2024江蘇南京高三一?？荚嚁?shù)學(xué)試卷及答案

2023?2024學(xué)年高三第一學(xué)期學(xué)情調(diào)研考試(十四)

數(shù)學(xué)

(滿分：150分考試時(shí)間：120分鐘)

2024.1

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題意要求的.

1.(2+小女2-小/)=()

A.5B.-1C.1D.7

2.已知集合人={0,I,2},B={x|y=/g(-x2+2x)},則AGB=()

A.{0,1,2}B.{1}C.{0}D.(0,2)

3.已知x>0,y>0,則x+y22是xy21的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.下列函數(shù)為偶函數(shù)的是()

A.y=ex~\~e~xB.y=ex—e~x

C.丫=注4D.y=(e'+er)(ex-er)

5.從4位男同學(xué)、5位女同學(xué)中選出3位同學(xué)，則另、女生都要有的選法有()

A.140種員44種C.70種D.252種

6.已知反比例函數(shù)y=§(k#0)的圖象是雙曲線，其兩條漸近線分別為x軸和丫輪，兩

A

條漸近線的夾角痣，將雙曲線繞其中心旋轉(zhuǎn)可使其漸近線變?yōu)橹本€y=±x,由此可求得其

離心率為也.已知函數(shù)丫=噂x+；的圖象也是雙曲線，其兩條漸近線分別為直線丫=坐x

和y軸，則該雙曲線的離心率是()

A.小B.2小C.D.

7.已知直線1與橢圓怖+?=1在第二象限交于A,B兩點(diǎn)，1與x軸、y軸分別交于

M,N兩點(diǎn).若AM=BN,則1的傾斜角是()

71c?！薱57r

A6R3C4D-12

8.若平面向量a,b,c滿足⑷=網(wǎng)=/力=2,|a+b+c|=l,則?+c)Q+c)的最小值是

()

A.-3B.3-2小04-2^3D.一2小

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共2()分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得。分.

9.《中華人民共和國國民經(jīng)濟(jì)和社會發(fā)展第十四個(gè)五年規(guī)劃和2035年遠(yuǎn)景目標(biāo)綱要》

中明確提出要創(chuàng)新實(shí)施文化惠民工程，提升基層綜合性叉化服務(wù)中心功能，廣泛開展群眾性

文化活動.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了考核甲、乙兩村的文化惠民工程，在兩村的村民中進(jìn)行滿意度測評，

滿分100分,規(guī)定：得分不低于80分的為“高度滿意”，得分低于60分的為“不滿意”.經(jīng)

統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)甲村的評分X和乙村的評分y都近似服從正態(tài)分布，其中X?N(70,后)，丫?N(75,

1

d）?（）<6<n2，則（）

A.X對應(yīng)的正態(tài)曲線比y對應(yīng)的正態(tài)曲線更扁平

B.甲村的平均分低于乙村的平均分

C.甲村的高度滿意率與不滿意率相等

D.乙村的高度滿意率比不滿意率大

10.已知｛“”｝是等比數(shù)歹|J,S”是其前〃項(xiàng)和，滿足43=24|+〃2,則卜列說法正確的有（）

A.若｛斯｝是正項(xiàng)數(shù)列，則｛小｝是單調(diào)遞增數(shù)列

B.S〃，52?-Sn，S3”一S2“一定是等比數(shù)列

C.若存在MX）,使㈤對〃<=N*都成立,則｛|斯|｝是等差數(shù)列

D.若存在M>0,使㈤這“對〃￡N"都成立,則｛￡｝是等差數(shù)列

11.設(shè)M,N,戶為函數(shù)1x）=Asin（5+p）圖象上三點(diǎn)，其中A>0,w>0,\（p\<^.己知M,

N是函數(shù)八r）的圖象與x軸相鄰的兩個(gè)交點(diǎn)，P是圖象在M,N之間的最高點(diǎn).若訪2+

2MNNP=0,△MNP的面積是小，點(diǎn)M的坐標(biāo)是（一;，0）,則（）

A.A=y[2

D.函數(shù)人x）在M,N間的圖象上存在點(diǎn)Q,使得西QN<0

12.已知在四楂錐hBC。中，夕。_L平面A8CQ,ADA.CD,AD=CD=2,四棱錐用3CQ

的外接球?yàn)榍颉?，則（）

A.AB.LBCB.VPABCD>^VPACD

C.VPABCD=2VOABCDD.點(diǎn)O不可能在平面PBC內(nèi)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.滿足/（沖）=｛1）+式），）的函數(shù)yu）可以為/5）=?（寫出一個(gè)即可）

711

14.tan0---=.

o7t

tan8

15.拋物線有一條重要性質(zhì)：從焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)過拋物線上一點(diǎn)反射后，反射光線

平行于拋物線的對稱軸.已知點(diǎn)尸為拋物線C：尸=2肉5>1）的焦點(diǎn)，從點(diǎn)尸出發(fā)的光線經(jīng)

拋物線上一點(diǎn)反射后，反射光線經(jīng)過點(diǎn)（10,1）,若入射光線和反射光線所在直線都與圓E：

（X—）2+/=1相切，則〃的值是.

