考研數(shù)學二特征值與特征向量

考研數(shù)學二特征值與特征向量

1.【單項選擇題】已知A是三階矩陣，滿足A2+2A=0,若|A+3E|=3,則|2A+E|=

A.-4.

B.9.

C.16.

D.-9.

正確答案：B

參考解析：設入是A的任一特征值，a是相應的特征向量，即Aa=、a,aWO,

那么由A2+2A=0,有（入2+2入）a=0,aWO,故人?+2人=0,入2+2人為0或-2。于

是A+3E的特征值為3或1,|A+3E|=3,那么A的特征值只能是0,-2,-2。則

2A+E的特征值:1,-3,-3

2.【單項選擇題】三階矩陣A的特征值全為零，則必有

A.秩r（A）=O.

B.秩r(A)=L

C.秩r(A)=2.

D.條件不足，不能確定.

正確答案：D

參考解析：請考查下列矩陣

-0001-010]-010"

000,000.001

0_1

_00oJ.000A

它們的特征值全是零,而秩分別為0,1,2.可見僅由特征值全是零是不能確定

矩陣的秩的.

3.【單項選擇題】下列矩陣中，不能相似對角化的矩陣是

■300]

-2-10.

A.L141J

「3101

B.1_1053

32_

F10-1]

—303

C.50-5|

「212]

0-13.

D.002

正確答案：D

參考解析：（A）是下三角矩陣，主對角線元素就是矩陣的特征值，因而矩陣有三

個不同的特征值，所以矩陣必可以相似對角化.

（B）是實對稱矩陣，實對稱矩陣必可以相似對角化.

（c）是秩為1的矩陣，由|人E-A|=0,知矩陣的特征值是-4,0,0.對于二重根

入=0,由秩

r（0E—A）=r（A）=1

知齊次方程組（OE—A）x=0的基礎解系有3-1=2個線性無關的解向量，即A=0有兩個

線性無關的特征向狼，從而矩陣必可以相似對角化.

（D）是上三角矩陣，主對角線上的元素元一1,2就是矩陣的特征值，對于二重特征值入=

2,由秩

m-1-21

r（2E-A）=r03-3=2

[o00J

知齊次方程組（2E—A）X=0只有3—2=1個線性無關的解,亦即A=2只有一個線性無關

的特征向也.故矩陣必不能相似對角化,所以應當選（D）.

4.【單項選擇題】設A為n階可逆矩陣，入為A的特征值，則A*的一個特征值

為（）.

IA尸

A.7~

B.A

C.X|A

D.入A-

正確答案：B

參考解析：

因為.可逆?所以AH0.令AXAX.WAAXV.從而AUX=

號k?選（B）.

5.【單項選擇題】設A為三階矩陣，方程組AX=O的基礎解系為a]，a2,又入

=-2為A的一個特征值，其對應的特征向量為a3,下列向量中是A的特征向量

的是（）.

A.ai+a3

B.3a3-a1

C.ai+2a2+3a3

D.2ax-3a2

正確答案：D

參考解析：因為AX=O有非零解，所以r(A)<n,故0為矩陣A的特征值，a1，a2

為特征值0所對應的線性無關的特征向量，顯然特征值0為二重特征值，若

ai+a?為屬于特征值入o的特征向量，則有為ai+a3)=入o(a"3),注意到

A(&1+&3)=Oai—2a，3=-2&3>故-2a?=入o(ai+a?)或入他+(入o+2)23=0,因為a?線性

無關,所以有入o=O,入o+2=O,矛盾，故ai+a3不是特征向量，同理可證，3a3-ai

及包+2a2+3a3也不是特征向量，顯然2a「3a2為特征值0對應的特征向量。D正

確。

6.【單項選擇題】設a,B為四維非零列向量，且令人=&81則A的

線性無關特征向量個數(shù)為().

A.1

B.2

C.3

D.4

正確答案：C

參考解析：因為a,B為非零向量，所以A=aB'W(),則r(A)21,又因為

r(A)=r(a0T)<r(a)=1,所以r(A)=l,令AX=入X,由A?X=aB，*a0T=0=X2X

地人=0,因為r(0E-A)=r(A)=l,所以A的線性無關的特征向量個數(shù)為3,C正

確。

7.【單項選擇題】設A,B都是n階矩陣，且存在可逆矩陣P,使得AP=B,則

().

