高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題26 數(shù)列的概念6題型分類-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點(diǎn)突破和專題檢測(cè)（解析版）

專題26數(shù)列的概念6題型分類1．?dāng)?shù)列的有關(guān)概念概念含義數(shù)列按照確定的順序排列的一列數(shù)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)通項(xiàng)公式如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與它的序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式遞推公式如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和把數(shù)列{an}從第1項(xiàng)起到第n項(xiàng)止的各項(xiàng)之和，稱為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，記作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an2.數(shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿足條件項(xiàng)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)限項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系遞增數(shù)列an＋1>an其中n∈N*遞減數(shù)列an＋1<an常數(shù)列an＋1＝an擺動(dòng)數(shù)列從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列3.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系數(shù)列{an}是從正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到實(shí)數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是序號(hào)n，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是數(shù)列的第n項(xiàng)an，記為an＝f(n)．4．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，則an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))5．在數(shù)列{an}中，若an最大，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2，n∈N*)；若an最小，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1))(n≥2，n∈N*)．（一）Sn與an的關(guān)系問(wèn)題的求解思路(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解．(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解．題型1：由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式1-1．（2024·浙江）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，則a1＝，S5＝．【答案】1121【詳解】試題分析：，再由，又，所以【考點(diǎn)】等比數(shù)列的定義，等比數(shù)列的前項(xiàng)和．【易錯(cuò)點(diǎn)睛】由轉(zhuǎn)化為的過(guò)程中，一定要檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)是否滿足，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.1-2．（2024·北京）若數(shù)列的前項(xiàng)和，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為；數(shù)列中數(shù)值最小的項(xiàng)是第項(xiàng)．【答案】；3【詳解】數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列的通項(xiàng)公式為=，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其中數(shù)值最小的項(xiàng)應(yīng)是最靠近對(duì)稱軸的項(xiàng)，即n=3，第3項(xiàng)是數(shù)列中數(shù)值最小的項(xiàng)．1-3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【答案】【分析】根據(jù)之間的關(guān)系，結(jié)合累和法、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，所以，因此?dāng)時(shí)，，于是當(dāng)時(shí)，，顯然適合，故，故答案為：.1-4．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）數(shù)列滿足，（，），則.【答案】【解析】利用項(xiàng)和轉(zhuǎn)換，得到，故是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，可得，再借助，即得解.【詳解】由于，即故是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列由于故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系，考查了學(xué)生分析問(wèn)題的能力，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.（二）由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式(1)形如an＋1－an＝f(n)的數(shù)列，利用累加法．(2)形如eq\f(an＋1,an)＝f(n)的數(shù)列，利用an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)(n≥2)即可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．題型2：累加法2-1．（2024·安徽安慶·一模）數(shù)列滿足(，且)，，對(duì)于任意有恒成立，則的取值范圍是.【答案】【分析】利用累加法求出，然后可得，然后可得答案.【詳解】從而可得即，因?yàn)?，所?故答案為：2-2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則的最小值為【答案】9【分析】由已知可得時(shí)，.累加法可推得，進(jìn)而得出.構(gòu)造，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，得出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)，即可得出答案.【詳解】由已知可得，，所以當(dāng)時(shí)，有.則有，，，，兩邊分別相加可得，，所以.當(dāng)時(shí)，滿足條件.所以，，所以.設(shè)，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.又，，所以，當(dāng)或時(shí)，有最小值為9.故答案為：9.題型3：累乘法3-1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若，則通項(xiàng)公式.【答案】【分析】由已知可得，然后利用累乘法可求得結(jié)果.【詳解】由，得，所以，，，……，，所以，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)闈M足上式，所以，故答案為：3-2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在數(shù)列{an}中，，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝.【答案】【解析】依題意可得，再利用累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【詳解】解：由得，∴當(dāng)時(shí)，適合上式．故.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.3-3．（2024高三上·遼寧葫蘆島·期末）在數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【答案】【分析】由題意可得，然后利用累乘法可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，，，……，，，所以，所以，因?yàn)?，所以符?hào)該式，故答案為：（三）數(shù)列的性質(zhì)(1)解決數(shù)列的單調(diào)性問(wèn)題的方法用作差比較法，根據(jù)an＋1－an的符號(hào)判斷數(shù)列{an}是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列還是常數(shù)列．(2)解決數(shù)列周期性問(wèn)題的方法先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值．題型4：數(shù)列的單調(diào)性4-1．（2024·北京·二模）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，.請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】（答案不唯一）【分析】由題意確定數(shù)列的特征，然后結(jié)合數(shù)列的特征給出滿足題意的數(shù)列的通項(xiàng)公式即可.【詳解】因?yàn)?，則數(shù)列是遞增的，又，所以最小，數(shù)列從第7項(xiàng)開(kāi)始為正，而，因此不妨設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，公差為1，，所以，滿足條件的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.故答案為：（答案不唯一）.4-2．（2024高一下·上海閔行·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，若為遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)求出，再由數(shù)列是減數(shù)列，得到，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和為，，所以，又，則，因?yàn)闀r(shí)，數(shù)列顯然是減數(shù)列，為使時(shí)，為遞減數(shù)列，只需，即，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查由數(shù)列的增減性求參數(shù)，考查由數(shù)列的前項(xiàng)和求通項(xiàng)公式，屬于常考題型.4-3．（2024高二下·北京順義·階段練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）.寫(xiě)出一個(gè)能使數(shù)列是遞增數(shù)列的實(shí)數(shù)b的值.（寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的即可）【答案】答案不唯一，只要填的值在均可【分析】結(jié)合分析即可得出能使數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件為【詳解】

