考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班概率統(tǒng)計(jì)講義

考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班概率統(tǒng)計(jì)講義

第一章隨機(jī)事件與概率

一、隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件

(一)基本概念

1、隨機(jī)試驗(yàn)一具備如下三個(gè)條件的試驗(yàn)：

(1)相同條件下可重復(fù)。(2)試驗(yàn)的可能結(jié)果是多樣的且是確定的。

(3)某次試驗(yàn)之前不確定具體發(fā)生的結(jié)果，這樣的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)，記為E。

2、樣本空間一隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能的基本結(jié)果所組成的集合，稱為隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間。

3、隨機(jī)事件一樣本空間的子集稱為隨機(jī)事件。

(-)事件的運(yùn)算

1、事件的積一事件A與事件8同時(shí)發(fā)生的事件，稱為事件A,8的積，記為A3。

2、事件的和一事件A或者事件8發(fā)生，稱為事件A,8的和事件，記為A+B。

3、事件的差一事件A發(fā)生而事件8不發(fā)生，稱事件的差事件，記為

(三)事件的關(guān)系

1、包含一若事件A發(fā)生則事件8一定發(fā)生，稱A包含于3,記為Au3。

若Au8且3uA,稱兩事件相等，記

2、互斥(不相容)事件一若A與8不能同時(shí)發(fā)生，即稱事件A,B不相容或互斥。

3、對立事件一若且A+B=/\稱事件為對立事件。

[j4W](1)A=(A-3)+A3,且A—B與A3互斥。

(2)A+B=(A-8)+(B—A)+A3,且4一氏3-448兩兩互斥。

(四)事件運(yùn)算的性質(zhì)

1、(1)ABuA(或3)uA+B；(2)AB^BA,A+B=B+A；

2、(1)AuA=A,AcA=A；

(2)Ac(BuC)=(AcB)u(AcC),Au(BcC)=(AuB)c(AuC)；

3、(1)A=(A-B)uA；(2)(A-B)cA=A-8；

(3)A+B=(A--A)o

4、(1)A+A—/\；(2)AoA—(I)o

二、概率的定義與性質(zhì)

(一)概率的定義一設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為人，滿足如下條件的隨機(jī)事件的函數(shù)P(?)稱為所對應(yīng)事件的

概率:

1、對事件A,有P(A)NO(非負(fù)性)。

2、P(/\)=l(歸一性)。

0C____00

3、設(shè)A，A2，L,A”,L為不相容的隨機(jī)事件，則有P(UA“)=Z尸(A,)(可列可加性)。

p,,=i

(二)概率的基本性質(zhì)

1、P(。)=0。

2、設(shè)4,4,L,A“為互不相容的有限個(gè)隨機(jī)事件列，則。(1/4,)=￡尸(4)。

■y

3、P(4)=l-P⑷。

4、(減法公式)P(A—B)=P(A)-尸(A3)。

(三)概率基本公式

1、加法公式

(1)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)?

(2)P(A+8+C)=P(A)+P(B)+尸(C)—P(AB)-尸(AC)-P(BC)+P(ABC)。

2、條件概率公式：設(shè)A,8是兩個(gè)事件，且P(A)〉O,則尸(5|4)=以皿。

P(A)

3、乘法公式

(1)設(shè)尸⑷>0,則尸(AB)=P(A)P(B|A).

((

2)PA4LA")=P(A1)P(&IA)P(41A,A2)LP(A?|A,A2LA?_,)?

三、事件的獨(dú)立性

1、兩個(gè)事件的獨(dú)立一設(shè)A,8是兩個(gè)事件，若尸(AB)=P(A)P(B),稱事件A,3相互獨(dú)立。

*P(AB)=P(A)P(B);

*P(AC)=P(A)P(C);

2、三個(gè)事件的獨(dú)立一設(shè)A,8,C是三個(gè)事件，若.，稱事件48,C相互獨(dú)立.