A.A,B合同

B.A,B相似

C.方程組AX=0與BX=0同解

D.r(A)=r(B)

正確答案：D

參考解析：因為P可逆，所以r(A)=r(B),選(D).

8.【單項選擇題】設A,B為n階實對稱矩陣，則A與B合同的充分必要條件

是().

A.r(A)-r(B)

B.1A|=|B

C.A?B

D.A,B與同一個實對稱矩陣合同

正確答案：D

參考解析：因為A,B與同一個實對稱矩陣合同，則A,B合同.反之，若A,B

合同，則A,B的正、負慣性指數(shù)相同，從而A,B與

合同，選(D).

9.【單項選擇題】

/2—10/I00、

設A=-120.3=001,則A與8().

一5/'0

'0010，

A.相似且合同

B.相似不合同

C.合同不相似

D.不合同也不相似

正確答案：C

參考解析：由I入E-A|=0得A的特征值為1,3,-5,由|人E-B|=0得B的特征值

為1,1,T,所以A與B合同但不相似，選(C).

10.【單項選擇題】設A,B為三階矩陣，且特征值均為-2,1,1,以下命題:

⑴A?B；⑵A,B合同；(3)A,B等價；(4)|A|=|B|中正確的命題個數(shù)為

l>

1個

A.2個

氏

C3個

4個

D.

正確答案：B

參考解析：因為A,B的特征值為-2,1,1,所以|A|=|B|-2,又因為

r(A)=r(B)=3,所以A,B等價,但A,B不一定相似或合同,選(B).

11.【單項選擇題】設三階矩陣A的特征值為-1,1,2,其對應的特征向量為

a1,a2,a3,令p=(3ci2,-a3,2a),則F^AP等于().

I—100

010

A.o。2

00

010

B.'00—1

/I00

020

C.'o0-1

/300

0-20

D.'00-2/

正確答案：C

參考解析：

顯然3a2,一%,2處也是特征值12—1的特征向量，所以1廠1"=2，選(C),

—1

12.【單項選擇題】設A是n階矩陣，下列命題錯誤的是().

A.若A2=E,則-1一定是矩陣A的特征值

B.若r(E+A)〈n,則-1一定是矩陣A的特征值

C.若矩陣A的各行元素之和為-1,則-1一定是矩陣A的特征值

D.若A是正交矩陣，且A的特征值之積小于零，則一定是A的特征值

正確答案：A

參考解析：若r(E+A)<n,則|E+A|=0,于是為A的特征值，若A的每行元素

之和為-1,則A(l,1,1,1...1尸，根據特征值特征向量的定義，-1

為A的特征值,若A是正交矩陣，則A'A=E,令AX=、X(其中XW0),則X’A工人

XT,XTATAX=x2XTX,即(入2—1)X，X=O,而X,X>0,故入2=1,再由特征值之積為

負得T為A的特征值，A正確。

13.【單項選擇題】設A為n階矩陣，下列結論正確的是().

A.矩陣A的秩與矩陣A的非零特征值的個數(shù)相等

B.若A?B,則矩陣A與矩陣B相似于同一對角陣

件嗎

C.若(A)=r〈n,則A經過有限次初等行變換可化為I勘W

D.若矩陣A可對角化，則A的秩與其非零特征值的個數(shù)相等

正確答案：D

參考解析：

0

(A)不對，例如:A=的兩個特征值都是0,但NA)=1；

00/

(B)不對?因為A?B不一定保證A.B可以對角化;

422/I0-81

(C)不對,例如：A=11-3.A經過有限次行變換化為015,經過行變換不

'o00'000

/I0O\

能化為010;

'o00,

A??

因為A可以對角化,所以存在可逆矩陣P,使得PAP=，于是r(A)=

J

r二.，故選(D).

14.【單域選擇題】

/2001210；

設A=O5-4.3=120,則A與8().

'0—45/03/

A.合同且相似

B.相似但不合同

C.合同但不相似

D.既不相似又不合同

正確答案：C

參考解析：

顯熟A.B都是實對稱矩陣，由|AE-A=0,得A的特征值為，=1A=2,-=9,

由IAE-B1=0,得B的特征值為八=1①=久=3,因為A.B慣性指數(shù)相等,但特征值

不相同，所以A,B合同但不相似，選(C).

