2024年北京市中考數(shù)學(xué)試卷（附答案）

第PAGE1第1頁（共1頁）2024年北京市中考數(shù)學(xué)試卷（附答案）一、選擇題（共16分，每題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1．（2分）（2024?北京）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是A． B． C． D．2．（2分）（2024?北京）如圖，直線和相交于點，．若，則的大小為A． B． C． D．3．（2分）（2024?北京）實數(shù)，在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是A． B． C． D．4．（2分）（2024?北京）若關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)的值為A． B． C．4 D．165．（2分）（2024?北京）不透明袋子中僅有紅、黃小球各一個，兩個小球除顏色外無其他差別．從中隨機摸出一個小球，放回并搖勻，再從中隨機摸出一個小球，則兩次摸出的都是紅球的概率是A． B． C． D．6．（2分）（2024?北京）為助力數(shù)字經(jīng)濟發(fā)展，北京積極推進多個公共算力中心的建設(shè)．北京數(shù)字經(jīng)濟算力中心日前已部署上架和調(diào)試的設(shè)備的算力為是計算機系統(tǒng)算力的一種度量單位），整體投產(chǎn)后，累計實現(xiàn)的算力將是日前已部署上架和調(diào)試的設(shè)備的算力的5倍，達到，則的值為A． B． C． D．7．（2分）（2024?北京）下面是“作一個角使其等于”的尺規(guī)作圖方法．（1）如圖，以點為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交，于點，；（2）作射線，以點為圓心，長為半徑畫弧，交于點；以點為圓心，長為半徑畫弧，兩弧交于點；（3）過點作射線，則．上述方法通過判定△得到，其中判定△的依據(jù)是A．三邊分別相等的兩個三角形全等 B．兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等 C．兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等 D．兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等8．（2分）（2024?北京）如圖，在菱形中，，為對角線的交點．將菱形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到菱形，兩個菱形的公共點為，，，．對八邊形給出下面四個結(jié)論：①該八邊形各邊長都相等；②該八邊形各內(nèi)角都相等；③點到該八邊形各頂點的距離都相等；④點到該八邊形各邊所在直線的距離都相等．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是A．①③ B．①④ C．②③ D．②④二、填空題（共16分，每題2分）9．（2分）（2024?北京）若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)的取值范圍是．10．（2分）（2024?北京）分解因式：．11．（2分）（2024?北京）方程的解為．12．（2分）（2024?北京）在平面直角坐標(biāo)系中，若函數(shù)的圖象經(jīng)過點和，則的值是．13．（2分）（2024?北京）某廠加工了200個工件，質(zhì)檢員從中隨機抽取10個工件檢測了它們的質(zhì)量（單位：，得到的數(shù)據(jù)如下：50.0349.9850.0049.9950.0249.9950.0149.9750.0050.02當(dāng)一個工件的質(zhì)量（單位：滿足時，評定該工件為一等品．根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計這200個工件中一等品的個數(shù)是．14．（2分）（2024?北京）如圖，的直徑平分弦（不是直徑）．若，則．15．（2分）（2024?北京）如圖，在正方形中，點在上，于點，于點．若，，則的面積為．16．（2分）（2024?北京）聯(lián)歡會有A，B，C，D四個節(jié)目需要彩排，所有演員到場后節(jié)目彩排開始．一個節(jié)目彩排完畢，下一個節(jié)目彩排立即開始．每個節(jié)目的演員人數(shù)和彩排時長（單位：min）如下：節(jié)目ABCD演員人數(shù)102101彩排時長30102010已知每位演員只參演一個節(jié)目．一位演員的候場時間是指從第一個彩排的節(jié)目彩排開始到這位演員參演的節(jié)目彩排開始的時間間隔（不考慮換場時間等其他因素）．