』(BC)=P(B)P(C);

一(ABC)=P(A)P(B)P(C),

【注解】

(1)A,8相互獨(dú)立的充分必要條件是A,后、彳,3、A方任何一對相互獨(dú)立。

(2)設(shè)P(A)=0或P(A)=1,則A與任何事件5獨(dú)立.

2

(3)設(shè)P(A)>0,P(8)>0,若A,B獨(dú)立，則不互斥；若A,8互斥，則不獨(dú)立.

四、全概率公式與Bayes公式

1、完備事件組一設(shè)事件組4，4，LA“滿足：⑴A，4=0(i,.)=l,2,L,〃,iWj)；

(2)UA,-A,則稱事件組A，4,L,A“為一個(gè)完備事件組。

i=l

2、全概率公式：設(shè)A1,4,L,A“是一個(gè)完備事件組，且P(A)〉0(i=l,2,L,〃)，B為事件，則

n

P(B)=￡P(guān)(4)P⑻4)。

i=l

3、貝葉斯公式：設(shè)A1,A2，L,A,為一個(gè)完備事件組，且P(A)>0(i=l,2,L,〃)，8為任一隨機(jī)事件，

P(B)〉O,則P(A\B)=「(A)P(5|A)。

iP(B)

例題選講

一、填空題

1、設(shè)尸(A)=0.4,尸(Au3)=0.7,

(1)若A,8不相容，則P(B)=；(2)若A,8相互獨(dú)立，則P(B)=。

2、設(shè)尸(4)=。(8)=2(0=1，2(43)=/?(4。)=;>(50=］，則事件A,8,C全不發(fā)生的概率為

46

O

19

3、設(shè)兩兩相互獨(dú)立的事件A,3,C滿足：A3C=。,P(A)=尸(3)=P(C)〈一，且有尸(A+8+C)=—,

216

則P(A)=。

4、設(shè)事件AB滿足尸(AB)=尸(N后)，且P(A)=p,則P(B)=。

5、設(shè)為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)事件，且都不發(fā)生的概率為上，A發(fā)生8不發(fā)生的概率與A不發(fā)生8

9

發(fā)生的概率相等，則尸(A)=。

二、選擇題：

I、設(shè)A,8是兩個(gè)隨機(jī)事件，且0〈尸(A)<l,P(B)〉0,P(8|A)=P(B|Z),則［］

(A)「(A|B)=P(A\B)；(B)P(A|8)豐P(k\B)；

3

(C)P(AB)=P(A)P(3)；(Q)P(A3)豐產(chǎn)(A)P(B)。

2、設(shè)事件AB滿足O<P(A)<1,O<P(B)<1,且P(A|3)+P(彳|歷=1,則[]

(A)事件A,3對立；(8)事件A,3相互獨(dú)立；

(C)事件A,8不相互獨(dú)立；(。)事件48不相容。

三、解答題

1、一批產(chǎn)品共有10個(gè)正品和2個(gè)次品，任意抽取2次，每次抽取一個(gè)，抽取后不放回，求第二次抽取的是

次品的的概率。

2、設(shè)工廠A與工廠8的次品率分別為1%和2%,現(xiàn)從由A和8生產(chǎn)的產(chǎn)品分別占60%和40%的一批產(chǎn)品

中隨機(jī)抽取一件，發(fā)現(xiàn)是次品，求該次品是A生產(chǎn)的概率。

19

3、設(shè)事件A在每次試驗(yàn)中的概率為〃，三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A至少出現(xiàn)一次的概率為求事件A

27

發(fā)生的概率

4、甲乙兩人獨(dú)立對同一目標(biāo)射擊一次，命中率分別為50%和60%,已知目標(biāo)被命中，求是甲命中的概率。

第二章一維隨機(jī)變量及其分布

—?、基本概念

1、隨機(jī)變量一設(shè)人為隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間，J為定義在A上的函數(shù)，對任意的86，總存在唯一