設(shè),結(jié)合圖像可知,數(shù)列是遞增數(shù)列等價(jià)于即,即,解得故答案為：答案不唯一，只要填的值在均可4-4．（2024高二上·河北衡水·期中）數(shù)列滿足：.若是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】由已知條件推導(dǎo)出恒成立，由此能求出實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】解：數(shù)列的通項(xiàng)公式為，，數(shù)列是遞增數(shù)列，恒成立的最小值是即實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為：．題型5：數(shù)列的周期性5-1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在數(shù)列中，，對(duì)所有的正整數(shù)都有，則（

）A．

B．

C．

D．【答案】B【分析】由得得到數(shù)列的周期，進(jìn)而解決問(wèn)題.【詳解】由得，兩式相加得，，是以6為周期的數(shù)列，而，.故選：B.5-2．（2024·北京通州·三模）數(shù)列中，，則（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【分析】根據(jù)題意，分別求得，即可得到數(shù)列的周期，從而得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，則，求得，令，則，求得，令，則，求得，令，則，求得，令，則，求得，令，則，求得，，所以數(shù)列的周期為，則.故選：C5-3．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）設(shè)函數(shù)定義如下，數(shù)列滿足，且對(duì)任意自然數(shù)均有，則的值為（

）x1234541352A．1 B．2 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)題意得到數(shù)列是項(xiàng)為周期的周期數(shù)列，結(jié)合，即可求解.【詳解】由對(duì)任意自然數(shù)均有，且，可得，，，，，，所以數(shù)列是項(xiàng)為周期的周期數(shù)列，且前四項(xiàng)分別為，所以.故選：B.5-4．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在數(shù)列中，已知，，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，結(jié)合，得到，求得，從而求得，，結(jié)合周期性，即可求解.【詳解】由，可得，因?yàn)?，所以，整理得，由于，解得，從而，，可知，因?yàn)椋裕蔬x：C．題型6：數(shù)列的最值6-1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝，則數(shù)列中的最大項(xiàng)為．【答案】【分析】設(shè)數(shù)列{an}中的第n項(xiàng)最大,建立不等式組求解即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)數(shù)列{an}中的第n項(xiàng)最大，則

