tan30。.

C}D}C]E]Cg

：.B2C2=CyDvtan30°=.—坐.

2

同理，B3C3=C2D2-tan30°=(^)；

由此猜想5G=(W)"[

當(dāng)”=2016時,B2016c2016=(^^嚴(yán)5.

故選D.

13.（2016?四川南充）如圖，正五邊形的邊長為2,連結(jié)對角線AD,BE,CE,線段AD

分別與BE和CE相交于點M,N.給出下列結(jié)論：①/AME=108。；②AM=AMAD；③MN=3

；其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

-V5@SAEBC=2>/5-1.

A.I個B.2個C.3個D.4個

【分析】根據(jù)正五邊形的性質(zhì)得到NABE=NAEB=/EAD=36。，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可

得到結(jié)論；由于/AEN=108。-36。=72。，ZANE=36°+36O=72°,得到NAEN=/ANE,根據(jù)

AE_AM

等腰三角形的判定定理得到AE=AN,同理DE=DM,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到而不

等量代換得到AN2=AMAD；根據(jù)AE?=AMAD,歹U方程得至MN=3-遍在正五邊形ABCDE

事>1V（1+V5）2-I2

中，由于BE=CE=AD=1+，得至1JBH=2BC=1,根據(jù)勾股定理得至I」EH=

R5+2旄,根據(jù)三角形的面積得到結(jié)論.

【解答】解：VZBAE=ZAED=108°,

VAB=AE=DE,

JZABE=ZAEB=ZEAD=36°,

???ZAME=180°-ZEAM-ZAEM=108°,故①正確；

ZAEN=108°-36°=72°,ZANE=36°+36°=72°,

AZAEN=ZANE,

AAE=AN,

同理DE二DM,

AAE=DM,

,/ZEAD=ZAEM=ZADE=36°,

.".△AEM^AADE,

AE二AM

AD-AE,

.,.AE2=AMAD：

.-.AN2=AMAD；故②正確；

VAE-=AMAD,

.,,22=(2-MN)(4-MN),

；.MN=3-V5；故③正確；

在正五邊形ABCDE中，

VBE=CE=AD=I+V5,

1

；.BH=2BC=1,

...EH=7(1+V5)2-1^5+2^

1175+27575+2備

...SAEBC=2BCEH=2X2X=,故④錯誤;

故選c.

E

BH

【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正五邊形的性質(zhì)，熟練掌握正五

邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14.（2016?四川瀘州）如圖，矩形ABCD的邊長AD=3,AB=2,E為AB的中

點，F(xiàn)在邊BC上，且BF=2FC,AF分別與DE、DB相交于點M,N,則MN

的長為（）

人?等B.梁C.等D.等

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì).

【分析】過F作FHLAD于H,交ED于O,于是得到FH=AB=2,根據(jù)勾股

定理得到AF=7FH2+AH2=V22+22=2^2-根據(jù)平行線分線段成比例定理得到

11AMAE13.3,3>/2

OH=3AE=3，由相似三角形的性質(zhì)得到麗=而直=可，求得AM=?AF=一二，

-3

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到需備.求得AN咯AF=&2,即可得到結(jié)論.

rNDrzb5

【解答】解：過F作FHJ_AD于H,交ED于O,則FH=AB=2

VBF=2FC,BC=AD=3,

ABF=AH=2,FC=HD=1,

AF=^FH2+AH2=^22+22=2V2,

?；OH〃AE,

.HO__DH__1

"AEADT

，OH=5AE=g

33

15

，OF=FH-0H=2--i——,

33

YAE〃FO,

△AMESFMO,

AHAE12

???FI=F0T='5>

-3

?…3

..AM=—AF=—342-2=.,

84

；AD〃BF,

△ANDS/XFNB,

,AN_AD___3

??而而—5，

?AM-An-^V2

.?AN-"zrAF-,

55

/.MN=AN-AM=-^S-

5420

故選B.