確定的久⑷與之對應(yīng)，稱自為隨機(jī)變量，若J的可能取值為有限個(gè)或可列個(gè)，稱J為離散型隨機(jī)變量，若4在

某可區(qū)間上連續(xù)取值，稱自為連續(xù)型隨機(jī)變量。

2、分布函數(shù)一設(shè)J為一個(gè)隨機(jī)變量，稱函數(shù)尸。)=夕46％}(—8<%<+8)為隨機(jī)變量4的分布函數(shù)。

【注解1】分布函數(shù)的四個(gè)特征為

(1)0<FU)<1o(2)尸(x)單調(diào)不減。

(3)F(乃右連續(xù)。(4)F(-oo)=0,F(+oo)=1(,

【注解2】分布函數(shù)的性質(zhì)

(1)P{X<a]-F(a-0)o(2)P{X=&}=尸3)—尸。一0)。

(3)P[a<x<b}=F(b)-F(a)?(4)P[a<X<b}=F(b-0)-F6116161.

3、離散型隨機(jī)變量的分布律一稱P{X=毛}=p,(lWiW〃)稱為隨機(jī)變量X的分布律。

【注解】⑴p,>0(l<z<n)o⑵0+小+L+外=1。

4

4、連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)一設(shè)X的分布函數(shù)為F(x),若存在非負(fù)可積函數(shù)/(x),使得

X

F(x)=￡f{t}dt,稱/(x)為X的密度函數(shù)。

+00

【注解】(1)/(x)>0o(2)ff{x)dx=1?

J—00

二、常見隨機(jī)變量及其分布

(一)離散型

kkk

1、二項(xiàng)分布一若隨機(jī)變量X的分布律為P{X=k}=C?p(\-py-^<k<n),稱隨機(jī)變量X服從二

項(xiàng)分布，記為X~p)。

A

2、Poisson分布一若隨機(jī)變量X的分布律為P{X=眉=一e-(k=0,l,2,L),稱隨機(jī)變量X服從泊松分

k\

布，記為X~%(4)。

3、幾何分布一若隨機(jī)變量X的分布律為P{X=k}=p(l-p)"T(Z=1,2,L),稱隨機(jī)變量X服從幾何分

布，記為X~G(p)。

(二)連續(xù)型

*1__/—,

——,a<x<b

1、均勻分布一若隨機(jī)變量J的密度函數(shù)為=,稱隨機(jī)變量J服從均勻分布，記為

愴其他

*0,x<0

Ax—a

4~。3,份，其分布函數(shù)為尸。)=：

\b-a

1(X-〃)2

2、正態(tài)分布_若隨機(jī)變量J的密度函數(shù)為/(%)=——<x<+8),稱隨機(jī)變量。服從正態(tài)

勿7

分布，記為彳~N(〃,b2),特別地，若〃=O,cr=l,稱隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為J~N(0』)，其密度

1

為(p(x)=e(-co<x<+oo),其分布函數(shù)為

421

①(x)=J(p(t)dto

Me一於x>

0

3、指數(shù)分布一若隨機(jī)變量。的密度為/(%)=.(2>0),稱隨機(jī)變量J服從指數(shù)分布，記為

,0,x<0

5

*0,尤<0

其分布函數(shù)為尸(x)=.,。

⑴①(0)=工①(-。)=1-①(。)。

2

,1

(2)若4則尸{。4〃}=口自>〃}=一。

2

(3)若J~N(〃,cr2),則^L~N(0,l)。

a

(4)若J~N(〃,CT2),則P{a<g〈b}=/(份—E(a)=①(^1^)一①(^^)。

(T(7

例題選講

一、選擇題

1、設(shè)X”X2的密度為工。),力。)，分布函數(shù)為K(x)，尸2(幻，下列結(jié)論正確的是[]

