第05講 一元二次不等式與其他常見不等式解法（十大題型）（練習）（解析版）-【上好課】2025年高考數(shù)學一輪復(fù)習講練測（新教材新高考）

第05講一元二次不等式與其他常見不等式解法目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎(chǔ)練 2題型一：不含參數(shù)一元二次不等式的解法 2題型二：含參數(shù)一元二次不等式的解法 2題型三：三個二次之間的關(guān)系 5題型四：分式不等式以及高次不等式的解法 6題型五：絕對值不等式的解法 8題型六：二次函數(shù)根的分布問題 10題型七：一元二次不等式恒（能）成立問題 12題型八：解含參型絕對值不等式 16題型九：解不等式組型求參數(shù)問題 17題型十：不等式組整數(shù)解求參數(shù)問題 1802重難創(chuàng)新練 2003真題實戰(zhàn)練 28題型一：不含參數(shù)一元二次不等式的解法1．（2024·上海崇明·二模）不等式的解為．【答案】【解析】因為，所以.故答案為：2．不等式的解集為（

）A． B．C．，或 D．，或【答案】B【解析】不等式可化為，解得.故選：B.題型二：含參數(shù)一元二次不等式的解法3．（多選題）（2024·高三·浙江紹興·期末）已知，關(guān)于x的一元二次不等式的解集可能是（

）A．或 B．C． D．【答案】ACD【解析】當時，；當時，或，故A正確；當時，，若，則解集為空集；若，則不等式的解為：，故D正確；若，則不等式的解為：，故C正確.故選：ACD4．（多選題）對于給定的實數(shù)，關(guān)于實數(shù)的一元二次不等式的解集可能為（）A． B．C． D．【答案】CD【解析】當時，此時解集為；當時，此時解集為；當時，此時解集為；故選：CD.5．已知．(1)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)求不等式的解集．【解析】（1）∵恒成立，∴對恒成立，故，化簡得，解得，故實數(shù)的取值范圍.（2），即；當時，不等式的解為或，當時，不等式的解為或，當時，不等式的解為.6．若函數(shù)，(1)若不等式的解集為，求的值；(2)當時，求的解集.【解析】（1）因為的解集為，所以且，解得.（2），，所以，即，又，當，即時，的解集為；當，即時，若，解集為，若，解集為；當，即或時，的兩根為，，且有，此時，的解集為或，綜上所述，當時，的解集為；當，解集為，當，解集為；當或時，的解集為或.7．已知函數(shù)．(1)若的解集為，求a，b的值；(2)解關(guān)于x的不等式．【解析】（1）因為的解集為，可知的根為，所以，解得，故，．（2）由，可知，即，當時，解得；當時，，解得或；當時，，解得或．綜上：當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為或；當時，不等式的解集為或．題型三：三個二次之間的關(guān)系8．關(guān)于的不等式的解集為，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為不等式的解集為，所以是方程的兩個實根，所以，解得，所以.故選：C.9．已知不等式的解集為，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】不等式的解集為，則是方程的兩個根，且，于是，解得，則不等式為，解得或，所以不等式的解集為或.故選：D10．（多選題）已知關(guān)于的不等式的解集為或，則以下選項正確的有（）A．B．不等式的解集為C．D．不等式的解集為或【答案】ABD【解析】關(guān)于的不等式的解集為或，則和是方程的二根，且則，解之得，由，可得選項A判斷正確；選項B：不等式可化為，解之得，則不等式解集為.判斷正確；選項C：.判斷錯誤；選項D：不等式可化為，即，解之得或.則不等式的解集為或.判斷正確.故選：ABD題型四：分式不等式以及高次不等式的解法11．的解集為【答案】【解析】由,可得,即,所以,解得,所以原不等式的解集為.故答案為:.12．（2024·高三·福建·期中）不等式的解集是.【答案】【解析】原不等式等價于，且，解之得.故答案為：13．不等式的解集是（