即解得8≤n≤9.又n∈N*，則n＝8或n＝9.故數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)為第8項(xiàng)和第9項(xiàng)，且a8＝a9＝.故答案為：6-2．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則的最小值為.【答案】/【分析】由，得到數(shù)列為遞增數(shù)列求解.【詳解】因?yàn)?，易知?shù)列為遞增數(shù)列，所以數(shù)列的最小項(xiàng)為，即最小值為.故答案為：6-3．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知，若數(shù)列中最小項(xiàng)為第3項(xiàng)，則．【答案】【分析】結(jié)合二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)即可知，從而可求出的取值范圍.【詳解】因?yàn)殚_(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，則由題意知，所以．故答案為：.6-4．（2024·河北·高考模擬）數(shù)列的通項(xiàng)公式為若是中的最大項(xiàng)，則a的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合是中的最大項(xiàng)列出不等式即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，因此時(shí)，取得最大值為，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)槭侵械淖畲箜?xiàng)，所以解得，故答案為:.6-5．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則的最小值為．【答案】【分析】利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出，再判斷數(shù)列單調(diào)性作答.【詳解】依題意，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，則，于是，令，則有，顯然當(dāng)時(shí)，，即，因此當(dāng)時(shí)，數(shù)列是遞增的，又，所以的最小值為.故答案為：6-6．（2024·湖南邵陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列和數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，數(shù)列滿足：，則數(shù)列的最大項(xiàng)等于.【答案】/1.75【分析】由條件求數(shù)列的通項(xiàng)公式，再研究數(shù)列的單調(diào)性，由此確定其最大項(xiàng).【詳解】數(shù)列和數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列為：，該數(shù)列為首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，所以，所以因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，，即，又，所以數(shù)列的最大項(xiàng)為第二項(xiàng)，其值為.故答案為：.一、單選題1．（2024高三上·江西贛州·階段練習(xí)）斐波那契數(shù)列可以用如下方法定義：，且，若此數(shù)列各項(xiàng)除以4的余數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，則數(shù)列的第100項(xiàng)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】由題意有，且，若此數(shù)列各項(xiàng)除以4的余數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，可得是以6為周期的周期數(shù)列，然后求解即可．【詳解】由題意有，且，若此數(shù)列各項(xiàng)除以4的余數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，則，，，，，，，，，則數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，則，則數(shù)列的第100項(xiàng)為3，故選：．2．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）已知數(shù)列中，，則（

）A． B． C．2 D．1【答案】A【分析】先根據(jù)遞推公式代入計(jì)算出前幾項(xiàng)的值，即可判別出數(shù)列是以3為最小正周期的周期數(shù)列，根據(jù)周期數(shù)列的性質(zhì)特點(diǎn)即可計(jì)算出的值，得到正確選項(xiàng)．【詳解】數(shù)列中，，可知，，，故數(shù)列是以3為最小正周期的周期數(shù)列，所以.故選：A3．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列中，已知，當(dāng)時(shí)，是的個(gè)位數(shù)，則（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】由題意，列出數(shù)列的前若干項(xiàng)，分析出數(shù)列變化規(guī)律，進(jìn)而得出答案.【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，是的個(gè)位數(shù)，所以，，，，，，，，，，可知數(shù)列中，從第3項(xiàng)開(kāi)始有，即當(dāng)時(shí)，的值以6為周期呈周期性變化，又，故.故選：C.4．（2024·浙江寧波·一模）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則“對(duì)任意，”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不是充分也不是必要條件【答案】A【分析】根據(jù)題意，分別判斷充分性和必要性是否成立即可.【詳解】數(shù)列中，對(duì)任意，，則，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，充分性成立；當(dāng)數(shù)列為遞增數(shù)列時(shí)，，即，所以，，如數(shù)列不滿足題意，必要性不成立；所以“對(duì)任意，”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A5．（2024·浙江·二模）已知數(shù)列滿足，若存在實(shí)數(shù)，使單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解法一：由單調(diào)遞增可得恒成立，則，分析和應(yīng)用排除法確定正確選項(xiàng)；解法二：借助函數(shù)的知識(shí)，將數(shù)列單調(diào)性轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象即可得解.【詳解】解法一：由單調(diào)遞增，得，由，得，∴.時(shí)，得①，時(shí)，得，即②，若，②式不成立，不合題意；若，②式等價(jià)為，與①式矛盾，不合題意.綜上，排除B，C，D.解法二：設(shè)，函數(shù)對(duì)稱軸為，則，聯(lián)立，可得兩函數(shù)的交點(diǎn)為，若要，則，，所以，又只要求存在實(shí)數(shù)，所以.故選：A.6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，若數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件求出數(shù)列通項(xiàng)，再由數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列列出不等式并分離參數(shù)即可推理計(jì)算作答【詳解】由可得，兩式相減可得，則，當(dāng)時(shí)，可得滿足上式，故，所以，因數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，即，則整理得，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，于是得是數(shù)列的最大項(xiàng)，即當(dāng)時(shí)，取得最大值，從而得，所以的取值范圍為．故選：A7．（2024高一上·北京·期末）數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則“”是“為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充要條件【答案】B【分析】根據(jù)以及充分條件和必要條件的定義分別進(jìn)行判斷即可【詳解】由題意得數(shù)列為遞增數(shù)列等價(jià)于對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，因?yàn)?，且可以無(wú)限接近于0，所以，所以“”是“為遞增數(shù)列”的必要不充分條件，故選：B8．（2024高三上·廣東深圳·階段練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性判斷【詳解】若數(shù)列為遞增數(shù)列，則，即由，所以有，反之，當(dāng)時(shí)，，則數(shù)列為遞增數(shù)列，所以“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的充要條件，故選：C.9．（2024高三上·江蘇南通·期末）已知數(shù)列是遞增數(shù)列，且，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性及數(shù)列為遞增數(shù)列，列出不等式組求解即可.【詳解】因?yàn)椋沁f增數(shù)列，所以，解得，所以實(shí)數(shù)t的取值范圍為，故選：C10．（2024高二上·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，若是遞增數(shù)列，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出函數(shù)和的圖象，結(jié)合圖象分析求解.【詳解】因?yàn)槭沁f增數(shù)列，所以，即．如圖所示，作出函數(shù)和的圖象，由圖可知，當(dāng)時(shí)，，且．故當(dāng)時(shí)，，且，依此類推可得，滿足是遞增數(shù)列，即的取值范圍是．故選:A.11．（2024·甘肅張掖·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列為遞減數(shù)列，其前n項(xiàng)和，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系可得當(dāng)時(shí)，，再求解的解即可.【詳解】因?yàn)椋詳?shù)列為遞減數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，故可知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故為遞減數(shù)列，只需滿足，即．故選：A12．（2024高二上·重慶·期末）分形幾何學(xué)是一門(mén)以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對(duì)象的幾何學(xué)，它的研究對(duì)象普遍存在于自然界中，因此又被稱為“大自然的幾何學(xué)”．按照如圖1所示的分形規(guī)律，可得如圖2所示的一個(gè)樹(shù)形圖．若記圖2中第n行黑圈的個(gè)數(shù)為，則（

