考研概率全程筆記

概率論基礎(chǔ)知識(shí)

第一章隨機(jī)事件及其概率

-隨機(jī)事件

§1幾個(gè)概念

1、隨機(jī)實(shí)驗(yàn):滿足下列三個(gè)條件的試驗(yàn)稱為邈邈；(1)試驗(yàn)可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；(2)試驗(yàn)的

可能結(jié)果不止一個(gè),且所有可能結(jié)果是已知的;(3)每次試驗(yàn)?zāi)膫€(gè)結(jié)果出現(xiàn)是未知的；隨機(jī)試驗(yàn)以后簡(jiǎn)

稱為試驗(yàn)，并常記為E。

例如：Ei：擲一骰子，觀察出現(xiàn)的總數(shù)；E2：上拋硬幣兩次，觀察正反面出現(xiàn)的情況；

E3：觀察某交換臺(tái)在某段時(shí)間內(nèi)接到的呼喚次數(shù)。

2、隨機(jī)事件：在試驗(yàn)中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事情稱為隨機(jī)事件:常記為A,B,C……

例如，在Ei中，A表示“擲出2點(diǎn)”，B表示“擲出偶數(shù)點(diǎn)”均為隨機(jī)事件。

3、必然事件與不可能事件：每次試驗(yàn)必發(fā)生的事情稱為|必然事件|,記為Q.每次試驗(yàn)都不可能發(fā)生的

事情稱為|不可能事件|,記為①。

例如，在日中，“擲出不大于6點(diǎn)”的事件便是必然事件，而“擲出大于6點(diǎn)”的事件便是不可能事

件,以后，隨機(jī)事件，必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為雷雨。

4、基本事件：試驗(yàn)中直接觀察到的最簡(jiǎn)單的結(jié)果稱為基本事件

例如，在Ei中，“擲出1點(diǎn)”，“擲出2點(diǎn)”，……，”擲出6點(diǎn)”均為此試驗(yàn)的基本事件。

由基本事件構(gòu)成的事件稱為復(fù)合事件，例如，在Ei中“擲出偶數(shù)點(diǎn)”便是復(fù)合事件。

5、樣本空間：從集合觀點(diǎn)看，稱構(gòu)成基本事件的元素為樣本點(diǎn)，常記為e.

例如,在E］中,用數(shù)字1,2,……,6表示擲出的點(diǎn)數(shù),而由它們分別構(gòu)成的單點(diǎn)集{1},{2},…{6}

便是日中的基本事件。在E2中，用H表示正面，T表示反面，此試驗(yàn)的樣本點(diǎn)有(H,H),(H,T),

(T,H),(T,T),其基本事件便是{(H,H)},{(H,T)},{(T,H)},{(T,T)}顯然，任何

事件均為某些樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合。

例如，在日中“擲出偶數(shù)點(diǎn)”的事件便可表為{2,4,6}°試驗(yàn)中所有樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為樣本

空間。記為Q。

例如，

在Ei中，Q={1,2,3,4,5,6}

在E2中，Q={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}

在E3中，Q={0,1,2)....}

例1,一條新建鐵路共10個(gè)車站，從它們所有車票中任取一張，觀察取得車票的票種。

此試驗(yàn)樣本空間所有樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為N0=p2|o=9O.(排列：和順序有關(guān)，如北京至天津、天津至北京)

若觀察的是取得車票的票價(jià)，則該試驗(yàn)樣本空間中所有樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為/=/=45

2(組合)

例2.隨機(jī)地將15名新生平均分配到三個(gè)班級(jí)中去，觀察15名新生分配的情況。此試驗(yàn)的樣本空間所

有樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

15V10V5

或者"c151

555痂第一種方法用組合+乘法原理；第二種方法用排列

§2事件間的關(guān)系與運(yùn)算

1、包含：“若事件A的發(fā)生必導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱事件B包含事件A,記為AUB或BZ)A?

例如，在Ei中，令A(yù)表示“擲出2點(diǎn)”的事件，即人=｛2｝

B表示“擲出偶數(shù)”的事件，即8=｛2,4,6｝則AUB

2、相等：若A「B且B;A,則稱事件A等于事件B,記為A=B

例如，從一付52張的撲克牌中任取4張，令A(yù)表示“取得到少有3張紅桃”

的事件；B表示“取得至多有一張不是紅桃”的事件。顯然A=B

3、和：稱事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生的事件為A與B的和事件簡(jiǎn)稱為和，記為A(JB，或A+B