16.若數(shù)列｛〃“｝滿足的=〃2=I，an+??+14-an+2=n\nGN*）,則000=.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算

步驟.

17.（本小題滿分10分）

設(shè)數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S”a”+S“=L

（1）求數(shù)列伍”）的通項(xiàng)公式；

2

⑵數(shù)列｛加｝滿足cos—,求｛兒｝的前50項(xiàng)和750.

3

18.(本小題滿分12分)

如圖，在平行六面體ABCZMiSGG中，底面ABCD為正方形，AB=AA}=2,N4AB

5，側(cè)面。。小。」底面人BCD

(1)求證：平面48C_L平面CDQCi：

(2)求直線人辦和平面A由G所成角的正弦值.

19.(本小題滿分12分)

在△48C中，角A,B,。所對的邊分別是a,b,c,且clanB=(2a-c)tanC.

(1)求角3的大??；

(2)若點(diǎn)。在邊AC上，平分/AHC,b=2小,求以)長的最大值.

4

20.(本小題滿分12分)

春節(jié)臨近，為了吸引顧客，我市某大型商超策劃了拍獎活動，計(jì)劃如下：有A,B,。三

個(gè)抽獎項(xiàng)目，它們之間相互不影響，每個(gè)項(xiàng)目每位顧客至多參加一次，項(xiàng)目A中獎的概率是

12

；,項(xiàng)目8和C中獎的概率都是5.

(I)若規(guī)定每位參加活動的顧客需要依次參加A,B,。三個(gè)項(xiàng)目，如果A,B,C三個(gè)項(xiàng)

H全部中獎，顧客將獲得100元獎券；如果僅有兩個(gè)項(xiàng)目中獎，他將獲得50元獎券；否則就

沒有獎券.求每位顧客獲得獎券金額的期望.

(2)若規(guī)定每位顧客等可能地參加三個(gè)項(xiàng)目中的一個(gè)項(xiàng)目.已知某顧客中獎了，求他參

加的是A項(xiàng)目的概率.

21.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)｛1)=。「"一甲Q〃￡R).

(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)段)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若函數(shù)7U)的圖象與工軸相切，求證：1+In2v〃v2+In6.

5

22.（本小題滿分12分）

22

已知雙曲線C：，一齊=1（4>0,比>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，尸2，頂點(diǎn)A（o,—2）,M

是雙曲線。上一個(gè)動點(diǎn)，且-MFl|的最小值是8#.

（1）求雙曲線C的方程：

（2）設(shè)P是>'軸上異于C的頂點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)。的一個(gè)定點(diǎn)，直線/過點(diǎn)P且平行于k軸，

直線〃?過點(diǎn)尸且與雙曲線C交于8,。兩點(diǎn)，直線A8,4。分別與直線/交于點(diǎn)G,H.若O,

A,G,〃四點(diǎn)共圓，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

6

2023?2024學(xué)年高三第一學(xué)期學(xué)情調(diào)研考試（十四）（南京鹽城）

數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)

1.D2.B3.B4.A5.C6.C7.A8.B9.BCD10.AC11.BCD12.AC

3

13.logR滿足a>0且oWI均可）14.-215.]16.3268

17.解：（1）由%+S4=1,得4LI+S〃7=1（〃22）,

兩式相減得。“一?！?|+?！?0（〃22）,即a“-i（〃22）,（3分）

當(dāng)〃=1時(shí)，2sl=1,得W0,

所以烏-=|（〃22）,所以｛〃”｝是首項(xiàng)為,公比為9的等比數(shù)列，

67/1-1Nz/

得4”=g）".（5分）

⑵由⑴得b〃=2"cosy,

24s85O

所以Tn=~2I2—2I2---------2（8分）

—4[1—（—4）25]4,八八

=-i-（-4）-=-5（1+425）.（1°分）

18.（1）證明：因?yàn)榈酌鍭8C。為正方形，所以8ULCD,

又側(cè)面CDOCiJ■底面ABCD,側(cè)面COQiGG底面ABCD=CD,

且8Cu平面ABCD,所以8C_L平面CQOiG，（3分）

又因?yàn)?3Cu平面48C,所以平面4|8C_L平面CQDC1.（5分）

（2）解：如圖，因?yàn)?8=AA=2,ZA\AB=j,連接S，則為正三角形,

取C。的中點(diǎn)O,貝ijDiOJ_CD,

由BC_L平面CQQiG及OiOu平面CDDCi，得。|。_1_8。，

又CDCBC=C,

所以。Q_L底面A8CD,過點(diǎn)。作OM〃8c交A3于M,（6分）

以0為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,

則4（2,-1,0）,Ai（2,0,小）,8（2,I,0）,5,（2,2,?。?Ci（0,2,?。?

