高中數(shù)學人教A2019新課程解讀122張

突出數(shù)學本質重視研究過程

發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)提綱對學生發(fā)展核心素養(yǎng)以及數(shù)學核心素養(yǎng)的理解數(shù)學教材、數(shù)學教學中如何落實核心素養(yǎng)突出函數(shù)本質，重視研究過程，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)對學生發(fā)展核心素養(yǎng)及數(shù)學學科核心素養(yǎng)的理解

著力推進關鍵領域和主要環(huán)節(jié)改革（一）研究制訂學生發(fā)展核心素養(yǎng)體系和學業(yè)質量標準。（二）修訂課程方案和課程標準。（三）編寫、修訂高校和中小學相關學科教材。（四）改進學科教學的育人功能。（五）加強考試招生和評價的育人導向。（六）強化教師育人能力培養(yǎng)。（七）完善各方參與的育人機制。（八）實施研究基地建設計劃。（九）整合和利用優(yōu)質教育教學資源。（十）加強課程實施管理?！督逃筷P于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》

——教基二[2014]4號2014年3月培養(yǎng)目標評價體系課程內容課堂教學管理機制教育方針學生發(fā)展核心素養(yǎng)學科核心素養(yǎng)高考學考綜合素質評價新課程方案新課標新教材校本課程教學方式課堂評價教學資源信息技術融合選課走班發(fā)展指導課程管理師資建設硬件設施關鍵領域和主要環(huán)節(jié)的改革培養(yǎng)目標為誰培養(yǎng)人？培養(yǎng)什么人？怎樣培養(yǎng)人？核心素養(yǎng)(KeyCompetencies)是學生在接受相應學段的教育過程中，逐步形成的適應個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關鍵能力。培養(yǎng)什么人？——中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)連接黨的教育方針與教育教學實踐的橋梁三個方面六個要素十八個基本點8學會學習普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）一、課程性質與基本理念二、學科核心素養(yǎng)與課程目標三、課程結構

設計依據(jù)、結構、學分與選課四、課程內容必修課程、選擇性必修課程、選修課程五、學業(yè)質量學業(yè)質量內涵、水平、與考試評價的關系六、實施建議教學與評價建議、命題建議、教材編寫建議、

地方與學校實施課程標準的建議附錄1：數(shù)學學科核心素養(yǎng)的水平劃分附錄2：教學與評價案例目錄課程性質的變化數(shù)學教育承載著落實立德樹人根本任務、發(fā)展素質教育的功能.

幫助學生掌握進一步學習所必需的基礎知識、技能、思想和方法，提升學生的數(shù)學素養(yǎng)會用數(shù)學眼光觀察世界會用數(shù)學思維思考世界會用數(shù)學語言表達世界

高中數(shù)學課程的性質：基礎性、選擇性、發(fā)展性數(shù)學抽象邏輯推理數(shù)學建模直觀想象數(shù)學運算數(shù)據(jù)分析課程目標的變化空間想象抽象概括推理論證運算求解數(shù)據(jù)處理應用意識創(chuàng)新意識五大能力兩個意識義教10個核心概念數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應用意識和創(chuàng)新意識（一）數(shù)學學科核心素養(yǎng)承接和深化繼承和發(fā)展數(shù)學的眼光就是抽象，數(shù)學的思維就是推理，數(shù)學的語言就是模型。----史寧中Key

Laboratory

of

Applied

Statistics

of

MOE

NortheastNormalUniversity六個數(shù)學核心素養(yǎng)的層次性：

數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模——核心的數(shù)學思想

直觀想象（伴隨）

數(shù)學運算（特殊）和數(shù)據(jù)分析（特殊）三會（落實成學生的行為）：

會用數(shù)學眼光觀察世界——數(shù)學抽象+直觀想象

（數(shù)學的第一個特征：一般性）

會用數(shù)學思維思考世界——邏輯推理+數(shù)學運算

（第二個特征：嚴謹性）

會用數(shù)學語言表達世界——數(shù)學建模+數(shù)據(jù)分析（第三個特征：應用的廣泛性）1.通過高中數(shù)學課程的學習，學生能獲得進一步學習以及未來發(fā)展所必需的數(shù)學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗（簡稱“四基”），提高從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力（簡稱“四能”）。2.在學習數(shù)學和應用數(shù)學的過程中，學生能發(fā)展數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學核心素養(yǎng)。3.通過高中數(shù)學課程的學習，學生能提高學習數(shù)學的興趣，增強學好數(shù)學的自信心，養(yǎng)成良好的數(shù)學學習習慣，發(fā)展自主學習能力；樹立敢于質疑、善于思考、嚴謹求實的科學精神；不斷提高應用能力實踐能力，提升創(chuàng)新意識；認識數(shù)學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值。（二）2017年版高中數(shù)學課標課程目標課程目標的變化數(shù)學抽象邏輯推理數(shù)學建模直觀想象數(shù)學運算數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)問題提出問題分析問題解決問題四基基礎知識基本技能基本思想基本活動經(jīng)驗四能六素養(yǎng)會用數(shù)學眼光觀察世界會用數(shù)學思維思考世界會用數(shù)學語言表達世界情感態(tài)度價值觀興趣、自信心、學習習慣、科學精神應用能力、實踐能力、創(chuàng)新意識科學價值、應用價值、文化價值、審美價值*16雙基1952年三維目標2001年學科核心素養(yǎng)2016年我國中小學課程目標的發(fā)展1.02.03.0教書育人不變的東西是什么？雙基+關鍵能力+數(shù)學思想方法課標：“四基”是培養(yǎng)學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的沃土，是發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的有效載體。把數(shù)學講好就是落實四基、培養(yǎng)四能、發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)！要挖掘數(shù)學內在的教育價值，并把它們體現(xiàn)在教學的各個環(huán)節(jié)。數(shù)學教材、數(shù)學教學中如何落實核心素養(yǎng)