）A．110 B．128 C．144 D．89【答案】C【分析】表示第n行中的黑圈個(gè)數(shù)，設(shè)表示第n行中的白圈個(gè)數(shù)，由題意可得，，根據(jù)初始值，由此遞推即可求得結(jié)果．【詳解】已知表示第n行中的黑圈個(gè)數(shù)，設(shè)表示第n行中的白圈個(gè)數(shù)，則由于每個(gè)白圈產(chǎn)生下一行的一個(gè)白圈和一個(gè)黑圈，一個(gè)黑圈產(chǎn)生下一行的一個(gè)白圈和2個(gè)黑圈，所以，，又因?yàn)?，，所以，；，；，；，；，；．故選：C.13．（2024·云南保山·二模）我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝126l年所著的《詳解九章算法》一書(shū)里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就.楊輝三角也可以看做是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，若去除所有為1的項(xiàng)，其余各項(xiàng)依次構(gòu)成數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，則此數(shù)列的第56項(xiàng)為（

）

A．11 B．12 C．13 D．14【答案】B【分析】由題意可知，去除所有為1的項(xiàng)，則剩下的每一行的個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，求解即可.【詳解】由題意可知：若去除所有的為1的項(xiàng)，則剩下的每一行的個(gè)數(shù)為1，2，3，4，...，可以看成構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，則，可得當(dāng)，所有項(xiàng)的個(gè)數(shù)和為55，第56項(xiàng)為12，故選：B.14．（2024高三下·河南新鄉(xiāng)·開(kāi)學(xué)考試）古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過(guò)各種多邊形數(shù).如三角形數(shù)1，3，6，10，第n個(gè)三角形數(shù)為.記第n個(gè)k邊形數(shù)為，以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式：三角形數(shù)：；正方形數(shù)：；五邊形數(shù)：；六邊形數(shù)：，可以推測(cè)的表達(dá)式，由此計(jì)算（

