《線性代數(shù)矩陣?yán)碚摗氛n件

《線性代數(shù)矩陣?yán)碚摗繁菊n件旨在系統(tǒng)地介紹線性代數(shù)中矩陣?yán)碚摰暮诵母拍?、方法及其?yīng)用。矩陣作為線性代數(shù)的重要組成部分，不僅是解決線性方程組的有效工具，也在現(xiàn)代科學(xué)的諸多領(lǐng)域，如機(jī)器學(xué)習(xí)、圖像處理、工程計(jì)算等，發(fā)揮著不可替代的作用。通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，期望學(xué)生能夠掌握矩陣的基本運(yùn)算、特征值與特征向量、二次型、矩陣分解等理論，并能運(yùn)用這些理論解決實(shí)際問(wèn)題。課程簡(jiǎn)介：線性代數(shù)的重要性線性代數(shù)是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，它研究向量、向量空間（或稱(chēng)線性空間）、線性變換以及有限維的線性方程組。它廣泛應(yīng)用于科學(xué)和工程的各個(gè)領(lǐng)域，包括物理學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和工程學(xué)。線性代數(shù)提供了一種強(qiáng)大的框架，用于建模和解決各種實(shí)際問(wèn)題。矩陣作為線性代數(shù)的核心概念之一，在線性變換、方程組求解、數(shù)據(jù)處理等方面扮演著關(guān)鍵角色。掌握線性代數(shù)對(duì)于理解和應(yīng)用現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)至關(guān)重要。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)線性代數(shù)是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，為后續(xù)學(xué)習(xí)提供支持。應(yīng)用廣泛在計(jì)算機(jī)科學(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。解決問(wèn)題提供解決實(shí)際問(wèn)題的強(qiáng)大工具和框架。矩陣的概念和定義矩陣是由m×n個(gè)數(shù)排列成的矩形陣列，其中m是行數(shù)，n是列數(shù)。這些數(shù)可以是實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)或其他數(shù)學(xué)對(duì)象。矩陣通常用大寫(xiě)字母表示，例如A、B等。矩陣的元素用aij表示，其中i是行索引，j是列索引。矩陣的概念起源于線性方程組的求解，經(jīng)過(guò)多年的發(fā)展，矩陣已經(jīng)成為線性代數(shù)乃至整個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的重要工具。通過(guò)矩陣，我們可以更簡(jiǎn)潔地表示線性方程組、線性變換等，并利用矩陣的運(yùn)算來(lái)解決相關(guān)問(wèn)題。矩形陣列由m×n個(gè)數(shù)排列而成。元素矩陣中的每個(gè)數(shù)稱(chēng)為元素，用aij表示。行和列m表示行數(shù)，n表示列數(shù)。矩陣的表示方法矩陣的表示方法有多種，常見(jiàn)的包括：用大寫(xiě)字母表示整個(gè)矩陣，例如A；用方括號(hào)將矩陣的元素括起來(lái)；用下標(biāo)表示矩陣的元素，例如aij表示矩陣A的第i行第j列的元素。此外，還可以使用矩陣的緊湊表示，例如A=(aij)m×n。在實(shí)際應(yīng)用中，選擇合適的表示方法可以更清晰地表達(dá)矩陣的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)，方便進(jìn)行后續(xù)的計(jì)算和推導(dǎo)。不同的軟件工具和編程語(yǔ)言也提供了不同的矩陣表示方式，例如NumPy中的數(shù)組。大寫(xiě)字母用A,B,C等大寫(xiě)字母表示整個(gè)矩陣。方括號(hào)用方括號(hào)[]將矩陣的元素括起來(lái)。下標(biāo)用aij表示矩陣A的第i行第j列的元素。矩陣的特殊類(lèi)型：方陣、零矩陣、單位矩陣在眾多的矩陣類(lèi)型中，方陣、零矩陣和單位矩陣是三個(gè)非常重要的特殊類(lèi)型。方陣是指行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣，即m=n。零矩陣是指所有元素都為零的矩陣。單位矩陣是一個(gè)特殊的方陣，其主對(duì)角線上的元素都為1，其余元素都為0。這三種特殊類(lèi)型的矩陣在矩陣運(yùn)算和線性代數(shù)的理論中都扮演著重要的角色，例如，單位矩陣是矩陣乘法的單位元素，零矩陣是加法的單位元素。1方陣行數(shù)和列數(shù)相等(m=n)的矩陣。2零矩陣所有元素都為零的矩陣。3單位矩陣主對(duì)角線元素為1，其余元素為0的方陣。矩陣的加法運(yùn)算矩陣的加法運(yùn)算是指將兩個(gè)相同維度的矩陣對(duì)應(yīng)位置的元素相加。只有當(dāng)兩個(gè)矩陣的行數(shù)和列數(shù)都相等時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算。加法運(yùn)算滿(mǎn)足交換律和結(jié)合律。矩陣加法在處理線性系統(tǒng)時(shí)非常有用，可以將多個(gè)線性變換的結(jié)果疊加起來(lái)。例如，在圖像處理中，可以將兩個(gè)圖像的像素值相加，從而實(shí)現(xiàn)圖像的疊加效果。矩陣加法是構(gòu)建更復(fù)雜矩陣運(yùn)算的基礎(chǔ)。相同維度只有行數(shù)和列數(shù)都相等的矩陣才能相加。對(duì)應(yīng)元素相加將兩個(gè)矩陣對(duì)應(yīng)位置的元素相加。交換律和結(jié)合律滿(mǎn)足交換律和結(jié)合律。