高中數(shù)學課程標準中的教學建議1.教學目標制定要突出數(shù)學核心素養(yǎng);2.情境創(chuàng)設和問題設計要有利于發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)；3.整體把握教學內容，促進數(shù)學核心素養(yǎng)連續(xù)、階段性發(fā)展；4.既要重視教，更要重視學，促進學生學會學習;5.重視信息技術運用，提高數(shù)學教學實效性.把握數(shù)學本質創(chuàng)設問題情境優(yōu)化教法學法信息技術融合理解數(shù)學理解教學理解學生理解技術

理解數(shù)學：深入理解、整體把握教學內容理解教學：要讓學生經(jīng)歷完整的數(shù)學過程

要從數(shù)學學科的整體結構、核心內容和重要思想上整體把握和認識數(shù)學教學內容，完整地體現(xiàn)好數(shù)學的科學性、工具性、價值理性和人文性這些特質，使數(shù)學教材成為一個融數(shù)學知識、技能、方法、思想和精神于一體的整體。

教給學生完整的數(shù)學，全面發(fā)揮數(shù)學的育人功能。要深入理解、整體把握教學內容理解數(shù)學對每一個教學內容，我們需要思考——這個教學內容的內涵是什么？它在教材中處于什么位置？與本節(jié)、本章其他內容有什么聯(lián)系？在數(shù)學發(fā)展史上，這個教學內容是如何產(chǎn)生的？它有什么作用？引入這一內容后，原有的知識可以作出什么新的解釋？這個教學內容蘊含什么數(shù)學思想方法？學習這一內容可以培養(yǎng)學生什么數(shù)學能力？發(fā)展什么數(shù)學核心素養(yǎng)？這個教學內容蘊含什么數(shù)學文化價值？對培養(yǎng)學生正確的價值觀念能起什么作用？重視數(shù)學對象的獲得過程，要注重數(shù)學與現(xiàn)實之間的聯(lián)系，也要注重數(shù)學內在的前后邏輯，從現(xiàn)實或數(shù)學事實出發(fā)，讓學生經(jīng)歷歸納、概括事物本質的過程，使學生學會數(shù)學地認識問題，這就是用數(shù)學的眼光觀察世界，也就是落實數(shù)學抽象素養(yǎng)、直觀想象的素養(yǎng)。理解教學要讓學生經(jīng)歷完整的學習過程重視讓學生經(jīng)歷數(shù)學對象的研究過程，從數(shù)學知識的發(fā)生發(fā)展規(guī)律和學生的認知規(guī)律出發(fā)構建研究問題的思路重視以“一般觀念”為引導發(fā)現(xiàn)規(guī)律、獲得猜想，證明結論，這就是用數(shù)學的思維思考世界，也是落實邏輯推理、數(shù)學運算的素養(yǎng)。

觀察——抽象——探索——猜測——論證在應用數(shù)學知識解決問題的過程中，重視利用數(shù)學概念原理分析問題，體現(xiàn)解決問題的過程，學會分析數(shù)據(jù)，從數(shù)據(jù)中挖掘信息等。學會用數(shù)學的語言表達世界，提升數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析的素養(yǎng)。怎么經(jīng)歷過程？——問題引領、問題驅動通過有意義、適度、恰時恰點的問題，引導學生經(jīng)歷上述過程，引導學生自己概括出數(shù)學的本質，并使學生在數(shù)學學習過程中保持高水平的數(shù)學思維活動。突出函數(shù)本質，重視研究過程，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)突出函數(shù)本質，重視研究過程，

發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)一、突出函數(shù)所刻畫的運動變化現(xiàn)象的本質，滲透研究函數(shù)的思想方法二、重視相關概念的形成過程，發(fā)展數(shù)學抽象素養(yǎng)三、從“一般觀念”出發(fā)研究函數(shù)性質，體現(xiàn)研究方法的引導，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)四、重視背景和應用，發(fā)展數(shù)學建模素養(yǎng)五、重視問題引導，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，提升學生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力六、重視融合信息技術，改變內容呈現(xiàn)方式，促進學生理解數(shù)學本質函數(shù)是中學數(shù)學中聯(lián)系面廣、起統(tǒng)帥作用的、基礎的、重要的核心概念。初中：一般函數(shù)→正比例函數(shù)→一次函數(shù)→二次函數(shù)→反比例函數(shù)高中：一般函數(shù)→冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)→三角函數(shù)→數(shù)列→導數(shù)研究函數(shù)對于這些函數(shù)內容，我們要學習什么？怎么學習？有沒有一般的研究路徑和方法？函數(shù)是描述客觀世界中變量關系和規(guī)律的最為基本的數(shù)學語言和工具。用函數(shù)刻畫（某些特殊）變化，研究某些特殊的變化規(guī)律。一般到特殊：一般函數(shù)