(A)F|(X)+F2(X)為某隨機(jī)變量的分布函數(shù)；

(B)/(%)+f2(x)為某隨機(jī)變量的密度函數(shù)；

(C)F,(x)B(x)為某隨機(jī)變量的分布函數(shù)；

(。)力(x)人(x)為某隨機(jī)變量的密度函數(shù)。

2、設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)/(幻為偶函數(shù)，其分布函數(shù)為F(x),則[]

(A)F(x)為偶函數(shù)：(B)F(-a)=2F(a)-l；

a1a

(C)F(-a)=l-j(￡))F(-<z)=--jf(x)(bc(.

3、設(shè)X~N(〃,42),Y~N(〃,52),令p=P{X<〃-4},夕=尸]丫2〃+5},貝IJ[

(A)對任意實(shí)數(shù)〃都有p=q；(B)對任意實(shí)數(shù)〃都有p<q；

(。對個(gè)別〃，才有p=g；(。)對任意實(shí)數(shù)〃，都有〃>q。

4、設(shè)X~N(〃Q2),則隨CT的增大，概率尸]|X—〃|<b}[J

(A)單調(diào)增大；(3)單調(diào)減少;'(0保持不變；(。)增減不確定。

二、填空題

1、設(shè)乂~陽〃02),方程:/+4)+乂=0無實(shí)根的概率為與則〃=

2

6

2、設(shè)X~BQ,p),Y~8(3,p),若P{XN1}=圾,則P[Y>1}=。

9

三、解答題

1、有3個(gè)盒子，第1個(gè)盒子有4個(gè)紅球1個(gè)黑球，第2個(gè)盒子有3個(gè)紅球2個(gè)黑球，第3個(gè)盒子有2個(gè)紅

球3個(gè)黑球，若任取一個(gè)盒子，從中任取3個(gè)求，以X表示紅球個(gè)數(shù)。

(1)寫處X的分布律：(2)求紅球個(gè)數(shù)不少于2個(gè)的概率。

?0,x<-1

2、設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為尸。)=；,求X的分布律。

10.7,1<x<2

|l,x>2

3、設(shè)X的分布函數(shù)為尸(x)=：8,04x<l,

：l-Ae《T),xzi

(1)求A,B；(2)求密度函數(shù)f(x)；(3)求P{X>1}。

3

4、設(shè)X~U(0,2),求隨機(jī)變量y=x2的概率密度。

5、設(shè)X~N(O,I),且y=x2,求隨機(jī)變量y的概率密度。

第三章二維隨機(jī)變量及其分布

一、基本概念

1、聯(lián)合分布函數(shù)一設(shè)(x,y)為二維隨機(jī)變量，稱/(九,y)=P{x?尤,y?y}為(x,y)的聯(lián)合分布函數(shù)。

2、二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律一設(shè)(x,y)為二維離散型隨機(jī)變量，稱

P{X=項(xiàng),丫=X}=p/=l,2,L,m,j=L2,L,〃)

為(x,y)的聯(lián)合分布律，稱

nm

P{X—Xj}—工-Pi.(z-1,2,L,〃z),P{Y—yj}=gpV1-p.j{j—1,2,L)〃)

分別為隨機(jī)變量x,y的邊際分布律。

3、連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)一設(shè)(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，若存在/(x,y)NO,使得

xy

尸(x,y)=P{Xf"吁八〃,v)du,稱/(x,y)為隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)，稱

J-QOJ-X

-KO-KO

人(無)=ff(x,y)dy,fY(y)^\f(x,y)dx

J-XJ-00

7

分別為隨機(jī)變量x,y的邊際密度函數(shù)。

【注解】聯(lián)合分布函數(shù)的特征有

(1)0<F(x,y)<U(2)F(x,y)關(guān)于為單調(diào)不減函數(shù)。

(3)尸(x,y)關(guān)于x或者y都是右連續(xù)。

(4)F(-oo,-oo)=0,F(-oo,+oo)=0,F(+oo,-oo)=0,F(+oo,+oo)=1,,

二、常見的二維連續(xù)型隨機(jī)變量

1、均勻分布一設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度為

:!,(x,y)e。

=，其中A為區(qū)域。的面積，稱(X,y)在區(qū)域。上服從均勻分布。

，0,(x,y)任。

2、正態(tài)分布一設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(x,y)的聯(lián)合密度為