矩陣的數(shù)乘運(yùn)算矩陣的數(shù)乘運(yùn)算是指將一個(gè)數(shù)（標(biāo)量）與矩陣的每個(gè)元素相乘。數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果仍然是一個(gè)矩陣，其維度與原矩陣相同。數(shù)乘運(yùn)算滿(mǎn)足結(jié)合律和分配律。矩陣數(shù)乘在調(diào)整矩陣的規(guī)?；驒?quán)重時(shí)非常有用。例如，在機(jī)器學(xué)習(xí)中，可以使用數(shù)乘來(lái)調(diào)整特征的重要性。數(shù)乘運(yùn)算與矩陣加法一起，構(gòu)成了線性代數(shù)中的基本線性運(yùn)算，是后續(xù)進(jìn)行更復(fù)雜矩陣運(yùn)算的基礎(chǔ)。1標(biāo)量乘法將一個(gè)數(shù)與矩陣的每個(gè)元素相乘。2維度不變數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果矩陣維度與原矩陣相同。3結(jié)合律和分配律滿(mǎn)足結(jié)合律和分配律。矩陣乘法的定義和性質(zhì)矩陣乘法是指將一個(gè)矩陣的行向量與另一個(gè)矩陣的列向量進(jìn)行內(nèi)積運(yùn)算。只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，才能進(jìn)行乘法運(yùn)算。矩陣乘法的結(jié)果是一個(gè)新的矩陣，其行數(shù)等于第一個(gè)矩陣的行數(shù)，列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的列數(shù)。矩陣乘法滿(mǎn)足結(jié)合律，但不滿(mǎn)足交換律。矩陣乘法在描述線性變換的組合時(shí)非常有用，是線性代數(shù)中最重要的運(yùn)算之一。行向量與列向量將一個(gè)矩陣的行向量與另一個(gè)矩陣的列向量進(jìn)行內(nèi)積運(yùn)算。維度要求只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，才能進(jìn)行乘法運(yùn)算。結(jié)合律滿(mǎn)足結(jié)合律，但不滿(mǎn)足交換律。矩陣乘法的應(yīng)用實(shí)例矩陣乘法在各個(gè)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。例如，在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，可以使用矩陣乘法來(lái)表示旋轉(zhuǎn)、縮放和平移等變換，從而實(shí)現(xiàn)三維物體的渲染。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，可以使用矩陣乘法來(lái)分析投入產(chǎn)出模型，預(yù)測(cè)經(jīng)濟(jì)發(fā)展趨勢(shì)。在機(jī)器學(xué)習(xí)中，可以使用矩陣乘法來(lái)進(jìn)行特征提取、模型訓(xùn)練等任務(wù)。通過(guò)矩陣乘法，我們可以將復(fù)雜的計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)化為一系列的矩陣運(yùn)算，從而提高計(jì)算效率和可讀性。1計(jì)算機(jī)圖形學(xué)表示旋轉(zhuǎn)、縮放和平移等變換。2經(jīng)濟(jì)學(xué)分析投入產(chǎn)出模型，預(yù)測(cè)經(jīng)濟(jì)發(fā)展趨勢(shì)。3機(jī)器學(xué)習(xí)進(jìn)行特征提取、模型訓(xùn)練等任務(wù)。矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算是指將矩陣的行和列互換。如果矩陣A的維度是m×n，那么其轉(zhuǎn)置矩陣AT的維度就是n×m。轉(zhuǎn)置運(yùn)算滿(mǎn)足一些重要的性質(zhì)，例如(AT)T=A，(A+B)T=AT+BT，(kA)T=kAT，(AB)T=BTAT。轉(zhuǎn)置運(yùn)算在處理對(duì)稱(chēng)矩陣、求解線性方程組等方面都有重要的應(yīng)用。例如，在最小二乘法中，需要使用矩陣的轉(zhuǎn)置來(lái)構(gòu)建正規(guī)方程組。行和列互換1AT2性質(zhì)3共軛轉(zhuǎn)置共軛轉(zhuǎn)置是指對(duì)矩陣進(jìn)行轉(zhuǎn)置操作后再對(duì)每個(gè)元素取共軛。對(duì)于實(shí)數(shù)矩陣，共軛轉(zhuǎn)置就是轉(zhuǎn)置。對(duì)于復(fù)數(shù)矩陣，共軛轉(zhuǎn)置會(huì)將每個(gè)元素的虛部取反。共軛轉(zhuǎn)置通常用A*或AH表示。共軛轉(zhuǎn)置在量子力學(xué)、信號(hào)處理等領(lǐng)域有重要的應(yīng)用。例如，在量子力學(xué)中，厄米矩陣（共軛轉(zhuǎn)置等于自身的矩陣）對(duì)應(yīng)于可觀測(cè)的物理量。1轉(zhuǎn)置+共軛先轉(zhuǎn)置，再對(duì)每個(gè)元素取共軛。2A*或AH共軛轉(zhuǎn)置的表示符號(hào)。3復(fù)數(shù)矩陣虛部取反。逆矩陣的定義對(duì)于一個(gè)n階方陣A，如果存在一個(gè)n階方陣B，使得AB=BA=I，其中I是n階單位矩陣，那么B就被稱(chēng)為A的逆矩陣，記作A-1。不是所有的矩陣都存在逆矩陣。只有滿(mǎn)秩的方陣（即可逆矩陣）才存在逆矩陣。逆矩陣在求解線性方程組、矩陣分解等方面都有重要的應(yīng)用。例如，如果A是可逆矩陣，那么線性方程組Ax=b的解就可以表示為x=A-1b。1AB=BA=I定義2方陣n階3A-1記作逆矩陣的性質(zhì)逆矩陣具有許多重要的性質(zhì)，包括：(A-1)-1=A，(AB)-1=B-1A-1，(AT)-1=(A-1)T，(kA)-1=(1/k)A-1，其中k是非零常數(shù)。