15.（2016?黑龍江龍東?3分）如圖，在正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點，連

接AE,BF交于點G,將ABCF沿BF對折，得到△BPF,延長FP交BA延長線于點Q,

下列結(jié)論正確的個數(shù)是（）

4

①AE=BF；②AE_LBF；③sin/BQP=f④S四邊彩ECFG=2SABGE.

5

A.4B.3C.2D.1

【考點】四邊形綜合題.

【分析】首先證明AABE畛aBCF,再利用角的關(guān)系求得NBGE=90。，即可得至U①AE=BF；

②AEJ_BF；ZiBCF沿BF對折，得到△BPF,利用角的關(guān)系求出QF=QB,解出BP,QB,

根據(jù)正弦的定義即可求解；根據(jù)AA可證ABGE與ABCF相似，進(jìn)一步得到相似比，再根

據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：；E,F分別是正方形ABCD邊BC,CD的中點，

；.CF=BE,

在小ABEfHABCF中，

rAB=BC

-NABE=/BCF，

、BE=CF

Z.RtAABE^RtABCF(SAS),

.,.NBAE=NCBF,AE=BF,故①正確；

又?；NBAE+NBEA=90。，

/.ZCBF+ZBEA=90°,

ZBGE=90°,

AAE1BF,故②正確;

根據(jù)題意得，F(xiàn)P=FC,ZPFB=ZBFC,ZFPB=90°

???CD〃AB,

AZCFB=ZABF,

/.ZABF=ZPFB,

???QF=QB,

令PF=k(k>0),則PB=2k

在R3BPQ中，設(shè)QB=x,

x2=(x-k)2+4k2,

.,.x=5"k-,

2

RP4

sin=ZBQP二誣故③正確；

VZBGE=ZBCF,NGBE=NCBF,

/.△BGE^ABCF,

VBE=4-BC,BF=2^BC,

22

ABE：BF=1：遙，

???△BGE的面積：ZkBCF的面積=1：5,

=

***S四邊形ECFG4SABGE，故④錯誤.

故選：B.

二、填空題

1.（2016?山東省濱州市4分）如圖，矩形ABCD中，AB=，g,BC=退，點E在對角線

BD上，且BE=1.8,連接AE并延長交DC于點E則梟

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；鋪形的性質(zhì).

【分析】根據(jù)勾股定理求出BD,得到DE的長，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，代入

計算即可求出DF的長，求出CF,計算即可.

【解答】解：：四邊形ABCD是矩形,

.-.ZBAD=90°,XAB=V3.BC=通,

?,-BD"VAB2+AD2^3,

VBE=1.8,

；.DE=3-1.8=1.2,

；AB〃CD,

.DFDE,DF1.2

"IfBE,即Bl7TT?

解得,DF_A/3,

3

則CF=CD-DF3W

3

CFV31

CD=3=3,

73

故答案為：

【點評】本題考查的是矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握矩形的性質(zhì)定理和相似

三角形的判定定理、性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

2.（2016貴州畢節(jié)5分）在△ABC中，D為AB邊上一點，且/BCD=/A.已知BC=2&，

Q

AB=3,貝BD=三.

一3一

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì).

【分析】證明4DCB絲Z\CAB,得黑二空，由此即可解決問題.

BCAB

【解答】解：；NBCD=NA,NB=NB,

/.△DCB^ACAB,

.BDCB

*'BCAB'

._BD2V2

3

故答案為■!

3

3.（2016?廣西桂林-3分）如圖,在RSACB中，ZACB=90°,AC=BC=3rCD=1,CH1BD

于H,點O是AB中點，連接OH,則OH=之匹.

一5一

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形.

CH_CD

BC

【分析】在BD上截取BE=CH,連接CO,OE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到

求得CH=，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AO=OB=OC,

10

ZA=ZACO=ZBCO=ZABC=45°,等量代換得到NOCH=/ABD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)

得至lJOE=OH,/BOE=NHOC推出△HOE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)

即可得到結(jié)論.

