材料成形基本原理（第3版）（下）課件：應(yīng)力狀態(tài)和應(yīng)變狀態(tài)分析

材料成形原理（下）

應(yīng)力狀態(tài)和應(yīng)變狀態(tài)分析塑性成形理論的基本任務(wù)之一，是確定金屬坯料在給定邊界條件下發(fā)生塑性變形時(shí)，其內(nèi)部的位移（速度）場(chǎng)、應(yīng)變場(chǎng)和應(yīng)力場(chǎng)。掌握這些物理變量場(chǎng)，就能進(jìn)一步預(yù)測(cè)金屬坯料形狀尺寸的變化，計(jì)算成形力、功能消耗和工模具接觸面上的壓力分布，分析工件內(nèi)部的變形分布、工件質(zhì)量和可能出現(xiàn)的缺陷；從而為合理制定成形工藝、設(shè)計(jì)成形模具、選用成形設(shè)備和控制產(chǎn)品質(zhì)量提供科學(xué)的理論依據(jù)。為了確定這些物理變量場(chǎng)，需要具備關(guān)于變形體內(nèi)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)和應(yīng)變狀態(tài)分析的基礎(chǔ)知識(shí)。塑性理論塑性理論：研究金屬在塑性狀態(tài)的力學(xué)行為稱為塑性理論或塑性力學(xué)，是連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的一個(gè)分支。塑性理論假設(shè)：變形體是連續(xù)的；變形體是均質(zhì)和各向同性的；在變形的任一瞬間，力的作用是平衡的；在一般情況下，忽略體積力的影響。塑性理論在塑性理論中，分析問題的方法：靜力學(xué)：根據(jù)靜力學(xué)平衡條件導(dǎo)出應(yīng)力分量之間的關(guān)系式——平衡微分方程。幾何學(xué)：根據(jù)變形體的連續(xù)性和均勻性，導(dǎo)出應(yīng)變與位移分量之間的關(guān)系式——幾何方程或協(xié)調(diào)方程。物理學(xué)：根據(jù)實(shí)驗(yàn)與假設(shè)導(dǎo)出應(yīng)變與應(yīng)力分量之間的關(guān)系式——本構(gòu)方程。此外，建立變形體在塑性狀態(tài)下應(yīng)力分量與材料性能之間的關(guān)系——屈服準(zhǔn)則或塑性條件。§15應(yīng)力分析點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)分析外力塑性加工時(shí)，由外部施加于物體的作用力叫外力?？梢苑譃閮深悾好媪蚪佑|力和體積力。面力：作用于物體表面的力，也叫接觸力。如作用于物體表面的分布載荷，正壓力和摩擦力都是面力。體積力：作用在物體每個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的力。如重力、磁力和慣性力等。（高速變形下，慣性力不可忽略）內(nèi)力在外力的作用下，變形體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)就會(huì)產(chǎn)生相互作用的力，稱為內(nèi)力。應(yīng)力單位面積上的內(nèi)力稱為應(yīng)力。S為A面上Q點(diǎn)的全應(yīng)力，為應(yīng)力矢量。過Q點(diǎn)可以作無數(shù)個(gè)不同的截面，也就有無數(shù)個(gè)相對(duì)應(yīng)的應(yīng)力矢量。應(yīng)力若截面的法向方向平行于x軸，則全應(yīng)力P可以分解為應(yīng)力狀態(tài)只要知道過一點(diǎn)Q的三個(gè)相互垂直截面上的3個(gè)應(yīng)力矢量，則過該點(diǎn)的任意截面上的應(yīng)力矢量均可求出，即該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)完全確定。直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)設(shè)在直角主標(biāo)系中有一承受任意力系作用的物體，物體中有一任意點(diǎn)Q，圍繞著Q切取一無限小的正六面體（又稱為單元體），其棱邊分別平行于三根坐標(biāo)軸。在三個(gè)互相垂直的微分面上有3個(gè)正應(yīng)力分量和6個(gè)切應(yīng)力分量；一般情況下，共有9個(gè)應(yīng)力分量完整地描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力分量的符號(hào)帶有兩個(gè)下角標(biāo)：前一個(gè)角標(biāo)表示該應(yīng)力分量所在的坐標(biāo)面（用該面的法線命名）；第二個(gè)角標(biāo)表示應(yīng)力所指的坐標(biāo)方向；正應(yīng)力分量的兩個(gè)下角標(biāo)相同，兩個(gè)下角標(biāo)不同的是切應(yīng)力分量。