!

f(x,y)=-------------------exp｛-------J’x-M產(chǎn)-2p―3⑶-也)+廣〃2)21｝則稱(xr)服

兀22(1-p-)5

2ag“-pcy｝a2%

從二維正態(tài)分布，記為(X,Y)?N(〃，〃，。2,。2,2)，其中。>0,。>o

121212o

【注解】若(X,y)~N(〃，〃則x~N(〃，cr2),y~N(〃,cr2).

12121122

二、隨機(jī)變量的條件分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性

(-)二維離散型隨機(jī)變量的條件分布

1、設(shè)尸］丫=為｝>0,在事件｛丫=為｝發(fā)生的情況下，事件｛X=xJ發(fā)生的條件概率為

P｛X=x/y=yj｝=J=l,2,L)；

Pj

2、設(shè)P｛X=x,｝〉0,在事件｛X=xJ發(fā)生的情況下，事件｛丫=月｝發(fā)生的條件概率為

尸｛Y=y/X=%｝="(/=L2,L)。

Pi.

(二)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的條件密度

f(x,y)

1、設(shè)人(y)〉0,則在'『=y"的條件下，X的條件概率密度為/xi“x|y)=---------。

A(y)

f(x,y)

2、設(shè)/x(x)>o,則在“x=x”的條件下，丫的條件概率密度為4x(yl尤)=^^。

fxM

8

（三）隨機(jī)變量的獨(dú)立性

1、定義一設(shè)（x,y）為二維隨機(jī)變量，若對任意的*/都有口（羽田=尸*（幻&（）0，稱隨機(jī)變

量x,y相互獨(dú)立。

2、獨(dú)立的充分必要條件

（1）離散型隨機(jī)變量一設(shè)（x,y）為二維離散型隨機(jī)變量，則x,y相互獨(dú)立的充要條件是

Py=Pi.xPj（i=1,2,L;j=1,2,Lo

（2）連續(xù)型隨機(jī)變量一設(shè)（x,y）為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，則x,y相互獨(dú)立的充要條件是

八乂），）=人（%）%（）0（可以除去有限個(gè)點(diǎn)）。

【注解】若（x,y）為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，求（x,y）的分布或數(shù)字特征時(shí)常需要使用聯(lián)合密度函數(shù)

/（x,y）,一般有如下三種情況：

（1）題中直接給出f（x,y）（若其中含參數(shù)，用歸一性求出）。

（2）x,y服從的分布已知且x,y獨(dú)立，則/（x,y）=AO）人⑶）。

（3）x的邊緣分布已知，且y的條件密度已知，則/（x,））=./x（x）/yix（y|x）。

三、隨機(jī)變量函數(shù)的分布

已知（x,y）的分布，z=（p（x,Y）,關(guān)于z的分布有以下幾種情形：

情形一：設(shè)（x,y）為離散型隨機(jī)變量，z=p（x,y）,則z為離散型隨機(jī)變量，求出其可能取值及對應(yīng)的

概率即可。

情形二：（x,y）為連續(xù)型隨機(jī)變量，z=p（x,y）,其中e為連續(xù)函數(shù)，則z為連續(xù)型隨機(jī)變量，可用分

布函數(shù)定義求z的分布。

情形三：x,y中一個(gè)為連續(xù)型隨機(jī)變量，一個(gè)為離散型隨機(jī)變量，求z=p（x,y）的分布

例題選講

一、選擇題

1、設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量x,y分別服從N（0,l）及則[]

