高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題34 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)6題型分類-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點突破和專題檢測（原卷版）

專題34直線、平面垂直的判定與性質(zhì)6題型分類1．直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義一般地，如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號表示判定定理如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m?α,n?α,m∩n＝P,l⊥m,l⊥n))?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b2.直線和平面所成的角(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角．一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是90°；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角是0°.(2)范圍：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).3．二面角(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角．(2)二面角的平面角：如圖，在二面角α－l－β的棱l上任取一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角．(3)二面角的范圍：[0，π]．4．平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號表示判定定理如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α,a⊥β))?α⊥β性質(zhì)定理兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,l?β))?l⊥α常用結(jié)論1．三垂線定理平面內(nèi)的一條直線如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直．2．三垂線定理的逆定理平面內(nèi)的一條直線如果和穿過該平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在該平面內(nèi)的射影垂直．3．兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面．（一）證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵(1)證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質(zhì)．(2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)．題型1：線面垂直關(guān)系的判斷1-1．（2024·廣西南寧·三模）已知l，m，n是三條不同的直線，，是不同的平面，則下列條件中能推出的是（

）A．，，且B．，，，且，C．，，，且D．，，且1-2．（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知l，m，n表示不同的直線，，，表示不同的平面，則下列四個命題正確的是（

）A．若，且，則 B．若，，，則C．若，且，則 D．若，，，則1-3．（2024·甘肅天水·一模）設(shè)是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則題型2：證線線垂直2-1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，點是的中點，證明：.2-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，，．證明：2-3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知三棱柱中，是的中點，是線段上一點.求證：；

2-4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在梯形中，，，，，如圖1.沿對角線將折起，使點到達(dá)點的位置，為的中點，如圖2.證明：.題型3：證線面垂直3-1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，平面平面，是的中點，且.證明：平面；

3-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖所示，在三棱錐中，已知平面，平面平面．證明：平面；

3-3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖1，在五邊形中，四邊形為正方形，，，如圖2，將沿折起，使得A至處，且．證明：平面；3-4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，平面ABD，E為AB的中點，，.證明：平面CED；（二）(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定義．②面面垂直的判定定理．(2)面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用①面面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運用時要注意“平面內(nèi)的直線”．②若兩個相交平面同時垂直于第三個平面，則它們的交線也垂直于第三個平面．題型4：面面垂直關(guān)系的判斷4-1．（2024·陜西咸陽·二模）已知，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，有以下四個命題：①若∥，，則∥，②若，，則，③若，，則∥，④若，，，則其中正確的命題是（

）A．②③ B．②④ C．①③ D．①②4-2．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）如圖所示的菱形中，對角線交于點，將沿折到位置，使平面平面.以下命題:

①；

②平面平面；③平面平面；④三棱錐體積為.其中正確命題序號為（

）A．①②③ B．②③ C．③④ D．①②④4-3．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知是兩個不同的平面，是兩條不同的直線，則下列命題中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則題型5：證面面垂直5-1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，已知直角梯形與，，，，AD⊥AB，，G是線段上一點.求證：平面⊥平面ABF5-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，為圓錐的頂點，A，為底面圓上兩點，，為中點，點在線段上，且.證明：平面平面；5-3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為菱形，，，.證明：平面平面；5-4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在如圖所示的空間幾何體中，與均是等邊三角形，直線平面，直線平面，.求證：平面平面；5-5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖所示，在幾何體中，平面，點在平面的投影在線段上，，，，平面.證明：平面平面.（三）垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用(1)三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進(jìn)行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化．(2)對于線面關(guān)系中的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證．題型6：垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用6-1．（2024·安徽淮北·一模）如圖，已知四棱錐的底面是平行四邊形，側(cè)面PAB是等邊三角形，，，．(1)求證：面面ABCD；(2)設(shè)Q為側(cè)棱PD上一點，四邊形BEQF是過B，Q兩點的截面，且平面BEQF，是否存在點Q，使得平面平面PAD？若存在，確定點Q的位置；若不存在，說明理由．6-2．（2024·江西贛州·模擬預(yù)測）如圖，在三棱柱中，側(cè)面是矩形，側(cè)面是菱形，，、分別為棱、的中點，為線段的中點.