）A．4020 B．4010 C．4210 D．4120【答案】B【分析】根據(jù)題意列舉前幾項(xiàng)，分析可得，即可得結(jié)果.【詳解】由題意可得：，，，.由此可歸納，所以，故選：B.15．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）古希臘科學(xué)家畢達(dá)哥拉斯對(duì)“形數(shù)”進(jìn)行了深入的研究，若一定數(shù)目的點(diǎn)或圓在等距離的排列下可以形成一個(gè)等邊三角形，則這樣的數(shù)稱為三角形數(shù)，如1，3，6，10，15，21，…這些數(shù)量的點(diǎn)都可以排成等邊三角形，∴都是三角形數(shù)，把三角形數(shù)按照由小到大的順序排成的數(shù)列叫做三角數(shù)列類似地，數(shù)1，4，9，16，…叫做正方形數(shù)，則在三角數(shù)列中，第二個(gè)正方形數(shù)是（

）A．28 B．36 C．45 D．55【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)求出三角數(shù)列以及正方形數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】由題意可得，三角數(shù)列的通項(xiàng)為，則三角數(shù)列的前若干項(xiàng)為1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，….，設(shè)正方形數(shù)按由小到大的順序排成的數(shù)列為，則，其前若干項(xiàng)為1，4，9，16，25，36，49，…，∴在三角數(shù)列中，第二個(gè)正方形數(shù)是36.故選：B.16．（2024高三·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）早在3000年前，中華民族的祖先就已經(jīng)開(kāi)始用數(shù)字來(lái)表達(dá)這個(gè)世界．在《乾坤譜》中，作者對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”進(jìn)行了一系列推論，用來(lái)解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，如圖．該數(shù)列從第一項(xiàng)起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，60，72，…，若記該數(shù)列為，則（

）A．2018 B．2020 C．2022 D．2024【答案】B【分析】根據(jù)題設(shè)數(shù)據(jù)可得，從而可求的值．【詳解】由題設(shè)中的數(shù)據(jù)可知數(shù)列滿足：，，故，故選：B．17．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）觀察下列各式：；；；；；則（

）A．28 B．76 C．123 D．10【答案】C【分析】利用題給條件觀察出規(guī)律，進(jìn)而求得的值.【詳解】設(shè)則通過(guò)觀察不難發(fā)現(xiàn)：從而故，故選：C.18．（2024高二下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）古希臘科學(xué)家畢達(dá)哥拉斯對(duì)“形數(shù)”進(jìn)行了深入的研究，若一定數(shù)目的點(diǎn)或圓在等距離的排列下可以形成一個(gè)等邊三角形，則這樣的數(shù)稱為三角形數(shù)，如1，3，6，10，15，21，…這些數(shù)量的點(diǎn)都可以排成等邊三角形，∴都是三角形數(shù)，把三角形數(shù)按照由小到大的順序排成的數(shù)列叫做三角數(shù)列．類似地，數(shù)1，4，9，16，…叫做正方形數(shù)，則在三角數(shù)列中，第二個(gè)正方形數(shù)是（）A．36 B．25 C．49 D．64【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)求出三角數(shù)列以及正方形數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解．【詳解】由題意可得，三角數(shù)列的通項(xiàng)為，則三角數(shù)列的前若干項(xiàng)為1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，…，設(shè)正方形數(shù)按由小到大的順序排成的數(shù)列為，則，其前若干項(xiàng)為1，4，9，16，25，36，49，…，∴在三角數(shù)列中，第二個(gè)正方形數(shù)是36．故選：A．19．（2024高二上·上海·期中）數(shù)列滿足，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由利用二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得答案.【詳解】，∵不等式恒成立，∴，解得，故選：B．20．（2024高三下·河南·階段練習(xí)）數(shù)列滿足，，若不等式，對(duì)任何正整數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為A． B． C． D．【答案】A【詳解】試題分析：依題意，由此可知，所以，所以，對(duì)任何正整數(shù)恒成立，即．考點(diǎn)：數(shù)列與不等式．【思路點(diǎn)晴】本題是一道關(guān)于數(shù)列與不等式的綜合題，考查運(yùn)算求解能力，對(duì)表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵．開(kāi)始采用特殊項(xiàng)的辦法，是合情推理與演繹推理，先根據(jù)特殊項(xiàng)，歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后代入要求證的不等式，利用裂項(xiàng)求和法求得不等式坐標(biāo)的和，然后利用恒成立問(wèn)題來(lái)求得最小值．如果是解答題，歸納猜想出的通項(xiàng)公式還要用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明．21．（2024·北京）已知是各項(xiàng)均為整數(shù)的遞增數(shù)列，且，若，則的最大值為（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【分析】使數(shù)列首項(xiàng)、遞增幅度均最小，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)及求和公式求得可能的最大值，然后構(gòu)造數(shù)列滿足條件，即得到的最大值．【詳解】若要使n盡可能的大，則，遞增幅度要盡可能小，不妨設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為1的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，則，，所以.對(duì)于，，取數(shù)列各項(xiàng)為(，,則，所以n的最大值為11．故選：C．22．（2024高三上·上海寶山·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則“為遞增數(shù)列”是“為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】D【分析】利用充分條件、必要條件的定義，結(jié)合遞增數(shù)列的意義判斷作答.【詳解】令數(shù)列通項(xiàng)，顯然為遞增數(shù)列，而，是遞減數(shù)列，令，顯然為遞增數(shù)列，而時(shí)，，滿足上式，即，為常數(shù)數(shù)列，所以“為遞增數(shù)列”是“為遞增數(shù)列”的既不充分又不必要條件.故選：D23．（2024高二·河北保定·階段練習(xí)）若為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則（

