全套課件-概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

一、樣本空間1.1樣本空間與隨機(jī)事件二、隨機(jī)事件※問題的提出定義1：E的所有可能基本結(jié)果組成的集合稱為E的樣本空間，記作S。定義2：樣本空間中每一個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)(Samplingpoint)，記作e。

一、樣本空間隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果怎么去表述？(1)拋擲一枚硬幣,觀察正反面出現(xiàn)的情況.(2)拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).可能結(jié)果為：“正面，反面”.可能結(jié)果為:“1”,“2”,“3”,“4”,“5”或“6”.例1.試寫出下列試驗(yàn)的樣本空間H→正面，T→反面(4)記錄某公共汽車站某日上午某時(shí)刻的等車人數(shù).(5)從一批燈泡中任意抽取一只,測試其使用壽命.可能結(jié)果為:“0,1,2,…”(3)4件產(chǎn)品，2正，2次，從中任取3件，觀察正次品出現(xiàn)情況.將四件產(chǎn)品標(biāo)記為:A,B,C,D,可能結(jié)果為:“ABC,ABD,ACD,BCD”其中t表示燈泡的使用壽命※2.同一試驗(yàn),若試驗(yàn)?zāi)康牟煌?則對應(yīng)的樣本空間也不同.eg將一枚硬幣連續(xù)拋擲兩次Case1:若觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況,則樣本空間為Case2:若觀察出現(xiàn)正面的總次數(shù),

則樣本空間為注1.試驗(yàn)不同,對應(yīng)的樣本空間一般不同.egS={H,T}可以作為拋擲硬幣試驗(yàn)的樣本空間也可以作為射擊問題中擊中與否的樣本空間1、定義3：隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間S的子集稱為試驗(yàn)E的隨機(jī)事件，簡稱事件，通常用A,B,..,Ak,…表示。試驗(yàn)中,骰子可能出現(xiàn)“1點(diǎn)”,…,“6點(diǎn)”,“點(diǎn)數(shù)不大于4”,“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”等均為隨機(jī)事件.

eg

拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).二、隨機(jī)事件(RandomEvents)練習(xí)：同時(shí)投擲兩枚骰子，試寫出該試驗(yàn)的樣本空間、隨機(jī)事件A,B,C。事件A表示“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于10”,事件B表示“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)均為奇數(shù)”，事件C表示“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之差的絕對值小于2”。例2：將一枚硬幣拋兩次，事件A表示“第一次出現(xiàn)正面”，事件B表示“兩次出現(xiàn)同一面”，事件C表示“至少出現(xiàn)一次正面”。試寫出該試驗(yàn)的樣本空間、隨機(jī)事件A,B,C。2.幾點(diǎn)說明語言描述，集合的列舉法表示，Venn圖，隨機(jī)變量等eg在擲一枚骰子試驗(yàn)中事件A表示“點(diǎn)數(shù)不大于3”,(1)隨機(jī)事件表示:事件B表示“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”A={1,2,3},B={1,3,5}A21,35

B4S6(2)隨機(jī)事件與樣本空間、樣本點(diǎn)之間的關(guān)系。定義4：事件A發(fā)生是指試驗(yàn)結(jié)果中A的某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)。例3：在投擲一顆骰子試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果為出現(xiàn)3個(gè)點(diǎn)，A表示“點(diǎn)數(shù)不大于3”,B表示“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”.問A,B發(fā)生？(3)事件A是否發(fā)生試驗(yàn)中，事件A可能發(fā)生也可能不發(fā)生。eg.擲骰子試驗(yàn)中“點(diǎn)數(shù)大于6”就是不可能事件，“點(diǎn)數(shù)不大于6”就是必然事件。基本事件：含一個(gè)樣本點(diǎn)的單點(diǎn)集。復(fù)合事件：含兩個(gè)或兩個(gè)以上樣本點(diǎn)的集合。進(jìn)一步說明，試驗(yàn)中，隨機(jī)事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生。(4)幾個(gè)特殊的事件今后為討論問題方便，將必然事件、不可能事件視為隨機(jī)事件的兩個(gè)極端情況。不可能事件不含任何樣本點(diǎn)的集合，記為必然事件含有所有樣本點(diǎn)的集合，記為S。本節(jié)小結(jié)：樣本空間：E的所有可能基本結(jié)果組成的集合,記作S。隨機(jī)事件：E的某些基本結(jié)果組成的集合，記作A,B等，隨機(jī)事件是樣本空間S的子集。同一試驗(yàn)中，樣本空間與隨機(jī)事件的關(guān)系？同一個(gè)試驗(yàn)中，根據(jù)觀察的內(nèi)容都有唯一確定的樣本空間,任何隨機(jī)事件都是樣本空間的子集。練習(xí)1：某商場五層共有60間餐飲店鋪，編號分別為5001,5002,…,5060，從中任選一間，觀察店鋪號碼。練習(xí)2：用大炮連續(xù)5次射擊同一目標(biāo)，觀察擊中的總次數(shù)。練習(xí)4：觀察某時(shí)間段內(nèi)某交通路口的機(jī)動車流量情況。練習(xí)3：手工生產(chǎn)一批陶瓷制品，希望能得到10件正品，記錄需要生產(chǎn)的陶瓷總件數(shù)。試用列舉法寫出下列試驗(yàn)的樣本空間綜合習(xí)題：試用列舉法寫出下列試驗(yàn)的樣本空間、隨機(jī)事件。習(xí)題1：同時(shí)擲兩枚硬幣，觀察正反面出現(xiàn)情況，事件A表示擲出同一面，事件B表示其中一枚擲出正面。習(xí)題2：將一枚骰子連續(xù)擲兩次，記錄骰子點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)情況，事件A表示點(diǎn)數(shù)之和等于7，事件B表示兩枚骰子點(diǎn)數(shù)之差等于1。習(xí)題3：袋中裝有6個(gè)球，4白(a,b,c,d)，2紅(x,y)，試用列舉法寫出下列試驗(yàn)的樣本空間。E1(放回抽樣)：取一個(gè)，放回后，再取一個(gè)。E2(不放回抽樣)：取一個(gè)，不放回接著再取一個(gè)。E3:一次性取出兩個(gè)球(同時(shí)取出2個(gè)球)。1.1節(jié)內(nèi)容回顧樣本空間：隨機(jī)事件：事件A發(fā)生：E的所有可能基本結(jié)果組成的集合,記作S。E的某些基本結(jié)果組成的集合，記作A,B等，隨機(jī)事件是樣本空間S的子集。E的結(jié)果中A的某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)。練習(xí)題：袋中裝有6個(gè)球，4白(1,2,3,4)，2紅(5,6)，試寫出下列試驗(yàn)的樣本空間。E1(放回抽樣)：取一個(gè)，放回后，再取一個(gè)。E2(不放回抽樣)：取一個(gè)，不放回接著再取一個(gè)。E3:一次性取出兩個(gè)球(同時(shí)取出2個(gè)球)。①社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象是否只分成確定性現(xiàn)象和隨機(jī)現(xiàn)象？試舉出不屬于這兩類現(xiàn)象的社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象?！澳程斓奶鞖鉅顩r”是否屬于這兩類現(xiàn)象？②同時(shí)擲兩枚骰子，觀察其點(diǎn)數(shù)，試寫出該試驗(yàn)的樣本空間與隨機(jī)事件，A表示“點(diǎn)數(shù)之和等于10”；B表示“點(diǎn)數(shù)之和大于8”；C表示“點(diǎn)數(shù)之差小于2”。③袋中共5個(gè)球，3個(gè)白色，2個(gè)紅色，以三種不同的方式取2個(gè)球，試寫出下列試驗(yàn)的樣本空間：E1：放回抽樣：取1個(gè)，看后放回，再取1個(gè)。E2：不放回抽樣：取1個(gè)，看后不放回接著再取1個(gè)。E3：同時(shí)取出2個(gè)球。討論題：1.2事件間的關(guān)系與運(yùn)算

