2024-2025學(xué)年山西省大同市高二上冊(cè)10月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年山西省大同市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線(xiàn)內(nèi)項(xiàng)目填寫(xiě)清楚．3．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效．4．本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊(cè)第一章～第二章第3節(jié)．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，則的傾斜角為（）A. B. C. D.2.若，，三點(diǎn)共線(xiàn)，則（）A. B. C. D.3.在長(zhǎng)方體中，為棱的中點(diǎn).若，則等于（）A. B.C. D.4.兩平行直線(xiàn)：，：之間的距離為（）A B.3 C. D.5.已知向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.6.已知平面的一個(gè)法向量，是平面內(nèi)一點(diǎn)，是平面外一點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離是（）A. B. C. D.37.如圖，在四棱錐中，PD底面，底面為正方形，PD=DC=2，Q為PC上一點(diǎn)，且PQ=3QC，則異面直線(xiàn)AC與BQ所成的角為（）A B. C. D.8.在正三棱柱中，，，，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則線(xiàn)段長(zhǎng)度的最小值為（）A.2 B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列關(guān)于空間向量的命題中，是真命題的是（）A.若三個(gè)非零向量能構(gòu)成空間一個(gè)基底，則它們一定不共面B.若，則，的夾角是銳角C.不相等的兩個(gè)空間向量的模可能相等D.若，是兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，且且，則構(gòu)成空間的一個(gè)基底10已知直線(xiàn)，直線(xiàn)，則（）A.當(dāng)時(shí)，與交點(diǎn)為B.直線(xiàn)恒過(guò)點(diǎn)C.若，則D.存在，使11.在平行六面體中，，，若，其中，，，則下列結(jié)論正確的為（）A.若點(diǎn)在平面內(nèi)，則 B.若，則C.當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為 D.當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)度的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，且它在軸上的截距為4，則直線(xiàn)的方程為_(kāi)_____．13.在空間直角坐標(biāo)系中，已知，則三棱錐的體積為_(kāi)________．14.在中，頂點(diǎn)，點(diǎn)在直線(xiàn)上，點(diǎn)在軸上，則周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_____.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.在梯形中，，，已知，，．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求梯形的面積．16.如圖所示的幾何體是圓錐的一部分，其中是圓錐的高，是圓錐底面的一條直徑，，，是的中點(diǎn)．（1）求直線(xiàn)與所成角的余弦值；（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．17.如圖，在長(zhǎng)方體中，，，，，，分別為棱，，，的中點(diǎn).（1）證明：，，，四點(diǎn)共面；（2）若點(diǎn)在棱，且平面，求的長(zhǎng)度.18.如圖，四邊形是直角梯形，為的中點(diǎn)，是平面外一點(diǎn)，是線(xiàn)段上一點(diǎn)，三棱錐的體積是.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.19.球面幾何在研究球體定位等問(wèn)題有重要的基礎(chǔ)作用.球面上的線(xiàn)是彎曲的，不存在直線(xiàn)，連接球面上任意兩點(diǎn)有無(wú)數(shù)條曲線(xiàn)，它們長(zhǎng)短不一，其中這兩點(diǎn)在球面上的最短路徑的長(zhǎng)度稱(chēng)為兩點(diǎn)間的球面距離.球面三角學(xué)是研究球面三角形的邊、角關(guān)系的一門(mén)學(xué)科.如圖1，球的半徑為，，，為球面上三點(diǎn)，曲面（陰影部分）叫做球面三角形.若設(shè)二面角，，分別為，，，則球面三角形的面積為.（1）若平面，平面，平面兩兩垂直，求球面三角形的面積；（2）將圖1中四面體截出得到圖2，若平面三角形為直角三角形，，設(shè)，，.①證明：；②延長(zhǎng)與球交于點(diǎn)，連接，，若直線(xiàn)，與平面所成的角分別為，，且，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，設(shè)平面與平面的夾角為，求的最小值.2024-2025學(xué)年山西省大同市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線(xiàn)內(nèi)項(xiàng)目填寫(xiě)清楚．3．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效．4．本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊(cè)第一章～第二章第3節(jié)．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，則的傾斜角為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)求出直線(xiàn)斜率，根據(jù)斜率與傾斜角關(guān)系即可得出答案.【詳解】設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為，則，又，所以．故選：C．2.若，，三點(diǎn)共線(xiàn)，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】利用共線(xiàn)向量的性質(zhì)，設(shè)且，進(jìn)而列方程求解.【詳解】三點(diǎn)共線(xiàn)，且，得，解得,故選：A.3.在長(zhǎng)方體中，為棱的中點(diǎn).若，則等于（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)向量線(xiàn)性運(yùn)算法則，結(jié)合題意即可求解.【詳解】因?yàn)殚L(zhǎng)方體中，為棱的中點(diǎn)，所以，故選：A.4.兩平行直線(xiàn)：，：之間的距離為（）A. B.3 C. D.【正確答案】A【分析】利用兩平行直線(xiàn)之間的距離公式求解即可．【詳解】由題意得：直線(xiàn)，，，，兩直線(xiàn)為平行直線(xiàn)，直線(xiàn)，兩平行直線(xiàn)之間距離為．故選：A5.已知向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)投影向量的定義求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，，則向量在向量上的投影向量為.