）A． B． C． D．30【答案】D【分析】根據(jù)公式直接求出，進(jìn)一步求出答案.【詳解】∵∴.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列前項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.24．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在數(shù)列中，，，則（）A． B．1C． D．2【答案】D【分析】通過(guò)遞推式求出數(shù)列前幾項(xiàng)可得數(shù)列為周期數(shù)列，利用數(shù)列的周期性可得答案.【詳解】，，，，可得數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，.故選：D.25．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）數(shù)列…的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分子和分母的數(shù)字特征，結(jié)合正負(fù)交替性進(jìn)行求解判斷即可.【詳解】該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為故選：D26．（2024高一下·寧夏吳忠·期中）已知數(shù)列的所有項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和為，且.則的通項(xiàng)公式為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】令，由可求得的值，當(dāng)時(shí)，可得是等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，整理可得，解得：或，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，整理可得：即，因?yàn)椋?，所以是以為首?xiàng)，公差為的等差數(shù)列，所以，故選：B.27．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若數(shù)列滿足,，則的值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】運(yùn)用代入法進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以有，因此數(shù)列是以為周期的數(shù)列，所以.故選：D28．（2024高二下·遼寧·期末）若數(shù)列滿足，，則數(shù)列中的項(xiàng)的值不可能為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用數(shù)列滿足的遞推關(guān)系及，依次取代入計(jì)算，能得到數(shù)列是周期為4的周期數(shù)列，得項(xiàng)的所有可能值，判斷選項(xiàng)即得結(jié)果.【詳解】數(shù)列滿足，，依次取代入計(jì)算得，，，，，因此繼續(xù)下去會(huì)循環(huán)，數(shù)列是周期為4的周期數(shù)列，所有可能取值為：.故選：D.29．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值分別為（）A．1， B．0， C．， D．1，【答案】A【分析】利用的單調(diào)性可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，且單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，且單調(diào)遞減，且，所以最小項(xiàng)為，最大項(xiàng)為.故選：A.30．（2024高二下·四川成都·期中）已知數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，，則數(shù)列的最小值為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】由遞推公式，，兩邊取倒數(shù)可得：，，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，數(shù)列滿足，，再利用等差數(shù)列的求和公式可得，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出．【詳解】解：，，，即，，數(shù)列以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，，數(shù)列滿足，，所以，時(shí)也成立），所以，令，，，可得：函數(shù)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增．而，，數(shù)列的最小值為．故選：．31．（2024高三上·湖北·期中）已知數(shù)列滿足，.若，則數(shù)列的通項(xiàng)公式（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】變形為可知數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，求出后代入到可得結(jié)果.【詳解】由，得，所以，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造等比數(shù)列求出是本題解題關(guān)鍵.32．（2024·云南保山·一模）已知數(shù)列滿足，，則等于A． B． C． D．【答案】C【分析】利用數(shù)列的遞推關(guān)系式，推出數(shù)列是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，然后求解數(shù)列的通項(xiàng)公式．【詳解】由，得，且，所以數(shù)列，因此是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故，因此，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查計(jì)算能力．33．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列中，，則數(shù)列的通項(xiàng)（）A． B．C． D．【答案】D【分析】解法一：給已知等式兩邊同除以，令則可得，從而得數(shù)列是等比數(shù)列，求出，進(jìn)而可求出；解法二：設(shè)，化簡(jiǎn)后與已知等式比較可得，從而可得數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，進(jìn)而可求出.【詳解】解法一：在遞推公式的兩邊同時(shí)除以，得①，令，則①式變?yōu)?，即，所以?shù)列是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為，公比為，所以，即，所以，所以，解法二：設(shè)，則，與比較可得，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以，故選：D34．（2024高二下·遼寧·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，數(shù)列滿足，且數(shù)列是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題首先可根據(jù)題意得出，然后根據(jù)數(shù)列是遞增數(shù)列得出不等式組，最后通過(guò)計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所以，因?yàn)閿?shù)列是遞增數(shù)列，所以，解得，即.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了分段函數(shù)以及遞增數(shù)列的綜合應(yīng)用，主要考查了分段函數(shù)的單調(diào)性，若分段函數(shù)為增函數(shù)，關(guān)鍵是函數(shù)在各段上均為增函數(shù)，且滿足前一段的最大值小于或等于后一段的最小值，本題需要額外注意.35．（2024高三下·海南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）若數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為＝，=（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件，利用與的關(guān)系求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求解即可.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，即，∴是首項(xiàng)為1，公比為-2的等比數(shù)列，∴，所以.故選：B.36．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知得，再由累加法可得答案.【詳解】由題意，得，則當(dāng)時(shí)，，，，，以上各式相加得所以，所以，即，當(dāng)時(shí)，適合此式，所以.故選：D.37．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如，.已知數(shù)列滿足：，，則等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】利用數(shù)列的遞推關(guān)系式，通過(guò)累加法求出通項(xiàng)公式，進(jìn)而化簡(jiǎn)利用裂項(xiàng)相消法求解數(shù)列的和即可.【詳解】由，得，因?yàn)?，所以，則，所以，，故選：A.二、多選題38．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）下列結(jié)論正確的是（