）A．或 B．或C． D．【答案】C【解析】，當時，不等式顯然不成立；當時，，所以原不等式，解得.綜上，原不等式的解集為.故選：C14．不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由，得，等價于，由穿根法可得不等式的解集為.故選：B15．不等式的解集是【答案】【解析】不等式化為：，即，因此，解得，所以不等式的解集是.故答案為：16．不等式的解集為．【答案】【解析】由，可得，此不等式等價于，解之得故不等式的解集為故答案為：17．不等式的解集為．【答案】【解析】由移項通分，得，即，不等式等價于，所以不等式的解集為．故答案為：.題型五：絕對值不等式的解法18．（2024·高三·上海·期中）不等式的解集是.【答案】【解析】不等式等價于，即，解得或，所以不等式的解集是.故答案為：19．（2024·高三·上海閔行·期中）不等式的解集是（用區(qū)間表示）【答案】【解析】因為恒成立，所以由可得，即，解得，故答案為：20．（2024·高三·全國·課后作業(yè)）不等式的解集為．【答案】【解析】當，即時，不等式為，解得，此時不等式解集為；當，即時，不等式為，解得且，此時不等式解集為.綜上所述，不等式的解集為.故答案為：.21．（2024·高三·上海靜安·期中）不等式的解集為．【答案】【解析】原不等式可整理為或，解得或.故答案為：.22．（2024·上海浦東新·三模）不等式的解集是．【答案】【解析】當時，，解得，此時解集為空集，當時，，即，符合要求，此時解集為，當時，，解得，此時解集為空集，綜上：不等式的解集為.故答案為：題型六：二次函數(shù)根的分布問題23．若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個不相等的實數(shù)解，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】令，因為方程在區(qū)間上有兩個不相等的實數(shù)解，所以，即，解得，所以的取值范圍是．故選：A．24．關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，且，那么的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】當時，即為，不符合題意；故，即為，令，由于關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，且，則與x軸有兩個交點，且分布在1的兩側(cè)，故時，，即，解得，故，故選：D25．關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的正實數(shù)根，則的取值范圍是（