15.【單項選擇題】下列矩陣中，不能相似對角化的是(

f1—13

-120

A.36

020

B.\503

780

f

009

ni000

000

J/

00

J:89

正確答案：C

參考解析：

「80、

009的特征值為7,0,0,因為「(0￡-4)=「(4)=2,所以久=0對應的線性無

'000'

關的特征向量只有一個，該矩陣不可相似對角化，應選(C).

16.【單項選擇題】

(111

U11

A.合同且相似

B.合同但不相似

C.不合同但相似

D.不合同且不相似

正確答案：A

參考解析：因為A,B都是實對稱矩陣，且特征值相同，所以A與B既相似又合

同，應選(A).

17.【單項選擇題】

設入=2是矩陣A的一個特征值,且|A,則,有一個特征值為().

A.1/4

B.2/4

C.3/4

D.4/4

正確答案：B

參考解析：

二AI3(A，?由已知A有特征值12.故A有特征值1,(人)有特征

13

值4,故所求特征值為4.

18.【單項選擇題】設4階實對稱矩陣A的特征值為0,1,2,3,則，r(A)=

().

A.1

B.2

C.3

D.4

正確答案：C

參考解析：因實對稱矩陣必相似于由特征值組成的對角矩陣，即diag(0,1,

2,3),且有相同的秩，即r(A)=r(diag(0,1,2,3))=3.

19.【單項選擇題】

|200][210]

設C=di&g(1?2.23A=021.B=020.R^().

Io01J1.0011

A.A與c相似，B與c不相似

B.A與c相似，B與c相似

C.A與c不相似，B與c相似

D.A與c不相似，B與c不相似

正確答案：A

參考解析：判別A,B與對角矩陣c是否相似，利用矩陣相似于對角矩陣的充分

條件或充要條件.

[000,

由|比一4|=0.得4的特征值為2.2.1.又2￡-4=()0-1，知r(2E-A)=

[00

1,即(2E-A)x=0.特征值2對應兩個線性無關的特征向量，所以.4?C.

由IAE-8=0,得B的特征值為2.2,1.又

[0一10]

2E-B=1000,

I。01；

其秩為2.即(2E8)x=0,特征值2只對應一個線性無關的特征向用.所以8不能相似于C

20.【單項選擇題】設A為3階方陣，A的三個特征值為1,1,2,a1，a2,

a3分別為對應的三個特征向量，則().

A.a1,a2,a3必為2E-A的特征向量

B.ai+a3必為2E-A的特征向量

C.a-a2必為2E-A的特征向量

D.a1,a2必為2E-A的特征向量，a3不是2E-A的特征向量

正確答案：A

參考解析：A為抽象矩陣，用定義驗證.

由已知?有?=a>tAa=a；>,Aa=2a,故

(2E-A)a,=2al.kti=2a,—a=lai?

(2EA)a=2a:—.4a；=2a—=la2>

(2E—A)a,=2a-.Ur3=2a—2at=0如，

所以ai，a..a,是2E-A的特征向量.

同理可驗證B.C,D不正確.

21.【單項選擇題】設A,B是n階可逆矩陣，且M?B\則下列結果①AB?

BA②A?B③A??B?④A—B，

中正確的個數(shù)為().

A.1

B.2

C.3

D.4

正確答案：D

參考解析：利用矩陣相似的定義.由BA=EBA=A\BA=AT(AB)A,知AB?BA.

由.4知,存在可逆矩陣P,使得P.4PB二兩邊同時求道.德

PAP-B,

故▲?8.4式兩邊同時取轉置.用PA(P=Br.apPArip)'8?故

乂由PU1?PU*PAPH.可知A-H.

紙上所述.【)止?

22.【填空題】

門一2—21n28]

已知矩陣4=1aa和0=23aI等價,則

a4al122a]

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案:

參考解析：W-2

【解析】

A—B<=>r(A)=r(B)

11-2-2|1128I

Ai=1aa=(a—4)(a+2)?li\=23a\=2a—8

a4al1122a\

、3u1時,r(A)=r(B)-2,當aWI且a父一2時,r(A)—r(B)=3,僅a=2時,

r(A)=2.r(B)=3,故a壬一2時矩陣A和B等價.

23.【填空題】

roo1I「1

已知矩陣4=a11和B=1相似,則

1001

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：1

【解析】

因A?A,且人=1是A的二重特征值，故人=1必有2個線性無關的特征向量.

亦即(E-A)x=O有2個線性無關的解，從而n-r(E-A)=3-r(E-A)=2,即r(E-

A)=1.