例如，甲，乙兩人向目標(biāo)射擊，令A(yù)表示“甲擊中目標(biāo)”的事件，B表示“乙

擊中目標(biāo)”的事件，則AUB表示“目標(biāo)被擊中”的事件。

推廣：

AUB

Cl4-AU4U…UA-(A.4，……4M少有一個(gè)發(fā)生

有限個(gè)a】

0A?4U4U.....叱丸肉,....至少有一個(gè)發(fā)生｝

無(wú)窮可列個(gè)“1

4、積：稱事件A與事件B同時(shí)發(fā)生的事件為A與B的積事件，簡(jiǎn)稱為積，記為AAB或AB。

例如，在E3中，即觀察某交換臺(tái)在某時(shí)刻接到的呼喚次數(shù)中，令人=｛接到偶數(shù)次呼喚｝,B=｛接到

奇數(shù)次呼喚｝,則Ar)B=｛接到6的倍數(shù)次呼喚｝

推廣:

-A4……4七】，4......4同時(shí)發(fā)生)任意有限個(gè)

al

P|A■44....."｛4他....同時(shí)發(fā)生｝

“1無(wú)窮可列個(gè)

5,差：稱事件A發(fā)生但事件B不發(fā)生的事件為A減B的差事件簡(jiǎn)稱為差，記為AB。

例如，測(cè)量晶體管的B參數(shù)值，令A(yù)=｛測(cè)得P值不超過(guò)50｝,B=｛測(cè)得B值

不超過(guò)100｝,則，AB=4>,BA=｛測(cè)得B值為50<BW100｝

AB

6、互不相容：若事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生，即AB=6,則稱A與B是互不相容的。

例如，觀察某定義通路口在某時(shí)刻的紅綠燈：若人=｛紅燈亮｝,B=｛綠燈亮｝,

則A與B便是互不相容的。

AB?

7、對(duì)立：稱事件A不發(fā)生的事件為A的對(duì)立事件，記為N顯然A\JA^Q>An方=4)

例如，從有3個(gè)次品，7個(gè)正品的10個(gè)產(chǎn)品中任取3個(gè)，若令A(yù)=｛取得的3

個(gè)產(chǎn)品中至少有一個(gè)次品｝,則萬(wàn)=｛取得的3個(gè)產(chǎn)品均為正品｝。

§3事件的運(yùn)算規(guī)律

1、交換律AUB=BUA；ACB=BCA

2、結(jié)合律(AUB)UC=AU(BUC)；(APB)nC=AD(BCIC)

3、分配律AC(BUC)=(AAB)U(ACC),AU(BAC)=(AUB)A(AUC)

4、對(duì)偶律初一彳n瓦彳筋?厲u瓦

此外，還有一些常用性質(zhì)，如

AUBDA,AUBDB(越求和越大)；ACBUA,ACBCB(越求積越小)。

若AUB,貝ijAUB=B,AHB=AAB=AAB=AB等等。

例3,從一批產(chǎn)品中每次取一件進(jìn)行檢驗(yàn)，令入=｛第i次取得合格品｝,i=l,2,3,試用事件的運(yùn)算符號(hào)表示

下列事件。A=｛三次都取得合格品｝B=｛三次中至少有一次取得合格品｝C=｛三次中恰有兩次取得合

格品｝D=｛三次中最多有一次取得合格品｝

解：A=A、A?A\B=4U4U4C=石4U44425=AAU4AU4A

表示方法常常不唯一，如事件B又可表為

B=AiA^U4^4UAAAU4AAU4AAUAUA或J-AAA

例4,一名射手連續(xù)向某一目標(biāo)射擊三次，令A(yù)i=｛第i次射擊擊中目標(biāo)｝,i=l,2,3,試用文字?jǐn)⑹鱿铝惺?/p>

解：AUA-｛前兩次射擊中至少有一次擊中目標(biāo)）可?（第二次射擊未擊中目標(biāo)）

AU4UA=（三次射擊至少有一次擊中目標(biāo)｝AAA3=｛三次射擊都擊中目標(biāo)｝

A3A2=｛第三次擊中目標(biāo)但第二次未擊中目標(biāo)｝

4U石-（前兩次均未擊中目標(biāo)）但川西-4A）

AUA-｛前兩次射擊至少有一次未擊中目標(biāo)）

例5,下圖所示的電路中，以A表示“信號(hào)燈亮”這一事件，以B,C,D分別表示繼電器接點(diǎn)，I,II,

III,閉合，試寫出事件A,B,C,D之間的關(guān)系。

解，不難看出有如下一些關(guān)系:

BCuABDuA

BC2BD=A

BA-色等

二事件的概率

§1概率的定義

所謂事件A的概率是指事件A發(fā)生可能性程度的數(shù)值度量，記為P（A）。規(guī)定P（A）NO,P（C）=1。

1、古典概型中概率的定義

古典概型：滿足下列兩條件的試驗(yàn)?zāi)Ｐ头Q為古典概型。

（1）所有基本事件是有限個(gè)：（2）各基本事件發(fā)生的可能性相同;