基本初等函數(shù)；連續(xù)函數(shù)離散函數(shù)。整體到局部：用導數(shù)刻畫局部變化規(guī)律。運動變化現(xiàn)象函數(shù)的概念、表示函數(shù)的性質函數(shù)的應用特殊的函數(shù)（基本初等函數(shù)）概念：體現(xiàn)概念教學的一般過程。從典型豐富的具體例證中分析、歸納共性，概括出本質的過程。性質：值域、單調性、最值、奇偶性、周期性、特殊點取值。從事物的關系、規(guī)律等反映事物的特征。應用：建立函數(shù)模型解決問題。一、突出函數(shù)所刻畫的運動變化現(xiàn)象的本質，滲透研究函數(shù)的思想方法

突出函數(shù)所刻畫的運動變化現(xiàn)象的本質特征數(shù)學研究的數(shù)量關系和空間形式是從現(xiàn)實世界中抽象出來的，無論數(shù)量關系中還是空間形式中都充滿了運動變化的問題，函數(shù)就是對客觀事物從運動變化的角度進行數(shù)量化研究的數(shù)學語言和工具。高中階段對于函數(shù)的認識已經(jīng)從初中的“變量之間的單值對應”提升到“數(shù)集之間的對應關系”，但其刻畫運動變化現(xiàn)象的本質特征沒有改變，變化與對應也是研究函數(shù)的基本思想方法。函數(shù)刻畫了運動變化現(xiàn)象，基本初等函數(shù)刻畫了某一類具體的運動變化現(xiàn)象。一次函數(shù)——“勻速”變化二次函數(shù)——“勻變速”變化指數(shù)函數(shù)——“指數(shù)爆炸”的變化對數(shù)函數(shù)——“對數(shù)增長”的變化三角函數(shù)——“周期往復”的變化分段函數(shù)——不同階段有不同變化例：三角函數(shù)的研究——突出三角函數(shù)作為描述周期變化的數(shù)學模型這一本質?？坍嬔h(huán)往復、周而復始的規(guī)律——周期性最簡單——單位圓上的勻速圓周運動用一個模型貫穿全章始終，串聯(lián)起不同的概念和內容。針對具體知識，利用模型的變化，設計更加貼切的情景。從瞬時速度和切線斜率這兩個經(jīng)典的問題引出導數(shù)概念，讓學生理解導數(shù)刻畫函數(shù)某一點運動變化的本質特征。函數(shù)是中學數(shù)學中聯(lián)系面廣、起統(tǒng)帥作用的、基礎的、重要的核心概念。一次函數(shù)——“勻速”變化兩河流域發(fā)掘的一塊泥板上表示一個月中從第一天到第15天每天月亮可見部分的一列數(shù)（三）編寫、修訂高校和中小學相關學科教材。函數(shù)的單調性是“整體”性質，導數(shù)是“局部”性質。（十）加強課程實施管理。——兩角差的余弦突出函數(shù)本質，重視研究過程，

發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)王芳同學從1歲到17歲的身高依次排成的一列數(shù)重視應用函數(shù)模型解決實際問題，發(fā)展學生應用意識刻畫單位圓周運動——三角函數(shù)概念概念的明確與表示——下定義，給出準確的數(shù)學語言描述（文字的、符號的）；正文通過欄目和邊空提出問題，引導學生思維活動，理解數(shù)學本質對于這些函數(shù)內容，我們要學習什么？怎么學習？有沒有一般的研究路徑和方法？從數(shù)形結合的角度理解函數(shù)，也使得我們既可以利用函數(shù)的圖形直觀，利用函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質；三、從“一般觀念”出發(fā)研究函數(shù)性質，體現(xiàn)研究方法的引導，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)六、重視融合信息技術，改變內容呈現(xiàn)方式，促進學生理解數(shù)學本質6h時對應的距離是多少”嗎？導數(shù)是定量地、精確地刻畫運動變化的。根據(jù)定義，直接得出“公式一”；誘導公式——三角函數(shù)的性質由于三角函數(shù)是利用單位圓來定義的，因此利用單位圓的幾何性質（對稱性），可以研究三角函數(shù)的性質，從而得到三角函數(shù)的誘導公式。直接得出同角三角函數(shù)的關系周期性——誘導公式一39關于圓心中心對稱——誘導公式二關于x軸對稱——誘導公式三關于y軸對稱——誘導公式四關于直線y=x對稱——誘導公式五