這些性質(zhì)在矩陣運(yùn)算和線性代數(shù)的理論推導(dǎo)中都非常有用。通過(guò)這些性質(zhì)，我們可以簡(jiǎn)化復(fù)雜的矩陣運(yùn)算，快速求解逆矩陣，并深入理解逆矩陣的本質(zhì)。逆矩陣是線性代數(shù)中的一個(gè)重要概念，掌握其性質(zhì)對(duì)于解決實(shí)際問(wèn)題至關(guān)重要。性質(zhì)1(A-1)-1=A性質(zhì)2(AB)-1=B-1A-1性質(zhì)3(AT)-1=(A-1)T性質(zhì)4(kA)-1=(1/k)A-1逆矩陣的求法：高斯消元法高斯消元法是一種常用的求解逆矩陣的方法。其基本思想是通過(guò)初等行變換將矩陣A轉(zhuǎn)化為單位矩陣I，同時(shí)對(duì)單位矩陣I進(jìn)行同樣的初等行變換，得到的矩陣就是A的逆矩陣A-1。高斯消元法的步驟包括：構(gòu)造增廣矩陣[A|I]，進(jìn)行初等行變換，將A轉(zhuǎn)化為I，最終得到[I|A-1]。高斯消元法不僅可以用于求解逆矩陣，還可以用于求解線性方程組、矩陣的秩等問(wèn)題。構(gòu)造增廣矩陣[A|I]初等行變換將A轉(zhuǎn)化為I得到逆矩陣[I|A-1]初等矩陣的定義初等矩陣是指由單位矩陣經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣。初等變換包括：交換兩行、用一個(gè)非零常數(shù)乘以某一行、將某一行的倍數(shù)加到另一行。初等矩陣可以分為三種類(lèi)型，分別對(duì)應(yīng)于這三種初等變換。初等矩陣在矩陣變換、求解逆矩陣等方面都有重要的應(yīng)用。例如，任何一個(gè)可逆矩陣都可以表示成一系列初等矩陣的乘積。1單位矩陣由單位矩陣經(jīng)過(guò)一次初等變換得到。2初等變換交換兩行、用一個(gè)非零常數(shù)乘以某一行、將某一行的倍數(shù)加到另一行。3三種類(lèi)型對(duì)應(yīng)于三種初等變換。初等矩陣與矩陣變換初等矩陣與矩陣變換密切相關(guān)。用初等矩陣左乘一個(gè)矩陣，相當(dāng)于對(duì)該矩陣進(jìn)行相應(yīng)的初等行變換；用初等矩陣右乘一個(gè)矩陣，相當(dāng)于對(duì)該矩陣進(jìn)行相應(yīng)的初等列變換。通過(guò)初等矩陣，我們可以將復(fù)雜的矩陣變換分解為一系列的初等變換，從而簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。初等矩陣是研究矩陣變換的重要工具，也是求解線性方程組、矩陣的秩等問(wèn)題的基礎(chǔ)。左乘初等行變換1初等矩陣2右乘初等列變換3矩陣的秩的定義矩陣的秩是指矩陣中線性無(wú)關(guān)的行向量（或列向量）的最大個(gè)數(shù)。矩陣的秩是一個(gè)重要的數(shù)值特征，它可以反映矩陣的退化程度，以及矩陣所代表的線性變換的性質(zhì)。對(duì)于m×n的矩陣A，其秩r滿(mǎn)足0≤r≤min(m,n)。滿(mǎn)秩矩陣是指秩等于行數(shù)或列數(shù)的矩陣，非滿(mǎn)秩矩陣也稱(chēng)為降秩矩陣。矩陣的秩在求解線性方程組、判斷矩陣是否可逆等方面都有重要的應(yīng)用。1線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)的行向量（或列向量）的最大個(gè)數(shù)。2數(shù)值特征反映矩陣的退化程度。30≤r≤min(m,n)秩r的取值范圍。矩陣秩的性質(zhì)矩陣的秩具有許多重要的性質(zhì)，包括：r(A)=r(AT)，r(A+B)≤r(A)+r(B)，r(AB)≤min(r(A),r(B))，如果A是可逆矩陣，那么r(AB)=r(B)。這些性質(zhì)在矩陣運(yùn)算和線性代數(shù)的理論推導(dǎo)中都非常有用。通過(guò)這些性質(zhì)，我們可以簡(jiǎn)化復(fù)雜的矩陣運(yùn)算，快速判斷矩陣的秩，并深入理解矩陣秩的本質(zhì)。矩陣的秩是線性代數(shù)中的一個(gè)重要概念，掌握其性質(zhì)對(duì)于解決實(shí)際問(wèn)題至關(guān)重要。性質(zhì)1r(A)=r(AT)性質(zhì)2r(A+B)≤r(A)+r(B)性質(zhì)3r(AB)≤min(r(A),r(B))性質(zhì)4如果A是可逆矩陣，那么r(AB)=r(B)利用初等變換求矩陣的秩利用初等變換可以方便地求矩陣的秩。其基本思想是通過(guò)初等行變換將矩陣A轉(zhuǎn)化為階梯形矩陣，階梯形矩陣中非零行的個(gè)數(shù)就是A的秩。初等變換不改變矩陣的秩。求矩陣的秩的步驟包括：進(jìn)行初等行變換，將矩陣轉(zhuǎn)化為階梯形矩陣，統(tǒng)計(jì)非零行的個(gè)數(shù)。利用初等變換求矩陣的秩是一種常用的方法，它不僅簡(jiǎn)單易懂，而且計(jì)算效率高。初等行變換將矩陣A轉(zhuǎn)化為階梯形矩陣。階梯形矩陣階梯形矩陣中非零行的個(gè)數(shù)就是A的秩。秩不變初等變換不改變矩陣的秩。線性方程組的定義線性方程組是由若干個(gè)線性方程組成的方程組。每個(gè)線性方程都包含若干個(gè)未知數(shù)，每個(gè)未知數(shù)的系數(shù)都是常數(shù)。線性方程組可以用矩陣的形式表示為Ax=b，其中A是系數(shù)矩陣，x是未知數(shù)向量，b是常數(shù)向量。線性方程組的求解是線性代數(shù)中的一個(gè)重要問(wèn)題，它在各個(gè)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。線性方程組的解可以分為三種情況：有唯一解、有無(wú)窮多個(gè)解、無(wú)解。1線性方程由若干個(gè)線性方程組成。2Ax=b矩陣表示形式。3解的三種情況有唯一解、有無(wú)窮多個(gè)解、無(wú)解。線性方程組的解的結(jié)構(gòu)線性方程組的解的結(jié)構(gòu)取決于系數(shù)矩陣A的秩和增廣矩陣[A|b]的秩。如果r(A)=r([A|b])=n，其中n是未知數(shù)的個(gè)數(shù)，那么線性方程組有唯一解。