例如：擲一勻稱的骰子，令人=｛擲出2點(diǎn)｝=｛2｝,B=｛擲出偶數(shù)總｝=｛2,4,6｝o此試驗(yàn)樣本空間為

Q=(1,2,3,4,5,6),于是，應(yīng)有1=P(Q)=6P(A),即P(A)=-,

6

3夕所含的基本事件數(shù)

而P(B)=3P(A)

石-基本事件總數(shù)

定義1:在古典概型中，設(shè)其樣本空間Q所含的樣本點(diǎn)總數(shù)，即試驗(yàn)的基本事件總數(shù)為N.而事件A所

含的樣本數(shù)，即有利于事件A發(fā)生的基本事件數(shù)為NA，則事件A的概率便定義為：

“八總上包含基本事件數(shù)

取)=丁=要料件總數(shù)

例1，將一枚質(zhì)地均勻的硬幣一拋三次，求恰有一次正面向上的概率。

解：用H表示正面，T表示反面，則該試驗(yàn)的樣本空間

Q={(H,H,H)(H,H,T)(H,T,H)(T,H,H)(H,T,T)(T,H,T)(T,T,H)(T,T,T)}。

可見Nn=8令A(yù)=(恰有一次出現(xiàn)正面},則人={(H,T,T)(T,H,T)(T,T,H)}

故式⑷=2V

可見，令NA=3

“cO

例2,(取球問(wèn)題)袋中有5個(gè)白球，3個(gè)黑球，分別按下列三種取法在袋中取球。

(1)有放回地取球：從袋中取三次球，每次取一個(gè)，看后放回袋中，再取下一個(gè)球；

(2)無(wú)放回地取球：從袋中取三次球，每次取一個(gè)，看后不再放回袋中，再取下一個(gè)球；

(3)一次取球：從袋中任取3個(gè)球。在以上三種取法中均求恰好取得2個(gè)白球)的概率。

解：(1)有放回取球N?=8X8X8=83=512(袋中八個(gè)球，不論什么顏色，取到每個(gè)球的概率相等)

‘3、

N—5x5x3-5231?225

(先從三個(gè)球里取兩個(gè)白球，第一次取白球有五種情況，第二次取

白球還有五種情況〈注意是有放回〉，第三次取黑球只有三種情況)"c

%-8x7x6-4-336

(2)無(wú)放回取球(■)(31,.故秋4)="=幽=0.54

必■耕W3為&}780W43%

A-88(5)3

(3)一次取球Nc=---56y.--

°33?3[

7/)=絲A

故

屬于取球問(wèn)題的一個(gè)實(shí)例:

設(shè)有100件產(chǎn)品，其中有5%的次品，今從中隨機(jī)抽取15件，則其中恰有2件次品的概率便為

5

2

0.1377

100

5（屬于一次取球模型）

例3（分球問(wèn)題）將n個(gè)球放入N個(gè)盒子中去，試求恰有n個(gè)盒子各有一球的概率（n<N）。

解：令人=｛恰有n個(gè)盒子各有一球｝,先考慮基本事件的總數(shù)

Na-蛻-AT,先從N個(gè)盒子里選n個(gè)盒子，然后在n個(gè)盒子里n個(gè)球全排列

故p(⑷

屬于分球問(wèn)題的一個(gè)實(shí)例：

全班有40名同學(xué)，向他們的生日皆不相同的概率為多少？令人=｛40個(gè)同學(xué)生日皆不相同｝,則有

3

365

%-365*,^-40!故fXA）*0,109

40（可以認(rèn)為有365個(gè)盒子，40個(gè)球）365"

例4（取數(shù)問(wèn)題）

從0,1,……,9共十個(gè)數(shù)字中隨機(jī)的丕放回的接連取四個(gè)數(shù)字，并按其出現(xiàn)的先后排成一列，求下列

事件的概率：（1）四個(gè)數(shù)排成一個(gè)偶數(shù)；（2）四個(gè)數(shù)排成一個(gè)四位數(shù)；（3）四個(gè)數(shù)排成一個(gè)四位偶數(shù);

解：令人=｛四個(gè)數(shù)排成一個(gè)偶數(shù)｝,B=｛四個(gè)數(shù)排成一個(gè)四位數(shù)｝,C=｛四個(gè)數(shù)排成一個(gè)四位偶數(shù)｝

5x9x8x7

N-10x9x8x7,儲(chǔ)=5x”8x7;故P(司

o10x9x8*7

小?￡-4?1”9X8X7-9X8X7，Q(3)■—而云旃-09

--江一?5x9xgx7-4x8x7▲

-4x8x7,如⑹-1-0.456

4-10x9x8x7

例5（分組問(wèn)題）將一幅52張的樸克牌平均地分給四個(gè)人，分別求有人手里分得13張黑桃及有人手里

有4張A牌的概率各為多少？

解：令人=｛有人手里有13張黑桃｝,B=｛有人手里有4張A牌｝

于是代0=曳＜?4-63X1042

小52VW26V1?

