考研概率講義

概率統(tǒng)計

第一講

隨機事件和概率

考試要求：數(shù)學一、三、四要求一致。

了解：樣本空間的概念

理解：隨機事件，概率，條件概率，事件獨立性，獨立重復試驗

掌握：事件的關(guān)系與運算，概率的基本性質(zhì)，五大公式(加法、減法、乘法、全概率、貝葉斯)，獨立性

計算，獨立重復試驗就算

會計算：古典概率和幾何型概率。

§1隨機事件與樣本空間

一、隨機試驗：E

(1)可重復(2)知道所有可能結(jié)果(3)無法預知

二、樣本空間

試驗的每一可能結(jié)果一一樣本點CD

所有樣本點全體一一樣本空間Q

三、隨機事件

樣本空間的子集一一隨機事件ABC

樣本點一一基本事件，隨機事件由基本事件組成。

如果一次試驗結(jié)果，某一基本事件3出現(xiàn)一一0發(fā)生，。出現(xiàn)

如果組成事件A的基本事件出現(xiàn)一一A發(fā)生，A出現(xiàn)

。一一必然事件①一一不可能事件

§2事件間的關(guān)系與運算

一.事件間關(guān)系

包含，相等，互斥，對立，完全事件組，獨立

二.事件間的運算：

并，交，差

運算規(guī)律：交換律，結(jié)合律，分配律，對偶律

概率定義，集合定義，記號，稱法，圖

三.事件的文字敘述與符號表示

例2從一批產(chǎn)品中每次一件抽取三次，用4(i=1,2,3)表示事件：

“第i次抽取到的是正品”試用文字敘述下列事件：

(1)AA,A,Aj(2)AA,A；

(3)4A,4；(4)A44A4AAA2A3；

再用A，4,4表示下列事件：

(5)都取到正品；(6)至少有一件次品；

(7)只有一件次品;(8)取到次品不多于一件。

§3概率、條件概率、事件獨立性、五大公式

一.公理化定義QAP

(1)P(A)>0

⑵P(Q)=1

⑶P(A&A,)=P(A)+P(4)++P(A)+

二.性質(zhì)

(1)P(0)=O

(2)P(AA,4)=P(A)+P(&)++P(A,)+

(3)P(,)=1-P(A)

(4)Au8,尸(A)<P(B)

(5)O<P(A)<1

三.條件概率與事件獨立性

(1)P(A)>O,P(B|A)=2世1,事件A發(fā)生條件下事件B發(fā)生的條件概率；

P(A)

(2)P(AB)=P(A)P(8),事件獨立，

A,8獨立A1獨立在8獨立入,再獨立；

P(A)>0時，獨立P(B|A)=P(B)；

⑶P(4,,4,，&)=P(A,)尸(4)P(4)\<i,<i2<<ik<n

稱A，4，A,相互獨立，(c,；+C++c,：=2"-"-i個等式)

相互獨立兩兩獨立。

X

四.五大公式

(1)加法公式：P(A3)=P(A)+P(3)—P(A8)

P(ABC)=P(A)+P(5)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)

P(44...4)=???

(2)減法公式：P(A—B)=P(A)—P(AB)

(3)乘法公式：P(A)>0,P(AB)=P(A)P(B)A)

p(A,A2...An_l)>0時，尸(A4..A)=尸(A)尸(41A)p(4|A4)PCAJA^-A-I)

(4)全概率公式：用，B?...,紇是完全事件組，且P(BJ>0,i=l,n

p(A)=fp@)p(AW)

/=l

(5)貝葉斯公式：BpB”...,紇是完全事件組，P(A)>O,P0)>O,i=l,,n

,P(即P(山嗎)

P(Bj|A)=-~」——jj=1,2,...,〃

￡P(guān)(B,.)P(A|B,.)

§4古典型概率和伯努利概率

古典型概率

nAA所包含的樣本點數(shù)

''n樣本點總數(shù)

二.幾何型概率

L(Q.)Q.的幾何度量

A(Q)。的幾何度量

三.獨立重復試驗

獨立一一各試驗間事件獨立，重復一一同一事件在各試驗中概率不變

四.伯努利試驗

試驗只有兩個結(jié)果A和N——伯努利試驗

n重伯努利試驗

二項概率公式C：P(1_P)"4k=P(A)=p

_§5典型型分析

例1.設(shè)A8為兩事件，且滿足條件=入5，則P(AB)=.