「10—inri0-I-]

又E-A=011—a00，得a=1.

L—101000

24.【填空題】

「74—1I

已知a=(1?1,-是矩陣A=一1的特征向量,則

JC

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：4

【解析】

設A，a=Xa即

r74-r■1■7+4+1=A

47一11=AfilJ4+7+1=A

J—4-4-_L--1,4-4—x=—

25.【填空題】

設A是三階矩陣?其三個特征值為-萬,萬?1,則|4A*+3E|=

請查看答案解析后對本題進行判斷:答對了答錯了

正確答案：

參考解析：

26.【填空題】

設A為”階可逆矩陣?若A有特征值;I,則W產-3A.+2E有特征值

請查看答案解析后對本題進行判斷:答對了答錯了

正確答案：

參考解析：

因為A可逆,所以KWO，A.對應的特征值為于是(A'產+3〃+2E對應的

Ao

特征值為（一」＞+3f+2.

27.【填空套】

/I00/600

設4~8.其中4=0x3,B=2y0，則工=

'042'00-V

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析:

tr(A)=tr(B).j3+z=5+y,

因為A?8,所以即解得了=3,y=1.

IA|=|BI，I2JT-12=-6y,

28.【填空題】設a,B為三維非零列向量，（a,B）=3,A=aB）則A的特

征值為.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：因為A2=3A,令AX=AX,因為A2X=VX,所有有（入2-3為X=0,而X

W0,故A的特征值為0或者3,因為人i+入2+入3=tr（A）=（a,B）,所以入k3,

入2=入3=0o

29.【填空題】

/I\/012\

設a=1l是矩陣A=10的特征向址,則a=.b=.

'2*、2afJ

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

1012、/1\/115=A,

由Aa=Aa得10a1=A1,即12a+1=2，

參考解析：2aW、2/

.2+a+2/)=22.

解得人=5,a=2,b=3.

30.【填空題】設A,B都是三階矩陣，A相似于B,且|E-A|=|E-2A|=|E-

3Al=0,則加＜2￡|=

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析:因為|E-A|=|E-2A|=|E-3Al=0,所以A的三個特征值為1/3,1/2,

1,又A相似于B,所以B的特征值為1/3,1/2,1,從而B-的特征值為1,2,

3,則B%2E的特征值為3,4,5,所以出、2￡|=60

31.【填空題】

aiiai2a131

設A=〃2I《2a23,IA|>0且A'的特征值為-1.-2.2,則

IJ

a3ia32a33

a11+u22+a33=________?

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：

因為|A'1=1A「=4,且IA|>0,所以IA1=2,又AT=|AIE=2E,所以

A.,從而A?的特征值為一］,一1.1,根據逆矩陣之間特征值的倒數(shù)關系.得A的

特征值為-2,-1.1,于是。］］+<122+。33=-2—1+1=-2.

32.【填空題】

設三階矩陣A的特征值為儲=-1①=一［①=1,其對應的特征向北為明,令

WW

P=(2a3，-34,-a2)』i］pT(A1+2E)P=______.

請查看答案解析后如■本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：P-1(A-1+2E)P=P-VP+2E,

而2一"7。=-1，所以「T(AT+2E)P=1.

'—2/'O'

33.【填空題】

設儲人丸是三階矩陣A的三個不同特征值?！?,明分別是屬于特征值儲人,L的特

征向量,若W,A(%+a，),A“a1+/+aJ線性無關，則儲“2心滿足

請查看答案解析后對※題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：

令z：ai+?r2A(%+a?)+z3A+a：+*)=0?即

(jr1-|-AijroH-Aixs)ai+(A?x2+/1)。：a=0.

則有Xt+有刀2+入狂3=0fA2X2+2任3=0.A3X3=0.

1A.Ay

因為NI2,13只能全為零,所以0A2A：K0=>A2A3K0.

|o0

34.【填空題】

i2—31\

設4=1-2a—3有三個線性無關的特征向量,則a=.

'001，

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：

A-23—1

由“E-A|=-1A+23—a=。+1)。-1)2=0得兀=-1丸=八=L

00A-1

因為A有三個線性無關的特征向麻,所以r(E—A)=1,解得a=4.

35.【填空題】設三階矩陣A的特征值為2,3,入，若行列式2Al=-48,則人

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：A=6入，由12Al=8|A|=-48得|A|=-6,解得人=T.