如果r(A)=r([A|b])<n，那么線性方程組有無(wú)窮多個(gè)解。如果r(A)<r([A|b])，那么線性方程組無(wú)解。掌握線性方程組的解的結(jié)構(gòu)對(duì)于求解線性方程組、判斷線性方程組是否有解至關(guān)重要。1234唯一解r(A)=r([A|b])=n解的結(jié)構(gòu)無(wú)窮多解r(A)=r([A|b])<n無(wú)解r(A)<r([A|b])齊次線性方程組的解齊次線性方程組是指常數(shù)向量b=0的線性方程組，即Ax=0。齊次線性方程組的解稱(chēng)為齊次解。齊次線性方程組總是有解，要么有唯一解（零解），要么有無(wú)窮多個(gè)解。如果r(A)=n，那么齊次線性方程組只有零解。如果r(A)<n，那么齊次線性方程組有無(wú)窮多個(gè)解，且其解空間的維度為n-r(A)。齊次線性方程組的解空間是線性代數(shù)中的一個(gè)重要概念，它描述了齊次線性方程組所有解的集合。1Ax=0齊次線性方程組的定義。2總是齊次線性方程組總是有解。3解空間描述了齊次線性方程組所有解的集合。非齊次線性方程組的解非齊次線性方程組是指常數(shù)向量b≠0的線性方程組，即Ax=b。非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)比齊次線性方程組復(fù)雜。非齊次線性方程組可能有唯一解、有無(wú)窮多個(gè)解、或者無(wú)解。如果r(A)<r([A|b])，那么非齊次線性方程組無(wú)解。如果r(A)=r([A|b])=n，那么非齊次線性方程組有唯一解。如果r(A)=r([A|b])<n，那么非齊次線性方程組有無(wú)窮多個(gè)解，且其通解可以表示為一個(gè)特解加上齊次線性方程組的通解。Ax=b(b≠0)非齊次線性方程組的定義。解的結(jié)構(gòu)比齊次線性方程組復(fù)雜。通解特解加上齊次線性方程組的通解。克拉默法則克拉默法則是求解線性方程組的一種方法，它利用行列式來(lái)表示線性方程組的解。克拉默法則只適用于系數(shù)矩陣A是可逆矩陣的線性方程組，即det(A)≠0?？死▌t的公式為xi=det(Ai)/det(A)，其中Ai是將A的第i列替換為常數(shù)向量b得到的矩陣?？死▌t雖然理論上很漂亮，但在實(shí)際計(jì)算中，當(dāng)n較大時(shí)，計(jì)算行列式的計(jì)算量很大，因此效率不高。高斯消元法是更常用的求解線性方程組的方法。1xi=det(Ai)/det(A)克拉默法則公式。2行列式利用行列式來(lái)表示線性方程組的解。3det(A)≠0適用條件。高斯消元法解線性方程組高斯消元法是一種常用的求解線性方程組的方法。其基本思想是通過(guò)初等行變換將增廣矩陣[A|b]轉(zhuǎn)化為階梯形矩陣，然后通過(guò)回代求解未知數(shù)。高斯消元法的步驟包括：構(gòu)造增廣矩陣[A|b]，進(jìn)行初等行變換，將A轉(zhuǎn)化為階梯形矩陣，回代求解未知數(shù)。高斯消元法不僅可以用于求解線性方程組，還可以用于求解逆矩陣、矩陣的秩等問(wèn)題。高斯消元法是一種通用的求解線性方程組的方法，適用于各種類(lèi)型的線性方程組。構(gòu)造增廣矩陣[A|b]初等行變換將A轉(zhuǎn)化為階梯形矩陣回代求解未知數(shù)矩陣的特征值與特征向量對(duì)于n階方陣A，如果存在一個(gè)數(shù)λ和一個(gè)非零向量x，使得Ax=λx，那么λ就被稱(chēng)為A的一個(gè)特征值，x就被稱(chēng)為A對(duì)應(yīng)于特征值λ的一個(gè)特征向量。特征值和特征向量是線性代數(shù)中的重要概念，它們反映了矩陣所代表的線性變換的本質(zhì)特征。特征值和特征向量在振動(dòng)分析、量子力學(xué)、圖像處理等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。例如，在振動(dòng)分析中，特征值對(duì)應(yīng)于振動(dòng)的頻率，特征向量對(duì)應(yīng)于振動(dòng)的模式。1Ax=λx特征值和特征向量的定義。2λ特征值。3x特征向量。特征值的性質(zhì)特征值具有許多重要的性質(zhì)，包括：A的所有特征值的和等于A的跡（主對(duì)角線元素的和），A的所有特征值的積等于A的行列式，如果λ是A的特征值，那么λk是Ak的特征值，A的特征值是其特征多項(xiàng)式的根。這些性質(zhì)在矩陣運(yùn)算和線性代數(shù)的理論推導(dǎo)中都非常有用。通過(guò)這些性質(zhì)，我們可以簡(jiǎn)化復(fù)雜的矩陣運(yùn)算，快速判斷矩陣的特征值，并深入理解特征值的本質(zhì)。特征值是線性代數(shù)中的一個(gè)重要概念，掌握其性質(zhì)對(duì)于解決實(shí)際問(wèn)題至關(guān)重要。性質(zhì)1A的所有特征值的和等于A的跡性質(zhì)2A的所有特征值的積等于A的行列式性質(zhì)3如果λ是A的特征值，那么λk是Ak的特征值性質(zhì)4A的特征值是其特征多項(xiàng)式的根特征向量的性質(zhì)特征向量具有許多重要的性質(zhì)，包括：對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān)，特征向量乘以一個(gè)非零常數(shù)仍然是特征向量，如果A是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，那么對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量正交。這些性質(zhì)在矩陣運(yùn)算和線性代數(shù)的理論推導(dǎo)中都非常有用。通過(guò)這些性質(zhì)，我們可以簡(jiǎn)化復(fù)雜的矩陣運(yùn)算，快速判斷矩陣的特征向量，并深入理解特征向量的本質(zhì)。特征向量是線性代數(shù)中的一個(gè)重要概念，掌握其性質(zhì)對(duì)于解決實(shí)際問(wèn)題至關(guān)重要。123線性無(wú)關(guān)對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān)。