13131313

北雨…，強(qiáng)看=001

不難證明，古典概型中所定義的概率有以下三條基本性質(zhì):

1°P(A)20

2°P(Q)=1

X9

3°若A”A2,……，A”兩兩互不相容，則pdj^)-Vp(4)

Zt4

2、概率的統(tǒng)計(jì)定義

頻率：在n次重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)事件A出現(xiàn)了以次，則稱:=L為事件A的頻率。頻率具有一

n

定的穩(wěn)定性。示例見下例表

正面（A）出現(xiàn)的

試驗(yàn)者拋硬幣次數(shù)n正面（A）出現(xiàn)次數(shù)nA頻率/,（4）?紀(jì)

n

德?摩爾根204810610.5180

浦豐404021480.5069

皮爾遜1200060190.5016

皮爾遜24000120120.5005

維尼30000149940.4998

定義2：在相同條件下，將試驗(yàn)重復(fù)n次，如果隨著重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)n的增大，事件A的頻率f￡A）越來(lái)越

穩(wěn)定地在某一常數(shù)p附近擺動(dòng)，則稱常數(shù)p為事件A的概率，即P（A）=p

不難證明頻率有以下基本性質(zhì):

1。4(⑷202?！╝)=】

3°若A],A?,,兩兩互不相容，則/dj4)

A-lJW

3、概率的公理化定義(數(shù)學(xué)定義)

定義3：設(shè)某試驗(yàn)的樣本空間為Q,對(duì)其中每個(gè)事件A定義一個(gè)實(shí)數(shù)P(A),如果它滿足下列三條公理:

1°P(A)20(非負(fù)性)2°P(Q)=1(規(guī)范性)

3°若A”A2，……，An……兩兩互不相容，則戶(]4廠±2(4)(可列可加性，簡(jiǎn)稱可加性)

Z

則稱P(A)為A的概率

4、幾何定義

定義4：假設(shè)Q是Rn(n=l,2,3)中任何一個(gè)可度量的區(qū)域，從Q中隨機(jī)地選擇一點(diǎn)，即Q中任何一點(diǎn)都有

同樣的機(jī)會(huì)被選到，則相應(yīng)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間就是Q,假設(shè)事件A是Q中任何一個(gè)可度量的子集，則

P(A)==a(A)/u(Q)

§2概率的性質(zhì)

性質(zhì)1：若AUB,則P(BA)=P(B)P(A)——差的概率等于概率之差

證：因?yàn)椋篈「B

所以：13=人口8人)且人。很人)=4>,由概率可加性

得P(B)=P[AU(BA)]=P(A)+P(BA)

即P(BA)=P(B)P(A)

性質(zhì)2：若AUB,則P(A)WP(B)一一概率的單調(diào)性

證：由性質(zhì)1及概率的非負(fù)性得OWP(BA)=P(B)P(A),即P(A)WP(B)

性質(zhì)3：P(A)證明：由于A二Q,由性質(zhì)2及概率的規(guī)范性可得P(A)

性質(zhì)4：對(duì)任意事件A,P(A)=1P(A)

證明：在性質(zhì)1中令B=Q便有PA)=P(QA)=P(Q)P(A)=1P(A)

性質(zhì)5：P(。)=0證：在性質(zhì)4中，令A(yù)=Q,便有P(4>)=P

(Q)=1P(0)=11=0

性質(zhì)6(加法公式)對(duì)任意事件A,B,有P(AUB)=P(A)+P(B)

AUB-AU(BAB

P(AB)

證：由于AUB=AU(BAB)且AD(BAB)=6(見圖)

由概率的可加性及性質(zhì)1便得

P(AUB)=P[AU(BAB)]=P(A)+P(BAB)

=P(A)+P(B)P(AB)

推廣：P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC)

例6設(shè)10個(gè)產(chǎn)品中有3個(gè)是次品，今從中任取3個(gè)，試求取出產(chǎn)品中至少有一個(gè)是次品的概率。

解：令C=｛取出產(chǎn)品中至少有一個(gè)是次品),則^=｛取出產(chǎn)品中皆為正品｝,于是由性質(zhì)4得

T-RC)=1-s'S'071

例7,甲，乙兩城市在某季節(jié)內(nèi)下雨的概率分別為和，而同時(shí)下雨的概率為，問(wèn)在此季節(jié)內(nèi)甲、乙兩城

市中至少有一個(gè)城市下雨的概率。

解：令人=｛甲城下雨｝,B=｛乙城下雨｝,按題意所要求的是

P(AUB)=P(A)+P(B)—P(AB)