【解答】解：在BD上截取BE=CH,連接CO,OE,

VZACB=90℃H±BD,

：AC=BC=3,CD=1,

...BD=7,

.,.△CDH^ABDC,

.CHCD

?>'一二.，

BCBD

ACH-1°，

「△ACB是等腰直角三角形，點。是AB中點,

AAO=OB=OC,ZA=ZACO=ZBCO=ZABC=45°,

AZOCH+ZDCH=45°,ZABD+ZDBC=45°,

VZDCH=ZCBD,.\ZOCH=ZABD,

'CH=BE

在△CHO與aBEO中，，ZHCO=ZEBO?

OC=OB

/.△CHO^ABEO,

AOE=OH,ZBOE=ZHOC,

VOC1BO,

JZEOH=90°,

即△HOE是等腰直角三角形，

.?FH—RDDHCH-VlOV103^103^/10

10105

3

；.OH=EHx返一,^,

25

故答案為：結(jié)?.

5

4.（2016?貴州安順-4分）如圖，矩形EFGH內(nèi)接于△ABC,且邊FG落在BC上，若AD±BC,

期W

BC=3,AD=2,EF=:EH,那么EH的長為2.

【分析】設(shè)EH=3x,表示出EF,由AD-EF表示出三角形AEH的邊EH上的高，根據(jù)三

角形AEH與三角形ABC相似，利用相似三角形對應(yīng)邊上的高之比等于相似比求出x的值,

即為EH的長.

【解答】解：如圖所示：

?.?四邊形EFGH是矩形，

；.EH〃BC,

.?.△AEH^AABC,

VAMXEH,AD1BC,

AM_EH

AD-BC,

設(shè)EH=3x,貝有EF=2x,AM=AD-EF=2-2x,

2-2x_3x

二.2~3,

1

解得：x=~2,

3_

則EH=2.

3.

故答案為：~2.

【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判

定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

5.（2016?湖北隨州S分）如圖（1）,PT與。Oi相切于點T,PAB與。Oi相交于A、B兩點,

可證明△PTA-APBT,從而有PT2=PA,PB.請應(yīng)用以上結(jié)論解決下列問題：如圖（2）,PAB、

PCD分別與。。2相交于A、B、C、D四點，已知PA=2,PB=7,PC=3,則CD=—.

一3-

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；切線的性質(zhì).

【分析】如圖2中，過點P作。O的切線PT,切點是T,根據(jù)PT2=PA?PB=PC?PD,求出

PD即可解決問題.

【解答】解：如圖2中，過點P作。O的切線PT,切點是T.

VPT2=PA?PB=PC?PD,

：PA=2,PB=7,PC=3,

，2x7=3xPD,

14

二PD=-

3

145.

；.CD=PD-PC=3-3=3.

6.（2016?湖北武漢?3分）如圖，在四邊形ABCD中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,CD

=10,DA=5后，則BD的長為.

【考點】相似三角形，勾股定理

【答案】2歷

【解析】連接AC,過點。作BC邊上的高，交BC延長線于點從在Rt/iABC中，AB=3,

BC=4,：.AC=5,又C￡>=10,D4=5石，可知△ACD為直角三角形，且NACD=90。，

易證AABCsZ\CHD,則CH=6,DH=8,；.BD=J（4+6>+8?=2歷.

7.（2016?黑龍江龍東-3分）已知：在平行四邊形ABCD中，點E在直線AD上，AE《AD,

連接CE交BD于點F,則EF：FC的值是馬蝮.

一3一3一

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì).

【分析】分兩種情況：①當(dāng)點E在線段AD上時，由四邊形ABCD是平行四邊形，可證得

△EFD^ACFB,求出DE：BC=2：3,即可求得EF：FC的值；

②當(dāng)當(dāng)點E在射線DA上時，同①得：AEFD^ACFB,求出DE：BC=4：3,即可求得EF：

FC的值.