）A．?dāng)?shù)列1，2，3與3，2，1是兩個(gè)不同的數(shù)列．B．任何一個(gè)數(shù)列不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列．C．若數(shù)列用圖象表示，則從圖象上看是一群孤立的點(diǎn)．D．若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則對(duì)任意，都有.【答案】ACD【分析】根據(jù)數(shù)列的定義、數(shù)列的單調(diào)性、數(shù)列的圖象特征、與之間的關(guān)系逐一判斷即可.【詳解】由數(shù)列的定義可知選項(xiàng)A正確；一個(gè)數(shù)列可以是常數(shù)列，因此選項(xiàng)B錯(cuò)誤；根據(jù)數(shù)列的圖象特征可知選項(xiàng)C正確；由的意義可知選項(xiàng)D正確，故選：ACD39．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）（多選）已知數(shù)列的前4項(xiàng)為2，0，2，0，則依此歸納該數(shù)列的通項(xiàng)可能是（）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)n的奇偶性分類討論逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，故A中通項(xiàng)公式正確；對(duì)于B顯然正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，顯然不符合；對(duì)于D，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，故D中通項(xiàng)公式正確.故選：ABD．40．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）（多選）數(shù)列1，2，1，2，…的通項(xiàng)公式可能為（）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)n的奇偶性分類討論逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，故A中通項(xiàng)公式正確；對(duì)于B，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，故B中通項(xiàng)公式不正確；對(duì)于C，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，故C中通項(xiàng)公式正確；對(duì)于D，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，故D中通項(xiàng)公式正確.故選：ACD41．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，則（）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】計(jì)算出數(shù)列的前幾項(xiàng)可判斷AC，再尋找規(guī)律可判斷BD．【詳解】由題意，，故A正確，，故C正確；，，，∴數(shù)列是周期數(shù)列，周期為3．，故B錯(cuò)誤；，故D正確．故選：ACD．42．（2024高三上·湖北·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，當(dāng)時(shí)，，則關(guān)于數(shù)列的說(shuō)法正確的是(