性質(zhì)正交如果A是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，那么對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量正交。特征多項(xiàng)式對(duì)于n階方陣A，其特征多項(xiàng)式是指det(λI-A)，其中λ是一個(gè)變量，I是n階單位矩陣。特征多項(xiàng)式是一個(gè)n次多項(xiàng)式，其根就是A的特征值。通過(guò)特征多項(xiàng)式，我們可以方便地求出矩陣的特征值。特征多項(xiàng)式是線性代數(shù)中的一個(gè)重要概念，它將矩陣的特征值與多項(xiàng)式聯(lián)系起來(lái)，為研究矩陣的性質(zhì)提供了新的工具。特征多項(xiàng)式在矩陣對(duì)角化、求解微分方程等方面都有重要的應(yīng)用。1det(λI-A)特征多項(xiàng)式的定義。2n次多項(xiàng)式特征多項(xiàng)式是一個(gè)n次多項(xiàng)式。3根特征多項(xiàng)式的根就是A的特征值。Cayley-Hamilton定理Cayley-Hamilton定理指出，任何一個(gè)n階方陣A都滿(mǎn)足其自身的特征方程，即p(A)=0，其中p(λ)是A的特征多項(xiàng)式。Cayley-Hamilton定理是線性代數(shù)中的一個(gè)重要定理，它將矩陣與多項(xiàng)式聯(lián)系起來(lái)，為研究矩陣的性質(zhì)提供了新的工具。Cayley-Hamilton定理在計(jì)算矩陣的高次冪、求解逆矩陣等方面都有重要的應(yīng)用。例如，通過(guò)Cayley-Hamilton定理，我們可以將A的高次冪表示成A的低次冪的線性組合。p(A)=0Cayley-Hamilton定理的公式。特征方程A滿(mǎn)足其自身的特征方程。多項(xiàng)式將矩陣與多項(xiàng)式聯(lián)系起來(lái)。矩陣的相似變換對(duì)于n階方陣A和B，如果存在一個(gè)可逆矩陣P，使得B=P-1AP，那么A和B就被稱(chēng)為相似矩陣。相似矩陣具有許多相同的性質(zhì)，包括相同的特征值、相同的行列式、相同的秩。矩陣的相似變換是線性代數(shù)中的一個(gè)重要概念，它可以將一個(gè)矩陣轉(zhuǎn)化為另一個(gè)更簡(jiǎn)單的矩陣，從而方便研究其性質(zhì)。矩陣的對(duì)角化就是一種特殊的相似變換，它可以將一個(gè)矩陣轉(zhuǎn)化為對(duì)角矩陣。1B=P-1AP相似矩陣的定義。2P可逆矩陣。3性質(zhì)相同特征值、行列式、秩相同。相似矩陣的性質(zhì)相似矩陣具有許多重要的性質(zhì)，包括：相似矩陣具有相同的特征值，相似矩陣具有相同的行列式，相似矩陣具有相同的秩，相似矩陣具有相同的跡（主對(duì)角線元素的和）。這些性質(zhì)在矩陣運(yùn)算和線性代數(shù)的理論推導(dǎo)中都非常有用。通過(guò)這些性質(zhì)，我們可以簡(jiǎn)化復(fù)雜的矩陣運(yùn)算，快速判斷矩陣是否相似，并深入理解相似矩陣的本質(zhì)。相似矩陣是線性代數(shù)中的一個(gè)重要概念，掌握其性質(zhì)對(duì)于解決實(shí)際問(wèn)題至關(guān)重要。性質(zhì)1相似矩陣具有相同的特征值性質(zhì)2相似矩陣具有相同的行列式性質(zhì)3相似矩陣具有相同的秩性質(zhì)4相似矩陣具有相同的跡矩陣的對(duì)角化矩陣的對(duì)角化是指將一個(gè)矩陣通過(guò)相似變換轉(zhuǎn)化為對(duì)角矩陣。如果存在一個(gè)可逆矩陣P，使得P-1AP=Λ，其中Λ是對(duì)角矩陣，那么A就被稱(chēng)為可對(duì)角化矩陣。矩陣的對(duì)角化是線性代數(shù)中的一個(gè)重要問(wèn)題，它可以將一個(gè)復(fù)雜的矩陣轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡(jiǎn)單的對(duì)角矩陣，從而方便研究其性質(zhì)。矩陣的對(duì)角化在求解微分方程、計(jì)算矩陣的高次冪等方面都有重要的應(yīng)用。P-1AP=Λ對(duì)角化的定義。1對(duì)角矩陣2Λ其中Λ是對(duì)角矩陣3可對(duì)角化矩陣的條件一個(gè)n階方陣A可對(duì)角化的條件是：A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。如果A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，那么就可以找到一個(gè)可逆矩陣P，使得P-1AP=Λ，其中Λ是對(duì)角矩陣，其對(duì)角線上的元素就是A的特征值。如果A的特征值互不相同，那么A一定可對(duì)角化?？蓪?duì)角化矩陣在求解微分方程、計(jì)算矩陣的高次冪等方面都有重要的應(yīng)用。1n個(gè)A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。2可逆矩陣P可以找到一個(gè)可逆矩陣P。3互不相同如果A的特征值互不相同，那么A一定可對(duì)角化。實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣是指元素為實(shí)數(shù)且滿(mǎn)足AT=A的矩陣。實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣具有許多特殊的性質(zhì)，包括：實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)，實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量正交，實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣一定可對(duì)角化，且存在正交矩陣Q，使得Q-1AQ=Λ，其中Λ是對(duì)角矩陣。