【解答】解：VAE^AD,

分兩種情況：

①當(dāng)點E在線段AD上時，如圖1所示

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AD〃BC,AD=BC,

/.△EFD^ACFB,

AEF：FC=DE：BC,

：AE」AD,

3

DE=2AE=—AD=-=BC,

33

ADE：BC=2：3,

.,.EF：FC=2：3；

②當(dāng)點E在線段DA的延長線上時，如圖2所示：

同①得：ZiEFDsZXCFB,

AEF：FC=DE：BC,

?.?AE《AD,

44

，DE=4AE/AD=NBC,

33

ADE：BC=4：3,

AEF：FC=4：3；

綜上所述：EF：FC的值是告或《；

33

故答案為：/■或卷.

33

8.（2016?黑龍江齊齊哈爾?3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形AOCB的兩邊OA、

OC分別在x軸和y軸上，且OA=2,OC=1.在第二象限內(nèi)，將矩形AOCB以原點O為位

似中心放大為原來的"I倍，得到矩形AQGB”再將矩形AQGBi以原點O為位似中心放

大盤倍，得到矩形A20c2B2…，以此類推，得到的矩形AnOCnBn的對角線交點的坐標(biāo)為（-

3n3\

242向一,

【考點】位似變換；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；矩形的性質(zhì).

【分析】根據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k,那么

位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于k或-k,即可求得&的坐標(biāo)，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)即可求

得對角線交點的坐標(biāo).

【解答】解：???在第二象限內(nèi)，將矩形AOCB以原點0為位似中心放大為原來的日倍，

矩形AQCIBI與矩形AOCB是位似圖形，點B與點B(是對應(yīng)點，

；0A=2,OC=1.

:點B的坐標(biāo)為(-2,1),

/.點Bi的坐標(biāo)為(-2xW,1x2),

22

???將矩形AQCIBI以原點O為位似中心放大W倍，得到矩形A20c2B2…,

2

Bi(-2x—x—,lx—x"),

■2222

on?n

Bn(-2x1,lx---),

2n2n

11

??,矩形AOCB的對角線交點-2x^-x^,lx^-x^)

nnn2n22n2

故答案為木券)?

三、解答題

1.(2016.湖北武漢.10分)在AABC中，P為邊A8上一點.

(1)如圖1,若求證：AC2=APAB.

(2)若M為CP的中點，AC=2,

①如圖2,若NP8W=NACP,A8=3,求BP的長;

②如圖3,若NABC=45。，NA=NBMP=60。，直接寫出8P的長.

【考點】相似形綜合，考查相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形中位線性質(zhì)，

勾股定理。

【答案】(1)證AACPSAABC即可；(2)①3P=石；②5-1

【解析】⑴證明：?.,NACP=/B,ZBAC^ZCAP,：./\ACP^ABC,：.AC：AB=AP：

AC,.".Ad^APAB；

(2)①如圖，作CQ〃8M交A8延長線于。，設(shè)8P=x,MPrQ=2x

2

VZPBM^ZACP,ZPAC^ZCAQ,：.AAPC^AACg,由4c2=APAQ得：2=(3~x)

(3+x),/.X=y/5

即BP=y[s;

②如圖：作CQLAB于點Q,作CPo=CP交AB于點A,

VAC=2,：.AQ=\,CQ=BQ=V3,

設(shè)尸oQ=PQ=l-x,BP=G—1+X,

,：ZBPM=ZCP()A,NBMP=NCAPo,.,.△AP0C^AMPB,外=空，

MPBP

2()2+(1)2

：.MP-PaC=-f^C=^~^=APaBP=x-1+x),解得

22

.??BP=V3-1+V7-V3=V7-1.

2.（2016?遼寧丹東?12分）如圖①，△ABC與4CDE是等腰直角三角形，直角邊AC、CD

在同一條直線上，點M、N分別是斜邊AB、DE的中點，點P為AD的中點，連接AE、

BD.