若節(jié)目按“A﹣B﹣C﹣D”的先后順序彩排，則節(jié)目D的演員的候場時間為min；若使這23位演員的候場時間之和最小，則節(jié)目應(yīng)按的先后順序彩排．三、解答題（共68分，第17-19題每題5分，第20-21題每題6分，第22-23題每題5分，第24題6分，第25題5分，第26題6分，第27-28題每題7分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程．17．（5分）（2024?北京）計算：．18．（5分）（2024?北京）解不等式組：．19．（5分）（2024?北京）已知，求代數(shù)式的值．20．（6分）（2024?北京）如圖，在四邊形中，是的中點，，交于點，，．（1）求證：四邊形為平行四邊形；（2）若，，，求的長．21．（6分）（2024?北京）為防治污染，保護和改善生態(tài)環(huán)境，自2023年7月1日起，我國全面實施汽車國六排放標(biāo)準階段（以下簡稱“標(biāo)準”．對某型號汽車，“標(biāo)準”要求類物質(zhì)排放量不超過，，兩類物質(zhì)排放量之和不超過．已知該型號某汽車的，兩類物質(zhì)排放量之和原為．經(jīng)過一次技術(shù)改進，該汽車的類物質(zhì)排放量降低了，類物質(zhì)排放量降低了，，兩類物質(zhì)排放量之和為．判斷這次技術(shù)改進后該汽車的類物質(zhì)排放量是否符合“標(biāo)準”，并說明理由．22．（5分）（2024?北京）在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象交于點．（1）求，的值；（2）當(dāng)時，對于的每一個值，函數(shù)的值既大于函數(shù)的值，也大于函數(shù)的值，直接寫出的取值范圍．23．（5分）（2024?北京）某學(xué)校舉辦的“青春飛揚”主題演講比賽分為初賽和決賽兩個階段．（1）初賽由10名教師評委和45名學(xué)生評委給每位選手打分（百分制）．對評委給某位選手的打分進行整理、描述和分析．下面給出了部分信息．．教師評委打分：86889091919191929298．學(xué)生評委打分的頻數(shù)分布直方圖如圖（數(shù)據(jù)分6組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，第6組．評委打分的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下：平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)教師評委9191學(xué)生評委90.893根據(jù)以上信息，回答下列問題：①的值為，的值位于學(xué)生評委打分數(shù)據(jù)分組的第組；②若去掉教師評委打分中的最高分和最低分，記其余8名教師評委打分的平均數(shù)為，則91（填“”“”或“”；（2）決賽由5名專業(yè)評委給每位選手打分（百分制）．對每位選手，計算5名專業(yè)評委給其打分的平均數(shù)和方差．平均數(shù)較大的選手排序靠前，若平均數(shù)相同，則方差較小的選手排序靠前名專業(yè)評委給進入決賽的甲、乙、丙三位選手的打分如下：評委1評委2評委3評委4評委5甲9390929392乙9192929292丙90949094若丙在甲、乙、丙三位選手中的排序居中，則這三位選手中排序最靠前的是，表中為整數(shù)）的值為．24．（6分）（2024?北京）如圖，是的直徑，點，在上，平分．（1）求證：；（2）延長交于點，連接交于點，過點作的切線交的延長線于點．若，，求半徑的長．25．（5分）（2024?北京）小云有一個圓柱形水杯（記為1號杯）．在科技活動中，小云用所學(xué)數(shù)學(xué)知識和人工智能軟件設(shè)計了一個新水杯，并將其制作出來．新水杯（記為2號杯）示意圖如圖．當(dāng)1號杯和2號杯中都有水時，小云分別記錄了1號杯的水面高度（單位：和2號杯的水面高度單位：，部分數(shù)據(jù)如下：04010020030040050002.55.07.510.012.502.84.87.28.910.511.8（1）補全表格（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）；（2）通過分析數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)可以用函數(shù)刻畫與，與之間的關(guān)系．在給出的平面直角坐標(biāo)系中，畫出這兩個函數(shù)的圖象；（3）根據(jù)以上數(shù)據(jù)與函數(shù)圖象，解決下列問題：①當(dāng)1號杯和2號杯中都有水時，2號杯的水面高度與1號杯的水面高度的差約為（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）；②在①的條件下，將2號杯中的一部分水倒入1號杯中，當(dāng)兩個水杯的水面高度相同時，其水面高度約為（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）．