三角函數(shù)的圖象和性質一以貫之的圓周運動，突出三角函數(shù)刻畫“周期運動”的運動變化現(xiàn)象的本質特征刻畫圓周運動——任意角及性質刻畫單位圓周運動——三角函數(shù)概念單位圓的對稱性——三角函數(shù)誘導公式三角函數(shù)的單位圓定義——三角函數(shù)圖象與性質筒車、摩天輪——函數(shù)y=Asin(ωx+φ)從運算角度認識函數(shù)，幫助學生抽象函數(shù)概念，發(fā)展數(shù)學運算素養(yǎng)代數(shù)的核心是數(shù)學運算，運算是研究數(shù)學問題的基本手段。通過數(shù)學運算（加法、乘法及其逆運算），可以建立量和量之間的代數(shù)關聯(lián)，從而得到數(shù)量關系（代數(shù)式）、等量關系（方程）、變量關系（函數(shù)）。函數(shù)反映的是數(shù)量關系中的變量關系，因而運算也是研究函數(shù)的基本手段。隨著人們對函數(shù)概念認識的不斷深入，至函數(shù)的“關系說”，函數(shù)概念中已經(jīng)沒有變量、甚至對應的影子了，函數(shù)概念逐步擺脫了函數(shù)的物理背景，以“關系說”的函數(shù)概念為基礎，可以通過運算法則形式化地定義基本初等函數(shù)。

體現(xiàn)數(shù)學運算在建立函數(shù)概念中的作用指數(shù)函刻畫的變化規(guī)律（增長率為定值）的發(fā)現(xiàn)觀察表格、畫出圖象年增加量不變VS年增加量越來越大線性增長VS非線性增長52直觀觀察對數(shù)量關系、運算特點的分析

運用導數(shù)研究函數(shù)性質，定量刻畫函數(shù)變化，滲透微積分思想導數(shù)是描述變化率的概念，從單調性到導數(shù)，就是從定性描述變化到定量描述變化的過程。函數(shù)的單調性是“整體”性質，導數(shù)是“局部”性質。平均變化率描述了函數(shù)在某一范圍（區(qū)間）內的變化，區(qū)間越小，越能精確地刻畫函數(shù)的變化。當區(qū)間的長度趨近于0時，就是瞬時變化率，就是導數(shù)。從絕對變化到平均變化，再到瞬時變化的過程，體現(xiàn)了極限的思想。導數(shù)與單調性的關系反映了函數(shù)的局部性質與整體性質的關系。在一個區(qū)間內，如果函數(shù)在每一點的導數(shù)都大于0，則函數(shù)在該區(qū)間是單調遞增的；反之，在一個區(qū)間內，單調遞增函數(shù)如果有導函數(shù)，那么每一點的導數(shù)大于或等0。引入導數(shù)概念可以定量分析函數(shù)變化。例如，對于函數(shù)的單調性，在某一個區(qū)間內，如果函數(shù)在某一點的導數(shù)都大于1，利用導數(shù)可以知道這樣的函數(shù)在此區(qū)間內的變化比函數(shù)y=x要快。再如，利用函數(shù)在某一點的導數(shù)值為0，再加上其在這一點左右的導數(shù)值的符號，就可以確定這一點是否為函數(shù)的極值點。二、重視相關概念的形成過程，發(fā)展數(shù)學抽象素養(yǎng)

數(shù)學源于對現(xiàn)實世界的抽象，數(shù)學研究對象是從數(shù)量和數(shù)量關系、圖形與圖形關系中抽象得到的，數(shù)學對象的獲得過程蘊含著豐富的數(shù)學抽象、直觀想象的核心素養(yǎng)。函數(shù)是描述客觀世界中變量關系和規(guī)律的數(shù)學模型，因此對于函數(shù)及相關概念（基本初等函數(shù)、數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列、導數(shù)），都要從反映這些概念本質特征的現(xiàn)實情境、數(shù)學情境、其他學科情境等問題情境出發(fā)，讓學生經(jīng)歷歸納其共同特征、概括其本質屬性的過程，使學生學會數(shù)學地認識問題，學會“用數(shù)學的眼光觀察世界”，從而發(fā)展數(shù)學抽象、直觀想象的素養(yǎng)。函數(shù)概念的抽象過程函數(shù)概念的發(fā)展歷史：變量說

對應說

關系說17世紀，笛卡兒：引入變量概念，并用代數(shù)關系式表達變化的量之間的關系。1673年，萊布尼茲：給出了函數(shù)的概念，用來表示任何一個隨著曲線上的點的變動而變動的量。1748年，歐拉：一個變量的函數(shù)是由該變量和一些數(shù)或常量以任何一種方式構成的解析表達式。1755年,歐拉：如果某變量，以這樣的方式依賴于另一些變量，即當后面這些變量變化時，前者也隨之變化，則稱前面的變量是后面變量的函數(shù)。1821年，柯西：在某些變數(shù)間存在著一定的關系，當一經(jīng)給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值可隨著而確定時，則將最初的變數(shù)叫自變量，其他各變數(shù)叫做函數(shù)。1837年，狄里克萊：如果對于給定區(qū)間上的每一個x的值，有唯一的y值同它對應，那么y就是x的一個函數(shù)，至于在整個區(qū)間上y是否按照一種或多種規(guī)律依賴于x,或者y依賴于x是否可用數(shù)學運算來表達，那都是無關緊要的。1851年，黎曼：假定z是一個變量，它可以逐次取所有可能的實數(shù)值。如果對它的每一個值，都有未知量w的唯一的一個值與之對應，則w稱為z的函數(shù)。611939年，布爾巴基學派：設E和F是兩個集合，它們可以不同，也可以相同。E中的變元x和F中的變元y之間的一個關系稱為一個函數(shù)關系，如果對于每一個x∈E，都存在唯一的y∈F，它滿足與x給定的關系。稱這樣的運算為函數(shù)，它以上述方式將與x有給定關系的元素y∈F與每一個元素x∈E相聯(lián)系。稱y是函數(shù)在元素x處的值，函數(shù)值由給定的關系所確定。兩個等價的函數(shù)關系確定同一個函數(shù)?！?/p>

