2025屆高考數(shù)學大二輪復習層級二專題六概率與統(tǒng)計第3講概率隨機變量及其分布課時作業(yè)理

PAGE1-層級二專題六第3講(理)限時50分鐘滿分76分一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1．(2024·西安模擬)勾股定理在西方被稱為畢達哥拉斯定理，其證明方法有幾百種之多，聞名的數(shù)學家趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用數(shù)形結合的方法給出了勾股定理的具體證明．如圖，在這幅“勾股圓方圖”中，以弦為邊長得到的正方形ABDE是由4個全等的直角三角形和中間的一個小正方形CFGH組成的．若Rt△ABC的三邊長構成等差數(shù)列，則在正方形ABDE內(nèi)任取一點，此點取自小正方形CFGH內(nèi)的概率為()A.eq\f(1,49) B.eq\f(3,25)C.eq\f(1,25) D.eq\f(25,49)解析：C[由于Rt△ABC的三邊長成等差數(shù)列，所以2b＝a＋c，又a2＋b2＝c2，于是(2b－c)2＋b2＝c2，故eq\f(b,c)＝eq\f(4,5)，eq\f(a,c)＝eq\f(3,5).大正方形ABDE的面積為c2，小正方形CFGH的面積為(b－a)2，在正方形ABDE內(nèi)任取一點，此點取自小正方形CFGH內(nèi)的概率為eq\f(b－a2,c2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)－\f(a,c)))2＝eq\f(1,25).故選C.]2．(2024·石家莊模擬)《中華好詩詞》是由河北電視臺創(chuàng)辦的令廣闊觀眾喜聞樂見的節(jié)目，旨在弘揚中國古代詩詞文化，觀眾可以選擇從A，B，C和河北衛(wèi)視這四家視聽媒體的播放平臺中觀看，若甲乙兩人各自隨機選擇一家播放平臺觀看此節(jié)目，則甲乙二人中恰有一人選擇在河北衛(wèi)視觀看的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(3,8)C.eq\f(1,4) D.eq\f(3,16)解析：B[甲、乙兩人從A，B，C和河北衛(wèi)視這四家播放平臺隨機選擇一家有4×4＝16(種)等可能狀況，其中甲、乙兩人恰有一人選擇在河北衛(wèi)視觀看的狀況有Ceq\o\al(1,2)×3＝6(種)，∴所求概率為eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).]3．某班實行了一次“心有靈犀”的活動，老師把一張寫有成語的紙條出示給A組的某個同學，這個同學再用身體語言把成語的意思傳遞給本組其他同學．若小組內(nèi)同學甲猜對成語的概率是0.4，同學乙猜對成語的概率是0.5，且規(guī)定猜對得1分，猜不對得0分，則這兩個同學各猜1次，得分之和X(單位：分)的數(shù)學期望為()A．0.9 B．0.8C．1.2 D．1.1解析：A[由題意得X＝0,1,2，則P(X＝0)＝0.6×0.5＝0.3，P(X＝1)＝0.4×0.5＋0.6×0.5＝0.5，P(X＝2)＝0.4×0.5＝0.2，所以E(X)＝1×0.5＋2×0.2＝0.9.]4．甲、乙、丙三位同學獨立解決同一個問題，已知三位同學能夠正確解決這個問題的概率分別為eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，則有人能夠解決這個問題的概率為()A.eq\f(13,12) B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,24)解析：B[本題主要考查相互獨立事務、互斥事務的概率，考查對立事務的概率公式，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學運算，屬于中檔題．這個問題沒有被解決的概率為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq\f(1,4)，故有人能夠解決這個問題的概率為1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).故選B項．]5．(2024·大連三模)某籃球隊對隊員進行考核，規(guī)則是：①每人進行3個輪次的投籃；②每個輪次每人投籃2次，若至少投中1次，則本輪通過，否則不通過．已知隊員甲投籃1次投中的概率為eq\f(2,3)，假如甲各次投籃投中與否互不影響，那么甲3個輪次通過的次數(shù)X的期望是()A．3 B.eq\f(8,3)C．