實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化在二次型、主成分分析等方面都有重要的應(yīng)用。AT=A實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的定義。實(shí)數(shù)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)。正交矩陣存在正交矩陣Q，使得Q-1AQ=Λ。內(nèi)積空間的概念內(nèi)積空間是指在向量空間V上定義了一個(gè)內(nèi)積運(yùn)算的向量空間。內(nèi)積運(yùn)算是一個(gè)二元函數(shù)，它將兩個(gè)向量映射到一個(gè)標(biāo)量，且滿(mǎn)足一些特定的性質(zhì)，例如對(duì)稱(chēng)性、線性性、正定性。內(nèi)積空間是線性代數(shù)中的一個(gè)重要概念，它為研究向量的長(zhǎng)度、夾角、正交性提供了基礎(chǔ)。內(nèi)積空間在幾何學(xué)、函數(shù)分析、信號(hào)處理等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。1向量空間V在向量空間V上定義了一個(gè)內(nèi)積運(yùn)算。2二元函數(shù)將兩個(gè)向量映射到一個(gè)標(biāo)量。3對(duì)稱(chēng)性滿(mǎn)足一些特定的性質(zhì)，例如對(duì)稱(chēng)性。向量的內(nèi)積向量的內(nèi)積是指將兩個(gè)向量的對(duì)應(yīng)分量相乘，然后將所有乘積相加。對(duì)于n維向量u=(u1,u2,...,un)和v=(v1,v2,...,vn)，其內(nèi)積可以表示為u·v=u1v1+u2v2+...+unvn。向量的內(nèi)積是一個(gè)標(biāo)量，它可以反映兩個(gè)向量之間的夾角和長(zhǎng)度。向量的內(nèi)積是內(nèi)積空間的基礎(chǔ)，它為研究向量的幾何性質(zhì)提供了工具。向量的內(nèi)積在機(jī)器學(xué)習(xí)、圖像處理等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。對(duì)應(yīng)分量將兩個(gè)向量的對(duì)應(yīng)分量相乘。乘積相加將所有乘積相加。標(biāo)量向量的內(nèi)積是一個(gè)標(biāo)量。向量的范數(shù)向量的范數(shù)是指向量的長(zhǎng)度或大小。向量的范數(shù)是一個(gè)標(biāo)量，它滿(mǎn)足一些特定的性質(zhì)，例如非負(fù)性、齊次性、三角不等式。常用的向量范數(shù)包括：Euclidean范數(shù)（2范數(shù)）、曼哈頓范數(shù)（1范數(shù)）、無(wú)窮范數(shù)。向量的范數(shù)是內(nèi)積空間的一個(gè)重要概念，它為研究向量的距離、收斂性提供了基礎(chǔ)。向量的范數(shù)在機(jī)器學(xué)習(xí)、模式識(shí)別等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。1長(zhǎng)度或大小向量的范數(shù)是指向量的長(zhǎng)度或大小。2標(biāo)量向量的范數(shù)是一個(gè)標(biāo)量。3性質(zhì)滿(mǎn)足非負(fù)性、齊次性、三角不等式。向量的正交性如果兩個(gè)向量的內(nèi)積為零，那么這兩個(gè)向量就被稱(chēng)為正交向量。正交向量是內(nèi)積空間中的一個(gè)重要概念，它反映了兩個(gè)向量之間的方向關(guān)系。正交向量在幾何學(xué)、函數(shù)分析、信號(hào)處理等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。例如，在傅里葉變換中，不同的頻率分量對(duì)應(yīng)的向量就是正交向量。正交向量可以構(gòu)成正交基，正交基是內(nèi)積空間中的一組特殊的基，它可以簡(jiǎn)化向量的表示和計(jì)算。內(nèi)積為零1正交向量2方向關(guān)系3正交基與標(biāo)準(zhǔn)正交基正交基是指由一組相互正交的向量構(gòu)成的基。標(biāo)準(zhǔn)正交基是指由一組相互正交且長(zhǎng)度為1的向量構(gòu)成的基。正交基和標(biāo)準(zhǔn)正交基是內(nèi)積空間中的一組特殊的基，它可以簡(jiǎn)化向量的表示和計(jì)算。例如，在正交基下，向量的坐標(biāo)可以通過(guò)內(nèi)積直接計(jì)算得到。標(biāo)準(zhǔn)正交基是正交基的一種特殊情況，它具有更好的性質(zhì)，例如能量守恒。正交基和標(biāo)準(zhǔn)正交基在信號(hào)處理、圖像處理等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。1相互正交由一組相互正交的向量構(gòu)成。2基內(nèi)積空間中的一組特殊的基。3長(zhǎng)度為1標(biāo)準(zhǔn)正交基是指由一組相互正交且長(zhǎng)度為1的向量構(gòu)成的基。Gram-Schmidt正交化方法Gram-Schmidt正交化方法是一種將一組線性無(wú)關(guān)的向量轉(zhuǎn)化為一組正交向量的方法。其基本思想是從第一個(gè)向量開(kāi)始，依次將后面的向量投影到前面向量的正交補(bǔ)空間中，得到一組正交向量。Gram-Schmidt正交化方法的步驟包括：從第一個(gè)向量開(kāi)始，保持不變，依次將后面的向量投影到前面向量的正交補(bǔ)空間中，得到一組正交向量，將正交向量單位化，得到一組標(biāo)準(zhǔn)正交向量。Gram-Schmidt正交化方法在求解正交基、QR分解等方面都有重要的應(yīng)用。線性無(wú)關(guān)將一組線性無(wú)關(guān)的向量轉(zhuǎn)化為一組正交向量。正交補(bǔ)空間將后面的向量投影到前面向量的正交補(bǔ)空間中。單位化將正交向量單位化，得到一組標(biāo)準(zhǔn)正交向量。