進一步符號化：設F是定義在集合X和Y上的一個二元關系，稱這個關系為函數(shù)，如果對于每一個x∈X，都存在唯一的y∈Y，使得（x，y）∈F。為什么要研究函數(shù)概念發(fā)展歷史？62初中函數(shù)概念分析在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們稱x是自變量，y是x的函數(shù)。變量間的單值對應關系，變量—對應說在具體的變量背景上定義函數(shù)，有利于學生直觀認識函數(shù)的本質特征，但很難擺脫表達形式（表達式、表格、圖象）的束縛，因此很難一般地認識函數(shù)，很難把握函數(shù)的本質特征。根據(jù)這種定義很難判定兩個具有不同表達式的函數(shù)f（x）=1和g（x）=sin2x+cos2x是否相同；這種方式定義的函數(shù)，很難建立函數(shù)的定義域和值域，因此也很難研究函數(shù)的性質。63

64函數(shù)概念教學中的重點加強背景，從典型實例出發(fā)引出函數(shù)概念，體現(xiàn)函數(shù)刻畫運動變化的本質特征，體現(xiàn)“函數(shù)模型”思想，在學生頭腦中形成豐富的函數(shù)例證。加強概念形成過程，讓學生自己歸納概括函數(shù)的本質：單值對應→數(shù)集之間的單值對應；這個過程就是抽象素養(yǎng)落實的過程。感性具體理性具體理性一般65

66教學中可以設問S是t的函數(shù)嗎？為什么？（用初中概念判斷）“根據(jù)對應關系S=350t，這趟列車加速到350km∕h后，運行1h就前進了350km．”這個說法正確嗎？

（1）時間t的變化范圍是什么？相應的，路程S的變化范圍是什么？

（2）能根據(jù)現(xiàn)有條件回答“0.6h時對應的距離是多少”嗎？

你認為應該如何更準確地描述S與t之間的對應關系？

對于數(shù)集中的任一時刻t，按照對應關系s=350t，在數(shù)集中有唯一確定的路程s和它對應。有解析式，提升點在于明確時間t和路程S的變化范圍．67問題2：某電氣維修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超過6天．如果公司確定的工資標準是每人每天350元，而且每周付一次工資，那么你認為該怎樣確定一個工人每周的工資？一個工人的工資w（單位：元）是他工作天數(shù)d的函數(shù)嗎？離散型函數(shù)與問題1相比，解析式相同，但定義域不同，是不同的函數(shù)。非連續(xù)，進一步體會關注自變量取值范圍的重要性。68問題3

給出北京市2016年11月23日的空氣質量指數(shù)（AQI）變化圖．如何根據(jù)該圖確定這一天內任一時刻th的空氣質量指數(shù)（AQI）的值I？你認為這里的I是t的函數(shù)嗎？I是t的函數(shù)嗎？為什么？這里的對應關系是什么？僅僅描述“因為任意一個時間t都有唯一一個AQI的值與之對應”夠嗎？追問：（1）“給定t的值”，怎么給？（2）“通過圖形能確定唯一的I與之對應”，怎么找？從所給的圖中能回答“11月24日8:00的AQI值是多少”嗎？11月23日這一天AQI值的變化范圍是什么？（B集擴大）這個函數(shù)有解析式嗎？怎么表示這個函數(shù)？模仿問題1，你能用準確的集合語言和對應關系描述這個問題嗎？圖象形式表達的函數(shù)，為引入抽象符號f：A→B表示對應關系埋下伏筆．