Relationandoperationofevents

一、事件間的關(guān)系與運(yùn)算※二、事件間的運(yùn)算規(guī)律知識點(diǎn)與基本要求：理解事件間的包含、互不相容、對立關(guān)系，事件之和、事件之積、事件之差運(yùn)算；理解事件間的運(yùn)算規(guī)律，特別是對偶律的意義；掌握事件間關(guān)系及運(yùn)算，會將一些較復(fù)雜的事件用簡單事件的運(yùn)算來表示。教學(xué)重點(diǎn)：事件間的關(guān)系與運(yùn)算；教學(xué)難點(diǎn)：復(fù)雜的事件用簡單事件的運(yùn)算表示。設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S，A,B,..,Ak,為E中的事件問題1：幼稚園根據(jù)小朋友個(gè)人愛好開設(shè)了鋼琴、美術(shù)、演講、武術(shù)課程，事件A表示“蟲蟲喜歡彈鋼琴”，B表示“蟲蟲喜歡畫畫”,

A∪B,A∩B由哪些樣本點(diǎn)組成，表示意義？問題2：從一批產(chǎn)品中抽取2件零件，A1表示第一個(gè)零件是正品，A2表示第二個(gè)零件是正品，是否可以用A1,A2表示下列事件呢？(1)均為正品；(2)恰有1個(gè)零件是次品；(3)只有第二個(gè)零件是次品；(4)至少2個(gè)零件是次品。一、事件間的關(guān)系與運(yùn)算

1.包含關(guān)系若事件A發(fā)生,則B必然發(fā)生,則稱事件B包含事件A,記作SBA2.相等關(guān)系A(chǔ)的樣本點(diǎn)都是B的樣本點(diǎn)A與B含有相同的樣本點(diǎn)若事件A包含事件B,且事件B包含事件A,則稱事件A與事件B相等,記作A=B.對于任何事件A，都有事件間的關(guān)系例1：判別下列事件間的關(guān)系3、公共汽車站某日某時(shí)間段內(nèi)等車人數(shù)，A表示“至少有10人候車”，B表示“至少有5人候車”1、觀察天氣狀況，A表示“明天晴天”，B表示“明天無雨”2、將一枚硬幣拋兩次，A表示“第一次是正面”，B表示“至少有一次正面”。1.事件的和(并)SAA∪B表示“A,B至少有一個(gè)發(fā)生”事件A與事件B中至少有一個(gè)發(fā)生的事件,稱為事件A與B的和，記作A∪B或A+BB事件間的運(yùn)算A∪B表示“A發(fā)生或B發(fā)生”A∪B由A或B中的樣本點(diǎn)組成

eg事件A表示“蟲蟲喜歡彈鋼琴”，B表示“蟲蟲喜歡畫畫”，A∪B表示意義？2.

事件的積

(交)事件A與事件B同時(shí)發(fā)生的事件，稱為事件A與B的積，記作A∩B或ABSABABA∩B由A且B中的樣本點(diǎn)組成

A∩B表示“A,B同時(shí)發(fā)生”。A∩B表示“A發(fā)生且B發(fā)生”。事件間的運(yùn)算eg事件A表示“蟲蟲喜歡彈鋼琴”，B表示“蟲蟲喜歡畫畫”，A∩B表示意義？3.事件的差事件A發(fā)生但事件B不發(fā)生，稱該事件為A與B的差.記作A-B.A-B由屬于A的樣本點(diǎn)但不屬于B的樣本點(diǎn)組成。SABSAB事件間的運(yùn)算A-B表示“A發(fā)生但B不發(fā)生”。eg事件A表示“蟲蟲喜歡彈鋼琴”，B表示“蟲蟲喜歡畫畫”，A-B，B-A表示意義？互不相容(互斥)事件(Incompatibleevents)

若則稱事件A與B互不相容(互斥)

。即若事件A與B互不相容(互斥)

。基本事件是兩兩互不相容的“骰子出現(xiàn)1點(diǎn)”“骰子出現(xiàn)2點(diǎn)”A與B沒有相同的樣本點(diǎn)SAB互不相容eg拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).

事件間的關(guān)系A(chǔ),B互不相容表示A,B不能同時(shí)發(fā)生eg.1擲一枚骰子，“出現(xiàn)1點(diǎn)”SBA4.逆事件(Oppositeevents)對立“不出現(xiàn)1點(diǎn)”eg.2在某客運(yùn)站等車試驗(yàn)中,“至少5人”“至多于4人”對立事件間的運(yùn)算若A∪B=S，A∩B=

則稱事件A與B互為對立事件，稱事件B為A的對立事件或逆事件,記作

由所有不屬于A的樣本點(diǎn)組成

表示A不發(fā)生逆事件的有關(guān)性質(zhì)設(shè)S為E的樣本空間，A為任意事件，則4.逆事件(Oppositeevents)事件間的運(yùn)算SA思考題：事件間互斥與事件間對立是一回事嗎？SSABABA、B

對立A、B

互斥互斥對

立A∪B，AB，A-B為E中的復(fù)雜事件，如何用簡單事件表示復(fù)雜事件，通過一些實(shí)例來解釋。例2：將一枚硬幣拋擲二次，觀察正面H,反面T出現(xiàn)的情況，A=“第一次出現(xiàn)正面”,B=“兩次出現(xiàn)同一面“，求：(1)包含哪些樣本點(diǎn)；(2)上述事件表示的意義。二、事件間的運(yùn)算規(guī)律AUB=BUA,A∩B=B∩A(1)交換律設(shè)A,B,C為隨機(jī)事件，則有(AUB)UC=AU(BUC)(A∩B)∩C=A∩(B∩C)(2)結(jié)合律(3)分配律(4)對偶律※(AUB)∩C=(A∩C)U(B∩C)(A∩B)UC=(AUC)∩(BUC)表示A，B都不發(fā)生。表示A，B不都發(fā)生或A,B不同時(shí)發(fā)生例3：從一批產(chǎn)品中抽取2件零件，A1表示第一個(gè)零件是正品，A2表示第二個(gè)零件是正品，試用A1，A2表示下列事件：(1)均為正品；(2)恰有一個(gè)零件是次品；(3)只有第2個(gè)零件是次品；(4)至少一個(gè)零件是次品。練習(xí)：向指定目標(biāo)射三槍，觀察射中目標(biāo)的情況，事件Ai表示某射手第i次擊中目標(biāo)(i=1,2,3)試用Ai表示以下各事件：(1)只擊中第一槍;(2)只擊中一槍;(3)三槍都沒擊中;(4)至少擊中一槍。本節(jié)小結(jié)事件間的關(guān)系：包含、相等、互不相容事件間的運(yùn)算：和、積、差、逆教學(xué)重點(diǎn)：事件間的關(guān)系與運(yùn)算教學(xué)難點(diǎn)：復(fù)雜的事件用簡單事件的運(yùn)算表示作業(yè)P9：1，4。①事件A表示3個(gè)人對某問題的回答中至少有1人說“否”，B表示3個(gè)人對某問題的回答都說“是”。試問：事件A∪B、A∩B各表示什么涵義？②事件與集合的對應(yīng)關(guān)系是怎樣的？③對立事件和不相容事件有何區(qū)別？練習(xí)P10：2，3。討論題習(xí)題1：設(shè)A,B,C表示三個(gè)隨機(jī)事件,

試用A,B,C的運(yùn)算表示下列事件(1)A出現(xiàn),B,C不出現(xiàn);(2)A,B都出現(xiàn),C不出現(xiàn);(3)三個(gè)事件都出現(xiàn);(4)三個(gè)事件至少有一個(gè)出現(xiàn);(7)不多于兩個(gè)事件出現(xiàn);(5)三個(gè)事件都不出現(xiàn);(6)不多于一個(gè)事件出現(xiàn);(8)三個(gè)事件至少有兩個(gè)出現(xiàn);(9)A,B至少有一個(gè)出現(xiàn),C不出現(xiàn);(10)A,B,C中恰有兩個(gè)出現(xiàn).習(xí)題2：以A表示事件“甲種產(chǎn)品暢銷，乙種產(chǎn)品滯銷”則A的對立事件表示()(A)“甲種產(chǎn)品滯銷，乙種產(chǎn)品暢銷”；(B)“甲、乙兩種產(chǎn)品均暢銷”；(C)“甲種產(chǎn)品滯銷”；(D)“甲種產(chǎn)品滯銷或乙種產(chǎn)品暢銷”。