切應(yīng)力互等定理

9個(gè)應(yīng)力分量中只有6個(gè)是互相獨(dú)立的，它們組成對(duì)稱的應(yīng)力張量。直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)上述9個(gè)應(yīng)力分量可用σij來表示應(yīng)力狀態(tài)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)不同于物理量中的標(biāo)量或矢量，它需要用過該點(diǎn)的三個(gè)相互垂直截面上的3個(gè)應(yīng)力矢量(或9個(gè)應(yīng)力分量)才能確定。這樣的物理量稱為二階張量。點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是一個(gè)二階對(duì)稱張量。直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力分量有正、負(fù)之分：外法線指向坐標(biāo)軸正向的微分面叫做正面，反之為負(fù)面；在正面上指向坐標(biāo)軸正向的應(yīng)力分量取正號(hào)，指向相反方向的取負(fù)號(hào)；負(fù)面上的應(yīng)力分量則相反。按此規(guī)定，拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。任意斜面上的力已知變形體中一點(diǎn)的9個(gè)應(yīng)力分量，由靜力平衡條件，可求得過該點(diǎn)的任意斜面上的應(yīng)力。任意斜面上的力已知Q點(diǎn)三個(gè)互相垂直坐標(biāo)面上的應(yīng)力分量σij，過Q點(diǎn)任一斜面ABC（面積為dF）的法線N與三個(gè)坐標(biāo)軸的方向余弦為l，m，n:l=cos(N,x);m=cos(N,y);n=cos(N,z)斜面在三個(gè)坐標(biāo)面的投影面積分別為：dFx=ldF；dFy=mdF；dFz=ndF任意斜面上的力設(shè)斜面上的全應(yīng)力為S，它在三個(gè)坐標(biāo)軸方向上的分量為Sx、Sy、Sz，由靜力平衡條件，得：整理得任意斜面上的力斜面上的正應(yīng)力

斜面上的切應(yīng)力為t點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)已定，則過該點(diǎn)任意斜面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力都將隨該斜面的法線方向余弦l、m、n的數(shù)值而變化。主應(yīng)力和應(yīng)力不變量可以證明，必然存在著唯一的三個(gè)相互垂直的方向，與此三個(gè)方向相垂直的微分面上的剪應(yīng)力恰為零，只存在著正應(yīng)力。主平面：切應(yīng)力為零的平面稱為主平面；主應(yīng)力：主平面上的正應(yīng)力叫做主應(yīng)力(s1、s2

、s3

)；主方向：主平面的法線方向，亦即主應(yīng)力的方向稱為主方向或應(yīng)力主軸。主應(yīng)力和應(yīng)力不變量假設(shè)右圖中的截面就為主平面，面上的切應(yīng)力t=0，則s=S。于是：代入(4-3)可得主應(yīng)力和應(yīng)力不變量上式是以l、m、n為未知數(shù)的齊次線性方程組，其解就是主應(yīng)力的方向，即應(yīng)力主軸。此方程組的一組解為l=m=n=0。但由空間幾何關(guān)系存在(4-8)(4-7)主應(yīng)力和應(yīng)力不變量(4-7)存在非零解的條件是方程組系數(shù)行列式為零。主應(yīng)力和應(yīng)力不變量系數(shù)行列式展開得：

(4-9)其中(4-10)(4-9)應(yīng)力狀態(tài)特征方程，存在3個(gè)實(shí)根(s1,s2,s3)即主應(yīng)力。主應(yīng)力和應(yīng)力不變量將求得的每個(gè)主應(yīng)力代入(4-7)中任意兩個(gè)方程，并和(4-8)連立，即可求得三個(gè)方向余弦，即三個(gè)主方向可得。上述三個(gè)主方向是相互垂直的。對(duì)于一個(gè)給定的應(yīng)力狀態(tài)，其主應(yīng)力是唯一的。因此，(4-9)或(4-10)中的J1,J2,J3的值是固定的，不隨坐標(biāo)的改變而改變。J1,J2,J3分別為應(yīng)力張量的第一、第二和第三不變量?？梢酝ㄟ^應(yīng)力張量的不變量來判斷兩個(gè)應(yīng)力張量代表同一個(gè)應(yīng)力狀態(tài)。主應(yīng)力和應(yīng)力不變量應(yīng)力張量的三個(gè)不變量表示了一個(gè)確定的應(yīng)力狀態(tài)其應(yīng)力分量之間的確定關(guān)系。在主軸坐標(biāo)系中，一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)只有三個(gè)主應(yīng)力，應(yīng)力張量為主應(yīng)力和應(yīng)力不變量主軸坐標(biāo)系中斜面上的應(yīng)力：主應(yīng)力和應(yīng)力不變量——實(shí)例在直角坐標(biāo)系中，一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)表示成張量的形式為:1）畫出該點(diǎn)的應(yīng)力單元體；2）用應(yīng)力狀態(tài)特征方程求出該點(diǎn)的主應(yīng)力和主方向；主應(yīng)力和應(yīng)力不變量應(yīng)力單元體如下圖所示。將各應(yīng)力分量代入應(yīng)力張量不變量的式（4-10），可得J1=5,J2=50,J3=0.代入應(yīng)力狀態(tài)特征方程，得主應(yīng)力和應(yīng)力不變量將應(yīng)力分量代入式（4-7），并與式（4-8）聯(lián)合寫成方程組為求主方向，可將解得的三個(gè)主應(yīng)力值，分別代入上述方程組的前三式中的任意兩式，與第四式聯(lián)立求解，可求得三個(gè)主方向的方向余弦為主應(yīng)力和應(yīng)力不變量