年份2006200720082009201020112012201320142015恩格爾系數(shù)%36.6936.8138.1735.6935.1533.5333.8729.8929.3528.57歸納上述問題的共同特征上述問題1～問題4中的函數(shù)有哪些共同特征？由此你能概括出函數(shù)概念的本質特征嗎？都包含兩個非空數(shù)集，用A，B來表示；都有一個對應關系；盡管對應關系的表示方法不同，但它們都有如下特性：對于數(shù)集A中的任意一個數(shù)x，按照對應關系，在數(shù)集B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應．理性具體理性一般給出函數(shù)定義用新定義描述一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)構建問題情境，解釋函數(shù)y=x(10－x)的對應關系經(jīng)歷概念教學的基本環(huán)節(jié)概念的引入——從數(shù)學概念體系的發(fā)展過程或解決實際問題的需要引入概念；概念屬性的概括——提供典型豐富的具體例證，進行屬性的分析、比較、綜合，概括共同本質特征得到本質屬性；概念的明確與表示——下定義，給出準確的數(shù)學語言描述（文字的、符號的）；概念的辨析——以實例為載體分析關鍵詞的含義（恰當使用反例）；概念的鞏固應用——用概念作判斷的具體事例，形成用概念作判斷的具體步驟；納入概念系統(tǒng)——建立與相關概念的聯(lián)系。其他相關概念的形成過程——以數(shù)列為例數(shù)列：通過對一些數(shù)據(jù)按特定順序排列的方法來刻畫研究對象王芳同學從1歲到17歲的身高依次排成的一列數(shù)75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168兩河流域發(fā)掘的一塊泥板上表示一個月中從第一天到第15天每天月亮可見部分的一列數(shù)5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176192，208，224，240通過對這兩個例子的分析可以發(fā)現(xiàn)，這兩列數(shù)中的每個數(shù)都有確定的位置，也就是說，整列數(shù)是按照確定的順序排列的，這就得到了數(shù)列的描述性定義。進一步地，從這個共同特征中可以抽象出數(shù)列的一般形式a1，a2，…，an，…，這實際上從數(shù)學的角度揭示了數(shù)列的本質特征——可以用正整數(shù)按照其中的每個數(shù)所處的位置編號，并按編號從小到大的次序排列的一列數(shù)。在此基礎上，建立數(shù)列的每一項和它的序號之間的對應關系n→an，從函數(shù)的角度看數(shù)列，將數(shù)列理解為定義在自然數(shù)集（或自然數(shù)集的有限子集）上的一類離散函數(shù)。最后，類比函數(shù)的表示方法，可以得到數(shù)列的三種表示方法——表格、圖象和通項公式。其中通項公式就是數(shù)列的函數(shù)解析式。研究函數(shù)性質的一般觀念為什么研究性質：通過研究函數(shù)的變化規(guī)律來把握客觀世界中事物的變化規(guī)律。什么是函數(shù)的性質：變化之中保持的“不變性”就是性質；變化過程中出現(xiàn)的規(guī)律性就是性質。現(xiàn)實世界中的某些變化會隨著時間的推移而有增有減、有快有慢，有時達到最大值有時處于最小值……這些現(xiàn)象反映到數(shù)學中，就是函數(shù)值隨自變量的增加而增加還是減少、什么時候函數(shù)值最大、什么時候函數(shù)值最小……這就是我們要研究的函數(shù)性質——“單調性”“最大值”“最小值”。76三、從“一般觀念”出發(fā)研究函數(shù)性質，體現(xiàn)研究方法的引導，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)

怎么研究函數(shù)性質利用圖象研究性質特殊到一般三步曲觀察圖象，描述變化規(guī)律結合圖、表，用自然語言描述變化規(guī)律用數(shù)學符號語言描述變化規(guī)律

78指數(shù)函數(shù)的圖象和性質79“利用圖象研究性質”不是“由圖象推導出性質”。函數(shù)的性質是其本身的固有屬性，不是由它的圖象決定的。要注意“回到解析式”，結合解析式用符號語言描述變化規(guī)律。也可以從函數(shù)定義出發(fā)研究性質，再利用函數(shù)的性質研究函數(shù)的圖象，使學生對函數(shù)的性質有更本質的認識。函數(shù)關系是平面上點的集合，在很多情況下，函數(shù)是滿足一定條件的曲線。因此，與解析幾何、向量幾何一樣，函數(shù)也是數(shù)形結合的載體，函數(shù)的不同表示法（解析法、圖象法、表格法）也反映了函數(shù)數(shù)形結合的特征。從數(shù)形結合的角度理解函數(shù)，也使得我們既可以利用函數(shù)的圖形直觀，利用函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質；也可以從函數(shù)的性質出發(fā)，研究函數(shù)的圖象。80

81

關于函數(shù)單調性的教學兩個難點：“函數(shù)值隨自變量的增大而增大（減?。鞭D化為定量的不等式語言；為什么要“?x1，x2∈D”。用“例—規(guī)”法教學效果不理想的原因：單調性判斷規(guī)則本身的抽象性；定量化方法的構造性。學生在此之前沒有學過類似的方法，他們的認知準備不充分。教材采用“規(guī)—例”法借助實例先給出單調性判斷規(guī)則以二次函數(shù)f(x)=x2畫出它的圖象83

84重視函數(shù)相關概念產(chǎn)生的背景，體現(xiàn)函數(shù)是刻畫運動變化現(xiàn)象的數(shù)學語言和工具一個數(shù)學概念的引入，總有它的現(xiàn)實或數(shù)學理論發(fā)展的需要。教材中任何一個新概念的引入，都強調它的現(xiàn)實背景、數(shù)學理論發(fā)展的背景或數(shù)學發(fā)展歷史上的背景，這樣才能使教材顯得自然、親切，讓學生感到知識的發(fā)展水到渠成而不是強加于人，也利于學生更好地理解其本質。函數(shù)是描述客觀世界中變量關系和規(guī)律的數(shù)學模型，理解函數(shù)概念，必須需要相應的運動變化的背景作為支撐。四、重視背景和應用，發(fā)展數(shù)學建模素養(yǎng)