記號概率論集合論必然事件全集不可能事件空集基本事件元素e隨機(jī)事件A集合A事件A包含于事件BA是B的子集A與B相等A與B相等概率論與集合論之間的對應(yīng)關(guān)系事件A與事件B的差事件A與事件B的和事件A與事件B的積事件A的逆事件A與B的差集A與B的并集A與B的交集A的補(bǔ)集問題:如何求解隨機(jī)事件的概率呢?是否有什么規(guī)律呢？下面幾節(jié)就來回答這個(gè)問題.研究隨機(jī)現(xiàn)象，不僅關(guān)心試驗(yàn)中會出現(xiàn)哪些事件，更重要的是想知道事件出現(xiàn)的可能性大小，也就是事件的概率。1.2節(jié)內(nèi)容回顧事件間的關(guān)系：事件間的運(yùn)算：包含、相等、互不相容和、積、差、逆一、事件間的關(guān)系與運(yùn)算二、事件間的運(yùn)算規(guī)律交換律、結(jié)合律、分配律對偶律※表示A,B都不發(fā)生表示A,B不都發(fā)生或A,B不同時(shí)發(fā)生或A,B至少一個(gè)不發(fā)生

作業(yè)：P9：1，4。①事件A表示3個(gè)人對某問題的回答中至少有1人說“否”，B表示3個(gè)人對某問題的回答都說“是”。試問：事件A∪B、A∩B各表示什么涵義？②事件與集合的對應(yīng)關(guān)系是怎樣的？③對立事件和不相容事件有何區(qū)別？練習(xí)：P10：2，3。討論題：記號概率論集合論必然事件全集不可能事件空集基本事件元素e隨機(jī)事件A集合A事件A包含于事件BA是B的子集A與B相等A與B相等概率論與集合論之間的對應(yīng)關(guān)系事件A與事件B的差事件A與事件B的和事件A與事件B的積事件A的逆事件A與B的差集A與B的并集A與B的交集A的補(bǔ)集習(xí)題1：設(shè)A,B,C表示三個(gè)隨機(jī)事件,

試用A,B,C的運(yùn)算表示下列事件(1)A出現(xiàn),B,C不出現(xiàn);(2)A,B都出現(xiàn),C不出現(xiàn);(3)三個(gè)事件都出現(xiàn);(4)三個(gè)事件至少有一個(gè)出現(xiàn);(5)三個(gè)事件都不出現(xiàn);(8)三個(gè)事件至少有兩個(gè)出現(xiàn);(9)A,B至少有一個(gè)出現(xiàn),C不出現(xiàn);(10)A,B,C中恰好有兩個(gè)出現(xiàn).(7)不多于兩個(gè)事件出現(xiàn);(6)不多于一個(gè)事件出現(xiàn);練習(xí)1：以A,B,C分別表示某城市居民訂閱日報(bào)、晚報(bào)和體育報(bào)。試用A,B,C的運(yùn)算表示以下事件：(1)只訂閱日報(bào)；(2)只訂日報(bào)和晚報(bào)；(3)只訂一種報(bào)；(4)正好訂兩種報(bào)；(5)至少訂閱一種報(bào)；(6)不訂閱任何報(bào)；(7)至多訂閱一種報(bào)；(8)三種報(bào)紙都訂閱；(9)三種報(bào)紙不全訂閱。習(xí)題2：以A表示事件“甲種產(chǎn)品暢銷，乙種產(chǎn)品滯銷”則A的對立事件表示()(A)“甲種產(chǎn)品滯銷，乙種產(chǎn)品暢銷”；(B)“甲、乙兩種產(chǎn)品均暢銷”；(C)“甲種產(chǎn)品滯銷”；(D)“甲種產(chǎn)品滯銷或乙種產(chǎn)品暢銷”。

(1)沒有一個(gè)是次品;(2)至少有一個(gè)是次品;從一批產(chǎn)品中抽出4件產(chǎn)品進(jìn)行抽樣調(diào)查，Ai表示取出的第i件產(chǎn)品為正品，i=1,2,3,4，試用Ai的運(yùn)算表示下列事件(3)只有一個(gè)是次品;習(xí)題3：(4)至少有三個(gè)不是次品;(5)恰好有三個(gè)是次品;(6)至多有一個(gè)是次品.練習(xí)3：一個(gè)宿舍中住有5位同學(xué)，Ai表示“第i個(gè)人生日在10月”i=1,2,3,4,5，試用Ai的運(yùn)算表示下列事件：(1)5人中至少有1人生日在10月份；(2)5人中恰有4人生日在10月份；(3)5人中至多有2人生日在10月份。1.3頻率與概率一、頻率的定義與性質(zhì)二、統(tǒng)計(jì)概率的定義與性質(zhì)三、小結(jié)知識點(diǎn)與基本要求：了解頻率的概念，理解統(tǒng)計(jì)概率的概念及其應(yīng)用。教學(xué)重點(diǎn)：統(tǒng)計(jì)概率的概念及其應(yīng)用；教學(xué)難點(diǎn)：統(tǒng)計(jì)概率的概念及其應(yīng)用。

醫(yī)生在檢查完病人的時(shí)候搖搖頭說：“你的病很重，在10個(gè)得這種病的人中只有1個(gè)能救活。”當(dāng)病人被這個(gè)消息嚇得夠嗆時(shí)，醫(yī)生繼續(xù)說：“但你是幸運(yùn)的。因?yàn)槟阏业搅宋遥乙呀?jīng)看過9個(gè)病人了，他們都死于此病?！?/p>

思考：醫(yī)生的說法可信嗎！？eg.2某人一共聽了17次“概率統(tǒng)計(jì)”課，其中有15次遲到，事件A表示“聽課遲到”，則A發(fā)生的頻繁程度為eg.1中國國家足球隊(duì),“沖擊亞洲”共進(jìn)行了n次,其中成功了1次,則在這n次試驗(yàn)中“沖擊亞洲”這事件成功的頻率程度為

eg.3廣告語“中國每賣10罐涼茶7罐加多寶”,事件A表示“加多寶涼茶銷售”，則事件A發(fā)生的頻率為7/1015/171.定義一、頻率(Frequency)的定義與性質(zhì)頻率反映了事件A發(fā)生的頻繁程度。值越接近于1表示事件發(fā)生越頻繁,反之亦然.若事件A在n次試驗(yàn)中發(fā)生了nA次，則稱為事件A在這n次試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率。記作).(Afn2.性質(zhì)設(shè)A是試驗(yàn)E的任一事件,則試驗(yàn)序號12345672315124222521252418272512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502實(shí)例1

將一枚硬幣拋擲5次、50次、500次,各做

7遍,觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)及頻率.波動最小隨n的增大,頻率

f呈現(xiàn)出穩(wěn)定性實(shí)驗(yàn)者德摩根蒲豐204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.5005重要結(jié)論：

當(dāng)n較小時(shí)，頻率波動幅度比較大；當(dāng)n逐漸增大時(shí)，頻率趨于穩(wěn)定值，這個(gè)穩(wěn)定值從本質(zhì)上反映了在試驗(yàn)中事件出現(xiàn)可能性的大小，它就是事件的概率。事件A出現(xiàn)的頻率fn(A)隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大而在一個(gè)常數(shù)P附近擺動，則稱P為事件A的概率，即P(A)=P二、統(tǒng)計(jì)概率的定義與性質(zhì)1.定義2.性質(zhì)設(shè)A是試驗(yàn)E的任一事件,則(3)若A1,A2,…,Ak是兩兩互不相容的事件，則P(A1∪A2∪…∪Ak)=P(A1)+P(A2)+…+P(Ak)應(yīng)用舉例:了解發(fā)生意外人身事故的可能性大小,確定保險(xiǎn)金額.了解商場購物的顧客人數(shù)的各種可能性大小，合理配置服務(wù)人員.了解每年最大洪水超警戒線可能性大小，合理確定堤壩高度.