26．（6分）（2024?北京）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線．（1）當(dāng)時，求拋物線的頂點坐標(biāo)；（2）已知，和，是拋物線上的兩點．若對于，，都有，求的取值范圍．27．（7分）（2024?北京）已知，點，分別在射線，上，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，過點作的垂線交射線于點．（1）如圖1，當(dāng)點在射線上時，求證：是的中點；（2）如圖2，當(dāng)點在內(nèi)部時，作，交射線于點，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．28．（7分）（2024?北京）在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1．對于的弦和不在直線上的點，給出如下定義：若點關(guān)于直線的對稱點在上或其內(nèi)部，且，則稱點是弦的“可及點”．（1）如圖，點，．①在點，，中，點是弦的“可及點”，其中；②若點是弦的“可及點”，則點的橫坐標(biāo)的最大值為；（2）已知是直線上一點，且存在的弦，使得點是弦的“可及點”．記點的橫坐標(biāo)為，直接寫出的取值范圍．

2024年北京市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共16分，每題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1．（2分）（2024?北京）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是A． B． C． D．【考點】中心對稱圖形；軸對稱圖形【專題】幾何直觀；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱【分析】根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念解答即可．【解答】解：、圖形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，不符合題意；、圖形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，符合題意；、圖形不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，不符合題意；、圖形不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，不符合題意，故選：．2．（2分）（2024?北京）如圖，直線和相交于點，．若，則的大小為A． B． C． D．【考點】垂線；對頂角、鄰補角【專題】幾何直觀；線段、角、相交線與平行線；運算能力；推理能力【分析】根據(jù)垂直的定義得出，再由對頂角相等得出，由進行計算即可．【解答】解：，，，．故選：．3．（2分）（2024?北京）實數(shù)，在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是A． B． C． D．【考點】絕對值；實數(shù)與數(shù)軸【專題】實數(shù)；運算能力【分析】由數(shù)軸得，，，進一步得出，，，即可作出判斷．【解答】解：由數(shù)軸得，，，，，，故選：．4．（2分）（2024?北京）若關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)的值為A． B． C．4 D．16【考點】根的判別式【專題】運算能力；一元二次方程及應(yīng)用【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式即可解決問題．【解答】解：因為關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，所以△，解得．故選：．5．（2分）（2024?北京）不透明袋子中僅有紅、黃小球各一個，兩個小球除顏色外無其他差別．從中隨機摸出一個小球，放回并搖勻，再從中隨機摸出一個小球，則兩次摸出的都是紅球的概率是A． B． C． D．【考點】列表法與樹狀圖法【專題】應(yīng)用意識；概率及其應(yīng)用【分析】列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及兩次摸出的都是紅球的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：列表如下：紅黃紅（紅，紅）（紅，黃）黃（黃，紅）（黃，黃）共有4種等可能的結(jié)果，其中兩次摸出的都是紅球的結(jié)果有1種，兩次摸出的都是紅球的概率為．故選：．