山東省2025屆部分學(xué)校高三年級(jí)開(kāi)年考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

山東省2025屆部分學(xué)校高三年級(jí)開(kāi)年考試數(shù)學(xué)試題及參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題僅有一個(gè)選項(xiàng)正確.1.已知集合，則（）A.B.C.D.2.已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（）A.B.C.D.3.樣本數(shù)據(jù)12,8,32,10,24,22,12,33的第60百分位數(shù)為（）A.B.C.D.4.函數(shù)的大致圖象是（）5.已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，，則B.若，，則C.若，，則D.若，，則6.十一國(guó)慶期間，《749局》《志愿軍：存亡之戰(zhàn)》《浴火之路》《熊貓計(jì)劃》引爆了電影市場(chǎng)，張三和他的同學(xué)宜興市四人決定去看這四部電影.若張三要看《存亡之戰(zhàn)》，則恰有兩人看同一部影片的概率為（）A.B.C.D.7.若函數(shù)的圖象全部在軸上方，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A.B.C.D.8.已知是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn).若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的取值范圍為（）A.B.C.D.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.現(xiàn)有200根相同的鋼管，若把它們堆放成正三角形垛，且使剩余的鋼管盡可能的少，則下面說(shuō)法正確的是（）A.堆放成正三角形垛后，沒(méi)有剩余鋼管B.堆放成正三角形垛后，剩余鋼管的根數(shù)為10C.若再增加8根鋼管，則所有的鋼管恰好可以堆放成正三角形垛D.若再增加10根鋼管，則所有的鋼管恰好可以堆放成正三角形垛10.函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，下列結(jié)論正確的有（）A.對(duì)且，恒有B.對(duì)，恒有C.函數(shù)與的圖象共有4個(gè)交點(diǎn)D.若當(dāng)時(shí)，的最大值為，則11.如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，為底面的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是（）A.當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，B.若在線段上運(yùn)動(dòng)，則三棱錐的體積為定值C.存在點(diǎn)，使得平面截正方體所得的截面面積為D.當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的外接球表面積為三、填空題：本題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.12.已知，請(qǐng)寫(xiě)出的一個(gè)解析式：.13.已知，，若，則在上的投影向量的坐標(biāo)為.14.已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限內(nèi)，且是橢圓上一動(dòng)點(diǎn).若是銳角，則橢圓在點(diǎn)處的切線的斜率的取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，第15題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.在銳角中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.（1）求證：；（2）若的平分線交于，且，求面積的取值范圍.16.如圖，在四棱錐中，平面，，為的中點(diǎn).（1）若，證明：平面；（2）已知，，，斜線和平面所成的角的正切值為2，求平面和平面的夾角的余弦值.17.過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作圓的兩條切線，設(shè)兩切點(diǎn)分別為，直線恰為拋物線的準(zhǔn)線.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，拋物線上四點(diǎn)滿足：，，設(shè)的中點(diǎn)為.①求直線的斜率；②設(shè)的面積為，求的最大值.18.我國(guó)某口罩生產(chǎn)廠商在加大生產(chǎn)的同時(shí)，狠抓質(zhì)量管理，不定時(shí)抽查口罩質(zhì)量.該廠質(zhì)檢人員從某日生產(chǎn)的口罩中隨機(jī)抽取了100個(gè)，將其質(zhì)量指標(biāo)值分成以下五組：，，，，，得到如下頻率分布直方圖.