一般的函數(shù)概念：“復興號”高鐵運行、空調維修工人的工資、北京市某一天的空氣質量、某市近十年的恩格爾系數(shù)四個問題，從“感性具體”到“理性具體”再到“理性一般”，抽象得到函數(shù)概念。指數(shù)函數(shù)刻畫了呈現(xiàn)“指數(shù)增長”的運動變化現(xiàn)象?，F(xiàn)實世界中，細胞分裂、人口增長、放射性物質的衰減等呈現(xiàn)了這種運動變化規(guī)律；通過某景區(qū)游客人數(shù)增長的問題和碳14含量的衰減的問題，引入指數(shù)函數(shù)的概念。86三角函數(shù)刻畫周期運動。教科書在三角函數(shù)的開篇語中列舉了大量現(xiàn)實世界中的周期變化現(xiàn)象，如晝夜交替、四季交替、月亮圓缺、朝夕變化、勻速圓周運動的位置變化、簡諧振動的位移變化、交變電流的變化等。在三角函數(shù)的概念、誘導公式、圖象、性質的研究過程中，一以貫之的運用勻速圓周運動這一最簡單的周期變化的背景，以加深學生對三角函數(shù)刻畫周期運動的本質的理解。數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念。教科書也是通過大量現(xiàn)實的、數(shù)學歷史發(fā)展中的實例，引導學生理解數(shù)列的“通過對一些數(shù)據(jù)按特定順序排列的方法來刻畫研究對象”的特征，等差數(shù)列、等比數(shù)列的“具有某些特殊變化情況的數(shù)列”的特征，進而將數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列與函數(shù)、一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)做類比，從而理解其本質。87導數(shù)是定量地、精確地刻畫運動變化的。教科書從研究“高臺跳水運動員的速度”的問題出發(fā)，結合刻畫其在跳水過程中運動的快慢程度，從平均變化率到瞬時變化率刻畫其在某一時刻的瞬時速度；在此基礎上，通過對拋物線的切線的研究，通過由割線逼近切線的過程，由割線的斜率逼近切線的斜率。從瞬時速度和切線斜率這兩個經(jīng)典的問題引出導數(shù)概念，讓學生理解導數(shù)刻畫函數(shù)某一點運動變化的本質特征。88重視應用函數(shù)模型解決實際問題，發(fā)展學生應用意識通過應用函數(shù)解決實際問題，可以幫助學生更好地理解函數(shù)如何刻畫客觀世界事物的變化規(guī)律，逐漸掌握建立函數(shù)模型解決實際問題的一般過程，體會函數(shù)的模型思想。函數(shù)的應用（一）：個稅問題、汽車行駛中速率的變化問題。分段函數(shù)。函數(shù)的應用（二）：馬爾薩斯人口模型、利用碳14推測良渚遺址年代、投資方案的選擇、獎勵方案的制訂。既包括用已知模型解決實際問題，也包括選擇合適的模型解決實際問題。89數(shù)學建?；顒佑^察實際情景，發(fā)現(xiàn)和提出問題中國茶文化博大精深．茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關．經(jīng)驗表明，某種綠茶用85℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時飲用，可以產(chǎn)生最佳口感．那么在25℃室溫下，剛泡好的茶水大約需要放置多長時間才能達到最佳飲用口感？通過實測數(shù)據(jù)建立茶水水溫關于時間的函數(shù)模型，將該茶水溫度的實測過程轉變?yōu)闀r間估計的問題。使得不用時刻測試水溫，根據(jù)函數(shù)模型，通過簡單計算就可以知道大約需要放置多長時間才能達到最佳飲用口感．收集數(shù)據(jù)秒表、溫度計計算機、數(shù)據(jù)采集器、溫度傳感器等信息技術工具實驗環(huán)境、容器形狀、不同茶葉等影響，數(shù)據(jù)可能與教科書不一致，不同小組也可能不一致．時間/min012345水溫/℃85.0079.1974.7571.1968.1965.10分析數(shù)據(jù)、畫散點圖散點圖的分布狀況呈遞減狀態(tài)，學生可能會提出各種遞減函數(shù)作為模型，結合幾類基本初等函數(shù)的變化特征，指導學生做出選擇．