例8.設(shè)A,B,C為三個(gè)事件，已知P(A)=P(B)=P(C)=0.25,P(AB)=0,P(AC)=0,P(BC)=0.125,求A,B,C至少有

一個(gè)發(fā)生的概率。

解：由于ABCUAB故

OiP(ABC)IP(AB)-O從而P(ABC)-O

于是所求的概率為

PMU3UC)?FU)?尸(3)+P(C)-PG4C)-P(5C)+P(ABC)

488

三條件概率

§1條件概率的概念及計(jì)算

在已知事件B發(fā)生條件下，事件A發(fā)生的概率稱為事件A的條件概率，記為P(A/B)。條件概率P(A/B)

與無(wú)條件概率P(A)通常是不相等的。

例1：某一工廠有職工500人，男女各一半，男女職工中非熟練工人分別為40人和10人，即該工廠職

工人員結(jié)構(gòu)如下：

人數(shù)男女總和

非熟練工人401050

其他職工210240450

總和250250500

現(xiàn)從該廠中任選一職工，令人=｛選出的職工為非熟練工人｝,B=｛選出的職工為女職工｝

顯然，--,P(AB)-—；而

500500500

以25025%oo兩”乙)50露

定義1設(shè)A、B為兩事件，如果P(B)>0,則稱晟為在事件B發(fā)生的條件下，事件A

的|條件概率|。同樣，如果P(A)>0,則稱月%)?與里為在事件A發(fā)生條件下，事件B的|條件概率|。

條件概率的計(jì)算通常有兩種辦法:

(1)由條件概率的含乂計(jì)算(通常適用于古典概型)，(2)由條件概率的定義計(jì)算。

例2：一盒子內(nèi)有10只晶體管，其中4只是壞的，6只是好的，從中無(wú)放回地取二次晶管，每次取一只,

當(dāng)發(fā)現(xiàn)第一次取得的是好的晶體管時(shí)，向第二次取的也是好的晶體管的概率為多少？

解：令A(yù)=｛第一次取的是好的晶體管｝,B=｛第二次取的是好的晶體管｝

按條件概率的含義立即可得：-1

按條件概率的定義需先計(jì)算：—~:于是

105,10x93

例3：某種集成電路使用到2000小時(shí)還能正常工作的概率為0.94,使用至IJ3000小時(shí)還能正常工作的概

率為0.87.有一塊集成電路已工作了2000小時(shí)，向它還能再工作1000小時(shí)的概率為多大？

解：令A(yù)=｛集成電路能正常工作到2000小時(shí)｝,B=｛集成電路能正常工作到3000小時(shí)｝

已知:：P(A)=0.94,P(B)=0.87且3U力，既有AB=B于是

按題意所要求的概率為：?旦姆?幽?0926

?⑷094

§2關(guān)于條件概率的三個(gè)重要公式

定理1：如果尸⑻>0,則有P（A5）=P（8）也。,如果&4）>a則有網(wǎng)出卜網(wǎng)⑷耳弘）

例4:已知某產(chǎn)品的不合格品率為4%,而合格品中有75%的一級(jí)品，今從這批產(chǎn)品中任取一件，求取得的為

一級(jí)的概率.

解：令A(yù)=｛任取一件產(chǎn)品為一級(jí)品｝,B=｛任取一件產(chǎn)品為合格品｝,顯然AUB，即有AB=A

故p（AB）=p（A）。于是，所要求的概率便為/=尸（融）=尸（方）pb，）=96%x73%=72%

例5:為了防止意外，在礦內(nèi)安裝兩個(gè)報(bào)警系統(tǒng)a和b,每個(gè)報(bào)警系統(tǒng)單獨(dú)使用時(shí)，系統(tǒng)a有效的概率為0.92,

系統(tǒng)b的有效概率為0.93,而在系統(tǒng)a失靈情況下，系統(tǒng)b有效的概率為，試求：（1）當(dāng)發(fā)生意外時(shí)，兩個(gè)報(bào)

警系統(tǒng)至少有一個(gè)有效的概率；（2）在系統(tǒng)b失靈情況下，系統(tǒng)a有效的概率.