例2.A,B為任意兩事件，則事件(A-B)(8—C)等于事件

(A)A-C⑻A(B-C)

(C)(A-B)-C(D)(AB)-BC

例3.隨機事件A,8,滿足尸(4)=尸(8)=’和2缶8)=1則有

2

(A)A8=0(B)A6=0

(C)P(AB)=l(D)P(A-B)=0

例4.設(shè)。<償<1且P(9A)+P(耶)=1則必有

(A)P(A|B)=P(A\B)(B)P(A|B)P(A\B)

(C)P(A8)=P(A)P(8)(D)P(AB)HP(A)P(B)

例5.(06)設(shè)A、8為隨機事件,且P(B)>0,尸(A忸)=1,則必有

(A)P(A8)>P(A)⑻P(AB)>P(B)

(C)P(4B)=P(A)(O)P(AB)=P(B)

例6.試證對任意兩個事件A與3,如果P(A)>0,則有

P(8|4)21一名也)

P(A)

例7.有兩個盒子，第一盒中裝有2個紅球，1個白球；第二盒中裝一半紅球，一半白球，現(xiàn)從兩盒中各任

取一球放在一起，再從中取一球，問：

(1)這個球是紅球的概率；

(2)若發(fā)現(xiàn)這個球是紅球，問第一盒中取出的球是紅球的概率。

例8.假設(shè)有兩箱同種零件：第一箱內(nèi)裝50件，其中10件一等品；第二箱內(nèi)裝30件，其中18件一等品，

現(xiàn)從兩箱中隨意挑出一箱，然后從該箱中先后隨機取出兩個零(不放回)試求：

(1)先取出的零件是一等品的概率p；

(2)在先取的零件是一等品的條件下，第二次取出的零件仍為一等品的條件概率q.

例9.袋中裝有。個白球和夕個黑球，分有放回和無放回兩種情況連續(xù)隨機每次一個地抽取，求下列事件的

概率：

(1)從袋中取出的第攵個球是白球

(2)從袋中取出。+人個球中，恰含a個白球和。個黑球

例10.隨機地向半圓（尤,y）0＜y＜，2蛇一/（其中。＞0,是常數(shù)）內(nèi)擲一點，則原點和該點的連線與

7T

X軸的夾角小于一的概率為，

4

例11.在伯努利試驗中，每次試驗成功的概率為p,求在第〃次成功之前恰失敗了m次的概率。

例12.四封信等可能投入三個郵筒，在已知前兩封信放入不同郵筒的條件下，求恰有三封信放入同一個郵

筒的概率為。

例13.已知A,￡C三事件中A與B相互獨立，P（C）=0,則無反心三事件

（A）相互獨立（B）兩兩獨立，但不一定相互獨立

（C）不一定兩兩獨立（。）一定不兩兩獨立

例14.10臺洗衣機中有3臺二等品，現(xiàn)已售出1臺，在余下的9臺中任取2臺發(fā)現(xiàn)均為一等品，則原先售

出1臺為二等品的概率為

（A）-⑻-（C）-（D）-

例15.甲袋中有2個白球3個黑球，乙袋中全是白球，今從甲袋中任取2球，從乙袋中任取1球混合后，從

中任取1球為白球的概率

例16.10件產(chǎn)品中含有4件次品，今從中任取兩件，已知其中有一件是次品，求另一件也是次品的概率。

例17.兩盒火柴各N根，隨機抽用，每次一根，求當一盒用完時，另一盒還有R根的概率。（RKN）

例18.（05）從數(shù)1,2,3,4中任取一個數(shù)，記為X,再從1,2,X中任取一個數(shù)記為丫，則

p（y=2）=。

第二講

隨機變量及其概率分布

考試要求：

理解：離散型和連續(xù)型隨機變量，概率分布，分布函數(shù)，概率密度

掌握：分布函數(shù)性質(zhì)：0-1分布，二項分布，超幾何分布，泊松分布，均勻分布，正態(tài)分布，指數(shù)分布

及它們的應用

會計算：與隨機變量相聯(lián)系的事件的概率，用泊松分布近似表示二項分布，隨機變量簡單函數(shù)的概率分

布。

數(shù)學一，了解；數(shù)學三、四，掌握：泊松定理結(jié)論和應用條件

§1隨機變量及其分布函數(shù)