（1）猜想PM與PN的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系，請直接寫出結(jié)論；

（2）現(xiàn)將圖①中的ACDE繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)a（0。<（1<90。），得到圖②，AE與MP、

BD分別交于點G、H.請判斷（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說

明理由；

（3）若圖②中的等腰直角三角形變成直角三角形，使BC=kAC,CD=kCE,如圖③，寫出

PM與PN的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

DD

圖①圖②圖③

【考點】相似形綜合題.

【分析】(1)由等腰直角三角形的性質(zhì)易證△ACEgABCD,由此可得AE=BD,再根據(jù)三

角形中位線定理即可得到PM=PN,由平行線的性質(zhì)可得PM1PN；

(2)(1)中的結(jié)論仍舊成立，由(1)中的證明思路即可證明；

(3)PM=kPN,由已知條件可證明△BCDs^ACE,所以可得BD=kAE,因為點P、M、N

分別為AD、AB、DE的中點，所以PM」BD,PN=—AE,進(jìn)而可證明PM=kPN.

22

【解答】解：

(1)PM=PN,PM1PN,理由如下：

VAACBfllAECD是等腰直角三角形，

；.AC=BC,EC=CD,ZACB=ZECD=90°.

在^ACE和4BCD中

rAC=BC

<ZACB=ZECD=90°，

,CE=CD

.".△ACE^ABCD(SAS),

；.AE=BD,ZEAC=ZCBD,

?.?點M、N分別是斜邊AB、DE的中點，點P為AD的中點，

BD,PN=—AE,

22

；.PM=PM,

VZNPD=ZEAC,ZMPN=ZBDC,ZEAC+ZBDC=90°,

.,.ZMPA+ZNPC=90°,

???ZMPN=90°,

即PM±PN；

(2)VAACB和^ECD是等腰直角三角形，

AAC=BC,EC=CD,

ZACB=ZECD=90°.

JNACB+NBCE=NECD+NBCE.

.\ZACE=ZBCD.

AAACE^ABCD.

/.AE=BD,ZCAE=ZCBD.

XVZAOC=ZBOE,

ZCAE=ZCBD,

AZBHO=ZACO=90°.

??,點P、M、N分別為AD、AB、DE的中點,

???PM=ZD,PM〃BD；

2

PN=A-AE,PN〃AE.

2

/.PM=PN.

.\ZMGE+ZBHA=180°.

???ZMGE=90°.

???/MPN=90。.

APM1PN.

(3)PM=kPN

VAACB和^ECD是直角三角形，

/.ZACB=ZECD=90°.

???NACB+NBCE=NECD+NBCE.

/.ZACE=ZBCD.

VBC=kAC,CD=kCE,

?.B?C二CD一二,一K.

ACCE

.,.△BCD^AACE.

；.BD=kAE.

?.?點P、M、N分別為AD、AB、DE的中點，

/.PM=—BD,PN=—AE.

22

PM=kPN.

3.(2016?四川瀘州)如圖，4ABC內(nèi)接于OO,BD為(DO的直徑，BD與AC

相交于點H,AC的延長線與過點B的直線相交于點E,且NA=NEBC.

(1)求證：BE是。。的切線；

(2)已知CG〃EB,且CG與BD、BA分別相交于點F、G,若BG?BA=48,

FG=料，DF=2BF,求AH的值.

【考點】圓的綜合題；三角形的外接圓與外心；切線的判定.

【分析】(1)欲證明BE是。。的切線，只要證明/EBD=90。.

(2)由AABCs/\CBG,得BC-AB求出BC,再由ABFCs^BCD,得

BGBC

BC2=BF?BD求出BF,CF,CG,GB,再通過計算發(fā)現(xiàn)CG=AG,進(jìn)而可以證

明CH=CB,求出AC即可解決問題.

