《數(shù)學(xué)（第8版 下冊(cè)）（電工電子類）》 課件 第1章 三角函數(shù)及其應(yīng)用

三角函數(shù)及其應(yīng)用第1章1目錄1.1已知三角函數(shù)值求角1.2兩角和與差的正弦、余弦1.3正弦型曲線與正弦量1.4解三角形及其應(yīng)用2學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解已知三角函數(shù)值，求指定范圍內(nèi)的角的方法.2.會(huì)借助計(jì)算器求已知三角函數(shù)值的角.3.掌握兩角和與差的正弦、余弦公式，會(huì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算.4.會(huì)應(yīng)用兩角和與差的正弦公式進(jìn)行電工學(xué)中的同頻率正弦量的疊加計(jì)算.5.了解正弦型曲線與電工學(xué)中的交流電的關(guān)系，熟練掌握正弦量的三要素，會(huì)求同頻率正弦量的相位差.6.理解并掌握直角三角形的邊角關(guān)系，能應(yīng)用直角三角形的邊角關(guān)系解決一些實(shí)際問題.3

4由于角

α的三角比值與點(diǎn)

P在角

α終邊上的位置無關(guān)，因此利用單位圓求已知角

α的三角比值較為方便.如圖所示，在單位圓中即點(diǎn)

P

的坐標(biāo)為

(sinα，cosα).5三角比值在各象限的符號(hào)如圖所示.67三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式一公式二公式三81.1已知三角函數(shù)值求角9實(shí)例考察如圖所示，某海關(guān)緝私艇在點(diǎn)

O

處發(fā)現(xiàn)在正北方向

30

n

mile的

A

處有一艘可疑船只，測(cè)得它正以

60

n

mile/h

的速度向正東方向航行，緝私艇隨即調(diào)整方向，以

75

n

mile/h

的速度準(zhǔn)備在

B

處攔截，問緝私艇應(yīng)沿怎樣的方向航行，經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間能追上可疑船只？10

11

12131.1.1已知正弦函數(shù)值求角在計(jì)算器的標(biāo)準(zhǔn)設(shè)置中，已知正弦函數(shù)值，只能顯示出

－90°~90°范圍內(nèi)的角.求角的操作步驟是：設(shè)定角度或弧度計(jì)算模式→按鍵

→按鍵

→輸入正弦函數(shù)值→按鍵

→顯示

－90°~90°

范圍內(nèi)的角.141.1.2已知余弦函數(shù)值求角在計(jì)算器的標(biāo)準(zhǔn)設(shè)置中，已知余弦函數(shù)值，只能顯示出0°~180°（或0~π）范圍內(nèi)的角.求角的操作步驟是：設(shè)定角度或弧度計(jì)算模式→按鍵

→按鍵

→輸入余弦函數(shù)值→按鍵

→顯示0°~180°（或0~π）范圍內(nèi)的角.1.2兩角和與差的正弦、余弦15實(shí)例考察某城市的電視發(fā)射塔建在近郊的一座小山上，如圖所示.小山高

BC約為50m，在地平面上的

A

處，測(cè)得

A，C

兩點(diǎn)間的距離約為130m，測(cè)得電視發(fā)射塔的視角（∠CAD）約為45°，求這座電視發(fā)射塔的高度

CD.16設(shè)這座電視發(fā)射塔的高

CD=xm，∠BAC=α.在直角三角形

ABC中在直角三角形

ABD中1718如果能由

和45°的三角函數(shù)值求得tan(45°+α)的值，那么上式就是一個(gè)關(guān)于

x的一元一次方程，由此就能很方便地求得這座電視發(fā)射塔的高度.如何由

和45°的三角函數(shù)值求得tan(45°+α)的值呢？一般地說，如果知道了任意角

α和

β的三角函數(shù)值，那么如何利用它們來表示

α+β和

α－β的三角函數(shù)值呢？這些就是本節(jié)要解決的問題.1.2.1兩角和與差的余弦下面我們來研究如何用角

α和

β的三角函數(shù)值表示cos(α－β)的問題.如下圖

a所示，圓

O的半徑為1（圓

O是單位圓），圓

O與

x軸正半軸的交點(diǎn)為

P0(1，0)，任意角

α，β和

α－β的終邊與圓的交點(diǎn)依次為

P1，P2和

P3，則|OP1|=|OP2|=|OP3|=1.19根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，點(diǎn)

P1，P2，P3的坐標(biāo)分別是(cosα，sinα)，(cosβ，sinβ)，(cos(α－β)，sin(α－β)).如上圖b所示，連接

P0P3和

P1P2.由于∠P2OP1=∠P0OP3=α－β，根據(jù)相等的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)相等，得|P0P3|=|P1P2|.20根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，有2122因?yàn)閨P0P3|2=|P1P2|2，所以即上式對(duì)任意角

α和

β都成立.在上面的公式中，用－β代替

β，得即這樣，我們得到兩角和與差的余弦公式：231.2.2兩角和與差的正弦根據(jù)sin=cosα，cos=sinα和公式

Cα－β，得即sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.24在上面的公式中，用－β代替

β，推導(dǎo)出sin(α－β)的正弦公式：這樣，我們得到兩角和與差的正弦公式：251.2.3asinx±bcosx的轉(zhuǎn)化我們假設(shè)

asinx±bcosx=Asin(x±φ)，因?yàn)锳sin(x±φ)=A(sinxcosφ±cosxsinφ)=Acosφsinx±Asinφcosx，所以由此可得A2cos2φ+A2sin2φ=a2+b2，26