解：令A(yù)=（系統(tǒng)a有效｝B=｛系統(tǒng)b有效｝

已知尸（4”。92,尸（B）,Q,93,H^S）=0.85

對(duì)問(wèn)題（1）,所要求的概率為

U5）-P（A）+P（B）-P（AB）-185-P（AB\其中P（AB）-P（B-BA）（見圖）

==N5)-RX)F(%)=0.93-0.08X0.85=0.862

于是%U3)=1.85-0.862=0988

對(duì)問(wèn)題⑵，所要求的概率沏H%）.鬻?鏘.陪爛吟薩?。829

推廣：如果

也…岫風(fēng)則有心”4）的）《%4%4卜4%4?/

證:由于4z>44>n……4-1，故網(wǎng)4)2網(wǎng)44)2…2p(44…A、》。

所以上面等式右邊的諸條件概率均存在，且由乘法公式可得

?、椤?"R44…)

=R44,4必4%4..&]4%4…1)

,依此類推"?41

例6：10個(gè)考簽中有4個(gè)難簽，三個(gè)人參加抽簽(無(wú)放回)甲先，乙次，丙最后，試問(wèn)(1)甲、乙、丙均抽得難

簽的概率為多少？(2)甲、乙、丙抽得難簽的概率各為多少？

解：令A(yù),B,C分別表示甲、乙、丙抽得難簽的事件，

對(duì)問(wèn)題(1),所求的概率為:心羽)?小爐(%同強(qiáng))=0033

對(duì)問(wèn)題(2),甲抽得難簽的概率為：尸(彳)-[?04

P{B”F{AB\JAB}?Ras)+的B)=0⑷p(%)+可初鎊)

乙抽得難簽的概率為4364

,x—?1—x—,04

109109

RC)?F(ABCUABCU■方CU彳9C)?KABCR時(shí)i8C)+尸?P{AJc)

丙抽得難簽的概率為

l-咐懶%彳*

其中3)43加附物)%)吟鋁哈

的■確姚鋁哈w

于是AC)--+—+—+1---0.4

301010610

2.全概率公式

完備要住細(xì):如果一組事件.H.在每次試驗(yàn)中必發(fā)生且僅發(fā)生一個(gè),

即（j兒-c且%八％=兇?,）,則稱此事件組為該試驗(yàn)的一個(gè)完備事件組

0i

例如，在擲一顆骰子的試驗(yàn)中，以下事件組均為完備事件組：①{1},{2},{3},{4},{5},{6}；②

（1,2,3},{4,5},{6}；③A,%（A為試驗(yàn)中任意一事件）

定理2：設(shè)%,凡2.…為一完備事件組，且則對(duì)于任意事件A有

3褻){%,)

證：由于U=C且對(duì)于任意/

于是A=AQ=A（U，i）弁D且對(duì)于任意J■j,AH,C\AH于是由概率的可加性及

乘法公式便得：尸（4）=電叫冬陽(yáng)）切M%)

例7,某屆世界女排錦標(biāo)賽半決賽的對(duì)陣如下:

根據(jù)以往資料可知，中國(guó)勝美國(guó)的概率為0.4,中國(guó)勝日本的概率

為，而日本勝美國(guó)的概率為，求中國(guó)得冠軍的概率。

解：☆H=（日本勝美國(guó)},萬(wàn)={美國(guó)勝日本},A={中國(guó)得冠軍}

由全概率公式便得所求的概率為

W)=P(H)P(%)+市耳笫)=05x09+05x04?065

例8,盒中放有12個(gè)乒乓球，其中9個(gè)是新的，第一次比賽時(shí)，從盒中任取3個(gè)使用，用后放會(huì)盒中,

第二次比賽時(shí)，再取3個(gè)使用，求第二次取出都是新球的概率

解：令H；={第一次比賽時(shí)取出的3個(gè)球中有i個(gè)新球}i=O,I,2,3,A={第二次比賽取出的3個(gè)

球均為新球}

而尚fl哦哨9喉哨（;）嘴喇胃

由全概率公式便可得所求的概率

3

乩)-E耽

3貝葉斯公式

定理3：設(shè)H1,HH”為一完備事件組，且以區(qū)）>0。=1人-冷.

N月M%J

又設(shè)A為任意事件，且P（A）>0,則有

例

的伙）

證:由乘法公式和全概率公式即可得到

心）

）研％J

例9：某種診斷癌癥的實(shí)驗(yàn)有如下效果：患有癌癥者做此實(shí)驗(yàn)反映為陽(yáng)性的概率為，不患有癌癥者做此

實(shí)驗(yàn)反映為陰的概率也為，并假定就診者中有的人患有癌癥。己知某人做此實(shí)驗(yàn)反應(yīng)為陽(yáng)性，問(wèn)他是一

個(gè)癌癥患者的概率是多少？<--------

（先驗(yàn)概率）

解：令H=｛做實(shí)驗(yàn)的人為癌癥患者｝,月=｛做實(shí)驗(yàn)的人不為癌癥患者｝,A=｛實(shí)驗(yàn)結(jié)果反應(yīng)為陽(yáng)性｝，｛實(shí)