（A）尸{X+丫40}=上；（B）P{X+Y<1}--;

22

9

(c)P{x-y〈O}=L；(D)P{X-Y<]}=-0

22

二、填空題

34

1、設(shè)X,y為兩個(gè)隨機(jī)變量，且P{X2O,hO}=—,P{X2O}=P{yNO}=—，則

77

P{max(X,y)>0}=。

三、解答題

1、袋中有10個(gè)大小相同的球，其中6個(gè)紅球4個(gè)白球，隨機(jī)抽取2個(gè)，每次抽取1個(gè)，定義如下兩個(gè)隨機(jī)

*1,第1次抽到紅*1,第2次抽到紅球

談

變量：x=.，第1次抽到白球丫=*，第2次抽到白球

yo,0

就下列兩種情況，求(x,y)的聯(lián)合分布律：

(1)每次抽取后放回；(2)每次抽取后不放回。

*A"2),x>0>0

2、設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度為/(x,y)=.'，求

W，其他

(1)常數(shù)A；(2)(X,Y)的分布函數(shù)；(3)Z=X+2Y的分布函數(shù)；

(4)P{X+2Y<\}RP{X<Y].

3、設(shè)隨機(jī)變量X~E(/l),求隨機(jī)變量Y=min{X,2}的分布函數(shù)。

4、設(shè)X~七(4),丫~E(%)且X,丫獨(dú)立。

(1)設(shè)2=11^*{乂,丫},求Z的密度函數(shù)。(2)Z=min{X,Y},求Z的密度函數(shù)。

第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征

一、數(shù)學(xué)期望及其性質(zhì)

(-)數(shù)學(xué)期望的定義

00

1、離散型數(shù)學(xué)期望一設(shè)X的分布律為P{X=/}=H(Z=1,2,L),貝IjEX=gxkPk.

+00

2、連續(xù)型數(shù)學(xué)期望一設(shè)X的概率密度為/(x),則其數(shù)學(xué)期望為￡X=jxf(x)dxo

3、二維離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望一設(shè)離散型隨機(jī)變量(X,y)的聯(lián)合分布律為

P{X=x,,y=x}=p“a=L2,L"=1,2,L),Z=(x,y),則

io

8OO

EZ=乃)p4。

7=Tj=\

4、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望一設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(x,y)的密度為/'(x,y),z=(x,y),則

-KO-KO

EZ=J,*叭x,y)f(x,y)dy。

(三)數(shù)拿期望的性質(zhì)

1、E(C)=C。2、E(kX)=kEX。3、E(X+Y)=EX+EY.

4、E(aX+bY)=aEX+bEY.

5、若隨機(jī)變量X,y相互獨(dú)立，則E(XY)=EX-Ey。

二、方差的定義及性質(zhì)

(-)方差的定義一OX=E(X—EX)2。

(-)方差的計(jì)算公式一OX=EX2-(EX)2。

(三)方差的性質(zhì)

1、0(0=0。2、D(kX)^k2DX.

3、設(shè)隨機(jī)變量X,y相互獨(dú)立，則O(X+y)=r>X+OY,D(aX+bY)=a2DX+b2DY.

三、常見隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差

1、二項(xiàng)分布：X~B(〃，p),EX=up,DX=npq0

2、泊松分布：X?"(4),EX=OX=4。

a+h(b-a#

3、均勻分布：X~U(a,b),EX=上上，DX=-------

212

4、正態(tài)分布：X~N(^i,<T2),EX=//,DX=(y\

四、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)

(一)定義

1、協(xié)方差一Cou(x,y)=E(x—EX)(y—Ey)。

cov(x,y)

2、相關(guān)系數(shù)一0xy=若0xy=O,稱隨機(jī)變量X,y不相關(guān)。

4DX4DY

(二)協(xié)方差的計(jì)算公式：Cov(X,Y)=E(XY)-EXEY

11

（二）性質(zhì)

1、Cov(x,x)=ox。2、若x,y獨(dú)立，則Cov(x,y)=o。

3、Cov(X,y)=G?v(y,X),4、Cov(aX,hY)=abCov(X,Y)?