6．（2分）（2024?北京中考）為助力數(shù)字經(jīng)濟發(fā)展，北京積極推進多個公共算力中心的建設(shè)．北京數(shù)字經(jīng)濟算力中心日前已部署上架和調(diào)試的設(shè)備的算力為是計算機系統(tǒng)算力的一種度量單位），整體投產(chǎn)后，累計實現(xiàn)的算力將是日前已部署上架和調(diào)試的設(shè)備的算力的5倍，達到，則的值為DA． B． C． D．【分析】根據(jù)把一個大于10的數(shù)記成的形式，其中是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法，進而得出答案．【解答】解：由題意可得：．故選：．7．（2分）（2024?北京）下面是“作一個角使其等于”的尺規(guī)作圖方法．（1）如圖，以點為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交，于點，；（2）作射線，以點為圓心，長為半徑畫弧，交于點；以點為圓心，長為半徑畫弧，兩弧交于點；（3）過點作射線，則．上述方法通過判定△得到，其中判定△的依據(jù)是A．三邊分別相等的兩個三角形全等 B．兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等 C．兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等 D．兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等【考點】全等三角形的判定；作圖—復(fù)雜作圖【專題】應(yīng)用意識；圖形的全等；尺規(guī)作圖【分析】由作圖過程可得，，，結(jié)合全等三角形的判定可得答案．【解答】解：由作圖過程可得，，，△，判定△的依據(jù)是三邊分別相等的兩個三角形全等．故選：．8．（2分）（2024?北京）如圖，在菱形中，，為對角線的交點．將菱形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到菱形，兩個菱形的公共點為，，，．對八邊形給出下面四個結(jié)論：①該八邊形各邊長都相等；②該八邊形各內(nèi)角都相等；③點到該八邊形各頂點的距離都相等；④點到該八邊形各邊所在直線的距離都相等．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【考點】菱形的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)【專題】推理能力；圖形的全等；矩形菱形正方形【分析】通過△△和△△可判斷①；根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理判斷④；通過角度計算判斷②；通過長度計算判斷③．【解答】解：延長和，連接，菱形，，，，菱形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到菱形，點，，，一定在對角線，上，且，，，，，△△，，，同理可證，，，，，，△△，，，該八邊形各邊長都相等，故①正確；根據(jù)角的平分線的性質(zhì)定理，得點到該八邊形各邊所在直線的距離都相等，故④正確；根據(jù)題意，得，，，，該八邊形各內(nèi)角不相等，故②錯誤；，，，△，，，，點到該八邊形各頂點的距離不相等，故③錯誤；故選：．二、填空題（共16分，每題2分）9．（2分）（2024?北京）若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)的取值范圍是．【考點】二次根式有意義的條件；解一元一次不等式【專題】二次根式；運算能力【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件，即可求解．【解答】解：根據(jù)題意得，解得：．故答案為：．10．（2分）（2024?北京）分解因式：．【考點】提公因式法與公式法的綜合運用【分析】先提取公因式，再對余下的多項式運用平方差公式繼續(xù)分解．【解答】解：，，．11．（2分）（2024?北京）方程的解為．【考點】解分式方程【專題】運算能力；分式【分析】方程兩邊同乘，將分式化為整式方程求解即可．【解答】解：，經(jīng)檢驗，是原方程的解．12．（2分）（2024?北京）在平面直角坐標(biāo)系中，若函數(shù)的圖象經(jīng)過點和，則的值是0．【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征【專題】反比例函數(shù)及其應(yīng)用；運算能力【分析】將兩點代入得到，，則．【解答】解：函數(shù)的圖象經(jīng)過點和，，，．故答案為：0．13．（2分）（2024?北京）某廠加工了200個工件，質(zhì)檢員從中隨機抽取10個工件檢測了它們的質(zhì)量（單位：，得到的數(shù)據(jù)如下：50.0349.9850.0049.9950.0249.9950.0149.9750.0050.02當(dāng)一個工件的質(zhì)量（單位：滿足時，評定該工件為一等品．