(1)證明：平面；(2)在棱上是否存在一點，使平面平面？若存在，請指出點的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由.6-3．（2024·天津·二模）如圖，在三棱錐A﹣BCD中，頂點A在底面BCD上的射影O在棱BD上，AB＝AD＝，BC＝BD＝2，∠CBD＝90°，E為CD的中點．（1）求證：AD⊥平面ABC；（2）求二面角B﹣AE﹣C的余弦值；（3）已知P是平面ABD內(nèi)一點，點Q為AE中點，且PQ⊥平面ABE，求線段PQ的長．6-4．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在正三棱柱（側(cè)棱垂直于底面，且底面三角形是等邊三角形）中，，、、分別是，，的中點．(1)求證：平面平面；(2)在線段上是否存在一點使平面？若存在，確定點的位置；若不存在，也請說明理由．一、單選題1．（2024高三上·湖北·開學(xué)考試）已知a，b是兩條不重合的直線，為一個平面，且a⊥，則“b⊥”是“a//b”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件2．（2024高三上·山東濰坊·階段練習(xí)）在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱中，，異面直線與所成角的余弦值為，則直線與直線的距離為（

）A．2 B．1 C． D．3．（2024高一下·全國·課后作業(yè)）若平面平面，平面平面，則（

）A．B．C．與相交但不垂直D．以上都有可能4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）空間中直線l和三角形的兩邊，同時垂直，則這條直線和三角形的第三邊的位置關(guān)系是（

）A．平行 B．垂直 C．相交 D．不確定5．（2024·全國）在正方體中，P為的中點，則直線與所成的角為（

）A． B． C． D．6．（2024·黑龍江齊齊哈爾·一模）已知兩條不同的直線l，m及三個不同的平面α，β，γ，下列條件中能推出的是（

）A．l與α，β所成角相等 B．，C．，， D．，，7．（2024·北京海淀·模擬預(yù)測）設(shè)是三個不同的平面，是兩條不同的直線，給出下列三個結(jié)論：①若，則；②若，則；③若，，則．其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．38．（2024高三·全國·專題練習(xí)）平行四邊形ABCD中，，將三角形ABD沿著BD翻折至三角形，則下列直線中有可能與直線垂直的是（

）①直線；②直線；③直線；④直線.A．①② B．①④C．②③ D．③④9．（2024高一·江蘇·課后作業(yè)）對于直線m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一個條件是（

）A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n?αC．m∥n，n⊥β，m?α D．m∥n，m⊥α，n⊥β10．（2024高一下·吉林·期末）設(shè)，，表示空間中三條不同的直線，，表示兩個不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．若，，則B．若，，，，則C．若，，則D．若，，則11．（2024高一·全國·課后作業(yè)）已知直線平面，則經(jīng)過且和垂直的平面（

）A．有一個 B．有兩個 C．有無數(shù)個 D．不存在12．（2024高一下·浙江寧波·期末）給出下列4個命題，其中正確的命題是（

）．①垂直于同一直線的兩條直線平行；

②垂直于同一平面的兩條直線平行；③垂直于同一直線的兩個平面平行；

④垂直于同一平面的兩個平面平行．A．①② B．③④ C．②③ D．①④13．（2024高二上·北京·期中）在三棱錐中，若，，那么必有（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面14．（2024高一下·河南·期末）如圖，在三棱錐中，平面ABC，，，，則點A到平面PBC的距離為（

）．A． B． C．3 D．15．（2024高二上·北京·期中）如圖，四邊形ABCD中，AB=AD=CD=1，BA⊥AD，BD⊥CD，將四邊形ABCD沿對角線BD折成四面體，使平面⊥平面BCD，則四面體的體積為（

）A． B． C． D．16．（2024高一下·福建廈門·期末）如圖（1）平行六面體容器盛有高度為的水，，.固定容器底而一邊于地面上，將容器傾斜到圖（2）時，水面恰好過，，，四點，則的值為（