2 D.eq\f(5,3)解析：B[每個輪次甲不能通過的概率為eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,9)，通過的概率為1－eq\f(1,9)＝eq\f(8,9)，因為甲3個輪次通過的次數(shù)X聽從二項分布Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(8,9)))，所以X的數(shù)學期望為3×eq\f(8,9)＝eq\f(8,3).]6．(2024·衡水模擬)某公司為了精確把握市場，做好產(chǎn)品支配，特對某產(chǎn)品做了市場調(diào)查：先銷售該產(chǎn)品50天，統(tǒng)計發(fā)覺每天的銷量x(單位：件)分布在[50,100)內(nèi)，且銷量x的分布頻率f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n,10)－0.5，10n≤x＜10n＋1，n為偶數(shù)，,\f(n,20)－a，10n≤x＜10n＋1，n為奇數(shù).))若銷量大于或等于70件，則稱該日暢銷，其余為滯銷．在暢銷日中用分層抽樣的方法隨機抽取8天，再從這8天中隨機抽取3天進行統(tǒng)計，設這3天來自X個組，將頻率視為概率，則隨機變量X的數(shù)學期望為()A.eq\f(13,7) B.eq\f(6,7)C.eq\f(16,7) D.eq\f(8,7)解析：C[由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10n≥50，,10n＋1≤100，))解得5≤n≤9，故n可取5,6,7,8,9，代入f(x)，得eq\f(6,10)－0.5＋eq\f(8,10)－0.5＋eq\f(5,20)－a＋eq\f(7,20)－a＋eq\f(9,20)－a＝1，得a＝0.15.故銷量在[70,80)，[80,90)，[90,100)內(nèi)的頻率分別是0.2,0.3,0.3，頻率之比為2∶3∶3，所以各組抽取的天數(shù)分別為2,3,3，X的全部可能取值為1,2,3，P(X＝1)＝eq\f(2,C\o\al(3,8))＝eq\f(2,56)＝eq\f(1,28)，P(X＝3)＝eq\f(2×3×3,C\o\al(3,8))＝eq\f(18,56)＝eq\f(9,28)，P(X＝2)＝1－eq\f(1,28)－eq\f(9,28)＝eq\f(9,14).X的分布列為X123Peq\f(1,28)eq\f(9,14)eq\f(9,28)數(shù)學期望E(X)＝1×eq\f(1,28)＋2×eq\f(9,14)＋3×eq\f(9,28)＝eq\f(16,7).故選C.]二、填空題(本大題共2小題，每小題5分，共10分)7．(2024·全國Ⅰ卷)甲、乙兩隊進行籃球決賽，實行七場四勝制(當一隊贏得四場成功時，該隊獲勝，決賽結束)．依據(jù)前期競賽成果，甲隊的主客場支配依次為“主主客客主客主”．設甲隊主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場競賽結果相互獨立，則甲隊以4∶1獲勝的概率是____________．解析：甲隊以4∶1獲勝的概率為[Ceq\o\al(1,2)0.6×0.4×0.52＋0.62×Ceq\o\al(1,2)0.5×0.5]×0.6＝0.18.答案：0.188．(2024·寧波三模)某保險公司針對企業(yè)職工推出一款意外險產(chǎn)品，每年每人只要交少量保費，發(fā)生意外后可一次性獲賠50萬元．保險公司把職工從事的工作共分為A，B，C三類工種，依據(jù)歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計出這三類工種的每年賠付頻率如表所示，并以此估計賠付概率.工種類別ABC賠付頻率eq\f(1,105)eq\f(2,105)eq\f(1,104)若規(guī)定該產(chǎn)品各工種保單的期望利潤都不得超過保費的20%，則A，B，C三類工種每份保單保費的上限之和為________元．解析：設工種A的每份保單保費為a元，保險公司每份保單的利潤為隨機變量X，則X的分布列為Xaa－5×105P1－eq\f(1,105)eq\f(1,105)保險公司期望利潤E(X)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,105)))＋(a－5×105)×eq\f(1,105)＝(a－5)(元)，依據(jù)規(guī)定知a－5≤0.2a，解得a≤6.25.設工種B的每份保單保費為b元，同理可得保險公司期望利潤為(b－10)元，依據(jù)規(guī)定知，b－10≤0.2b，解得b≤12.5，設工種C的每份保單保費為c元，同理可得保險公司期望利潤為(c－50)元，依據(jù)規(guī)定知，c－50≤0.2c，解得c≤62.5.則A，B，C三類工種每份保單保費的上限之和為6.25＋12.5＋62.5＝81.25(元)．答案：81.25三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)9．