)A． B．是遞增數(shù)列C． D．?dāng)?shù)列為周期數(shù)列【答案】ABC【分析】利用數(shù)列的遞推關(guān)系式推出，說(shuō)明數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，然后求解通項(xiàng)公式，即可判斷選項(xiàng)的正誤．【詳解】數(shù)列滿足：，當(dāng)時(shí)，，，∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，，，故C正確；，故A正確；∵函數(shù)在x＞－1時(shí)單調(diào)遞增，故是單調(diào)遞增數(shù)列，故B正確，D錯(cuò)誤．故選：ABC．三、填空題43．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，，，若是唯一的最大項(xiàng)，則k的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)數(shù)列遞推關(guān)系得到是等比數(shù)列，進(jìn)一步求出的通項(xiàng)公式，利用是最大項(xiàng)建立不等式求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，又，，所以是首?xiàng)為64，公比為k的等比數(shù)列，則，則，因?yàn)槭俏ㄒ坏淖畲箜?xiàng)，所以，即，解得，即k的取值范圍為.故答案為：.44．（2024高三上·北京·階段練習(xí)）數(shù)列中，，則此數(shù)列最大項(xiàng)的值是.【答案】【分析】配方得出，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得最大項(xiàng)的值.【詳解】因?yàn)?，故?dāng)或時(shí)，取得最大值.故答案為：.45．（2024高三上·江蘇連云港·期中）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和是，對(duì)于，都有，則k＝．【答案】5【分析】結(jié)合，的函數(shù)圖象和特殊值的思路，得到數(shù)列正負(fù)情況，即可得到當(dāng)時(shí)，取得最大值，即.【詳解】如圖，為和的圖象，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)為，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，所以，結(jié)合圖象可得，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，即.故答案為：5.46．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，若恒成立，則實(shí)數(shù)k的最小值為．【答案】/1.5【分析】利用差比法判斷數(shù)列的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】∵，∴數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，．從而，即k的最小值為．故答案為：47．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的前2009項(xiàng)之和為.【答案】/【分析】由遞推數(shù)列可得數(shù)列是以4為周期的數(shù)列，再由結(jié)合遞推數(shù)列求出，則，代入求解即可.【詳解】由，得，則，，∴數(shù)列是以4為周期的數(shù)列，.由可得，，.故答案為：.48．（2024高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）正項(xiàng)數(shù)列中，，，猜想通項(xiàng)公式為．【答案】【分析】利用取倒數(shù)，可得為等差數(shù)列，即可求解.或者利用列舉法，羅列前面的項(xiàng)，通過(guò)規(guī)律猜想.【詳解】方法一:由得，所以為等差數(shù)列，且公差為3，首項(xiàng)為1，故，故，方法二：由得，，由此可猜想故答案為：49．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列滿足，，寫(xiě)出一個(gè)符合上述條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】（答案不唯一）【分析】將已知等式變形后，找到滿足等式的通項(xiàng)公式即可.【詳解】由得：，則當(dāng)時(shí)，，，故滿足遞推關(guān)系，又，滿足，滿足條件的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為：.故答案為：（答案不唯一）.50．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）斐波那契數(shù)列由意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…．在實(shí)際生活中，很多花朵（如梅花、飛燕草、萬(wàn)壽菊等）的瓣數(shù)恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù)，斐波那契數(shù)列在現(xiàn)代物理及化學(xué)等領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用．斐波那契數(shù)列滿足：，，則是斐波那契數(shù)列中的第項(xiàng)．【答案】【分析】利用遞推關(guān)系，將所求關(guān)系式中的“”換為，再利用即可求得答案．【詳解】由可得.故答案為：.51．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列{an}滿足，則S3=．【答案】10【解析】直接由通項(xiàng)公式求得前三項(xiàng)進(jìn)而求和即可.【詳解】因?yàn)椋裕矗蚀鸢笧椋?0.【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列通項(xiàng)公式的概念，屬于基礎(chǔ)題.52．（2024高一下·江蘇無(wú)錫·期中）已知數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為，那么是它的第項(xiàng)．【答案】【詳解】試題分析：由得因?yàn)榻獾每键c(diǎn)：數(shù)列通項(xiàng)53．（2024高一下·吉林長(zhǎng)春·期中）根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點(diǎn)數(shù)，寫(xiě)出點(diǎn)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式