頻率(波動)概率(穩(wěn)定).三、本節(jié)小結(jié)事件在一次試驗(yàn)中是否發(fā)生具有隨機(jī)性，它發(fā)生的可能性大小是其本身所固有的性質(zhì)，概率是度量某事件發(fā)生可能性大小的一種數(shù)量指標(biāo).它介于0與1之間.1、頻率及其性質(zhì)教學(xué)重點(diǎn)：統(tǒng)計(jì)概率的概念及其應(yīng)用；教學(xué)難點(diǎn)：統(tǒng)計(jì)概率的概念及其應(yīng)用。2、統(tǒng)計(jì)概率及其性質(zhì)

統(tǒng)計(jì)概率的定義非常直觀，具有應(yīng)用價(jià)值，但在理論上是不嚴(yán)密的。而古典概型和幾何概型的計(jì)算公式解決了這兩種概型的事件概率的確定問題，但是并不是普遍適用，因此需要建立概率的公理化法則，并由此導(dǎo)出概率的一般定義。

頻率穩(wěn)定值概率

事件發(fā)生的頻繁程度事件發(fā)生的可能性的大小頻率的性質(zhì)概率的公理化定義1.4古典概型1.4-1準(zhǔn)備知識

1.4-2古典概型1.4-1準(zhǔn)備知識※二、排列、組合概念及其應(yīng)用一、計(jì)數(shù)原理一、計(jì)數(shù)原理蟲蟲計(jì)劃從哈爾濱去大連度假，可以通過坐火車10次、乘長途客車5次、乘飛機(jī)8班三類方式，問蟲蟲共有多少種方法？乘法原理：設(shè)完成一件事需分m個(gè)步驟,第一步有N1種方法,第二步有N2種方法,…,完成這件事必須通過每一步驟才算完成,則完成這件事的方法總數(shù)為N1×N2×…×Nm.加法原理：設(shè)完成一件事可有m類方式,第一類方式徑有N1種方法,第二類方式有N2種方法,…,無論通過哪類方式都可以完成這件事,則完成這件事的方法總數(shù)為N1+N2+…+Nm。蟲蟲計(jì)劃從哈爾濱途徑長春、沈陽去大連度假，哈爾濱--長春6種方法，長春—沈陽9種方法，沈陽—大連11種方法，問蟲蟲共有多少種方法？排列：從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.從n個(gè)不同的元素中取出m（m≤n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù),叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù).用符號表示.排列數(shù)公式：(n，m∈N*，m≤n)二、排列、組合概念及其應(yīng)用組合：一般地說,從n個(gè)不同元素中,任取m(m≤n)個(gè)元素并成一組,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.組合數(shù)公式：組合數(shù)性質(zhì):從n個(gè)不同元素中,取出m(m≤n)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù),叫做從n個(gè)不同元素中取出m

個(gè)元素的組合數(shù),用符號表示例1：袋中裝有白球5個(gè)，黑球4個(gè)，問：

(1)從中任取2個(gè)，有多少種取法？

(2)從中任取2個(gè)，一個(gè)白球一個(gè)黑球，有多少種取法？解：(1)共有種取法(2)共有種取法例2：將5個(gè)相同小球放到4個(gè)不同杯子，共有幾種放法解：分四類方式(3)放入3個(gè)杯子里，有種放法(2)放入2個(gè)杯子里，有種放法(1)放入1個(gè)杯子里，有種放法(4)放入4個(gè)杯子里，有種放法所以，共有4＋24＋24＋4＝56種放法4(1)7位同學(xué)站成一排；分析：問題可以看作7個(gè)元素的全排列.(2)7位同學(xué)站成兩排(前3后4)；分析:根據(jù)分步計(jì)數(shù)乘法原理例3排隊(duì)問題(4)7位同學(xué)站成一排，甲、乙只能站在兩端；解:問題分兩步完成第一步:甲乙站兩端有種第二步:其余5名同學(xué)全排列有種(3)7位同學(xué)站成一排,甲站在中間的位置；分析:優(yōu)先考慮甲位置,其余全排列(5)7位同學(xué)站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾。第一步:從其余5位同學(xué)中找2人站排頭和排尾,有種;第二步:剩下的全排列,有種;優(yōu)限法:對于“在”與“不在”等類似有限制條件的排列問題,常常使用“直接法”(主要為“特殊元素法”和“特殊位置法”)或者“排除法”,即優(yōu)先考慮限制條件,這種方法就是優(yōu)限法.練習(xí)：10本書隨機(jī)放在書架上，其中4本《毛澤東選集》(1-4卷)，問以下放法有多少種？(1)《毛澤東選集》(1-4卷)放在一起；(2)《毛澤東選集》(1-4卷)按由右至左，由左至右排成1,2,3,4卷順序。例4-1七個(gè)家庭，四個(gè)男孩，三個(gè)女孩，現(xiàn)將這七個(gè)小孩站成一排照相留念，有多少種不同的排法？(1)若三個(gè)女孩要站在一起；解：將三個(gè)女孩看作一人與四個(gè)男孩排隊(duì)，有種排法，而三個(gè)女孩之間有種排法，所以不同的排法共有：（種）。←捆綁法(2)若三個(gè)女孩要站在一起，四個(gè)男孩要站在一起不同的排法有：（種）捆綁法:對于相鄰問題,常常先將要相鄰的元素捆綁在一起,視為一個(gè)元素,與其余元素全排列,再松綁后將它們進(jìn)行全排列.這種方法就是捆綁法.←捆綁法(3)若三個(gè)女孩互不相鄰；解：先把四個(gè)男孩排成一排有種排法，在每一排列中有五個(gè)空檔（包括兩端），再把三個(gè)女孩插入空檔中有種方法，所以共有：（種）排法。←插空法例4-2七個(gè)家庭，四個(gè)男孩，三個(gè)女孩，現(xiàn)將這七個(gè)小孩站成一排照相留念，有多少種不同的排法？(4)男生、女生相間排列；解：先把四個(gè)男孩排成一排有種排法，在每一排列中有五個(gè)空檔（包括兩端），再把三個(gè)女孩插入空檔中有種方法，所以共有：（種）排法?！蹇辗?5)甲、乙兩人的兩邊必須有其他人。解：先把其余五人排成一排有種排法，在每一排列中有四個(gè)空檔（不包括兩端），再把甲、乙插入空檔中有種方法，所以共有：（種）插空法:對于不相鄰問題,先將其余元素全排列,再將不相鄰的元素插入空擋中,這種方法就是插空法.←插空法練習(xí)：晚會上有5個(gè)不同的唱歌節(jié)目和3個(gè)不同的舞蹈節(jié)目，分別按以下要求各可排出幾種不同的節(jié)目單？①3個(gè)舞蹈節(jié)目排在一起；②

3個(gè)舞蹈節(jié)目彼此隔開；③3個(gè)舞蹈節(jié)目先后順序一定。例5分組分配問題

將四個(gè)不同顏色的球作如下分配，問有幾種分法？(1)分成兩組，每組兩個(gè)；(2)分給兩人，每人兩個(gè)；(3)分成兩組，一組三個(gè)，一組一個(gè)；(4)分給兩人，一人三個(gè)，一人一個(gè)。(1)均分、無序(2)均分、有序(3)不均分、無序(4)不均分、有序(1)分成兩組,每組2個(gè),有幾種分法？3種(2)分給甲乙兩人,每人2個(gè),有多少分法？甲甲乙乙6種(3)分成兩組,一組3個(gè),一組1個(gè),有多少分法？4種(4)分給兩人,一人3個(gè),一人1個(gè),有多少分法？甲乙甲乙8種練習(xí)：9件不同的玩具，按下列方案分配，問共有幾種分法？①甲得2件，乙得3件，丙得4件；②一人得2件，一人得3件，一人得4件；③每人3件；④平均分成三堆；⑤分為2、2、5三堆。①②③④⑤本節(jié)小結(jié)：⑴有特殊元素或特殊位置的排列問題，通常是先排特殊元素或特殊位置，稱為“優(yōu)限法”；⑵某些元素要求必須相鄰時(shí)，可以先將這些元素看作一個(gè)元素，與其他元素排列后，再考慮相鄰元素的內(nèi)部排列，這種方法稱為“捆綁法”；⑶某些元素不相鄰排列時(shí)，可以先排其他元素，再將這些不相鄰元素插入空擋，這種方法稱為“插空法”；※二、排列、組合概念及其應(yīng)用一、計(jì)數(shù)原理加法原理：乘法原理：分類問題分步問題(缺一不可)排列：有序組合：無序討論題：1.5封不同的信，有6個(gè)信箱可供投遞，共有多少種投信的方法？2.袋子裝中有3白球，2黑球，若先后取2球，取后放回，取到2白球有多少種可能取法？3.將6本不同的書，如下情況有幾種分法？(1)分成3堆，每堆2本；(2)分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本；(3)分成4堆，一堆3本，其余每堆1本；(4)分成4堆，每堆至多2本，至少1本。練習(xí)2：將6本不同的書，如下情況有幾種分法(1)分成3堆，每堆2本；(2)分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本；(3)分成4堆，一堆3本，其余每堆1本；(4)分成4堆，每堆至多2本，至少1本。