(2024·長沙模擬)東方商店欲購進某種食品(保質(zhì)期兩天)，此商店每兩天購進該食品一次(購進時，該食品為剛生產(chǎn)的)．依據(jù)市場調(diào)查，該食品每份進價8元，售價12元，假如兩天內(nèi)無法售出，則食品過期作廢，且兩天內(nèi)的銷售狀況互不影響，為了解市場的需求狀況，現(xiàn)統(tǒng)計該食品在本地區(qū)100天的銷售量如下表：銷售量/份15161718天數(shù)20304010(視樣本頻率為概率)(1)依據(jù)該食品100天的銷售量統(tǒng)計表，記兩天中一共銷售該食品份數(shù)為ξ，求ξ的分布列與數(shù)學期望；(2)以兩天內(nèi)該食品所獲得的利潤期望為決策依據(jù)，東方商店一次性購進32或33份，哪一種得到的利潤更大？解析：(1)依據(jù)題意可得P(ξ＝30)＝eq\f(1,5)×eq\f(1,5)＝eq\f(1,25)，P(ξ＝31)＝eq\f(1,5)×eq\f(3,10)×2＝eq\f(3,25)，P(ξ＝32)＝eq\f(1,5)×eq\f(2,5)×2＋eq\f(3,10)×eq\f(3,10)＝eq\f(1,4)，P(ξ＝33)＝eq\f(1,5)×eq\f(1,10)×2＋eq\f(3,10)×eq\f(2,5)×2＝eq\f(7,25)，P(ξ＝34)＝eq\f(3,10)×eq\f(1,10)×2＋eq\f(2,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(11,50)，P(ξ＝35)＝eq\f(2,5)×eq\f(1,10)×2＝eq\f(2,25)，P(ξ＝36)＝eq\f(1,10)×eq\f(1,10)＝eq\f(1,100).ξ的分布列如下：ξ30313233343536Peq\f(1,25)eq\f(3,25)eq\f(1,4)eq\f(7,25)eq\f(11,50)eq\f(2,25)eq\f(1,100)E(ξ)＝30×eq\f(1,25)＋31×eq\f(3,25)＋32×eq\f(1,4)＋33×eq\f(7,25)＋34×eq\f(11,50)＋35×eq\f(2,25)＋36×eq\f(1,100)＝32.8.(2)當一次性購進32份食品時，設每兩天的利潤為X，則X的可能取值有104,116,128，且P(X＝104)＝0.04，P(X＝116)＝0.12，P(X＝128)＝1－0.04－0.12＝0.84，∴E(X)＝104×0.04＋116×0.12＋128×0.84＝125.6.當一次性購進33份食品時，設每兩天的利潤為Y，則Y的可能取值有96,108,120,132.且P(Y＝96)＝0.04，P(Y＝108)＝0.12，P(Y＝120)＝0.25，P(Y＝132)＝1－0.04－0.12－0.25＝0.59，∴E(Y)＝96×0.04＋108×0.12＋120×0.25＋132×0.59＝124.68.∵E(X)＞E(Y)，∴東方商店一次性購進32份食品時得到的利潤更大．10．(2024·北京卷)改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉變．近年來，移動支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學生上個月A，B兩種移動支付方式的運用狀況，從全校學生中隨機抽取了100人，發(fā)覺樣本中A，B兩種支付方式都不運用的有5人，樣本中僅運用A和僅運用B的學生的支付金額分布狀況如下：支付金額(元)支付方式(0,1000](1000,2000]大于2000僅運用A18人9人3人僅運用B10人14人1人(1)從全校學生中隨機抽取1人，估計該學生上個月A，B兩種支付方式都運用的概率；(2)從樣本僅運用A和僅運用B的學生中各隨機抽取1人，以X表示這2人中上個月支付金額大于1000元的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；(3)已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有改變．現(xiàn)從樣本僅運用A的學生中，隨機抽查3人，發(fā)覺他們本月的支付金額都大于2000元．依據(jù)抽查結果，能否認為樣本僅運用A的學生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有改變？說明理由．解析：本題以支付方式相關調(diào)查來設置問題，考查概率統(tǒng)計在生活中的應用，考查概率的定義和分布列的應用，使學生體會到數(shù)學與現(xiàn)實生活休戚相關．(1)由題意可知，兩種支付方式都運用的人數(shù)為：(100－30－25－5)人＝40人，則：該學生上個月A，B兩種支付方式都運用的概率p＝eq\f(40,100)＝eq\f(2,5).