所以48=（0,1,一曲）,4G=（—2,2,0）,4四=（0,3,?。?，（7分）

設(shè)平面48G的法向量〃=（x,y,z）,

〃A8=y一巾z=0,

所以J令z=1,則x=y=小，

n-AiCi=—2x+2y=0,

所以平面A8G的一個(gè)法向量〃=（小，小，1）,口0分）

7

由i山/AD\?1>?川4s2s八、

所以|cos〈/舊，加|-皿||川一皿,而許-7'(U分)

所以直線AS和平面A歸G所成角的正弦值為斗.(12分)

19.解：(1)ctan8=(2。-c)tanC,

4TH占TRI俎sinCsin8(2sinA-sinC)sinC八

1由1正弦定理得-SB=------------不彳-------,Q分)

由sin0()得sinBcosC=2sinAcos4—sinCcosB,

sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB,

sin(B+C)=2sinAcosB,(4分)

乂B+C+4=7T,sinA=2sinAcosB,sin>4>0>

cosB=2,

XV0<B<nt.??8=..(6分)

J

(2)由SMBD+SACBD=SMBC得gA.BXBDsin++,BC^BDsin、=；ABXBCsinj,

,?木ABXBC-八

?.BD=AB+BC'(8分)

在△ABC中，由余弦定理得A爐+BC2-A8XBC=I2,(9分)

(A8+6C)2一%一(A8+8C)2八

得ABX8C=，。分)

3W--------J--------(1

得至,當(dāng)且僅當(dāng)48=8C時(shí)取等號,

(A8+BC)2-12

yJ3ABXBC3￡(A8+BC)-靠為W3,

則/

48+8C

當(dāng)且僅當(dāng)AA=〃C；=25時(shí)取等號，

則BD的最大值為3.（12分）

20.解：（1）設(shè)一位顧客獲得X元獎券，X=l00,50,0,

1221

則夕（X=I00）=ax-X-=—,

123326

--X-+-X=

4554q

25

P（X=O）=1----=25，（4分）

???每位顧客獲得獎券金額的數(shù)學(xué)期望E（X）=100X表+50X^+0=16（元）.（6分）

（2）設(shè)“該顧客中獎”為事件M參加項(xiàng)目A,B,C分別記為事件M，M，M，

3

V

J1112127

則P（/W）=X4+3><5+3x5=?0，3分）

P(NiM)P(Ni)P(M|N|)

???PMIM)=777k=一時(shí)而一M=萬，

29

8

即已知某顧客中獎了，則他參加的是A項(xiàng)目的概率是寺.(12分)

An、“,1—Inxx2ex1+//ix—1

21.(1)解：當(dāng)m=l時(shí)，f(x)=^x=--------------------，(1分)

AA

所以？(1)=0,又丫=(—r+/〃x—1在(0,+8)上單調(diào)遞增，(3分)

所以當(dāng)xW(0,1)時(shí)，f(x)<0：當(dāng)x￡(l,+8)時(shí)，f(x)X),

所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，f(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增.(5分)

1—InV

證明：m設(shè)函數(shù)的圖象與軸相切于點(diǎn)

(2)f(x)=^--X-,f(x)xP(xo,0),

f(Xo)=0,

則(7分)

f(Xo)=0,

所以Inxo—x()；?=°，設(shè)h(x)=/〃x—Uy,則h(x)在(()，+8)上單調(diào)遞增且圖象不

間斷，

又h(l)<0,h(2)>0,所以xo￡(l,2),(9分)

由得丁，

^Xo—m-~X-o=oC=7in7xo"o

又/〃xo—JjTy=°，所以帚/=xo+l,所以”=??；exo=xo(xo+l)exo,

得m=/〃(xo+l)+xo+/〃x()￡(l+/〃2,2+加6).(12分)

22

22.解：⑴(解法1)已知雙曲線方程是步-p=lia>0,b>0,

由頂點(diǎn)A(0,-2)得a=2,(1分)

X’

一昂=1,設(shè)點(diǎn)M(x,y),Fi(0,—c)>F2(0?C),C>0,

???IMFr-MF?|=|[x2+(y+c)2]-[x2+(y-c)2]|=4c|y|>4ac=8c,當(dāng)且僅當(dāng)y=±a時(shí)取

等號，

故IMF?-MF1|的最小值為8c=8小,/.c=^5,(4分)

AC2=5,b2=c2-a2=5-4=l,

2

???雙曲線C：.-K2=1.(5分)

(解法2)|MF彳-MF?|=|MFi+MF2||MF1-MF2|=2a(MFi4-MF2)^2aFiF2=4ac,以下同

解法1.

(2)(解法I)設(shè)點(diǎn)P(0,t),且tWO,i#±2,則直線1：y=t,

設(shè)直線BD的方程為y=kx+t,kW±2,設(shè)點(diǎn)B(xi，yi),D(X2,y2)，

y=kx+t,

聯(lián)立，y2,消去y,得(1?-4)x2+2ktx+t2—4=0,

4—x-=l,

2kt*—4

其中，△>(),Xi+X2=記=W，X|X2=pTJ(*)，(7分)

設(shè)直線AB的傾斜角為a,直線OH的傾斜角為仇，a+0=］或a+B=竽，

9

???直線AB的斜率kAB與直線OH的斜率koH滿足kABk°H=l，（9分）

直線AD的方程是y='?"2x—2,H（—

X2丫2十2

I（yz+2）tyz+2tkxz+t+2tl+2