）A． B． C． D．17．（2024高一下·山西太原·期末）如圖，在長方體中，..則直線與平面的距離為（

）A． B． C． D．18．（2024高二上·北京豐臺·期中）棱長為1正方體中，E為的中點，則E到面的距離（

）A． B． C． D．19．（2024高二下·江蘇泰州·期末）已知球O的半徑為2，A，B，C為球面上的三個點，，點P在AB上運動，若OP與平面ABC所成角的最大值為，則O到平面ABC的距離為（

）A． B． C． D．20．（2024·浙江）如圖已知正方體，M，N分別是，的中點，則（

）A．直線與直線垂直，直線平面B．直線與直線平行，直線平面C．直線與直線相交，直線平面D．直線與直線異面，直線平面21．（2024·全國）在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點，則（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面22．（2024高三·云南昆明·階段練習(xí)）過正方體的頂點A的平面與直線垂直，且平面與平面的交線為直線，平面與平面的交線為直線，則直線與直線所成角的大小為（

）A． B． C． D．23．（2024·河南·模擬預(yù)測）在正方體中，P，Q分別為AB，CD的中點，則（

）A．平面 B．平面平面C．平面 D．平面平面24．（2024·全國·一模）設(shè)m，n是不同的直線，α、β、γ是不同的平面，有以下四個命題：①；②；③；④.其中正確的命題是（）A．①④ B．②③C．①③ D．②④25．（2024高三·全國·專題練習(xí)）下列結(jié)論正確的是（

）A．已知直線，若，則.B．設(shè)是兩條不同的直線，是一個平面，若，，則.C．若兩平面垂直，則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個平面．D．若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則.二、多選題26．（2024·全國）如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點，M，N為正方體的頂點．則滿足的是（

）A． B．C． D．27．（2024高三上·廣東潮州·期末）如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，則下列結(jié)論中正確的是（）

A．B．C．平面平面D．28．（2024高二下·云南普洱·期末）如圖，點P在正方體的面對角線上運動，則下列結(jié)論正確的是（

）A．三棱錐的體積不變 B．平面C． D．平面平面三、填空題29．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）已知如圖邊長為的正方形外有一點且平面，，二面角的大小的正切值．30．（2024高二上·上海徐匯·期末）已知正方體中，，點P在平面內(nèi)，，求點P到距離的最小值為.31．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知直線a，b和平面，且，，則與的位置關(guān)系是．32．（2024高三·全國·專題練習(xí)）正方體中與垂直的平面有（填序號）．①平面；②平面；③平面；④平面．33．（2024高三下·河北衡水·階段練習(xí)）如圖，在棱長均為的正四面體ABCD中，M為AC中點，E為AB中點，P是DM上的動點，Q是平面ECD上的動點，則AP+PQ的最小值是．34．（2024高二上·山東棗莊·期中）如圖，在菱形中，，，是的中點，將沿直線翻折至的位置，使得面面，則點到直線的距離為.35．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在三棱錐中，點P在平面ABC中的射影為點O.（1）若PA＝PB＝PC，則點O是△ABC的心．（2）若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則點O是△ABC的心．四、解答題36．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，已知，證明：.

37．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，已知.證明：.

38．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，已知四棱錐的底面是正方形，面．求證：面面；

39．（2024高三·全國·專題練習(xí)）正方體中，為棱的中點，求平面和平面夾角的余弦值.40．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，已知，，.證明：.

41．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，為的中點，，，，，，.證明：平面.

42．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知正方體.求證：⊥平面A1DC.

43．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，已知.證明：∥.

44．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖所示，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，.求證：平面平面；

45．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在幾何體中，矩形所在平面與平面互相垂直，且，，．求證：平面；46．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，已知，.證明：平面；47．（2024高三上·陜西漢中·階段練習(xí)）如圖，在四棱柱中，底面，底面滿足，且，.

(1)求證：平面；(2)求四棱錐的體積.48．（2024·江蘇南京·二模）如圖，四棱錐P－ABCD中，AD⊥平面PAB，AP⊥AB．（1）求證：CD⊥AP；（2）若CD⊥PD，求證：CD∥平面PAB；49．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，三棱錐中，兩兩垂直，，且分別為線段的中點.求證：平面平面.

50．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，是以BC為斜邊的等腰直角三角形，，點D，E分別為棱BC，上的點，且，二面角的大小為，求實數(shù)的值．

51．（2