(2)由題意可知，僅運用A支付方法的學生中，金額不大于1000元的人數(shù)占eq\f(3,5)，金額大于1000的人數(shù)占eq\f(2,5)，僅運用B支付方法的學生中，金額不大于1000元的人數(shù)占eq\f(2,5)，金額大于1000元的人數(shù)占eq\f(3,5)，且X可能的取值為0,1,2.P(X＝0)＝eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(6,25)，P(X＝1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))2＝eq\f(13,25)，P(X＝2)＝eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(6,25)，X的分布列為：X012p(X)eq\f(6,25)eq\f(13,25)eq\f(6,25)其數(shù)學期望：E(X)＝0×eq\f(6,25)＋1×eq\f(13,25)＋2×eq\f(6,25)＝1.(3)我們不認為樣本僅運用A的學生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有改變．理由如下：隨機事務在一次隨機試驗中是否發(fā)生是隨機的，是不能預知的，隨著試驗次數(shù)的增多，頻率越來越穩(wěn)定于概率．學校是一個相對消費穩(wěn)定的地方，每個學生依據(jù)自己的實際狀況每個月的消費應當相對固定，出現(xiàn)題中這種現(xiàn)象可能是發(fā)生了“小概率事務”．11．(2024·福建質(zhì)檢)“工資條里顯紅利，個稅新政入民心”．隨著2024年新年鐘聲的敲響，我國自1980年以來，力度最大的一次個人所得稅(簡稱個稅)改革迎來了全面實施的階段.2024年1月1日起實施的個稅新政主要內(nèi)容包括：①個稅起征點為5000元；②每月應納稅所得額(含稅)＝收入－個稅起征點－專項附加扣除；③專項附加扣除包括住房貸款利息或者住房租金(以下簡稱住房)、子女教化、贍養(yǎng)老人等．新舊個稅政策下每月應納稅所得額(含稅)計算方法及其對應的稅率表如下：舊個稅稅率表(個稅起征點3500元)新個稅稅率表(個稅起征點5000元)繳稅級數(shù)每月應納稅所得額(含稅)＝收入－個稅起征點稅率(%)每月應納稅所得額(含稅)＝收入－個稅起征點－專項附加扣除稅率(%)1不超過1500元的部分3不超過3000元的部分32超過1500元至4500元的部分10超過3000元至12000元的部分103超過4500元至9000元的部分20超過12000元至25000元的部分204超過9000元至35000元的部分25超過25000元至35000元的部分255超過35000元至55000元的部分30超過35000元至55000元的部分30……………隨機抽取某市1000名同一收入層級的IT從業(yè)者的相關資料，經(jīng)統(tǒng)計分析，預估他們2024年的人均月收入為24000元．統(tǒng)計資料還表明，他們均符合住房專項附加扣除；同時，他們每人至多只有一個符合子女教化專項附加扣除的孩子，并且他們之中既不符合子女教化專項附加扣除又不符合贍養(yǎng)老人專項附加扣除、符合子女教化專項附加扣除但不符合贍養(yǎng)老人專項附加扣除、符合贍養(yǎng)老人專項附加扣除但不符合子女教化專項附加扣除、既符合子女教化專項附加扣除又符合贍養(yǎng)老人專項附加扣除的人數(shù)之比是2∶1∶1∶1；此外，他們均不符合其他專項附加扣除．新個稅政策下該市的專項附加扣除標準為：住房1000元/月，子女教化每孩1000元/月，贍養(yǎng)老人2000元/月等．假設該市該收入層級的IT從業(yè)者都獨自享受專項附加扣除，將預估的該市該收入層級的IT從業(yè)者的人均月收入視為其個人月收入．依據(jù)樣本估計總體的思想，解決如下問題：(1)設該市該收入層級的IT從業(yè)者2024年月繳個稅為X元，求X的分布列和期望；(2)依據(jù)新舊個稅政策，估計從2024年1月起先，經(jīng)過多少個月，該市該收入層級的IT從業(yè)者各月少繳納的個稅之和就超過其2024年的人均月收入？解析：(1)既不符合子女教化專項附加扣除又不符合贍養(yǎng)老人專項附加扣除的人群每月應納稅所得額(含稅)為24000－5000－1000＝18000(元)，月繳個稅X＝3000×3%＋9000×10%＋6000×20%＝2190；符合子女教化專項附加扣除但不符合贍養(yǎng)老人專項附加扣除的人群每月應納稅所得額(含稅)為24000－5000－1000－1000＝17000(元)，月繳個稅X＝3000×3%＋9000×10%＋5000×20%＝1990；符合贍養(yǎng)老人專項附加扣除但不符合子女教化專項附加扣除的人群每月應納稅所得額