I°-2-2、

矩陣22—2的非零特征值是.

36.【填空題】222

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：4

【解析】

A22

由|久E-A|=-2A-22=入2(2一4)=0得

22A-2

A的特征值為人尸入2=0,入3=4,非零特征值為4.

37.【填空題】

/0—2a\

已知A=135有三個線性無關的特征向昆,則a=

'002'

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正確答案：

參考解析：TO

【解析】

2-a

由|-A|=-1A-3-5=。-1)。一2y=0得

00A—2

入1=1,入2=入3=2,

因為A可對角化，所以r(2E-A)=l,

I22-a/I15

由2E—A——1—1—5-*100—a—10得a=-10.

'000'000

38.【填空題】設n階方陣B=AA*,則B的特征值為

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：IA

由AE-A4*=AE=(A-|.4|)￡；=

知B的特征值為入=4.

39.【填空題】設方陣A滿足A2+2A+E=0,則A有特征值

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案:

參考解析：-1

【解析】

設入是A的任一個特征值.a工0為對應的H征向最.喇S汕.旅

(/V+2A+E)a=Aa4-24a+a=Aa+2Aa+a=(V+2久+1)a=

由a#0知X+23+l=0.故久=-1.

40.【填空題】

(200。。

設A00JH0相似?則。=?b?

0u

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析:a=0,b=-3

【解析】

由A?3?知在一A|AE-8|.即

A-200A—200

0A-10A-3-4

0一1A-a02人一b

(A—2)(1—aA—1)=(A—2)「人”一(3+6)A+364-81t

{n3+h?

比較久的同次需系數(shù).得：i°解得。=0"=-3.

1—1=3〃+8.

41.【填空題】設3階矩陣A的特征值為0,1,2,B=A-2A2,則r(B)=

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：1

【解析】

由已知，A有3個不同特征值，故A必相似于對角矩陣，即存在可逆矩陣P,使

得

0o0

00

0I)2

由于pm*p1(APP

IPip)J

[000000

?0109I)0-10

00000

l

故BjC相似.從而r(B＞二r(C)

42.【解答題】

101-20*

已知矩陣4=01-1和8=0a3等價?求”的值并求一個滿足要求

101001

的可逆矩陣P和Q使PAQ=B.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

參考解析：矩陣4,8等價—廠(4)=r(5),

因A=0且「(4)=2,故B=0,即a=0且a=0時r(B)=2.

01

0

0J

rio00

故p=P?P'Pp,=oi10

|_00

10-ij

■1001

=[—o141o1],

pi—3-1

Q=0Q?Q?Q}=o11

|_o1

0

注意,矩陣PW不唯一.

43.【解答題】

1-11|

已知a=(1.-2,3)T是矩陣A=2?一2的一個特征向此

-3b5

⑴求a,b的值.

⑵判斷A能否相似對角化?如能則求可逆矩陣P使PTAP=A,若不能則講清理由.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

參考解析：(1)

設

1+2+3=

有2-2a—6=-2A

3—2。十15=3A

解出A=6.a=4J)=—3.

(2)由特征多項式

A111

AE-A|=-2A-42'=（A-2）2（A-6）

I33A-5|

矩陣A的特征值為儲=A2=2,A3=6.

對人=2,由（2E-A）x=0.

得基礎解系囚=(-1,1,0兒曲=(1.0.1)T,

由于%=2有2個線性無關的特征向量.故A?A.

r-111-ir2-I

令P=ma5]=10-2,則有P：AP=2i

1o=13」[6」

44.【解答題】

(I)求A的全部特征值和特征向量；

(II)求可逆矩陣P,使得P"AP為對角矩陣；

an)求正交矩陣Q,使『AQ為對角矩陣.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

參考解析：(I)由

M和A的特fiE值入?=5A—Ai=I.

對&=5.第方程組(5￡-.A)x=o.

M得Q=(-1.L0)'?%=(-1.0.1)91$Aa-**>ak?，觸

七二兀二T勺應的全部特征向量.

(ID

令。=(力?7：?力)?則Q為正交矩陣?使用

QW=A=Q-10.

45.【解答題】設A是3階矩陣，ana2,a3是線性無關的3維列向量，且A

a1=a1+a2+a3,Aa2=2a2+a3,Aa3=2a2+3a3.

(I)求A的全部特征值；

(ID求可逆矩陣P及A,使得P、P=A,并計算可-2E|.