驗(yàn)結(jié)果反應(yīng)為陰性｝,由貝葉斯公式可求得所要求的概率：

0005x095

0.087

H%)-0005x095+0.995x005

例10：兩信息分別編碼為X和Y傳送出去，接收站接收時(shí)，X被誤收作為Y的概率0.02,而Y被誤作為

X的概率為0.01.信息X與Y傳送的頻繁程度之比為2:1,若接收站收到的信息為X,問(wèn)原發(fā)信息也是X

的概率為多少？

解：設(shè)H=｛原發(fā)信息為X｝而百?（原發(fā)信息為Y）

又設(shè)A?1收到信息為X）A?（收到信息為丫）

由題意可知Pg麗=；

/4|〃）-1-尸（a月）=1-002-0.98

P（附戶⑻

P｛H

+/力用戶（百）

由貝葉斯公式便可求得所要求的概率為2

098x-

_________3196

098x-+001xl197

例11：設(shè)有一箱產(chǎn)品是由三家工廠生產(chǎn)的，已知其中,4的產(chǎn)品是由甲廠生產(chǎn)的，乙、丙兩廠的產(chǎn)品各

占已知甲，乙兩廠的次品率為2%,丙廠的次品率為4%,現(xiàn)從箱中任取一產(chǎn)品（1）求所取得

產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的次品的概率；（2）求所取得產(chǎn)品是次品的概率；（3）已知所取得產(chǎn)品是次品，

問(wèn)他是由甲廠生產(chǎn)的概率是多少？

解：令月］.5分別表示所取得的產(chǎn)品是屬于甲、乙、丙廠的事件，A=｛所取得的產(chǎn)品為次品｝

顯然網(wǎng)為）=%，式%=%《%3卜4%

對(duì)問(wèn)題（1）,由乘法公式可得所要求的概率：戶（為4）?產(chǎn)（%）4%）?%x2%7%

對(duì)問(wèn)題（2）,由全概率公式可得所要求的概率

4"￡同乂）尸（%J=%X2%+%X2%+%X4%?25%

1%

對(duì)問(wèn)題（3）,由貝葉斯公式可得所要求的概率40%

25%

四獨(dú)立性

§1事件的獨(dú)立性

如果事件B的發(fā)生不影響事件A的概率，即尸,，,卜尸缶）,（尸（0>0）則稱事件A對(duì)事件B獨(dú)立。

如果事件A的發(fā)生不影響事件B的概率，即W%"P[B）,（F（4）>0）則稱事件B對(duì)事件A獨(dú)立。

不難證明，當(dāng)尸（4）〉0,尸（3）>0時(shí)，上述兩個(gè)式子是等價(jià)的。

事實(shí)上，如果叱⑷，貝I有網(wǎng)/^卜根）/5%卜&4戶⑻

反之，如果&4閉6），則有《%）?.網(wǎng)㈤

即X%）"式?oP（AB）~網(wǎng)/上）

同樣可證F（%）-P⑻oP（AB）~P（⑷P伊）

總之可見事件獨(dú)立性是相互的。

X%）=p（⑷oP（AB）=&4照3）=9（%）=尸⑻

定義1設(shè)48為兩個(gè)事件，如果

P｛AB\~%4）尸（3）,則稱事件4與事件8相互獨(dú)立。

例1,袋中有3個(gè)白球2個(gè)黑球，現(xiàn)從袋中（1）有放回；（2）無(wú)放回的取兩次球，每次取一球，令

A=｛第一次取出的是白球｝B=｛第二次取出的是白球｝問(wèn)A,B是否獨(dú)立？

解：（1）有放回取球情況，則有R??%,尸（3”%，尸（聞.3%?%5

可見，網(wǎng)43）工網(wǎng)4用3），可.A,[獨(dú)立。

I2*3

（2）無(wú)放回取球情況，則有網(wǎng)/）=%.尸（8）■二言^^4.P（AE）-3x23

>410

可見，F(xiàn)（48）NF（/）P（5），故A,B不獨(dú)立。（實(shí)際上就是抓閹模型）

例2,設(shè)有兩元件，按串聯(lián)和并聯(lián)方式構(gòu)成兩個(gè)系統(tǒng)I,n（見圖）每個(gè)元件的可靠性（即元件正常工作的

概率）為r（O<r<l）.假定兩元件工作彼此獨(dú)立,求兩系統(tǒng)的可靠性.

解：令A(yù)=｛元件a正常工作｝,B=｛元件b正常工作｝，且A,B獨(dú)

:，卜立。Cl=｛系統(tǒng)I正常工作｝,C2=｛系統(tǒng)II正常工作｝

?IF"1?