故選：D.6.已知平面的一個(gè)法向量，是平面內(nèi)一點(diǎn)，是平面外一點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離是（）A. B. C. D.3【正確答案】C【分析】根據(jù)空間向量點(diǎn)到面的距離公式直接進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，，則，點(diǎn)在平面內(nèi)，點(diǎn)平面外，平面的一個(gè)法向量，所以點(diǎn)到平面的距離.故選：C.7.如圖，在四棱錐中，PD底面，底面為正方形，PD=DC=2，Q為PC上一點(diǎn)，且PQ=3QC，則異面直線(xiàn)AC與BQ所成的角為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】以D為原點(diǎn)，DA，DC，DP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求異面直線(xiàn)所成的角即可【詳解】因?yàn)镻D⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，所以DP，DC，DA兩兩互相垂直，以D為原點(diǎn)，DA，DC，DP分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．由，得，，，，，所以，，設(shè)異面直線(xiàn)AC與BQ所成的角為，則，又，所以異面直線(xiàn)AC與BQ所成的角為．故選：A．8.在正三棱柱中，，，，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則線(xiàn)段長(zhǎng)度的最小值為（）A.2 B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)正三棱柱建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合線(xiàn)線(xiàn)關(guān)系求線(xiàn)段的表達(dá)式，利用函數(shù)求最值即可.【詳解】因?yàn)檎庵?，有，所以為的中點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接，如圖，以為原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)槭抢馍弦粍?dòng)點(diǎn)，設(shè)，且，因?yàn)?，且，所以，于是令，所以，，又函?shù)在上為增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，即線(xiàn)段長(zhǎng)度的最小值為.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列關(guān)于空間向量的命題中，是真命題的是（）A.若三個(gè)非零向量能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則它們一定不共面B.若，則，的夾角是銳角C.不相等的兩個(gè)空間向量的模可能相等D.若，是兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，且且，則構(gòu)成空間的一個(gè)基底【正確答案】AC【分析】根據(jù)空間向量基本定理即可判斷AD；對(duì)B，舉例即可反駁；根據(jù)空間向量定義即可判斷C.【詳解】選項(xiàng)A，由空間向量基本定理可知正確；選項(xiàng)B，當(dāng)且，時(shí)，，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，由空間向量定義可知正確；選項(xiàng)D，由空間向量基本定理可知，與，共面，則不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知直線(xiàn)，直線(xiàn)，則（）A.當(dāng)時(shí)，與的交點(diǎn)為B.直線(xiàn)恒過(guò)點(diǎn)C.若，則D.存在，使【正確答案】ABC【分析】將代入，聯(lián)立兩直線(xiàn)方程即可求得交點(diǎn)，則A可解；由直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題可求B；由直線(xiàn)垂直的條件可判斷C；由直線(xiàn)平行的條件可判斷D.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)，直線(xiàn)，聯(lián)立，解得，所以?xún)芍本€(xiàn)的交點(diǎn)為，故A正確；對(duì)于B，直線(xiàn)，即，令，即，所以直線(xiàn)恒過(guò)點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C：若，則，解得，故C正確；對(duì)于D，假設(shè)存在，使，則，解得或，當(dāng)，，，兩直線(xiàn)重合，舍去，當(dāng)時(shí)，，即，，即，兩直線(xiàn)重合，舍去，所以不存在，使，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.在平行六面體中，，，若，其中，，，則下列結(jié)論正確的為（）A.若點(diǎn)在平面內(nèi)，則 B.若，則C.當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為 D.當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)度的最小值為【正確答案】ABD【分析】根據(jù)平面向量的基本定理及空間向量的加法法則可得，進(jìn)而求解判斷A；根據(jù)空間向量的數(shù)量積定義和線(xiàn)性運(yùn)算可得，，進(jìn)而結(jié)合即可求解判斷B；由題易知四面體為正四面體，設(shè)在平面內(nèi)的射影為點(diǎn)，進(jìn)而可得當(dāng)時(shí)，到平面的距離為，進(jìn)而結(jié)合三棱錐的體積公式求解判斷C；根據(jù)空間向量的數(shù)量積定義及運(yùn)算律可得，進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式即可求解判斷D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，若點(diǎn)在平面內(nèi)，易知有，所以，又，則，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，由題意易得，，且，又，即，故，解得，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，由題易知四面體為正四面體，設(shè)在平面內(nèi)的射影為點(diǎn)，則為的中心，易得，．當(dāng)時(shí)，到平面的距離為，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，由B知，，又，由基本不等式可知，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以長(zhǎng)度的最小值為，故D正確．故選：ABD．關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用空間向量的的數(shù)量積定義和線(xiàn)性運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化問(wèn)題，使之轉(zhuǎn)化為較易的問(wèn)題進(jìn)行解決.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，且它在軸上的截距為4，則直線(xiàn)的方程為_(kāi)_____．