小結(jié)：分組分配問題主要有分組后有分配對象(即組本身有序)的均分、不均分問題及分組后無分配對象(即組本身無序)的均分、不均分問題四種類型，常見的情形有以下幾種:(2)均分、有序:把n個(gè)不同的元素分成有序的m組，每組r個(gè)元素，則共有種分法.(其中mr=n)(1)均分、無序:把n個(gè)不同的元素分成無序的m組，每組r個(gè)元素，則共有種分法.(其中mr=n)(3)不均分、無序:把n個(gè)不同的元素分成m組，第1組r1個(gè)元素，第2組r2個(gè)元素，第3組r3個(gè)元素，……第m組rm個(gè)元素，則共有種分法.(其中r1+r2+r3+…+rm=n)(4)不均分、有序:把n個(gè)不同的元素分成m組，第1組r1個(gè)元素，第2組r2個(gè)元素，第3組r3個(gè)元素，……第m組rm個(gè)元素，再分給m個(gè)人，則共有種分法.(其中r1+r2+r3+…+rm=n)(5)局部均勻:把n個(gè)不同的元素分成m組，其中m1個(gè)組有r1個(gè)元素，m2個(gè)組有r2個(gè)元素，……mk個(gè)組有rk個(gè)元素，則共有種分法.(其中m1r1+m2r2+m3r3+…+mkrk=n)1.4-2古典概型

ClassicalProbability

一、古典概型的概念※二、古典概型典型問題研究教學(xué)重點(diǎn)：古典概率問題的計(jì)算；教學(xué)難點(diǎn)：古典概率的典型實(shí)例。理解古典概率的概念；會求解一些簡單的古典概率問題（如抽球，正次品抽樣，分球入杯，配對問題等）。知識點(diǎn)與基本要求：若隨機(jī)試驗(yàn)E滿足：(1)有限性：樣本空間只包含有限個(gè)樣本點(diǎn)；(2)等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相同；則稱E為古典概型。設(shè)事件A中所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為N(A),樣本空間S中樣本點(diǎn)總數(shù)為N(S),則即S={w1,w2,…,wn},P(w1)=P(w2)=…=P(wn)=1/n練習(xí)：①拋兩枚硬幣,求事件“恰有一次出現(xiàn)反面”的概率；事件“至少有一次出現(xiàn)正面”的概率？一、古典概型的概念②擲一枚骰子,求出現(xiàn)6點(diǎn)的概率,出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)的概率?A中包含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1、基本模型之一:抽球模型(1)不放回抽球袋中裝有4只白球,2只黑球，現(xiàn)從袋中(不放回地)抽出兩只球，求抽出兩只球都是白球的概率。解：設(shè)事件A表示抽出的兩只球都是白球樣本空間中樣本點(diǎn)總數(shù)為事件A發(fā)生的概率為問題1：兩只黑球的概率,一黑一白的概率呢？問題2：與哪些問題屬于同類型問題？二、古典概型典型問題研究同類型的問題：正次品抽樣問題；彩票中獎(jiǎng)問題；抽簽問題；撲克牌花色問題；英文單詞、書、報(bào)等排列問題；分組問題；鞋子配對問題。問題3：解決此類問題的常用方法？一般地,袋中裝有M個(gè)白球N個(gè)黑球,現(xiàn)從中任抽n個(gè)球,則這n個(gè)球中恰有k個(gè)白球的概率是解：假設(shè)事件A表示“取到兩只紅球”事件A包含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為：練習(xí)1：袋內(nèi)裝有5只紅球,3只藍(lán)球，從中任取兩只球,求取出兩只紅球，兩只藍(lán)球,一紅一藍(lán)的概率？事件A發(fā)生的概率為：樣本空間中樣本點(diǎn)總數(shù)為：正次品抽樣問題：一批產(chǎn)品共200個(gè)，次品6個(gè)，求(1)這批產(chǎn)品的次品率;(2)任取3個(gè)恰有一個(gè)是次品的概率;(3)任取5個(gè)全非次品的概率。抽獎(jiǎng)問題：某超市有獎(jiǎng)銷售,投放了100張獎(jiǎng)券,但只有1張有獎(jiǎng),每位顧客可抽取1張,求第20位顧客中獎(jiǎng)概率某彩民購買雙色球一注,問中500萬大獎(jiǎng)的概率？雙色球玩法說明:雙色球投注區(qū)分為紅球號碼區(qū)和藍(lán)球號碼區(qū),紅球號碼范圍為01～33,藍(lán)球號碼范圍為01～16。雙色球每期從33個(gè)紅球中開出6個(gè)號碼,從16個(gè)藍(lán)球中開出1個(gè)號碼作為中獎(jiǎng)號碼.雙色球玩法即是競猜開獎(jiǎng)號碼的6個(gè)紅球號碼和1個(gè)藍(lán)球號碼，順序不限。彩票中獎(jiǎng)問題：中500萬大獎(jiǎng)的可能性有幾何？(2)有放回抽球袋中裝有4只紅球6只黑球,現(xiàn)從袋中每次取1只,有放回地抽3次,求前2次抽到黑球第3次抽到紅球的概率.解：設(shè)A表示前2次抽到黑球第3次抽到紅球第1次摸球10種第2次摸球10種第3次抽球6種第1次摸到黑球第2次抽到黑球4種第3次抽到紅球1、基本模型之一:抽球模型二、古典概型典型問題研究基本事件總數(shù)為A所包含基本事件的個(gè)數(shù)為同類型的問題：電話號碼問題；擲多枚骰子問題；大批產(chǎn)品檢驗(yàn)問題；疾病抽查問題；農(nóng)作物選種問題。例1

某批同型號晶體管中有a只合格正品，b只不合格品，采用不放回抽樣和有放回抽樣兩種方式從中取2只，求：（1）取到的2只都是合格品的概率；（2）取到的2只中至少有1只不合格品的概率。(1)每個(gè)杯子只能放一個(gè)球把4個(gè)球放入10個(gè)杯子，每個(gè)杯子只能放1個(gè)球，求第1至第4個(gè)杯子各放1個(gè)球的概率.解：設(shè)A表示第1至第4個(gè)杯子各放1個(gè)球2、基本模型之二：分球入杯模型二、古典概型典型問題研究2、基本模型之二：分球入杯模型(2)杯子容量無限把4個(gè)球放入3個(gè)杯子，假設(shè)每個(gè)杯子可放任意多個(gè)球，求第1、2個(gè)杯子中各有兩球的概率。4個(gè)球放入3個(gè)杯子的所有放法二、古典概型典型問題研究因此第1、2個(gè)杯子中各有兩球的概率為同類型的問題：分人入房問題：人←球，房間←杯；生日問題：人←球，月份←杯；旅客下車問題：人←球，車站←杯；

印刷錯(cuò)誤問題：錯(cuò)誤←球，頁碼←杯。練習(xí)：有r個(gè)球，隨機(jī)地放在n個(gè)盒子中(r≤n)，試求下列各事件的概率：(1)事件A1表示“某指定的r個(gè)盒子中各有一球”；(2)事件A2表示“恰有r個(gè)盒子，其中各有一球”；(3)事件A3表示“某指定的一個(gè)盒子，恰有k個(gè)球”。解:設(shè)A表示每個(gè)房間恰有1人,B表示空一房間,C表示空兩房間分人入房問題

將張三、李四、王五3人等可能地分配到3個(gè)房間中去,每個(gè)房間可住任意多個(gè)人,試求(1)每個(gè)房間恰有1人的概率；(2)空一個(gè)房間的概率；(3)空兩個(gè)房間的概率?；蛏諉栴}假設(shè)每人的生日在一年365天中的哪一天是等可能的,即都等于1/365,求50個(gè)人中至少有2人生日相同的概率.