根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計這200個工件中一等品的個數(shù)是160．【考點】用樣本估計總體【專題】數(shù)據(jù)分析觀念；統(tǒng)計的應(yīng)用【分析】根據(jù)題意，先寫出10個數(shù)據(jù)中的一等品，然后即可計算出估計這200個工件中一等品的個數(shù)．【解答】解：滿足時，評定該工件為一等品，抽取10個工件的一等品有49.98，50.00，49.99，50.02，49.99，50.01，50.00，50.02，共計8個，估計這200個工件中一等品的個數(shù)是，故答案為：160．14．（2分）（2024?北京）如圖，的直徑平分弦（不是直徑）．若，則55．【考點】圓周角定理【專題】運算能力；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)【分析】設(shè)與相交于點，根據(jù)垂直定義可得，然后利用直角三角形的兩個銳角可得互余，從而利用同弧所對的圓周角相等可得，即可解答．【解答】解：設(shè)與相交于點，的直徑平分弦（不是直徑），，，，，，故選：55．15．（2分）（2024?北京）如圖，在正方形中，點在上，于點，于點．若，，則的面積為．【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)【專題】幾何直觀；矩形菱形正方形【分析】要求的面積，需要知道和的邊長，先證，再證即可求解．【解答】解：四邊形是正方形，，，，，，，，，，，同理可得，又，，，即，，．故答案為：．16．（2分）（2024?北京）聯(lián)歡會有A，B，C，D四個節(jié)目需要彩排，所有演員到場后節(jié)目彩排開始．一個節(jié)目彩排完畢，下一個節(jié)目彩排立即開始．每個節(jié)目的演員人數(shù)和彩排時長（單位：min）如下：節(jié)目ABCD演員人數(shù)102101彩排時長30102010已知每位演員只參演一個節(jié)目．一位演員的候場時間是指從第一個彩排的節(jié)目彩排開始到這位演員參演的節(jié)目彩排開始的時間間隔（不考慮換場時間等其他因素）．若節(jié)目按“A﹣B﹣C﹣D”的先后順序彩排，則節(jié)目D的演員的候場時間為60min；若使這23位演員的候場時間之和最小，則節(jié)目應(yīng)按B﹣D﹣C﹣A的先后順序彩排．【考點】有理數(shù)的混合運算．【專題】計算題；運算能力．【分析】根據(jù)候場時間定義計算即可，若使這23位演員的候場時間之和最小，則節(jié)目應(yīng)按：B﹣D﹣C﹣A順序排序．【解答】解：根據(jù)題意，節(jié)目D的演員的候場時間為：30+10+20＝60（min）；若使這23位演員的候場時間之和最小，則節(jié)目應(yīng)按：B﹣D﹣C﹣A順序排序，即1×10+10×10+10×20＝310（min），故答案為：60；B﹣D﹣C﹣A．三、解答題（共68分，第17-19題每題5分，第20-21題每題6分，第22-23題每題5分，第24題6分，第25題5分，第26題6分，第27-28題每題7分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程．17．（5分）（2024?北京）計算：．【考點】特殊角的三角函數(shù)值；實數(shù)的運算；零指數(shù)冪【專題】計算題；運算能力【分析】先化簡零指數(shù)冪，二次根式，三角函數(shù)，絕對值，再按照實數(shù)的運算法則計算即可．【解答】解：．18．（5分）（2024?北京）解不等式組：．【考點】解一元一次不等式組【專題】一元一次不等式（組及應(yīng)用；運算能力【分析】根據(jù)解一元一次不等式組的步驟，對所給不等式組進行求解即可解決問題．【解答】解：解不等式得，，解不等式得，，所以不等式組的解集為：．19．（5分）（2024?北京中考）已知，求代數(shù)式的值．【分析】先將分式的分子、分母分別分解因式，約分化為最簡結(jié)果，然后代入求值即可．【解答】解：，，．20．（6分）（2024?北京）如圖，在四邊形中，是的中點，，交于點，，．（1）求證：四邊形為平行四邊形；（2）若，，，求的長．【考點】平行四邊形的判定與性質(zhì)；勾股定理；解直角三角形；三角形中位線定理【專題】運算能力；推理能力；解直角三角形及其應(yīng)用；等腰三角形與直角三角形；多邊形與平行四邊形【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理得到，根據(jù)平行四邊形的判定定理得到結(jié)論；（2）根據(jù)三角形中位線定理求得，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到，求得，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到結(jié)論．