5、Cov(aX+bY,Z)=aCov(X,Z)+bCov(Y,Z)。

6、D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X,Y).

例題選講

一、填空題

1、設(shè)隨機(jī)變量X,y相互獨(dú)立，且ox=3,oy=2,則O（3X—2丫）=。

2、隨機(jī)變量X~E（A）,則P[X>JDX）=。

3、設(shè)x,y獨(dú)立同分布，且都服從N（O,‘），則￡|x—y|=,D\X-Y\=。

2

4、設(shè)X表示10次獨(dú)立重復(fù)射擊命中目標(biāo)的次數(shù)，每次射擊命中概率為0.4,則EX2=

12

5、設(shè)隨機(jī)變量X的密度為=則￡X=、DX=.

6、設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為4的泊松分布，且E[（X—1）（X—2）]=1,則4=o

二、解答題

^,Y<k

1、設(shè)丫~鳳1),X*=.伏=1,2),

^,Y>k

（1）求（X「X2）的聯(lián)合分布律；（2）E（Xt+X2）.

T-101/Y01/

2、設(shè)x與y的概率分布為x~1lx.y~1I?,且P{xy=0}=i,

-1

02仔22,

（1）求x,y的聯(lián)合分布律；（2）問x,y是否相互獨(dú)立？為什么？

3、設(shè)2,2],X=.,y=.，求

vLU>—lvl,U>l

（1）x,y的聯(lián)合分布律；（2）D（x+r）?

3i

4、試驗(yàn)成功的概率為，失敗的概率為，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)直到成功2次為止，以X表示所需要進(jìn)行的試