【正確答案】【分析】根據(jù)直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直與斜率的關(guān)系得到直線(xiàn)的斜率，再結(jié)合其截距即可得到答案.【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)與直線(xiàn)垂直，所以直線(xiàn)的斜率，又直線(xiàn)在軸上的截距為4，即直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，由點(diǎn)斜式可得直線(xiàn)，化簡(jiǎn)得故答案為.13.在空間直角坐標(biāo)系中，已知，則三棱錐的體積為_(kāi)________．【正確答案】2【分析】通過(guò)已知點(diǎn)的坐標(biāo)，求出底面的面積，高的數(shù)值，然后求出三棱錐的體積．【詳解】由題意得，所以所以的面積為，點(diǎn)都在平面上，點(diǎn)到平面的距離3，所以三棱錐的體積為．故14.在中，頂點(diǎn)，點(diǎn)在直線(xiàn)上，點(diǎn)在軸上，則周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_____.【正確答案】【分析】拆線(xiàn)段之和最值問(wèn)題，利用對(duì)稱(chēng)，將直線(xiàn)同側(cè)折線(xiàn)段化為直線(xiàn)異側(cè)兩定點(diǎn)間的折線(xiàn)段之和，由兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短可知.【詳解】設(shè)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，與的交點(diǎn)即為，與軸的交點(diǎn)即為.如圖，兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短可知，的長(zhǎng)即為周長(zhǎng)的最小值.設(shè)，則解得即，關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，故周長(zhǎng)的最小值為.故答案為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.在梯形中，，，已知，，．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求梯形的面積．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用直線(xiàn)的位置關(guān)系及斜率公式計(jì)算即可；（2）法一、計(jì)算對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)結(jié)合三角形面積公式求梯形面積即可；法二、利用兩點(diǎn)距離公式先計(jì)算梯形上下底長(zhǎng)，再求一底邊所在直線(xiàn)，根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式計(jì)算梯形的高，利用梯形面積公式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，由，得，即，由，得，即，所以，，即點(diǎn)的坐標(biāo)為．【小問(wèn)2詳解】方法一：，，設(shè)，又，所以梯形的面積；方法二：，，由，，得直線(xiàn)的方程為，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離．所以梯形的面積．16.如圖所示的幾何體是圓錐的一部分，其中是圓錐的高，是圓錐底面的一條直徑，，，是的中點(diǎn)．（1）求直線(xiàn)與所成角的余弦值；（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．【正確答案】（1）（2）．【分析】（1）以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)直線(xiàn)與所成的角為，計(jì)算，,通過(guò)計(jì)算即可；（2）由（1）得，設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為，計(jì)算平面法向量，則通過(guò)計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】以為原點(diǎn)，的方向分別作為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，．設(shè)直線(xiàn)與所成的角為，則，即直線(xiàn)與所成角余弦值是．【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則取，得，所以平面的一個(gè)法向量．設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為，則，即直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為．17.如圖，在長(zhǎng)方體中，，，，，，分別為棱，，，的中點(diǎn).（1）證明：，，，四點(diǎn)共面；（2）若點(diǎn)在棱，且平面，求的長(zhǎng)度.【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）3【分析】（1）連接，，，先可得到四邊形為平行四邊形，進(jìn)而得到，結(jié)合即可得到，進(jìn)而求證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，結(jié)合空間向量求解即可.【小問(wèn)1詳解】證明：連接，，，因?yàn)?，，，分別為棱，，，中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又，所以，所以，，，四點(diǎn)共面.【小問(wèn)2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線(xiàn)為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由，，，，，分別為棱，，，的中點(diǎn)，可得，，，，則，，設(shè)，即，則，由平面，故，即，解得，所以.18.如圖，四邊形是直角梯形，為的中點(diǎn)，是平面外一點(diǎn)，是線(xiàn)段上一點(diǎn)，三棱錐的體積是.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）連接交于點(diǎn)，借助全等三角形的判定定理可得，從而可得，即可得，再利用線(xiàn)面垂直的判定定理可得平面，即可得，再利用勾股定理的逆定理及線(xiàn)面垂直的判定定理即可得證；（2）建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，再借助體積公式計(jì)算出的值，從而可計(jì)算出平面與平面的法向量，再利用空間向量夾角公式求解即可得.【小問(wèn)1詳解】如圖，連接交于點(diǎn)，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，所以，即，又因?yàn)槠矫?，所以平面，又平面，所以．又因?yàn)?，所以，又平面，所以平面；【小?wèn)2詳解】以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸，平行于的直線(xiàn)為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，即點(diǎn)，則三棱錐的體積，解得，所以，則，設(shè)平面的法向量，由，令，則，即可得平面的一個(gè)法向量，由軸平面，故為平面的一個(gè)法向量，所以，由圖可知二面角是銳二面角，故