）A．B．C．D．且【答案】B【解析】根據(jù)題意可知；，由韋達定理可得，解得，故選：B26．關(guān)于x的方程至少有一個負根的充要條件是（

）A． B． C．或 D．【答案】B【解析】當方程沒有根時，，即，解得；當方程有根，且根都不為負根時，，解得，綜上，，即關(guān)于x的方程沒有一個負根時，，所以關(guān)于x的方程至少有一個負根的充要條件是，故選:B.27．關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根且，那么的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則，解得：，即的取值范圍為.故選：D.28．關(guān)于x的方程恰有一根在區(qū)間內(nèi)，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】方程對應(yīng)的二次函數(shù)設(shè)為：因為方程恰有一根屬于，則需要滿足：①，，解得：；②函數(shù)剛好經(jīng)過點或者，另一個零點屬于，把點代入，解得：，此時方程為，兩根為，，而，不合題意，舍去把點代入，解得：，此時方程為，兩根為，，而，故符合題意；③函數(shù)與x軸只有一個交點，，解得，經(jīng)檢驗，當時滿足方程恰有一根在區(qū)間(0,1)內(nèi);綜上：實數(shù)m的取值范圍為故選：D題型七：一元二次不等式恒（能）成立問題29．若不等式對一切恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】當，即時，不等式為對一切恒成立．當時，需滿足，即，解得.綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是．故選：C30．若不等式對一切恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】不等式，即恒成立，當時，不等式為恒成立，當時，有，解得，綜合得實數(shù)的取值范圍為.故選：A.31．（2024·浙江·模擬預(yù)測）若不等式的解為全體實數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】當時，不等式可化為，顯然不合題意；當時，因為的解為全體實數(shù)，所以，解得；綜上：.故選：C.32．，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】，，當且僅當，即時，等號成立，故，解得，故實數(shù)的取值范圍是.故答案為：33．關(guān)于的不等式在上有解，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】由不等式以及可得，依題意可知即可，令，又，由可得，利用二次函數(shù)性質(zhì)可知，即可得；即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：34．已知函數(shù).(1)求不等式的解集；(2)設(shè)函數(shù)，若存在，使得，求實數(shù)的取值范圍；(3)若對任意的，關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）由，得，即，解得或，所以不等式的解集為或；（2）由題可知，若存在，使得，則不等式的解集非空，則，解得或，所以實數(shù)的取值范圍是或；（3）對任意的，關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，等價于對于任意的，不等式在區(qū)間上恒成立，令，對稱軸，由，可知，所以在區(qū)間單調(diào)遞增，，所以只要當時，恒成立即可，即當時，恒成立，所以.所以實數(shù)的取值范圍是.35．（2024·高三·山東濱州·期末）若不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】不等式對任意恒成立，則，成立，而，當且僅當，即時取等號，因此，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：B36．若對于任意，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意，對于都有成立，∴，解得：，即實數(shù)的取值范圍是.故選：B.37．（2024·高三·遼寧鐵嶺·期中）已知，，，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，，則，所以，又，可得，令，則原題意等價于，，即，，當時，取到最大值，所以實數(shù)m的取值范圍是．故選：C題型八：解含參型絕對值不等式38．（2024·高三·上海浦東新·期中）關(guān)于的不等式的解集為，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】令，得，由絕對值的幾何意義知，表示數(shù)軸上的數(shù)2對應(yīng)的點到原點的距離與數(shù)a對應(yīng)的點到原點的距離之和，則，即的最小值為，又不等式的解集為R，所以不等式在R上恒成立，有，當時，顯然成立，當時，有，解得，即實數(shù)a的取值范圍為.故答案為：39．若存在實數(shù)使得不等式成立，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】因為，當且僅當時，等號成立，由題意可得，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.題型九：解不等式組型求參數(shù)問題40．（2024·高三·山東菏澤·期中）已知不等式組的解集是關(guān)于的不等式的解集的子集，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A．a(chǎn)≤0 B．a(chǎn)<0 C．a(chǎn)≤-1 D．a(chǎn)<-2【答案】A【解析】，解得：，因為是不等式的解集的子集，故要滿足：，解得：，故選：A41．已知關(guān)于的不等式組有唯一實數(shù)解，則實數(shù)的取值集合是.【答案】【解析】若，不等式組可化為：，不滿足條件若，則若不等式組，時，滿足條件解得：若，則若不等式組，時，滿足條件解得：故答案為：42．若不等式組的解集是，則a的取值范圍是【答案】【解析】因為不等式組的解集是，所以，不等式和對任意實數(shù)x恒成立。由不等式對任意實數(shù)x恒成立可得，即，解得；由不等式對任意實數(shù)x恒成立，即不等式對任意實數(shù)x恒成立，所以或，解得或，所以故答案為：.43．已知均為實數(shù)，若存在使得關(guān)于的不等式組的解集為，則的取值范圍是.【答案】【解析】當時，例如，則不等式的解集為，符合題意；當時，由題意可知：二次函數(shù)的對稱軸為，開口向上，所以時，，時，，時，，聯(lián)立解得：；當時，由題意可知：二次函數(shù)的對稱軸為，開口向下，所以時，，時，，時，，聯(lián)立解得：；綜上所述：的取值范圍是.故答案為：.題型十：不等式組整數(shù)解求參數(shù)問題44．（多選題）已知，若關(guān)于的不等式只有一個整數(shù)解，則的可能取值有（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】AD【解析】關(guān)于的不等式即，即，當時，即，解集為空集，不合題意；當時，的解滿足，要使得關(guān)于的不等式只有一個整數(shù)解，需，由于，故；當時，的解滿足，要使得關(guān)于的不等式只有一個整數(shù)解，需，由于，故，綜合得的可能取值，故選：AD45．（2024·高三·北京·開學考試）關(guān)于的不等式的解集中至多包含1個整數(shù)，寫出滿足條件的一個的取值范圍.【答案】【解析】關(guān)于的不等式可化為,當時,解不等式得,當時,解不等式得,因為不等式的解集中至多包含1個整數(shù),所以或,當時，不等式的解集為，也滿足題意；所以的取值范圍是.故答案為:.46．若關(guān)于的不等式的解集中恰有三個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】原不等式可化為，當時，得，此時解集中的整數(shù)為2，3，4，則；當時，得，此時解集中的整數(shù)為，，，則，綜上所述，的取值范圍是.故選：A1．（2024·廣東·一模）已知且，則“的解集為”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由題意，二次不等式的解集為，則等價于，即，即，當時，不能推出，所以“的解集為”是“”的充分不必要條件，故選：A2．（2024·甘肅張掖·模擬預(yù)測）不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】當，即或時，不等式等價于，即，解得，所以；當，即時，不等式等價于不等式，即，解得或，所以.綜上，不等式的解集是.故選：C.3．在區(qū)間內(nèi)隨機取一個實數(shù)，則關(guān)于的不等式僅有2個整數(shù)解的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意可得不等式等價于；因為，所以不等式的解集為；依題意可得區(qū)間內(nèi)僅有兩個整數(shù)，即包含兩個整數(shù)，可得；由幾何概型概率公式可得其概率為.故選：C4．（2024·全國·模擬預(yù)測）定義：若集合滿足，存在且，且存在且，則稱集合為嵌套集合．已知集合且，，若集合為嵌套集合，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所有，由，得，如圖，作出函數(shù)的圖象，由圖可知，不等式的解集為，所以且，由，得，當，即時，則，不符題意；當，即時，則，由，得，根據(jù)嵌套集合得定義可得，解得；當，即時，則，由，得，根據(jù)嵌套集合得定義可得，無解，綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.故選：A.5．（2024·遼寧鞍山·二模）已知當時，不等式：恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】當時，由得，因，故，當且僅當即時等號成立，因當時，恒成立，得，故選：C6．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）已知命題：任意，使為真命題，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，則，原命題等價于：任意，使為真命題，所以，其中設(shè)，則函數(shù)，的最大值為與中的較大者，所以，∴，解得，故選：C.7．（2024·四川遂寧·模擬預(yù)測）“關(guān)于的不等式的解集為R”的一個必要不充分條件是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】關(guān)于的不等式的解集為R，則，解之得，則“關(guān)于的不等式的解集為R”的一個必要不充分條件對應(yīng)的a的范圍應(yīng)包含，則僅選項C符合題意.故選：C8．（2024·江蘇淮安·模擬預(yù)測）已知．若p為假命題，則a的取值范圍為(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】因為p為假命題，所以，為真命題，故當時，恒成立．因為當時，的最小值為，所以，即a的取值范圍為．故選：A.9．（2024·四川宜賓·三模）若函數(shù)的最小值是，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】當時，，，，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增，，因為的最小值為，所以當時，，當時，.①若，在上單調(diào)遞減，，，得；②若，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，舍去.綜上.故選：B.10．（多選題）（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）下列說法正確的是（