正交投影正交投影是指將一個(gè)向量投影到一個(gè)子空間中，使得投影向量與原向量的差與該子空間正交。正交投影是內(nèi)積空間中的一個(gè)重要概念，它為研究向量在子空間中的表示、最小二乘法等問(wèn)題提供了基礎(chǔ)。正交投影在信號(hào)處理、圖像處理等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。例如，在圖像壓縮中，可以將圖像信號(hào)投影到一組正交基上，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的壓縮。1投影將一個(gè)向量投影到一個(gè)子空間中。2正交使得投影向量與原向量的差與該子空間正交。3子空間表示為研究向量在子空間中的表示提供基礎(chǔ)。最小二乘法最小二乘法是一種常用的數(shù)據(jù)擬合方法，其基本思想是尋找一組參數(shù)，使得模型預(yù)測(cè)值與實(shí)際觀測(cè)值之間的誤差平方和最小。最小二乘法在回歸分析、曲線擬合、參數(shù)估計(jì)等方面都有廣泛的應(yīng)用。例如，在回歸分析中，可以使用最小二乘法來(lái)估計(jì)回歸方程的系數(shù)。最小二乘法的求解通常需要用到線性代數(shù)的知識(shí)，例如求解線性方程組、矩陣的轉(zhuǎn)置等。參數(shù)尋找一組參數(shù)。1最小二乘法2誤差平方和使得模型預(yù)測(cè)值與實(shí)際觀測(cè)值之間的誤差平方和最小。3二次型的定義二次型是指一個(gè)關(guān)于n個(gè)變量的二次齊次多項(xiàng)式。二次型可以表示為f(x1,x2,...,xn)=ΣΣaijxixj，其中aij是常數(shù)，x1,x2,...,xn是變量。二次型可以用矩陣的形式表示為f(x)=xTAx，其中A是一個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣，x是變量向量。二次型是線性代數(shù)中的一個(gè)重要概念，它在幾何學(xué)、優(yōu)化問(wèn)題等方面都有廣泛的應(yīng)用。例如，在幾何學(xué)中，二次型可以描述二次曲面的方程。1ΣΣaijxixj二次型的公式。2齊次多項(xiàng)式關(guān)于n個(gè)變量的二次齊次多項(xiàng)式。3xTAx矩陣形式的二次型表示。二次型的矩陣表示任何一個(gè)二次型都可以用矩陣的形式表示為f(x)=xTAx，其中A是一個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣，x是變量向量。矩陣A被稱(chēng)為二次型的矩陣。二次型的矩陣表示是線性代數(shù)中的一個(gè)重要概念，它可以將一個(gè)復(fù)雜的二次型轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡(jiǎn)單的矩陣形式，從而方便研究其性質(zhì)。例如，通過(guò)二次型的矩陣表示，我們可以判斷二次型是正定的、負(fù)定的還是不定的。對(duì)稱(chēng)矩陣其中A是一個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣xTAx二次型的矩陣形式表示復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單將一個(gè)復(fù)雜的二次型轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡(jiǎn)單的矩陣形式合同矩陣對(duì)于n階方陣A和B，如果存在一個(gè)可逆矩陣P，使得B=PTAP，那么A和B就被稱(chēng)為合同矩陣。合同矩陣具有相同的正慣性指數(shù)和負(fù)慣性指數(shù)。矩陣的合同變換是線性代數(shù)中的一個(gè)重要概念，它可以將一個(gè)矩陣轉(zhuǎn)化為另一個(gè)更簡(jiǎn)單的矩陣，從而方便研究其性質(zhì)。矩陣的合同變換在二次型、正定矩陣等方面都有重要的應(yīng)用。1B=PTAP合同矩陣的定義2PTB=PTAP，PT是可逆矩陣P的轉(zhuǎn)置3相同的指數(shù)合同矩陣具有相同的正慣性指數(shù)和負(fù)慣性指數(shù)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形二次型的標(biāo)準(zhǔn)形是指只含有平方項(xiàng)的二次型。任何一個(gè)二次型都可以通過(guò)坐標(biāo)變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形。如果存在一個(gè)可逆變換x=Py，使得f(x)=yTΛy，其中Λ是對(duì)角矩陣，那么f(x)就被稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)形。二次型的標(biāo)準(zhǔn)形是線性代數(shù)中的一個(gè)重要概念，它可以將一個(gè)復(fù)雜的二次型轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡(jiǎn)單的形式，從而方便研究其性質(zhì)。二次型的標(biāo)準(zhǔn)形在二次曲面、優(yōu)化問(wèn)題等方面都有重要的應(yīng)用。標(biāo)準(zhǔn)形只含有平方項(xiàng)的二次型1坐標(biāo)變換任何一個(gè)二次型都可以通過(guò)坐標(biāo)變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形2yTΛy如果存在一個(gè)可逆變換x=Py，使得f(x)=yTΛy，其中Λ是對(duì)角矩陣，那么f(x)就被稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)形。