一.隨機變量

樣本空間。上的實值函數(shù)X=X(。)，oeC。常用X,y,Z表示

二.隨機變量的分布函數(shù)

對于任意實數(shù)X,記函數(shù)FXx)=P(X?x),YO<X<+OO

稱尸(無)為隨機變量X的分布函數(shù)；

/。)的值等于隨機變量X在(F,x]內(nèi)取值的概率。

三.分布函數(shù)的性質(zhì)

(1)limF(x)=0,記為F(-8)=0；

limF(x)=1,記為F(+oo)-1

X->-KOo

(2)尸(x)是單調(diào)非減，即時，/。)《尸(々)

(3)/(九)是右連續(xù)，即尸(x+0)=/(x)

(4)對任意玉<%2，有P(M<X4X2)=F(X2)-F(X|)

(5)對任意x,P(X=x)=F(x)-F(x-O)

性質(zhì)(1)—(3)是F(x)成為分布函數(shù)的充要條件。

例設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為尸(x)=《1+x'

0,x<0

其中A是常數(shù)，求常數(shù)A及P(1WX〈2)。

§2離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量

離散型隨機變量

隨機變量和可能取值是有限多個或可數(shù)無窮多個。

二.離散型隨機變量的概率分布

設(shè)離散型隨機變量X的可能取值是內(nèi)，々，…，彳“，…

稱P(X=4)="，左=1,2,…為X的概率分布或分布律

分布律性質(zhì)：(1)pk>0.,4=1,2,...

⑵￡p&=l

k

Xx,X、x,

分布律也可表示為-------=---------——

pP\PlPk

三.離散型隨機變量分布函數(shù)

"X)=ZP(X=X")=Z0，P(X=a)=F(a)—%。一0)

xk<xxk<x

X|123

例i.~~i―i―r求

1————

326

四.連續(xù)型隨機變量及其概率密度

設(shè)X的分布函數(shù)/(幻，如存在非負可積函數(shù)/(x),有

F(x)=[f(t)dt,-oo<x<+oo

J—00

稱X為連續(xù)型隨機變量，/(x)為概率密度.

概率密度性質(zhì)：

(1)/(x)>0；

(2)「/⑺力=1；

J-00

(3)%,<x2,P(X1<X<x2)=^'f(t)dt：

(4)/(幻的連續(xù)點處有尸(x)=/(x)。

例已知/(X)和/(x)+/(x)均為概率密度，則力必滿足

(A)[f[{x)dx=\,/(x)>()(6)「f(x)dr=l,/,(x)>-/U)

(C)「1(x30，Z?>0(D)「/(x)公=0,工(x)2-F(x)

§3常用分布

X01

(0—1)分布0<p<l

p1—pp

二項分布P(X=k)=C：pkq"-k,k=0,1,.0<p<1,q=i-p

XB(〃,p)

超幾何分布P(X=k)=C/-“

三.

CN

XH(n,M,N)

四.泊松分布P(X=Q=—e',A:=0,1,2,...A>0

k!

XP(A)

例設(shè)某段時間內(nèi)通過路口車流量服從泊松分布，已知該時段內(nèi)沒有車通過的概率為工，則這段時間內(nèi)至少

e

有兩輛車通過的概率為。

五.均勻分布/(%)=-b—a

0其他

XU[a,b]

例設(shè)隨機變量自在(1,6)上服從均勻分布，則方程+〈X+1=0

有實根的概率是。

一/Lx

六.指數(shù)分布/(幻=2>0

0x<0

XE(A)

J

七.正態(tài)分布/(%)=—2bZ,-oo<x<4w

而b

X%(〃,4),(T>0

XN(0,l)標準正態(tài)分布

1工

(p(x)=—j=e2,-oo<x<-Foo

如果XN(〃,"),則上K

N(0,l)

(1)(p{-x)=(p{x}

(2)①(一尤)=1一①(x)

(3)①(0)=-

(4)P(|x|<a)=20(a)-1,XN(O,1)

例XN(〃,4),且①(3)=0.9987,則P(|X—”<3b)=

§4隨機變量X的函數(shù)丫=g(X)的分布

離散型隨機變量的函數(shù)分布

設(shè)X的分布律P(X=x&)=p?,k=\,2,...