12

4-4

13

驗(yàn)次數(shù)，求X的概率分布與數(shù)學(xué)期望。

*1X?/

~COS-,0<X<71

5、設(shè)X的密度函數(shù)為/（幻=：22,對X獨(dú)立重復(fù)觀察4次，y表示觀察值大于一的次數(shù)，

歸,其他3

求后產(chǎn)。

第五章大數(shù)定律與中心極限定理

一、車比雪夫不等式

設(shè)隨機(jī)變量X的方差存在，則對任意的￡>0,有

r）vnv

P{\X-EX\>￡}<——,或者P{|X-EX|<?>1-——o

二、大數(shù)定律

1、（車比雪夫大數(shù)定律）設(shè)隨機(jī)變量X,X2，L,X〃,L相互獨(dú)立，DXj存在且DXt<M0（z=1,2,L）,則

1SLVl<￡}=1。

對任意的￡>o,有!imP{|/Xj—-ZEX

*〃曰nL

2、（獨(dú)立同分布）設(shè)*1,乂2，1_,*〃，1_獨(dú)立同分布，且EX1-=〃,DXj2（i=i,2,L）,則對任意的2>0,

二a

有!imP{|/?=1。

"n,=|

3、（貝努利大數(shù)定律）設(shè)*1,*2，1_,乂”,1_獨(dú)立同分布于參數(shù)為〃的0—1分布，則對任意的￡>0,有

JmPI^Xj-pK引=1。

n日

4、（辛欽大數(shù)定律）設(shè)X,,X2,L,X?X獨(dú)立同分布，且EXj=〃，則對任意的￡>0，有

口mP{|吃乂廠〃1<￡}=1。

nt

三、中心極限定理

1、（Levy-Lindberg中心極限定理）設(shè)隨機(jī)變量序列X,,X2,L,X?,L獨(dú)立同分布，且

EXj=〃,OX,=cP（i=1,2,L），則對任意實(shí)數(shù)x，有

n

limP{EX十一"〃<x}=1xe&t。

14

…4no24J

15

2、(拉普拉斯中心極限定理)設(shè)Xn~B(n,p)(0<p<1)(/2=1,2,L),則對任意實(shí)數(shù)x,有

limP{<x}=~\e'^dt。

"T8p)J2%J

例題選講

1、設(shè)隨機(jī)變量X~E(5),用車比雪夫不等式估計(jì)P|X-5|?3}4。

2、設(shè)X~N(0,42),Y~(2,52),且X,Y相互獨(dú)立，用車比雪夫不等式估計(jì)P{|X+Y-2|<4}2

第六章數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念

一、基本概念

1、總體一被研究對象某指標(biāo)的所有可能結(jié)果稱為總體。

2、簡單樣本及樣本觀察值一設(shè)總體為X,則來自總體X的〃個(gè)相互獨(dú)立且與總體X同分布的隨機(jī)變量

X1,X2，L,X”稱為簡單隨機(jī)樣本，樣本X1,X2，L,X”的觀察值X“X2，L,與稱為樣本觀察值。

3、統(tǒng)計(jì)量一樣本的無參函數(shù)稱為統(tǒng)計(jì)量。

二、樣本常用數(shù)字特征

設(shè)X1,X2，L,X”為來自總體X的簡單樣本，則

—1￡

1、樣本均值一X=—

〃,=1

1"—

2、樣本方差一G=一

及一1M

3、樣本的女階原點(diǎn)矩一4=/x；,攵=1,2,L。

4、樣本的女階中心矩一從=X(X「攵)，攵=1,2,1_。

〃T

三、常用的抽樣分布

1、%12—分布

(1)定義一設(shè)隨機(jī)變量X1,X2，L,X”相互獨(dú)立且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則稱隨機(jī)變量

2222222

z=X1+X2+L+X〃為服從自由度為力的％分布，記為力?力(〃)。

16

(2)性質(zhì)：

1)設(shè)X~%2(〃)，則EX=n,DX=2n；

2）設(shè)*~/（加）,丫~/（〃），且x,y相互獨(dú)立，則x+y~/（加+〃）。

2、/—分布

設(shè)隨機(jī)變量x~N（o,i）,y~%2（〃），且x,y相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量t=X—為服從自由度為〃的，分

~JY/n

布，記為，?？5）。

3、尸一分布

<■>cX/m

（1）定義一設(shè)隨機(jī)變量x~%一（機(jī)）,丫~7-（〃），且x,y相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量/=-----為服從自由

Yin

度為機(jī),〃的廠分布，記為F~F（m,n）?

（2）性質(zhì)

設(shè).~F（~M，則1~尸（〃,附。

四、一個(gè)正態(tài)總體下幾個(gè)常用的統(tǒng)計(jì)分布

設(shè)總體X~汽（",。2）,乂1,*2，1_,乂〃是來自正態(tài)總體*的簡單樣本，則

一bX—〃

1、X~N(〃,_),―pV(O,l)。2、------~t(n-1)。

n(j/ylns/冊

(〃一1)S，2/1、L"(X-〃)2~/(〃)。

1"(X-X)2~%(〃T)。4、

3、

2

°i=i0°/=1

5、ES2=cr2o6、又與S?獨(dú)立。

例題選講

1、設(shè)X1,X2，L,X“是來自正態(tài)總體N（〃,cr2）的簡單樣本，記

n

S；=——1X?(x,-——x)2,s；=工1(Xj----X----"

n—\/=i〃z=i

1n]〃

則服從自由度為〃-1的，分布的統(tǒng)計(jì)量是

17

(即令；⑻sap(O超⑵自。

2、設(shè)M,X2,X3,X4是來自正態(tài)總體X~N(0,4)的簡單樣本，且U=a(X1-2X2)2+b(3X3-4X4尸服

從??分布，求及自由度。

3、設(shè)總體X,Y獨(dú)立同分布且都服從正態(tài)分布N(O,9),