解：50個(gè)人生日各不相同的概率為故50個(gè)人中至少有2人生日相同的概率為思考題將n個(gè)人隨機(jī)地分配到N個(gè)房間里(n≤N)，求（1）每個(gè)房間至少有一個(gè)人住的概率；（2）指定的n個(gè)房間各有一個(gè)人住的概率；斯坦福大學(xué)數(shù)學(xué)課乘客下電梯問題：一樓房共15層，假設(shè)電梯在一樓啟動時(shí)有10名乘客，且乘客在各層下電梯是等可能的,試求事件A1,A2,A3,A4的概率。事件A1表示“10個(gè)人在同一層下”；事件A2表示“10人都在第15層下”；事件A3表示“10人在不同的樓層下”；事件A4表示“10人恰有4人在第8層下”。解：總的基本事件數(shù)：各事件含有的基本事件數(shù)分別為：成雙配對問題：從5雙大小型號不同的鞋子中任意抽取4只，問能湊成兩雙鞋的概率？樣本空間中樣本點(diǎn)總數(shù)：事件A中樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為：解：設(shè)事件A表示“能湊成兩雙鞋”事件A發(fā)生的概率為：思考：僅能湊成一雙，無法湊成一雙的鞋的概率呢？則樣本空間中含有的樣本點(diǎn)總數(shù)為：推廣：從n雙不同的鞋子中任取2r(2r<n)只,問:

(1)沒有成雙鞋子的概率;

(2)只有1雙鞋子的概率;

(3)恰有r雙鞋子的概率。解：設(shè)A,B,C分別表示上述事件：則事件A,B,C中含有樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為：作業(yè)：P10：6,8,11練習(xí)：P10：5,7,9,10,12有限等可能一、古典概型的概念本節(jié)小結(jié)抽球模型(無放回抽球，放回抽球)→正次品抽樣問題；彩票中獎(jiǎng)問題；抽簽問題等分球入杯模型(每個(gè)杯子只能放一個(gè)球,杯子容量無限)→分人入房問題，生日問題等。二、古典概型典型問題研究教學(xué)重點(diǎn)：古典概率問題的計(jì)算；教學(xué)難點(diǎn)：古典概率的典型實(shí)例。思考：古典概率是否滿足統(tǒng)計(jì)概率的三條性質(zhì)呢？解：設(shè)A表示沒有一封信裝對地址練習(xí)：某人將三封寫好的信隨機(jī)裝入三個(gè)寫好地址的信封中，問沒有一封信裝對地址的概率？表示至少有一封信裝對地址Ai表示第i封信裝入第i個(gè)信封，i=1,2,3直接計(jì)算P(A)不易，我們先來計(jì)算于是代入計(jì)算的公式中直接計(jì)算P(A)不易，我們先來計(jì)算一、概率的公理化定義※二、概率的性質(zhì)1.5概率的公理化定義教學(xué)重點(diǎn)：概率性質(zhì)中加法公式,減法公式的靈活應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)：概率的公理化定義,概率的有限可加性的應(yīng)用.理解隨機(jī)事件概率的公理化定義和基本性質(zhì);掌握概率的加法公式,減法公式;會利用概率性質(zhì)計(jì)算有關(guān)概率問題.知識點(diǎn)與基本要求：

1933年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫提出了概率論的公理化結(jié)構(gòu)，給出了概率的嚴(yán)格定義，使概率論有了迅速的發(fā)展。AndreyNikolaevichKolmogorov互不相容事件之和的概率等于概率之和一、概率的公理化定義n個(gè)兩兩互斥事件的和的概率等于概率之和二、概率的性質(zhì)由概率的公理化定義可以推得概率的下列性質(zhì)。(2)有限可加性：若是兩兩互斥的事件,則表示不可能事件的概率為0。注：其逆命題不成立。即概率為0的事件未必是不可能事件。同理，必然事件的概率為1，但概率為1的事件未必是必然事件?；パa(bǔ)性:設(shè)是A的對立事件,則P()=1-P(A)AA單調(diào)不減性：若A

B，則

P(A)≥P(B)

(3)減法公式：對任意兩個(gè)事件A,B,有P(A-B)=P(A)-P(AB)特別地，若A

B,則

P(A-B)=P(A)-P(B)SABAB練習(xí)：設(shè)P(A)=0.5,P(AB)=0.2,P(B)=0.4,

求P(A-B),P(B-A),P(A∪B).P(A)=P(AB)+P(A-B)可分性：A=AB∪(A-B)(4)加法公式：對任意兩個(gè)事件A,B,有SABAB練習(xí)：擲3次硬幣,求至少一次正面朝上的概率.答：1-1/8=7/8=3/8+3/8+1/8解例1：設(shè)事件A,B的概率分別為和,求下列三種情況下P(B-A)的值。(1)A,B互不相容；(2)AB；(3)P(AB)=SABAB例2：從1到200這200個(gè)自然數(shù)中任取一個(gè),(1)求取到的數(shù)能被6整除的概率(2)求取到的數(shù)能被8整除的概率(3)求取到的數(shù)既能被6整除也能被8整除的概率(4)求取到的數(shù)至少能被6，8其中之一整除的概率(3)求取到的數(shù)既不能被6整除也不能被8整除的概率答：33/200，25/200，8/200，50/200，150/200概率的公理化定義及其性質(zhì)特別地，若AB＝Φ,則

P(A∪B)=P(A)＋P(B)(5)減法公式:P(A-B)=P(A)-P(AB)(6)單調(diào)不減性:若A

B,則

P(A)≥P(B)(7)加法公式:P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)(4)可分性:P(A)=P(AB)+P(A-B)(2)有限可加性：若是兩兩互斥的事件,則本節(jié)小結(jié)(3)互補(bǔ)性:P(A)＝1-P(A)練習(xí)2：某市有甲,乙,丙三種報(bào)紙,訂每種報(bào)紙的人數(shù)分別占全體市民人數(shù)的30%,其中有10%的人同時(shí)定甲,乙兩種報(bào)紙.沒有人同時(shí)訂甲乙或乙丙報(bào)紙.求從該市任選一人,他至少訂有一種報(bào)紙的概率.解設(shè)A,B,C分別表示訂了甲報(bào),乙報(bào),丙報(bào)練習(xí)1：設(shè)A,B,C為三事件,且，求2.1-1條件概率與乘法公式

2.2-2全概率公式與貝葉斯公式2.1條件概率2.1-1條件概率與乘法公式教學(xué)重難點(diǎn)：條件概率、乘法公式的關(guān)系及計(jì)算。理解條件概率的概念及其應(yīng)用；掌握條件概率的計(jì)算方法，會應(yīng)用條件概率進(jìn)行概率計(jì)算；理解概率的乘法公式的概念及其應(yīng)用；會兩個(gè)及多個(gè)事件之積的概率計(jì)算知識點(diǎn)與基本要求：引例擲一枚骰子，求(1)出現(xiàn)3個(gè)點(diǎn)的概率；(2)在已出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)的條件下，出現(xiàn)3個(gè)點(diǎn)的概率。即事件B已發(fā)生,求事件A的條件概率P(A|B)A,B都發(fā)生,但樣本空間縮小到只包含A的樣本點(diǎn)思考：通過這個(gè)例子你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？S解：設(shè)事件A表示出現(xiàn)3個(gè)點(diǎn)，事件B表示出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)例如P(A)=P(A|B)嗎？P(A|B)如何求解？→條件概率引例

將一枚硬幣拋擲兩次,設(shè)事件A為“至少有一次正面”,事件B為“兩次擲出同一面”.求事件A已發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率.分析：樣本空間為易知},,{},,,{TTHHBTHHTHHA==在Ａ發(fā)生的條件下，考慮Ｂ發(fā)生的概率，樣本空間縮減為條件概率的定義.)()()(,0)(,,條件概率發(fā)生的發(fā)生的條件下事件為在事件稱且是兩個(gè)事件設(shè)BAAPABPABPAPBA=>SReducedsamplespaceA方法2：B|A縮減的樣本空間為ASamplespace

S方法1:樣本空間S例1袋中裝有6只球，4只紅球，2只白球，先后兩次從袋子中各取1球，取后不放回。求在第一次取到紅球的條件下，第二次取到紅球的概率。解設(shè)Ａi表示“第i次取得紅球”,i=1,2或P(Ａ2|A1)=12/20=3/5P(Ａ2|A1)=P(Ａ1A2)/P(A1)=(12/30)/(20/30)=3/5思考：在第二次取到紅球的條件下,第一次取到紅球的概率第二次取到紅球的概率。P(Ａ2)=20/30=2/3=P(Ａ1)P(Ａ1|A2)=P(Ａ1A2)/P(A2)=(12/30)/(20/30)=3/5練習(xí)1:盒子中裝有4只產(chǎn)品,其中3只一等品、1只二等品.作不放回抽樣,從中每次取1只,共取兩次,設(shè)事件A為“第一次取到的是一等品”,事件B為“第二次取到的是一等品”,求(1)P(B|A)；(2)若抽樣改為放回抽樣結(jié)果如何？由條件概率的定義得解法一（條件概率的定義法）由于解法二（縮減樣本空間法）當(dāng)已知Ａ發(fā)生時(shí)，樣本空間減縮為于是練習(xí)2:考慮恰有兩個(gè)小孩的家庭(假設(shè)生男生女為等可能).求(1)已知家里有男孩,求這家有兩個(gè)男孩的概率;(2)已知家里第一個(gè)是男孩,求這家有兩個(gè)男孩的概率.解S={(b,b),(b,g),(g,b),(g,g)}B1={(b,b),(b,g)}