規(guī)定：口罩的質(zhì)量指標(biāo)值越高，說(shuō)明該口罩質(zhì)量越好，其中質(zhì)量指標(biāo)低于130的為二級(jí)口罩，質(zhì)量指標(biāo)值不低于130的為一級(jí)口罩.（1）將上述質(zhì)量檢測(cè)的頻率視為概率，現(xiàn)從該工廠此類口罩生產(chǎn)線上生產(chǎn)出的大量口罩中，采用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取1個(gè)口罩，抽取8次.記被抽取的8個(gè)口罩中一級(jí)口罩的個(gè)數(shù)為，若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求的均值及抽取概率最大時(shí)的一級(jí)口罩個(gè)數(shù).（2）現(xiàn)從樣本口罩中利用按比例分成抽樣的方法隨機(jī)抽取8個(gè)口罩，再?gòu)闹须S機(jī)抽取3個(gè)，記其中一級(jí)口罩的個(gè)數(shù)為，求的分布列及方差.（3）甲、乙兩人計(jì)劃同時(shí)在該型號(hào)口罩的某網(wǎng)絡(luò)的購(gòu)物平臺(tái)上各參加一個(gè)訂單的“秒殺”搶購(gòu)，其中每個(gè)訂單由個(gè)該型號(hào)口罩構(gòu)成.假定甲、乙兩人的訂單“秒殺”成功的概率分別為，，記甲、乙兩人搶購(gòu)成功的口罩總數(shù)量為，求當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)期望取最大值時(shí)正整數(shù)的值.19.若有窮數(shù)列（且）滿足（），則稱為數(shù)列.（1）判斷下列數(shù)列是否為數(shù)列，并說(shuō)明理由.①1,2,4,3；②4,2,8,1.（2）已知數(shù)列中各項(xiàng)互不相等，令，求證：數(shù)列是等差數(shù)列的充分必要條件是數(shù)列是常數(shù)列.（3）已知數(shù)列是（且）個(gè)連續(xù)正整數(shù)的一個(gè)排列，若，求的所有取值.參考答案一、選擇題題號(hào)12345678答案CDCCDBCB二、選擇題題號(hào)91011答案BDBCDACD三、填空題12.（答案不唯一）13.14.四、解答題15.解：（1）證明：∵，∴由正弦定理得.又∵，∴.∵為銳角三角形，∴,,.又在上單調(diào)遞增，∴，即.（2）由（1）可知，，∴在中，.由正弦定理得，∴,∴.又∵為銳角三角形，∴，，解得，∴，即面積的取值范圍為.16.解：（1）∵平面，平面，∴，.在中，為的中點(diǎn)，則.∵，∴,則，.在中，，即，∴，即.又∵，平面，平面，∴平面.（2）∵平面，∴是斜線在平面內(nèi)的射影，即為和平面所成的角.在中，，∴.又由，，可知，故兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則,，，∴,,,.設(shè)平面的法向量為，則，可取.設(shè)平面的法向量為，則，可取∵，∴平面和平面的夾角的余弦值為.17.解：（）1由題意知直線與軸交于點(diǎn).由圓及其切線的性質(zhì)得，∴，∴.即，解得，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，，.①由題意，的中點(diǎn)在拋物線上，即，又，將代入，得.同理，，∴，此時(shí)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，∴直線的斜率為0.②∵，∴，此時(shí)，∵，，∴.又∵點(diǎn)在圓上，∴，即，代入上式可得：，∵，∴時(shí)，取到最大值.∴的最大值為48.18.解：（1）由題知，抽到一級(jí)口罩的概率估計(jì)值為，則，故.，令，∴，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.∴抽取概率最大時(shí)的一級(jí)口罩個(gè)數(shù)為2.（2）按比例分層抽樣抽取8個(gè)口罩，則其中一級(jí)、二級(jí)口罩個(gè)數(shù)分別為，，故的可能取值為0,1,2，且，，，012∴的分布列為：，.（3）設(shè)甲、乙搶購(gòu)成功的訂單總數(shù)量為，由題知，可能的取值為0,1,2，，，.∴.∵，∴.令，設(shè)，則.∵，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)，即時(shí)，取最大值，∴，∴取最大值時(shí)，正整數(shù).19.解：（1）①∵，∴數(shù)列1,2,4,3不是數(shù)列.②∵，∴數(shù)列4,2,8,1是數(shù)列.（2）證明：必要性：數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則.∴數(shù)列是常數(shù)列.充分性：若數(shù)列是常數(shù)列，則，即，∴或.∵數(shù)列的各項(xiàng)互不相等，∴，∴數(shù)列是等差數(shù)列.（3）當(dāng)時(shí)，∵，∴，不符合題意；當(dāng)時(shí)，數(shù)列為3,2,4,1，此時(shí)，符合題意