y＝kax＋25為什么要加25？所選函數(shù)一般只能大致反應茶水溫度變化的局部規(guī)律，難以做到準確刻畫每一個具體數(shù)據(jù)，因此，建立模型之后需要對模型進行檢驗．建立和求解模型利用已知數(shù)據(jù)求y＝kax＋25中的k，a。a如何計算？能否直接將一組數(shù)據(jù)代入求a？（用比的均值求a）檢驗模型畫出y＝60×0.9227x＋25的圖象，檢驗原始數(shù)據(jù)。求解問題將y＝60代入y＝60×0.9227x＋25，得x≈6.6997，所以泡制一杯最佳口感茶水所需時間大約是7min。自主開展建?；顒舆x題應在炒菜之前多長時間將冰箱里的肉拿出來解凍？用微波爐或電磁爐燒一壺開水，找到最省電的功率設定方法；估計閱讀一本書所需要的時間．活動過程指導撰寫活動報告交流展示問題是數(shù)學的心臟，問題引導學習在知識形成過程的“關鍵點”上，在運用數(shù)學思想方法產(chǎn)生解決問題策略的“關節(jié)點”上，在數(shù)學知識之間聯(lián)系的“聯(lián)結點”上，在數(shù)學問題變式的“發(fā)散點”上，在學生思維的“最近發(fā)展區(qū)”內，提出恰當?shù)?、對學生數(shù)學思維有適度啟發(fā)的問題，引導學生的思考和探索活動，使他們經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、推理、交流、反思等理性思維的基本過程，體會數(shù)學研究方法、積累數(shù)學活動經(jīng)驗，提升發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力。96五、重視問題引導，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，提升學生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力

在章、節(jié)開篇，提出引導性問題，整體構建研究思路979899正文通過欄目和邊空提出問題，引導學生思維活動，理解數(shù)學本質三角函數(shù)的誘導公式：結合誘導公式的來龍去脈，通過推廣、特殊化等環(huán)環(huán)相扣地給出了一條觀察事物（情景）、提出問題、分析問題、解決問題的線索，使學生在獲得誘導公式的過程中，體會借助單位圓的對稱性研究三角函數(shù)性質的思想方法。100根據(jù)定義，直接得出“公式一”；探究：誘導公式一表明終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等，那么終邊相同的角的三個三角函數(shù)值之間是否也有某種關系呢？——探究“同角三角函數(shù)的基本關系”；利用圓的幾何性質，得到了同角三角函數(shù)之間的基本關系．我們知道，圓的最重要的性質是對稱性，而對稱性（如奇偶性）也是函數(shù)的重要性質．由此想到，我們可以利用圓的對稱性，研究三角函數(shù)的對稱性?！T導公式的引導語101探究1：如圖5.3-1

，在直角坐標系內，設任意角α的終邊與單位圓交于點P1．

（1）作P1關于原點的對稱點P2，以OP2為終邊的角β與角α

有什么關系？角β，α的三角函數(shù)值之間有什么關系？

（2）如果作P1關于x軸（或y軸）的對稱點P3（或P4），那

么又可以得到什么結論？——公式二（π+α）、三（?α）、四（π?α）探究2：作P１關于直線y＝x的對稱點P5，以OP5為終邊的角γ與角α有什么關系？角γ與角α的三角函數(shù)值之間有什么關系？——公式五（π/2?α）探究3：作P5關于y軸的對稱點，又能得到什么結論？——公式五（π/2+α）102三角恒等變換觀察誘導公式，可以發(fā)現(xiàn)它們都是特殊角與任意角α的和（或差）的三角函數(shù)與這個任意角α的三角函數(shù)的恒等關系。如果把特殊角換為任意角β，那么任意角α與β的和（或差）的三角函數(shù)與α，β的三角函數(shù)會有什么關系？——三角恒等變換的導語探究：如果已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出α+β，α－β的正弦、余弦嗎？——兩角差的余弦探究：由公式C(α-β)出發(fā)，你能推導出兩角和與差的三角函數(shù)的其他公式嗎？

——兩角和的余弦探究：上面得到了兩角和與差的余弦公式．我們知道，用誘導公式五(或六)可以實現(xiàn)正弦、余弦的互化．你能根據(jù)C(α+β)，C(α-β)及誘導公式五(或六)，推導出用任意角α，β的正弦、余弦表示sin(α+β)，sin(α－β)的公式嗎？探究：你能根據(jù)正切函數(shù)與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的關系，從C(α±β)，S(α±β)出發(fā)，推導出用任意角α，β的正切表示tan(α+β)，tan(α－β)的公式嗎？探究：和（差）角公式中，α，β都是任意角．如果令α，β為某些特殊角，就能得到許多有用的公式．你能從和（差）角公式出發(fā)推導出誘導公式嗎？你還能得到哪些等式？探究：你能利用S(α±β)，C(α±β)，T(α±β)推導出sin2α，cos2α，tan2α的公式嗎?歸納：從和（差）角公式、倍角公式的推導過程可以發(fā)現(xiàn)，這些公式存在緊密的邏輯聯(lián)系，請你進行歸納總結．小結以問題形式總結全章內容，深化對內容的整體理解小結是對全章內容的梳理，是對本章核心內容及反映的主要思想方法和研究方法進行歸納概括、去粗取精、由厚到薄的提煉過程?；仡櫯c思考：在回顧部分對本章進行整體概述，闡述本章內容之間、本章內容與其他內容之間的聯(lián)系，揭示本章內容反映的思想方法、研究方法等?！八伎肌辈糠謩t強調問題引導，加強學生的主動思維，通過學生自己的獨立思考回憶、總結全章內容，深化對本章