）A．不等式的解集是B．不等式的解集是C．若不等式恒成立，則a的取值范圍是D．若關(guān)于x的不等式的解集是，則的值為【答案】CD【解析】對于A，或，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；若不等式恒成立，當時，是不可能成立的，所以只能，而該不等式組無解，綜上，故C正確；對于D，由題意得是一元二次方程的兩根，從而，解得，而當時，一元二次不等式滿足題意，所以的值為，故D正確.故選：CD.11．（多選題）（2024·江蘇連云港·模擬預(yù)測）若對于任意實數(shù)x，不等式恒成立，則實數(shù)a可能是（

）A． B．0 C． D．1【答案】ABD【解析】當時，不等式為恒成立，故滿足題意；當時，要滿足，而，所以解得；綜上，實數(shù)a的取值范圍是；所以對比選項得，實數(shù)a可能是，0，1.故選：ABD.12．（多選題）（2024·福建寧德·模擬預(yù)測）已知命題：關(guān)于的不等式的解集為R，那么命題的一個必要不充分條件是（

）A． B．C． D．【答案】CD【解析】命題p：關(guān)于x的不等式的解集為R，則，解得又，，故選：CD．13．（多選題）（2024·全國·模擬預(yù)測）已知二次函數(shù)，若對任意，則（

）A．當時，恒成立B．當時，恒成立C．使得成立D．對任意，，均有恒成立【答案】AD【解析】依題意，二次函數(shù)的對稱軸為.因為，所以其函數(shù)圖象為開口向下的拋物線，對于A選項，當時，，關(guān)于直線對稱，所以恒成立，所以A選項正確；對于B選項，當，若，則不等式可化為，所以；若，則不等式可化為，所以，所以B選項錯誤；對于C選項，因為，所以，所以二次函數(shù)的圖象開口向下，且二次函數(shù)與x軸無交點，所以不存在使得成立，所以C選項錯誤；對于D選項，，所以對任意，，均有恒成立，所以D選項正確，故選：AD.14．設(shè)集合，，則，則實數(shù)a的取值范圍為.【答案】【解析】由題意，或，若滿足，則，又因為，所以，解得.故答案為：.15．若命題“，”為假命題，則的取值范圍為.【答案】【解析】由題意可知，命題“，”為真命題.當時，可得.若，則有，符合題意；若，則有，解得，不符合題意；當時，則，解得.綜上，的取值范圍是.故答案為：.16．（2024·湖南·模擬預(yù)測）若關(guān)于x的不等式的解集恰有50個整數(shù)元素，則a的取值范圍是，這50個整數(shù)元素之和為．【答案】或1625【解析】不等式等價于不等式．當時，的解集為，不合題意；當時，的解集為，則50個整數(shù)解為，，…，5，6，所以，這50個整數(shù)元素之和為；當時，的解集為，則50個整數(shù)解為8，9，…，56，57，所以，這50個整數(shù)元素之和為．綜上，a的取值范圍是，這50個整數(shù)元素之和為或1625．故答案為：；或162517．（2024·上海黃浦·三模）關(guān)于x的不等式的解集是，則實數(shù)a的取值范圍為．【答案】【解析】因為關(guān)于x的不等式的解集是，所以在