系就?于是系統(tǒng)I的可靠性為E（Cj?P（AB）-F?P（6）?尸

系統(tǒng)■

系統(tǒng)n的可靠性為F(G)=R/U3卜尸")+P(B)-P(砌?P(A)?P(B)-網(wǎng)4閘8)?2r_/

a3aa

顯然F(C2)-2r-r>2r-r-r-P(C1)(O<r<1).系統(tǒng)II可靠性大于系統(tǒng)I的可靠性。

定義：設(shè)A,B,C為三個(gè)事件，如果P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),

P(BC)=P(B)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C)則稱A,B,C為相互獨(dú)立的。

定義2：設(shè)A,,A2,……A”為n個(gè)事件，如果對(duì)任意正整數(shù)左々4月)及上述事件中的任意

小事件…A4有尸(A4…4)?盡4,3)…盡4,)則稱這n個(gè)事件A”船……，人是相

互獨(dú)立的。

下面幾個(gè)醫(yī)圖是常用的：

(】M，明立、人牙獨(dú)立、48獨(dú)立7曲立四個(gè)命題有一個(gè)成立其它三個(gè)必成立。

證：設(shè)A,B成立，即f\AB)-P(A)P(B).

于是有f\AB)P(A)-P(AB)-P(A)--P(4)[l-P⑻]-P(⑶嗝

A5獨(dú)立=4■立=無(wú)鼬立=N8獨(dú)立

故5、豆獨(dú)立。利用這個(gè)結(jié)果便可證明其它結(jié)論，即

CII

F伽,力F⑷

(2)如果可/,…,4相互獨(dú)立，則

⑶如果44…,4相互獨(dú)立，則產(chǎn)04卜T屯)

電4?1-gA卜-憚，卜力甸

證:

例3：三人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼，他們能譯出的概率分別為1.1,1求密碼能被譯出的概率

534

解：令A(yù)=｛第I個(gè)人能譯出密碼｝,I=l,2,3；A=｛密碼能被譯出｝,所要求的概率為

心）?網(wǎng)42424卜1-尸傳>（石卜體）?1-?《六06

例4：設(shè)每支步槍擊中飛機(jī)的概率為尸=0.004,（1）現(xiàn)有250支步槍同時(shí)射擊，求飛機(jī)被擊中的概率;

（2）若要以99%概率擊中飛機(jī)，問(wèn)需多少支步槍同時(shí)射擊？

解：令A(yù)i=｛第i支步槍擊中飛機(jī)｝J-1,2,.........,n；A=｛飛機(jī)被擊中｝

對(duì)問(wèn)題⑴，n=250,所要求的概率為61）?P（4u4u…4?）■】■玄）P?…尸圖

-1?（1?戶產(chǎn)?1?0.996坎、063

對(duì)問(wèn)題（2）,n為所需的步數(shù)，按題意戶（㈤?】-（】-尸丫?099,

即（i-py-o.oi,即0.996.-0.01于是得n-h0Q1*1150

to0.996

§2獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)

獨(dú)立盍復(fù)試驗(yàn)|在相同條件下，將某試驗(yàn)重復(fù)進(jìn)行n次，且每次試驗(yàn)中任何一事件的概率不受其它次試

驗(yàn)結(jié)果的影響，此種試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)。

說(shuō)?里立如果實(shí)驗(yàn)只有兩個(gè)可能結(jié)果12且P⑷?P。<P<D稱此試驗(yàn)為貝努里試驗(yàn)|

n重貝努里試驗(yàn)|將貝努里試驗(yàn)獨(dú)立重得n次所構(gòu)成n次獨(dú)立重得試驗(yàn)稱為n重貝努里試驗(yàn)。

例如，

（1）將一骰子擲10次觀察出現(xiàn)6點(diǎn)的次數(shù)一一10重貝努里試驗(yàn)

（2）在裝有8個(gè)正品，2個(gè)次品的箱子中，有放回地取5次產(chǎn)品，每次取一個(gè)，觀察取得次品的次數(shù)

——5重貝努里試驗(yàn)

（3）向目標(biāo)獨(dú)立地射擊n次，每次擊中目標(biāo)的概率為P,觀察擊中目標(biāo)的次數(shù)一n重貝努里試驗(yàn)等等

一個(gè)重要的結(jié)果：在n重貝努里實(shí)驗(yàn)中，假定每次實(shí)驗(yàn)事件A出現(xiàn)的概率為p（0<p<l），則在這n重貝

努里實(shí)驗(yàn)中事件A恰好出現(xiàn)k（kWn）次的概率為月㈤-0,1,2,…淖其中q=lp

事實(shí)上，令4=｛第1