3用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形對(duì)于任何一個(gè)實(shí)二次型f(x)=xTAx，其中A是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，都存在一個(gè)正交變換x=Qy，使得f(x)=yTΛy，其中Λ是對(duì)角矩陣，其對(duì)角線上的元素是A的特征值。用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形是線性代數(shù)中的一個(gè)重要方法，它可以將一個(gè)復(fù)雜的二次型轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡(jiǎn)單的形式，從而方便研究其性質(zhì)。用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形在二次曲面、優(yōu)化問(wèn)題等方面都有重要的應(yīng)用。1xTAx實(shí)二次型f(x)=xTAx2實(shí)對(duì)稱(chēng)A是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣3正交變換存在一個(gè)正交變換x=Qy正定二次型與正定矩陣如果對(duì)于任何非零向量x，都有f(x)>0，那么二次型f(x)就被稱(chēng)為正定二次型。如果二次型f(x)的矩陣A滿(mǎn)足對(duì)于任何非零向量x，都有xTAx>0，那么矩陣A就被稱(chēng)為正定矩陣。正定二次型和正定矩陣是線性代數(shù)中的一個(gè)重要概念，它們?cè)趦?yōu)化問(wèn)題、穩(wěn)定性分析等方面都有廣泛的應(yīng)用。例如，在優(yōu)化問(wèn)題中，正定矩陣可以保證目標(biāo)函數(shù)是凸函數(shù)，從而可以找到全局最小值。f(x)>0正定二次型的定義xTAx>0正定矩陣的定義凸函數(shù)正定矩陣可以保證目標(biāo)函數(shù)是凸函數(shù)正定性的判別方法判別二次型或矩陣是否正定有多種方法，包括：所有特征值都大于零，所有順序主子式都大于零，存在可逆矩陣C，使得A=CTC。這些方法在判斷二次型或矩陣是否正定方面都有重要的應(yīng)用。例如，在優(yōu)化問(wèn)題中，可以使用這些方法來(lái)判斷目標(biāo)函數(shù)是否為凸函數(shù)，從而可以找到全局最小值。掌握正定性的判別方法對(duì)于解決實(shí)際問(wèn)題至關(guān)重要。特征值所有特征值都大于零主子式所有順序主子式都大于零A=CTC存在可逆矩陣C，使得A=CTC矩陣分解：LU分解LU分解是指將一個(gè)矩陣分解為一個(gè)下三角矩陣L和一個(gè)上三角矩陣U的乘積，即A=LU。LU分解在求解線性方程組、計(jì)算行列式等方面都有重要的應(yīng)用。例如，在求解線性方程組Ax=b時(shí)，可以先進(jìn)行LU分解，將A分解為L(zhǎng)U，然后分別求解Ly=b和Ux=y，從而得到線性方程組的解。LU分解是一種常用的矩陣分解方法，它不僅簡(jiǎn)單易懂，而且計(jì)算效率高。1A=LULU分解的定義2下三角矩陣L將一個(gè)矩陣分解為一個(gè)下三角矩陣L和一個(gè)上三角矩陣U的乘積3求解Ly=b和Ux=y求解線性方程組時(shí)簡(jiǎn)化計(jì)算QR分解QR分解是指將一個(gè)矩陣分解為一個(gè)正交矩陣Q和一個(gè)上三角矩陣R的乘積，即A=QR。QR分解在求解最小二乘問(wèn)題、計(jì)算特征值等方面都有重要的應(yīng)用。例如，在求解最小二乘問(wèn)題時(shí)，可以使用QR分解將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)更簡(jiǎn)單的形式，從而更容易求解。QR分解是一種常用的矩陣分解方法，它不僅具有良好的數(shù)值穩(wěn)定性，而且計(jì)算效率高。A=QR正交矩陣Q和一個(gè)上三角矩陣R1最小二乘問(wèn)題在求解最小二乘問(wèn)題時(shí)2QRQR分解3奇異值分解(SVD)的定義奇異值分解是指將一個(gè)矩陣分解為三個(gè)矩陣的乘積，即A=UΣVT，其中U和V都是正交矩陣，Σ是一個(gè)對(duì)角矩陣，其對(duì)角線上的元素被稱(chēng)為奇異值。奇異值分解是一種強(qiáng)大的矩陣分解方法，它可以應(yīng)用于各種領(lǐng)域，例如數(shù)據(jù)降維、圖像壓縮、推薦系統(tǒng)等。奇異值分解是線性代數(shù)中的一個(gè)重要概念，它為研究矩陣的性質(zhì)提供了新的工具。1A=UΣVT三個(gè)矩陣的乘積，A=UΣVT，V轉(zhuǎn)置2正交矩陣其中U和V都是正交矩陣3奇異值其對(duì)角線上的元素被稱(chēng)為奇異值奇異值分解的幾何意義奇異值分解具有清晰的幾何意義。它可以將一個(gè)矩陣所代表的線性變換分解為三個(gè)步驟：旋轉(zhuǎn)、縮放、再旋轉(zhuǎn)。其中，旋轉(zhuǎn)由正交矩陣U和V描述，縮放由對(duì)角矩陣Σ描述，其對(duì)角線上的元素是奇異值。奇異值反映了線性變換在不同方向上的縮放程度。奇異值分解可以用于數(shù)據(jù)降維，通過(guò)保留較大的奇異值，去除較小的奇異值，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的壓縮和特征提取。旋轉(zhuǎn)由正交矩陣U和V描述縮放由對(duì)角矩陣Σ描述線性變換將一個(gè)矩陣所代表的線性變換分解為三個(gè)步驟：旋轉(zhuǎn)、縮放、再旋轉(zhuǎn)奇異值分解的應(yīng)用：數(shù)據(jù)降維奇異值分解在數(shù)據(jù)降維方面有廣泛的應(yīng)用。其基本思想是：對(duì)于一個(gè)m×n的矩陣A，通過(guò)奇異值分解可以得到A=UΣVT，其中Σ是一個(gè)對(duì)角矩陣，其對(duì)角線上的元素是奇異值。將奇異值按照從大到小的順序排列，保留前k個(gè)較大的奇異值，將其他的奇異值設(shè)為零，就可以得到一個(gè)降維后的矩陣Ak。降維后的矩陣Ak可以在保留原始數(shù)據(jù)主要信息的同時(shí)，減少數(shù)據(jù)的維度，從而提高計(jì)算