【解答】(1)證明：連接CD,

VBD是直徑，

NBCD=90°,即/D+/CBD=90°,

VZA=ZD,ZA=ZEBC,

，ZCBD+ZEBC=90°,

ABEIBD,

ABE是。O切線.

(2)解：VCG/7EB,

二/BCG=NEBC,

NA=NBCG,

ZCBG=ZABC

，AABC^ACBG,

二兇.一純,g|jBC?=BG?BA=48,

BGBC

BC=473.

：CG〃EB,

ACFIBD,

△BFCs/XBCD,

ABC2=BF?BD,

；DF=2BF,

ABF=4,

在RTABCF中，CF=^BC2_pB2=4y[2,

，CG=CF+FG=5血，

在RTABFG中，BGWBJ^+FG=&

VBG?BA=48,

???BA=8及即AG=5g,

，CG=AG,

AZA=ZACG=ZBCG,ZCFH=ZCFB=90°,

，ZCHF=ZCBF,

，CH=CB=475，

VAABC^ACBG,

,.A,C——BC,

CGBG

??.AC=^=迎

CG3

AH=AC-CH=^^.

4.(2016?四川內(nèi)江)(12分)如圖15,已知拋物線C：y=Xi-3x+m,直線/：y=kx(k>0),

當(dāng)上=1時，拋物線C與直線/只有一個公共點.

(1)求〃？的值；

⑵若直線/與拋物線C交于不同的兩點A,B,直線/與直線小y=~3x+h交于點尸，且與

+1,知求b的值;

OB

(3)在(2)的條件下，設(shè)直線6與y軸交于點Q,問：是否存在實數(shù)人使SAAP2=SABPQ，若存

在，求&的值；若不存在，說明理由.

［考點］二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，三角形的相似，推理論證的能力。

解：（1）...當(dāng)％=1時，拋物線C與直線/只有一個公共點,

.??方程組［y=x--3x+根，有且只有一組解.....................................2分

y=x

消去y,得f—以+〃?=0,所以此一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根.

.,.△=0,即（一4尸一4〃?=0.

工m=4..........................................................................................................................................4分

（2）如圖，分別過點A,P,3作y軸的垂線，垂足依次為CD,E,

則△OACs△0尸￡）,.=絲.

OAAC

同理,OP_PD

~OB~~RE

..1,1_2.OP上OP_個

?????I乙

OAOBOPOAOB

?PD.PD

,*AC+B￡-2

???志+羨=盍'即要兼=盍

........................................................................5分

解方程組;六十1=用即陸磊?..........................................................6分

y=l（x

由方程組1消去y,得f—伏+3）x+4=0.

y=x2-3x+4

'.'AC,8E是以上一元二次方程的兩根，

；.AC+BE=k+3,ACBE=4.7分

?女+32

IT'

k+3

解得匕=8....................................................................................................................................8分

(3)不存在.理由如下：.......................................................9分

假設(shè)存在，則當(dāng)SA“Q=SABP2時有AP=P8,

于是PD~AC=PE-PD,即AC+BE=2PD.

由(2)可知AC+8E=&+3,PO=丁

k+3

：.k+3=2x-^~,即優(yōu)+3猿=16.

k+3

解得《=1(舍去k=-7)..........................................................................................................11分

當(dāng)k=l時，A,B兩點重合，AQAB不存在.

???不存在實數(shù)人使SAAPQ=5A........................................................................................12分

5.(2016?四川南充)已知正方形ABCD的邊長為1,點P為正方形內(nèi)一動點，若點M在

AB上，且滿足△PBCs/XPAM,延長BP交AD于點N,連結(jié)CM.

(1)如圖一，若點M在線段AB上，求證：AP±BN；AM=AN；

(2)①如圖二，在點P運動過程中，滿足△PBCsaPAM的點M在AB的延長線上時,

AP_LBN和AM=AN是否成立？(不需說明理由)

1

②是否存在滿足條件的點P，使得PC=受?請說明