對(duì)于

：

，

，

;

對(duì)于

：

，

，

;

對(duì)于

：

，

，

。特殊應(yīng)力狀態(tài)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)通過三個(gè)主方向上的主應(yīng)力表示時(shí)，可以根據(jù)三個(gè)主應(yīng)力的特點(diǎn)區(qū)分各種應(yīng)力狀態(tài)：三個(gè)主應(yīng)力中有兩個(gè)為零時(shí)，稱為單向應(yīng)力狀態(tài)，試樣拉伸屬于這種應(yīng)力狀態(tài)；只有一個(gè)主應(yīng)力為零時(shí)，稱為平面應(yīng)力狀態(tài)，大多數(shù)板料成形工序可看成這種應(yīng)力狀態(tài)；若三個(gè)主應(yīng)力都不為零，叫三向應(yīng)力狀態(tài)，所有體積成形均屬于這種應(yīng)力狀態(tài)；如果三個(gè)主應(yīng)力中有兩個(gè)相等，稱為軸對(duì)稱應(yīng)力狀態(tài)。主切應(yīng)力和主切應(yīng)力平面主切應(yīng)力平面：使切應(yīng)力達(dá)到極大值的平面稱為主切應(yīng)力平面；主切應(yīng)力：主切應(yīng)力平面上所作用的切應(yīng)力稱為主切應(yīng)力。主切應(yīng)力和主切應(yīng)力平面在主軸空間中，垂直于一個(gè)主平面而與另兩個(gè)主平面交角為45

的平面就是主切應(yīng)力平面。主切應(yīng)力和主切應(yīng)力平面主切應(yīng)力和主切應(yīng)力平面主切應(yīng)力平面上的主切應(yīng)力為

主切應(yīng)力角標(biāo)表示與主切應(yīng)力平面呈45

相交的兩主平面的編號(hào)。三個(gè)主切應(yīng)力平面也是互相正交。最大切應(yīng)力最大切應(yīng)力：主切應(yīng)力中絕對(duì)值最大的一個(gè)稱為最大切應(yīng)力，用

max表示。通常，三個(gè)主應(yīng)力的關(guān)系為，則主切應(yīng)力平面上的正應(yīng)力值和主切應(yīng)力值(4-13)應(yīng)力球張量和應(yīng)力偏張量(4-14)

應(yīng)力偏張量應(yīng)力球張量其中，sm為三個(gè)正應(yīng)力分量的平均值，稱平均應(yīng)力（或靜水壓力），即應(yīng)力球張量和應(yīng)力偏張量應(yīng)力球張量：也稱靜水應(yīng)力狀態(tài)，其任何方向都是主方向，且主應(yīng)力相同，均為平均應(yīng)力。在任何切平面上都沒有切應(yīng)力，所以不能使物體產(chǎn)生形狀變化，而只能產(chǎn)生體積變化，即不能使物體產(chǎn)生塑性變形。應(yīng)力球張量雖不能使物體產(chǎn)生塑性變形或形狀改變，但對(duì)物體的塑性變形能力卻有重大影響。應(yīng)力球張量和應(yīng)力偏張量應(yīng)力偏張量的切應(yīng)力分量、主切應(yīng)力、最大切應(yīng)力及應(yīng)力主軸等都與原應(yīng)力張量相同。應(yīng)力偏張量只使物體產(chǎn)生形狀變化，而不能產(chǎn)生體積變化。材料的塑性變形是由應(yīng)力偏張量引起的，即物體是否發(fā)生塑性變形只和應(yīng)力偏張量相關(guān)。應(yīng)力球張量和應(yīng)力偏張量歸結(jié)起來，物體在應(yīng)力張量作用下所發(fā)生的變化，包括體積變化和形狀變化；前者取決于應(yīng)力張量中的應(yīng)力球張量，而后者取決于應(yīng)力偏張量；體積變化只能是彈性的，當(dāng)應(yīng)力偏張量滿足一定數(shù)量關(guān)系時(shí)，則物體發(fā)生塑性變形。等效應(yīng)力材料力學(xué)性能的特征指標(biāo)（ss,sb）通常是通過單向拉伸、壓縮試驗(yàn)獲得的。引入“等效應(yīng)力”概念，將復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力值折合成單向應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力值，以便比較。等效應(yīng)力定義：(4-26)應(yīng)力平衡微分方程應(yīng)力是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，即在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)Q(x,y,z)的應(yīng)力狀態(tài)為