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參考解析：(I)由已知，有

11Q0]

A(q,5)=(q+q+&.2。2+/,2。二+3%)=((x,，的，&)[122.

113

1100]

記B=122,由《,/,小線性無關，記C=(6,電,明),則C可逆.

13)

由①式，知AC=CB.即04C=B.因此A與8有相同的特征值.由

IA-100

AE-B|=I—1A—2—2-(A—1)"(A—4)=0,

I-1-1入-3|

得B的特征值為1.1.4.即為A的全部特征值.

(II)先求B的特征向量.

對I4=1.由。.可解4幕礎解系為IJ(-l.l.O),F(-2.O.1)T|

對-4?由(4E-?x。.可，得￥砒第第為耳-(0.1.1)\

1100]

>P=<q,用.小)?則P0P=A=0I6.于是PCM'PI=A.即

CP.),4((P

則PAPA.

乂由4?A.則A—2E?A—2E.故

設實矩陣人=a11有三個線性無關的特征向■.

46.【解答題】II0I

(I)求a的值；

(II)求可逆矩陣P,使得P'P為對角矩陣.

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參考解析：(I)由

A+l0-2

IAE—A|=—aA—1—1=（A-l）2（A+2）=0.

|-10A|

得A的特征值兀=A2=l,Aa=-2.

因A有三個線性無關的特征向吊，所以對應二重特征值I.A應有兩個線性無關的特征

向量,故r（E—A）=1.而

[20-21[10-1]

E-A=-00-1->00a+1.

I—■]0|I1000

故a+1=0,即a=-1.

（II）_______________________________________________________

Ir-1I

知位于筋=—2,由（-2E-A）x=0?得a=

[01—2]f1

令P=(Qi.工,%)=10—.則PAP=1

|o11II-2I

47.【解答題】設3階實對稱矩陣A的特征值為人產入2=1,入3=T,a1=(L

1,1)\a2=(2,2,1〉是人k入2=1對應的特征向量.

(1)求人的屬于入2=-1的特征向量；

(II)求矩陣A.

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T

參考解析：(I)設入3=-1對應的特征向量為a3=(x1,X2,X3),由實對稱矩陣不

同特征值對應的特征向量必正交，可知

，_T________A

解得a,=(一1?1?0)丁.故A的屬于A=-1的特征向后為垢、*#0).

(II)

[I2

令?(a.a.a)121.則?！盇diag(1.1?一1).故

10

p2—111100Ijl2-ir'[0]0]

A=PAP*=121010I2I-100.

[110J[00—1]1110]|O01J

48.【解答題】(I)設A是n階實對稱矩陣，且A2=A,r(A)=r(r〈n),計算|3E-

AI;

(H)設A是n階矩陣，且A?=A,r(A)=r(r<n),計算|3E-A|.

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參考解析：(I)由A是實對稱矩陣，知A必相似于對角矩陣A,由A2=A知，A的

特征值的取值是0與1.

又r(A)=r.故r(A)=八即有

fl11

1卜個

A?A=1

0

IOJ

從而A的特征值;I=1的重數(shù)為r，=o的重數(shù)為“一八故3E—A的特征值'=2的重數(shù)

為人人=3的重數(shù)為“一r.所以I3E-A1=2'?3丁

(II)由A2=A,知A的特征值是0與1,但沒有A是實對稱矩陣的條件，所以要檢

驗A是否相似于對角矩陣.

由A—A=A(EA)=0,知r(A)+r(E—A)《又

r(A)r(E—A)2r(A+E—A)=r(￡)=n,

故r(A)-Fr(E-A)=".即有r(E-A)=n-r(A)=n-r.

對于1=1,(￡-4)*=0.而八￡-4)=〃一小故A有r個線性無關的特征向量內,

曲，”??%;

對于入=0,(0EA)x=0,即Ax=0.而r(A)=r,故A有"-r個線性無關的特征向

盤.ar.:.…a，所以P=.a,時).使得

PAP=1''=A.

可得3E-A?3E-A，所以I3E-A3E-A

r2040,)6000

06000600

設A=與A相似.

40a000b0

49.【解答題】一2，000-2

(I)求a,b的值；

(II)求一個正交矩陣P,使得P-AP=A.

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參考解析：(I)

由A?A?知A|?A|?ir(A)=tr(A),即

(ID

由A、A?知A的特征值，-I一/-2.

由(6EA)x=0.解