Ｂ={(b,b),(b,g),(g,b)}A={(b,b)}是B的子集設(shè)Ｂ表示“有男孩”B1表示“第一個(gè)是男孩”Ａ表示“有兩個(gè)男孩”P(Ａ|B)=1/3,P(Ａ|B1)=1/2練習(xí)3：某種動物出生之后活到20歲的概率為0.7,活到25歲的概率為0.56,求現(xiàn)年為20歲的這種動物活到25歲的概率.解設(shè)A表示“活到20歲”,B表示“活到25歲”則所求概率為思考：條件概率是否滿足概率的公理化定義？非負(fù)性、規(guī)范性、可列可加性思考：條件概率是否滿足概率的公理化定義呢？(3)可列可加性：設(shè)是兩兩互不相容事件,則;0)(:

)1(≥BAP非負(fù)性;1)(:

)2(=BSP規(guī)范性二、乘法公式

推廣練習(xí)5：袋子中裝有a個(gè)紅球,b個(gè)白球,任取1球,取后放回，并加入c個(gè)同色的球,問連續(xù)3次都取到紅球的概率。練習(xí)4:100件零件中有10件次品，每次取1件，取后不放回，求第三次才取到合格品的概率。解：設(shè)Ai表示第i次取到合格品，i=1,2,3解：設(shè)Bi表示第i次取到紅球，i=1,2,3例2現(xiàn)有10把鑰匙，其中有2把能打開門，從中任取2把，求(1)第二次才打開門的概率；(2)能打開門的概率。9*8*90/100*99*988/10*2/9=8/45;(8*2+2*9)/10*9=(2*8+1)/45=17/45例3

設(shè),求解：由于練習(xí)6:某人忘記了電話號碼的最后一位數(shù)字,因而他隨意撥號.求他撥號不超過三次才接通所需電話的概率.練習(xí)7：設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡,第一次落下時(shí)打破的概率為1/2,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率為7/10,若前兩次落下未打破,第三次落下打破的概率為9/10.試求透鏡落下三次均未打破的概率.練習(xí)8：10個(gè)考簽中有4個(gè)難簽,3人參加抽簽(不放回),甲先,乙次,丙最后,求①甲抽到難簽;②甲,乙都抽到難簽;③甲沒抽到難簽而乙抽到難簽;④甲,乙,丙都抽到難簽的概率.(1)條件概率本節(jié)小結(jié)(2)乘法公式綜合練習(xí)

一個(gè)盒子中有６只白球、４只黑球,從中不放回地每次任取１只,連?。泊?求(1)第一次取得白球的概率;(2)第一、第二次都取得白球的概率

(3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率;(4)第二次取得白球的概率.解設(shè)Ａ表示第一次取得白球,Ｂ表示第二次取得白球（1）（2）（3）（4）610P(B)=練習(xí)6:某人忘記了電話號碼的最后一位數(shù)字,因而他隨意撥號.求他撥號不超過三次才接通所需電話的概率.解：設(shè)Ai表示“第i次撥通電話”,i=1,2,3;A表示“不超過三次撥通電話”練習(xí)7：設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡,第一次落下時(shí)打破的概率為1/2,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率為7/10,若前兩次落下未打破,第三次落下打破的概率為9/10.試求透鏡落下三次均未打破的概率.解以B

表示事件“透鏡落下三次而未打破”.還有其他方法嗎？練習(xí)8：10個(gè)考簽中有4個(gè)難簽,3人參加抽簽(不放回),甲先,乙次,丙最后,求①甲抽到難簽;②甲,乙都抽到難簽;③甲沒抽到難簽而乙抽到難簽;④甲,乙,丙都抽到難簽的概率.解:設(shè)事件A,B,C分別表示甲乙丙各抽到難簽2.1-2全概率公式

與貝葉斯公式教學(xué)重難點(diǎn)：全概率公式、貝葉斯公式的關(guān)系及其應(yīng)用

。理解全概率公式的意義和方法，會應(yīng)用全概率公式求解事件概率；理解貝葉斯公式的意義和方法，會應(yīng)用貝葉斯公式求解事件概率。知識點(diǎn)與基本要求：引例：10張彩票中有2張能中獎(jiǎng)，甲、乙兩人各抽1次獎(jiǎng)。若甲先抽，而乙并不知道甲抽得的結(jié)果，求乙抽到獎(jiǎng)的概率？解：設(shè)A表示“甲抽到獎(jiǎng)”，B表示“乙抽到獎(jiǎng)”分類討論。乙抽到獎(jiǎng)可以分為兩種情況，即甲抽到獎(jiǎng)乙也抽到獎(jiǎng)或甲沒有抽到獎(jiǎng)乙抽到獎(jiǎng)，并且這兩種情況是互不相容的（即甲要么抽到獎(jiǎng)，要么抽不到）。

SABABSA將復(fù)雜事件的概率計(jì)算問題,分解為若干個(gè)簡單事件的概率計(jì)算問題,應(yīng)用概率的可加性求出結(jié)果.化整為零各個(gè)擊破全概率公式

例1:用3臺機(jī)床加工同種零件,零件用各機(jī)床加工的概率分別為0.5,0.3,0.2,各機(jī)床加工的零件的次品率分別為0.06,0.1,0.05,現(xiàn)從中抽取1零件，是合格品的概率.解:設(shè)A表示“零件為合格品”；

Bi表示“零件是由第i個(gè)機(jī)床加工的”，i=1,2,3某一事件A的發(fā)生有各種可能的原因Bi(i=1,2,…,n),如果A是由原因Bi所引起,則A發(fā)生的概率是每一原因Bi都可能導(dǎo)致A發(fā)生，故A發(fā)生的概率是各原因引起A發(fā)生概率的總和，即全概率公式.從另一個(gè)角度去理解全概率公式練習(xí)1：一批產(chǎn)品，由甲廠生產(chǎn)的占45%

，其次品率為5%，由乙廠生產(chǎn)的占55%，其次品率為10%，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中隨機(jī)取1件，恰好取到次品的概率。練習(xí)2：現(xiàn)有A，B兩個(gè)容器，容器A中裝有7個(gè)紅球3個(gè)白球，容器B中裝有1個(gè)紅球9個(gè)白球，現(xiàn)從兩個(gè)容器中隨意抽出1個(gè)球，問是紅球的概率？這個(gè)紅球是來自容器A的概率?

例2三個(gè)箱子，第一個(gè)箱子中有4個(gè)黑球，1個(gè)白球，第二個(gè)箱子中有3個(gè)黑球，3個(gè)白球，第三個(gè)箱子有3個(gè)黑球，5個(gè)白球，現(xiàn)隨機(jī)取一個(gè)箱子，再從這個(gè)箱子取出1個(gè)球，問這個(gè)球是白球的概率。解：設(shè)A表示“取到白球”，

Bi表示“從第i個(gè)箱子中取球”。例3袋中有5個(gè)球(3個(gè)白球),兩人先后從袋中各取一球,求第二人取得白球的概率？解：設(shè)A表示第一人取得白球;B表示第二人取得白球注：（1）A與就是S的一個(gè)劃分,上式是全概率公式的最簡形式.（2）在此類情況下,無論兩人的取球次序如何,兩人取得白球的概率相同,這就是所謂的“公平抽簽法”.練習(xí)：袋中有3個(gè)球,2白1紅,三人排隊(duì)抽球(不放回),每人取1個(gè),每個(gè)人取到紅球的概率.練習(xí)3：七人輪流抓鬮，抓一張參觀票，問第二人抓到的概率。

解：設(shè)Ai表示第i個(gè)人抓到參觀票，i=1,2事實(shí)上，此類問題中每個(gè)人抓到的概率都一樣，這就是“抓鬮不分先后原理”。解:

四、貝葉斯公式該公式給出在事件A已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致A發(fā)生的每個(gè)原因的概率.貝葉斯公式由英國數(shù)學(xué)家托馬斯·貝葉斯發(fā)展的。例4有一臺用來檢驗(yàn)產(chǎn)品質(zhì)量的儀器,已知一只次品經(jīng)檢驗(yàn)被認(rèn)為是次品的概率為0.99,一只正品經(jīng)檢驗(yàn)被認(rèn)為是次品的概率為0.005,已知產(chǎn)品的次品率為4％,若一產(chǎn)品經(jīng)檢驗(yàn)被認(rèn)為是次品,求它確為次品的概率.解:A表示“產(chǎn)品檢驗(yàn)為次品”,B表示“產(chǎn)品確為次品”由題設(shè)知由貝葉斯公式知，所求概率為注：全概率公式與貝葉斯公式是計(jì)算復(fù)雜事件概率的重要工具.而貝葉斯公式反映的是“知果溯因”的概率問題.練習(xí)：8支步槍中5支已校準(zhǔn)過,3支未校準(zhǔn).一名射手用校準(zhǔn)過的槍射擊時(shí),中靶的概率為0.8;用未校準(zhǔn)過的槍射擊時(shí),中靶的概率為0.3.現(xiàn)從8支槍中任取一支用于射擊,結(jié)果中靶,求所用的槍是校準(zhǔn)過的概率.解：設(shè)A表示“射擊中靶”,B表示“使用的槍校準(zhǔn)過”由題設(shè)知小結(jié)：全概公式給了我們一個(gè)實(shí)際計(jì)算某些事件概率的公式假設(shè)B1，B2，Bn是S的一個(gè)劃分，且事件Bi的概率P(Bi)(它們是試驗(yàn)前的假設(shè)概率稱為先驗(yàn)概率)在Bi發(fā)生的條件下事件A的條件概率P(A|Bi)(i=1,2,…,n)，則由全概公式就可算出P(A)?，F(xiàn)在我們進(jìn)行了一次試驗(yàn)，若事件A確已發(fā)生了，則對于事件Bi的概率應(yīng)給予重新估計(jì)，也就要計(jì)算在事件A已發(fā)生的條件下的Bi條件概率P(Bi|A)(它們是試驗(yàn)后的假設(shè)概率稱為后驗(yàn)概率)，貝葉斯公式就給出了計(jì)算P(Bi|A)

例5

針對某種疾病進(jìn)行一種化驗(yàn),患該病的人中有90%呈陽性反應(yīng),而未患該病的人中有5%呈陽性反應(yīng).設(shè)人群中有1%的人患這種病,若某人做這種化驗(yàn)呈陽性反應(yīng),求他患這種病的概率。解：設(shè)A表示患這種病的人；B表示化驗(yàn)呈陽性反應(yīng)；條件概率全概率公式貝葉斯公式本節(jié)小結(jié)乘法公式閱讀文獻(xiàn)：“狼來了”,試用概率論知識解釋。全概率公式的應(yīng)用:賭金分配問題假定他們倆再賭一局，或者梅勒贏，或者他的朋友贏。若梅勒贏滿了5局，錢應(yīng)該全歸他；梅勒如果輸了,即梅勒和他的朋友各贏4局，這個(gè)錢應(yīng)該對半分?，F(xiàn)在,梅勒贏、輸?shù)目赡苄远际?／2，所以，他應(yīng)得賭金的1／2×1＋1／2×1／2＝3／4，他的朋友應(yīng)得賭金的1／4。梅勒和他的朋友每人出30個(gè)金幣，各自選取骰子的一個(gè)點(diǎn)數(shù)，誰選擇的點(diǎn)數(shù)首先被擲出5次，誰就贏得全部的賭金。賭了半天，梅勒贏了4局，他的朋友贏了3局.時(shí)間很晚了，他們都不想再賭下去了。那么，這個(gè)賭金應(yīng)該怎么分？在參賽者面前有三扇關(guān)閉的門，其中只有一扇后面有汽車，而其余的后面是山羊。游戲規(guī)則是，參賽者先選擇一扇他認(rèn)為其后面有汽車的門，但是這扇門仍保持關(guān)閉狀態(tài)，緊接著主持人打開沒有被參賽者選擇的另外兩扇門中后面有山羊的一扇門，這時(shí)主持人問參賽者，要不要改變主意，選擇另一扇門，以使得贏得汽車的機(jī)率更大一些嗎？全概率公式的應(yīng)用:三門問題.在打開山羊門的那一剎那，本來的選擇結(jié)果已從1/3幾率變到了1/2幾率，你覺得這種說法是真的嗎？事實(shí)上，如果參賽者改變初衷，他的中獎(jiǎng)概率將變成2/3。有三種可能的情況，并且每種可能發(fā)生的概率都是1/3。①參賽者挑山羊一號，主持人挑山羊二號，轉(zhuǎn)換將贏得汽車。②參賽者挑山羊二號，主持人挑山羊一號，轉(zhuǎn)換將贏得汽車。③參賽者挑汽車，主持人挑兩頭山羊的任何一頭，轉(zhuǎn)換將失敗。在前兩種情況中，參賽者可以通過轉(zhuǎn)換選擇而贏得汽車，第三種情況是唯一一種參賽者通過保持原來選擇而贏的情況。因?yàn)槿N情況中有兩種是通過轉(zhuǎn)換選擇而贏的，所以通過轉(zhuǎn)換選擇而贏的概率是1/3×1+1/3×1+1/3×0=2/3。一個(gè)小孩每天到山上牧羊，山里經(jīng)常群狼出沒，十分危險(xiǎn)。有一日，他突然在山上大喊“狼來了！狼來了!”，山下的村民聞聽風(fēng)聲，紛紛舉起鋤頭上山打狼，可是來到山上，發(fā)現(xiàn)狼沒有來，一切只是小孩子的一個(gè)玩笑；第二天仍是如此；第三天，狼真的來了，可是無論小孩子怎么喊叫，也沒有人來救他，他只好葬身狼腹。原來因?yàn)樗皟纱握f了謊，人們便不再相信他了。貝葉斯公式的應(yīng)用:狼來了假設(shè)事件A為“小孩說謊”，事件B為“小孩可信”。不妨設(shè)村民起初對這個(gè)小孩的可信度印象為

可信的孩子說謊的可能性，不可信的孩子說謊的可能性。P(B︱A)是指孩子說了一次謊之后，村民對他的可信度第一次村民上山打狼，發(fā)現(xiàn)狼沒有來，即小孩子說了謊。于是村民根據(jù)這個(gè)信息對小孩子的可信度P(B)進(jìn)行調(diào)整P(B︱A)。村民上了一次當(dāng)之后，對這個(gè)小孩子保有的可信程度由原來的0.8調(diào)整為0.444，也就是此時(shí)，村民對這個(gè)小孩子的可信度印象為在此基礎(chǔ)上，再一次應(yīng)用貝葉斯公式計(jì)算P(B︱A)，也就是這個(gè)小孩子第二次說謊后，村民對他的可信程度的調(diào)整，于是，

表明村民經(jīng)過兩次上當(dāng)后，對這個(gè)小孩子的可信程度已經(jīng)從0.8調(diào)整到了0.138。全概率公式的引入注意到由概率的可加性

2.2

事件獨(dú)立性事件的獨(dú)立性討論P(yáng)(B),P(B|A),的關(guān)系引例：盒中裝有5個(gè)球(3綠2紅)，每次取出1個(gè)，有放回地取兩次。事件A表示第一次取到綠球；事件B表示第二次取到綠球。（1）兩事件相互獨(dú)立※例如同時(shí)擲甲乙兩枚骰子，A表示“甲出現(xiàn)3點(diǎn)”，B表示“乙出現(xiàn)6點(diǎn)”，則事件A、B相互獨(dú)立嗎？注：1、A、B相互獨(dú)立，表示事件B的發(fā)生不受A的影響或A的發(fā)生不受B的影響。例如從一副無大小王的52張撲克牌中任取1張，A表示“取到黑桃”，B表示“取到A”，則事件A、B相互獨(dú)立嗎？求取到黑桃A的概率是多少？2、A、B相互獨(dú)立等價(jià)于定理1設(shè)A、B是兩個(gè)事件,若A、B相互獨(dú)立,

則.反之亦然.（1）兩事件相互獨(dú)立重要定理定理2注：事件獨(dú)立性典型實(shí)例有：有放回抽取；重復(fù)試驗(yàn)(如擲骰子,