ij。無限鄰近處點(diǎn)Q

((x+dx),(y+dy),(z+dz))應(yīng)力平衡微分方程如在Q

點(diǎn)的x面上，其正應(yīng)力分量為則Q

點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為

Q

點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為應(yīng)力平衡微分方程由平衡條件,有由此得應(yīng)力平衡微分方程同理，在3個(gè)方向上可得(4-15)平面問題應(yīng)力平衡微分方程平面應(yīng)力狀態(tài)：平面應(yīng)變狀態(tài)：簡(jiǎn)化的式子：物體內(nèi)與Z軸垂直的平面始終不會(huì)傾斜扭轉(zhuǎn),所以這種面上沒有剪應(yīng)力分量.（4-16）§16應(yīng)變分析4.2.2點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)分析小變形：物體在外力作用下產(chǎn)生變形，與本身幾何尺寸相比是非常小的量（10-3~10-2），這種變形稱作小變形。在小變形分析中，變形量的二次微量可以忽略。塑性加工中產(chǎn)生的塑性變形是大變形，分析大變形需要采用增量理論和有限變形，但小變形分析比較簡(jiǎn)單直觀，而且大變形分析可以直接借用小變形分析的結(jié)果只討論小變形分析位移和應(yīng)變某點(diǎn)A在空間上發(fā)生了位置改變（坐標(biāo)發(fā)生了變化），則稱A點(diǎn)產(chǎn)生了位移。AB兩點(diǎn)如果僅僅是發(fā)生了位移，而AB兩點(diǎn)之間相對(duì)位置未發(fā)生變化，則為剛性運(yùn)動(dòng)；若相對(duì)位置發(fā)生了變化，則稱AB發(fā)生了相對(duì)位移。位移和應(yīng)變物體受力作用發(fā)生變化時(shí)，其內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)將發(fā)生位移。設(shè)某一質(zhì)點(diǎn)的位移矢量為U，它在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影用u、v、w表示，稱為位移分量。物體在變形后仍保持連續(xù)，位移分量應(yīng)為坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，即：u=u(x、y、z);v=v(x、y、z);w=w(x、y、z)

物體中任意兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間發(fā)生相對(duì)位移時(shí)，則認(rèn)為該物體已發(fā)生變形，即存在應(yīng)變，應(yīng)變用位移的相對(duì)變化表示。應(yīng)變有正應(yīng)變（線應(yīng)變）和剪應(yīng)變兩種基本方式。正(線)應(yīng)變和切應(yīng)變點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)（1）在x,y,z方向上線元的長(zhǎng)度發(fā)生改變，其線應(yīng)變分別為

（2）單元體分別在x面,y面和z面發(fā)生角度偏轉(zhuǎn)，產(chǎn)生應(yīng)變?yōu)閼?yīng)變狀態(tài)與一點(diǎn)的三個(gè)互相垂直的微分面上9個(gè)應(yīng)力分量決定該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一樣，質(zhì)點(diǎn)的三個(gè)互相垂直方向上的9個(gè)應(yīng)變分量確定了該點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)。已知這九個(gè)應(yīng)變分量，可以求出給定任意方向上的應(yīng)變，這表明對(duì)應(yīng)不同坐標(biāo)系應(yīng)變分量之間有確定的變換關(guān)系。應(yīng)變張量應(yīng)變張量也是二階對(duì)稱張量，可用表示為:應(yīng)變張量（1）存在三個(gè)互相垂直的主方向，在該方向上線元只有主應(yīng)變而無切應(yīng)變。用、、表示主應(yīng)變，則主應(yīng)變張量為主應(yīng)變可由應(yīng)變狀態(tài)特征方程求得應(yīng)變張量對(duì)于塑性變形，由體積不變條件

（2）存在三個(gè)應(yīng)變張量不變量I1、I2、I3，且

應(yīng)變張量（14-11）

(3)在與主應(yīng)變方向成45度方向存在主切應(yīng)變，其大小為若e1≥e2≥e3，則最大切應(yīng)變?yōu)閼?yīng)變張量（4）應(yīng)變張量可以分解為應(yīng)變球張量和應(yīng)變偏張量