則Y=g(X)的分布律P(Y=g?))=p-k=1,2,...

(如果g(x,)相同值，取相應概率之和為Y取該值概率)

連續(xù)型隨機變量的函數(shù)分布

1.公式法：X的密度人(x),y=g(x)單調(diào)，導數(shù)不為零可導,

/?(y)是其反函數(shù)，則y=g(X)的密度為

\h'^\fxWy))a<y<13

人(y)=《八廿八

0其他

其中(?,/?)是函數(shù)g(x)在X可能取值的區(qū)間上值域。

2.定義法：先求

Fy(y)=P(y<y)=P(g(x)<y)=Lfx(X)公

然后4(y)=K'(y)。

§5典型例題分析

b

a+-------7x>0

例1.設(shè)隨機變量的分布函數(shù)/*)=《(1+X)2

Cx<0

求a,b,c的值。

仆

例2.設(shè)隨機變量X的分布律為P(X=k)=c—,k=1,2,...,2>0

k!

試確定常數(shù)。的值。

例3.汽車沿街行駛需要過三個信號燈路口，各信號燈相互獨立，且紅綠顯示時間相等，以X表示汽車所遇

紅燈個數(shù)，求X的分布及分布函數(shù)。

例4.(04)設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N(0,l),對給定的a(0<a<l)數(shù)%滿足

P(X>u?)=a,若P(|x|<x)=a,則x等于

⑷“%⑻(C)&(D)u,_a

例5.在區(qū)間[a,切上任意投擲一點，X為這點坐標，設(shè)該點落在[a,們中任意小區(qū)間的概率與這小區(qū)間長

度成正比，求X的概率密度。

例6.XU[2,5],對X進行三次獨立觀測，試求至少有兩次觀測值大于3的概率。

例7.(06)設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布丫服從正態(tài)分布刈外,力?)

且P{|X—閨<1}>P{|Y—闖<1},則必有

(A)er,<CT2(B)0>(T2

(C)從<〃2(0)必>〃2

例8.X的密度/(x)=Ae*+x(-8<%<+8),試求常數(shù)A。

例9.設(shè)X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，證明：隨機變量Y=l—e-2x服從u(o」)。

例10.已知X的密度為/(幻=；"w，(-00<x<+co),

求y=x2的概率密度。

例11.設(shè)隨機變量X的密度9(x)滿足〃-x)=°(x),R(x)是X的分布函數(shù)，

則對任意實數(shù)4有

(A)F(-a)~1-￡(p(x)dx(B)F(-a)-——￡(p(x)dx

(C)尸(一a)=F(a)(D)F(-a)=2F(?)-1

例12.設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為b(x),引入函數(shù)￡(x)=F(av),鳥(幻=尸(幻，F(xiàn)3(X)=1-F(-X)

和瑪(x)=F(x+a),則可以確定也是分布函數(shù)為

(A)￡(x)，K(x)(B)F2(X),F3(X)

(C)F3(X),F4(X)(D)8(X),6(X)

例13.設(shè)XN(2Q2)且尸(2<x<4)=0.3,則尸(X<0)=。

例14.設(shè)XN(〃,4),則隨o■的增大,概率尸(|X-“<b)

(A)單調(diào)增大(B)單調(diào)減小

(C)保持不變(。)非單調(diào)變化

例15.證明X與—X具有相同密度，則其分布函數(shù)F(x)一定滿足F(x)+E(—x)=l。

例⑹X3,八°)且P(0<X<3)['P(X>4)W，

求：(1)X的概率密度；(2)P(1<X<5)。

第三講多維隨機變量及其概率分布

考試要求

理解：隨機變量及其聯(lián)合分布，離散型聯(lián)合概率分布，

邊緣分布和條件分布，連續(xù)型聯(lián)合概率密度。

邊緣密度和條件密度，隨機變量獨立性和相關(guān)性。

掌握：隨機變量的聯(lián)合分布的性質(zhì)，離散型和連續(xù)型隨機變量

§1二維隨機變量及其聯(lián)合分布函數(shù)