【解答】（1）證明：是的中點，，，是的中位線，，，，四邊形為平行四邊形；（2）解：由（1）知，是的中位線，，，，，，，，，，四邊形為平行四邊形，，，，．21．（6分）（2024?北京）為防治污染，保護和改善生態(tài)環(huán)境，自2023年7月1日起，我國全面實施汽車國六排放標(biāo)準階段（以下簡稱“標(biāo)準”．對某型號汽車，“標(biāo)準”要求類物質(zhì)排放量不超過，，兩類物質(zhì)排放量之和不超過．已知該型號某汽車的，兩類物質(zhì)排放量之和原為．經(jīng)過一次技術(shù)改進，該汽車的類物質(zhì)排放量降低了，類物質(zhì)排放量降低了，，兩類物質(zhì)排放量之和為．判斷這次技術(shù)改進后該汽車的類物質(zhì)排放量是否符合“標(biāo)準”，并說明理由．【考點】一元一次方程的應(yīng)用；百分數(shù)的應(yīng)用【專題】一次方程（組及應(yīng)用；應(yīng)用意識【分析】設(shè)該汽車的類物質(zhì)排放量為，則該汽車的類物質(zhì)排放量為，根據(jù)題意列方程求出的值，即可求解．【解答】解：這次技術(shù)改進后該汽車的類物質(zhì)排放量符合“標(biāo)準”，理由如下：設(shè)該汽車的類物質(zhì)排放量為，則該汽車的類物質(zhì)排放量為，根據(jù)題意得，解得，這次技術(shù)改進后該汽車的類物質(zhì)排放量，“標(biāo)準”要求類物質(zhì)排放量不超過，這次技術(shù)改進后該汽車的類物質(zhì)排放量符合“標(biāo)準”．22．（5分）（2024?北京）在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象交于點．（1）求，的值；（2）當(dāng)時，對于的每一個值，函數(shù)的值既大于函數(shù)的值，也大于函數(shù)的值，直接寫出的取值范圍．【考點】一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；兩條直線相交或平行問題；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式【專題】一次函數(shù)及其應(yīng)用；幾何直觀；運算能力【分析】（1）先根據(jù)直線點得出，再將點代入，求出的值；（2）根據(jù)圖象即可求得．【解答】解：（1）直線點，，解得，將點代入得：，解得．（2）當(dāng)時，對于的每一個值，函數(shù)的值既大于函數(shù)的值，也大于函數(shù)的值，．的取值范圍是．23．（5分）（2024?北京）某學(xué)校舉辦的“青春飛揚”主題演講比賽分為初賽和決賽兩個階段．（1）初賽由10名教師評委和45名學(xué)生評委給每位選手打分（百分制）．對評委給某位選手的打分進行整理、描述和分析．下面給出了部分信息．．教師評委打分：86889091919191929298．學(xué)生評委打分的頻數(shù)分布直方圖如圖（數(shù)據(jù)分6組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，第6組．評委打分的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下：平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)教師評委9191學(xué)生評委90.893根據(jù)以上信息，回答下列問題：①的值為91，的值位于學(xué)生評委打分數(shù)據(jù)分組的第組；②若去掉教師評委打分中的最高分和最低分，記其余8名教師評委打分的平均數(shù)為，則91（填“”“”或“”；（2）決賽由5名專業(yè)評委給每位選手打分（百分制）．對每位選手，計算5名專業(yè)評委給其打分的平均數(shù)和方差．平均數(shù)較大的選手排序靠前，若平均數(shù)相同，則方差較小的選手排序靠前名專業(yè)評委給進入決賽的甲、乙、丙三位選手的打分如下：評委1評委2評委3評委4評委5甲9390929392乙9192929292丙90949094若丙在甲、乙、丙三位選手中的排序居中，則這三位選手中排序最靠前的是，表中為整數(shù)）的值為．【考點】中位數(shù)；頻數(shù)（率分布直方圖；眾數(shù)；加權(quán)平均數(shù)；方差【專題】統(tǒng)計的應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念【分析】（1）①根據(jù)眾數(shù)以及中位數(shù)的定義解答即可；②根據(jù)算術(shù)平均數(shù)的定義求出其余8名教師評委打分的平均數(shù)，即可得出答案；（2）根據(jù)方差的定義和平均數(shù)的意義求解即可．