271.3正弦型曲線與正弦量28實(shí)例考察使用示波器測(cè)試正弦信號(hào)是電子工程中的一項(xiàng)既基礎(chǔ)又重要的工作，可以幫助我們了解信號(hào)的頻率、幅度、相位等重要參數(shù).29現(xiàn)有一工作任務(wù)，要求同學(xué)們使用示波器探究某個(gè)正弦交流電壓信號(hào)，獲取其峰值、頻率等數(shù)據(jù)，并且跟蹤記錄其在一個(gè)周期內(nèi)的波形，根據(jù)測(cè)得的波形圖試寫出電壓

u關(guān)于時(shí)間

t的瞬時(shí)表達(dá)式.我們知道正弦交流電壓瞬時(shí)值

u

關(guān)于時(shí)間

t的函數(shù)為正弦型函數(shù)，回顧正弦型函數(shù)

y=Asin(ωx+φ)作圖的五點(diǎn)法，本節(jié)我們將進(jìn)一步研究正弦型函數(shù)的圖像.301.3.1正弦型曲線一般地，把正弦型函數(shù)

y=Asin(ωx+φ)（A，ω，φ均為常數(shù)）的圖像稱為正弦型曲線.正弦型曲線在物理學(xué)、電工學(xué)和工程技術(shù)中應(yīng)用十分廣泛.為了掌握這類函數(shù)的變化特征，我們將討論常數(shù)

A，ω，φ對(duì)函數(shù)

y=Asin(ωx+φ)圖像的影響.31

32可以看出，函數(shù)

y=Asinx（A>0）的振幅為

A，周期為2π，與

y=sinx的圖像有如下關(guān)系：33

34可以看出，函數(shù)

y=sinωx（ω>0）與

y=sinx的圖像有如下關(guān)系：35函數(shù)

y=sin(x+φ)的圖像用五點(diǎn)法作函數(shù)

和

在一個(gè)周期內(nèi)的圖像，并把它們與

y=sinx的圖像作比較.分別列表及圖像如下圖：36可以看出，函數(shù)

y=sin(x+φ)與

y=sinx的圖像有如下關(guān)系：37函數(shù)

y=Asin(ωx+φ)，A>0，ω>0的圖像綜上所述，函數(shù)

y=Asinx，y=sinωx和

y=sin(x+φ)的圖像都可以由正弦曲線

y=sinx分別經(jīng)過振幅和周期的變換以及起點(diǎn)的平移得到，總結(jié)規(guī)律如下：381.3.2正弦量我們?nèi)粘Ｉa(chǎn)和生活中用的電大部分為交流電.交流電的電壓、電流均為按正弦規(guī)律變化的量，例如：上式中

u，i分別稱為正弦電壓、正弦電流，統(tǒng)稱為正弦量.39正弦量的三要素上述正弦量就是正弦型函數(shù)

y=Asin(ωx+φ)在電工學(xué)中的應(yīng)用，它們的波形圖就是正弦型曲線.在電工學(xué)中，A稱為正弦量的最大值；

稱為正弦量的周期；稱為正弦量的頻率；ωx+φ稱為相位；ω稱為角頻率；φ稱為初相.頻率(或周期)、最大值(振幅)和初相稱為正弦量的三要素.40正弦量的相位差在正弦交流電中，電壓和電流都是同頻率的正弦量，分析電路時(shí)常常要比較它們的相位.兩個(gè)同頻率正弦量的相位之差稱為相位差，用

φ表示.設(shè)有兩個(gè)同頻率的正弦量為41則

u與

i之間的相位差為可見，兩個(gè)同頻率正弦量的相位差

φ等于它們的初相之差，其范圍為|φ|≤π.42設(shè)有兩個(gè)同頻率的正弦電壓

u1和

u2，它們的初相分別為

φ1和

φ2，以此為例介紹兩個(gè)同頻率正弦量相位關(guān)系的幾種情況：431.4解三角形及其應(yīng)用44實(shí)例考察如圖所示，梯長(zhǎng)為6m.要想使人安全地攀上斜靠在墻面上的梯子的頂端，梯子與地面所成的角

α一般要滿足50°≤α≤75°.45問題一

使用這個(gè)梯子最高可以安全攀上多高的墻（要求梯子的頂端靠在墻面的頂端）？問題二

當(dāng)梯子底端距離墻面2.4m時(shí)，梯子與地面所成的角

α等于多少？這時(shí)人能否安全使用這個(gè)梯子？46問題一中，當(dāng)梯子與地面所成的角為75°時(shí)，梯子頂端與地面的距離是使用這個(gè)梯子所能攀到的最大高度.問題一可歸結(jié)為：在直角三角形

ABC中，已知∠A=75°，斜邊

AB=6，求∠A的對(duì)邊

BC的長(zhǎng).問題二中，當(dāng)梯子底端距離墻面2.4m時(shí)，求梯子與地面所成的角

α，可歸結(jié)為：在直角三角形

ABC中，已知

AC=2.4，斜邊

AB=6，求銳角

α的度數(shù).47在生產(chǎn)和生活中，我們經(jīng)常會(huì)遇到解三角形的問題.我們知道，三角形的三個(gè)角和三條邊是三角形的六個(gè)元素，由已知的三個(gè)元素求另外三個(gè)元素的過程，稱為解三角形.由于直角三角形自身的特殊性質(zhì)，解直角三角形相對(duì)簡(jiǎn)單，但這也是解任意三角形的基礎(chǔ).48在直角三角形中，除直角以外的五個(gè)元素，知道其中兩個(gè)元