二維隨機變量

設(shè)X=X(CD),Y=Y((o)是定義在樣本空間C上的兩個隨機變量，

則稱向量(x,y)為二維隨機變量或隨機向量。

二.二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)

定義：F(x,y)-P(<X<x,Y<y)-OO<X<-K>O,-OO<y<+OO

性質(zhì)：(1)0<F(%,y)<l；

(2)F(-co,y)=F(x,-oo)=F(-co,-oo)=0,F(+co,+oo)=1；

(3)戶(x,y)關(guān)于x和關(guān)于y單調(diào)不減;

(4)尸(x,y)關(guān)于x和關(guān)于y右連續(xù)。

例1.設(shè)二維隨機變量(X,y)的分布函數(shù)為E(x,y),則隨機變量(Y,X)的分布函數(shù)

耳(x,y)=___________.

三.二維隨機變量的邊緣分布函數(shù)

Fx(x)=P(X<x)=P(X<x,Y<+oo)=F(x,+oo)

FY(y)=P(Y<y)=P(X<-^o,Y<y)=F(+oo,y)

例2.設(shè)二維隨機變量(x,y)的分布函數(shù)為

J(l-1，)”e->')x>0,y>0

E(x,y)=<

0其他

試求心(%),耳(y)

§2二維離散型隨機變量

一.聯(lián)合概率分布

p（x-Xj,y=刀）=Piji,j=1,2,

X\Yy%X-

罰AiPl2Plj

X2P21P22Plj

XiAlPi2Pij

性質(zhì)：(1)/?.>()(2)￡pg=l

例設(shè)隨機變量X在1,2,3三個數(shù)字中等可能取值，隨機變量y在1x中等可能的取一整數(shù)值，求

(x,y)的概率分布。

二.邊緣概率分布

Pi=P(x=X)=EP(X=Xj,Y=yj)=￡pjj，i=l,2,…

JJ

pj=P(Y=y)=￡P(guān)(X=X],Y=y)=￡pu,7=1,2,...

三.條件概率分布

?P(X=x1.,Y=y)p..

P(y=%)>0,P(X=xi\Y=yj)=~~=i=l,2,…

1p(y=%)Pj

,P(X=x：,Y=y.)p..

P(X=xJ>0,P(Y=yj\X=xi)==Y,)=12…

x\y|oi

例設(shè)分布律為-6一LZ―F,已知p(y=i|x=o)=；,p(x=i|y=o)=；,求“c

§3二維連續(xù)型隨機變量

概率密度

F(x,y)=「「f(u,v)dudvf(x,y)----概率密度

J-0DJ-00

性質(zhì)：(1)f(x,y)>0

f+00p+oo

(2)[[f(x,y)dxdy=1

例/a”'：''y'廣°，則心__________。

0其他

邊緣密度

P+00「8

fx(x)=J,f(x,y)dy,fY(y)=j/(x,y)dx

三.條件概率密度

1.條件分布^x(y|x)=limP(Y<y\x-e<X<%+￡?)

々y(x|y)=￡T(X<x\y-s<Y<y+￡)

2.條件概率密度

/(x,y)f(x,y)

加葉)=fx\Y(x\y^

fxMA(y)

AW>0fY(y)>o

§4隨機變量的獨立性

定義：對任意P(X<x,Y<y)=P(X<x)P(Y<y)

F(x,y)=Fx(x)FY(y)

離散型Pg=PiPj

連續(xù)型f(x,y)=fx(x)fY(y)

例i.設(shè)隨機變量x和y相互獨立，下表列出了二維隨機變量(x,y)的聯(lián)合概率分布及關(guān)于x和y的邊緣

概率分布的部分數(shù)值，將剩余數(shù)值填入表中空白處

x\y巧，2，3Pi

1

.X.

8

1

工2

1

P/

例2.判斷x與y是否獨立

x\y|123

1-300

11(1_"2")(1_吶x>O,y〉0

11

2o⑵F(x,y)=<

--

X60其他

O

111

11

3

---

999

§5二維均勻分布和二維正態(tài)分布

一.二維均勻分布

f(x,y)='A，A是G的面積

0其他

例設(shè)二維隨機變量(X,y)在宜為平面上由曲線y=x和y=》2所