【解答】解：（1）①由題意得，教師評委打分中91出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)．45名學(xué)生評委打分數(shù)據(jù)的中位數(shù)是第23個數(shù)，故的值位于學(xué)生評委打分數(shù)據(jù)分組的第4組；故答案為：91；4；②若去掉教師評委打分中的最高分和最低分，記其余8名教師評委打分的平均數(shù)為，則，．故答案為：；（2）甲選手的平均數(shù)為，乙選手的平均數(shù)為，丙在甲、乙、丙三位選手中的排序居中，丙選手的平均數(shù)大于或等于乙選手的平均數(shù)，名專業(yè)評委給乙選手的打分為91，92，92，92，92，乙選手的方差，5名專業(yè)評委給丙選手的打分為90，94，90，94，，乙選手的方差小于丙選手的方差，丙選手的平均數(shù)大于乙選手的平均數(shù)，小于或等于甲選手的平均數(shù)，，，為整數(shù)，為整數(shù)）的值為92，故答案為：92．24．（6分）（2024?北京）如圖，是的直徑，點，在上，平分．（1）求證：；（2）延長交于點，連接交于點，過點作的切線交的延長線于點．若，，求半徑的長．【考點】切線的性質(zhì)；圓周角定理【專題】推理能力；運算能力；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；線段、角、相交線與平行線；圖形的相似【分析】（1）連接交于，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)角平分線的定義得到，根據(jù)垂徑定理得到，根據(jù)平行線的判定定理得到；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，設(shè)，，求得，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：連接交于，是的直徑，，平分，，，，；（2）解：，，，設(shè)，，，，，，是的切線，，，，，，，或（不合題意舍去），，半徑的長為．25．（5分）（2024?北京）小云有一個圓柱形水杯（記為1號杯）．在科技活動中，小云用所學(xué)數(shù)學(xué)知識和人工智能軟件設(shè)計了一個新水杯，并將其制作出來．新水杯（記為2號杯）示意圖如圖．當(dāng)1號杯和2號杯中都有水時，小云分別記錄了1號杯的水面高度（單位：和2號杯的水面高度單位：，部分數(shù)據(jù)如下：04010020030040050002.55.07.510.012.502.84.87.28.910.511.8（1）補全表格（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）；（2）通過分析數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)可以用函數(shù)刻畫與，與之間的關(guān)系．在給出的平面直角坐標(biāo)系中，畫出這兩個函數(shù)的圖象；（3）根據(jù)以上數(shù)據(jù)與函數(shù)圖象，解決下列問題：①當(dāng)1號杯和2號杯中都有水時，2號杯的水面高度與1號杯的水面高度的差約為1.2（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）；②在①的條件下，將2號杯中的一部分水倒入1號杯中，當(dāng)兩個水杯的水面高度相同時，其水面高度約為（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）．【考點】一次函數(shù)的應(yīng)用【專題】函數(shù)及其圖象；應(yīng)用意識【分析】（1）觀察表格數(shù)據(jù)可知，和是正比例函數(shù)關(guān)系，設(shè)解析式，代入求解即可．（2）描點、連線畫出函數(shù)圖象即可；（3）由圖象觀察可得出①②的答案．【解答】解：（1）設(shè)，將代入得：，解得，，，，故答案為：1.0．（2）如圖所示，（3）①當(dāng)時，，由圖象可知相差約為．故答案為：1.2．②在①的條件下兩杯相差，此時大約是7.9，加上0.6約為．故答案為：8.5．26．（6分）（2024?北京）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線．（1）當(dāng)時，求拋物線的頂點坐標(biāo)；（2）已知，和，是拋物線上的兩點．若對于，，都有，求的取值范圍．【考點】二次函數(shù)綜合題【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；運算能力【分析】（1）將代入即可求出拋物線的頂點坐標(biāo)；（2）利用作差法建立關(guān)于和的不等式，因為不確定，所以要分類討論，再根據(jù)范圍取舍即可．【解答】解：（1）將代入得，頂點坐標(biāo)為；（2）由題得