考研數學知識點總結

考研數學考點與題型歸類分析總結

1高數部分

1.1高數第一章《函數、極限、連續(xù)》

求極限題最常用的解題方向：

1.利用等價無窮??；

xvinx.XMircsinxx~uuu.x*ervtanxx*ln(-1**xl-c<wx--x2.(I?-1~-7

2n

2.利用洛必達法則;型和藝型直接用洛必達法則

000

O00、8°、I00型先轉化為3型或藝型，再使用洛比達法則；

000

￡

3.利用重要極限，包括近Q=1、lim(i+x)^=e、］ini(i+§)x=e；

%-0sinx%—>0x—>00

4.夾逼定理。

1.2高數第二章《導數與微分》、第三章《不定積分》、第四章《定積分》

第三章《不定積分》提醒:不定積分Jf(x)dx=F(x)+C中的積分常數C容

易被忽略，而考試時如果在答案中少寫這個C會失一分。所以可以這樣加

深印象：定積分)7(%)右的結果可以寫為F(x)+1,1指的就是那一分，把它

折彎后就是］*/(%)公=方(8)+。中的那個的漏掉了C也就漏掉了這1分。

第四章《定積分及廣義積分》解題的關鍵除了運用各種積分方法以外還

要注意定積分與不定積分的差異一一出題人在定積分題目中首先可能在積

分上下限上做文章：

對于1/(%)"%型定積分，若f(x)是奇函數則有［f(x)dx=Q；

J-aJ-a

若f(x)為偶函數則有L/(%)d%=2￡f(x)dx；

對于，/⑶公型積分，f(x)一般含三角函數，此時用的代換是常

用方法。

所以解這一部分題的思路應該是先看是否能從積分上下限中入手，對于對

稱區(qū)間上的積分要同時考慮到利用變量替換和利用性質工奇函數=0、

「偶函數=2『偶函數。在處理完積分上下限的問題后就使用第三章不定積分的

套路化方法求解。這種思路對于證明定積分等式的題目也同樣有效。

1.3高數第五章《中值定理的證明技巧》

用以下邏輯公式來作模型:假如有邏輯推導公式n、(n)nC、(nn)nF,

由這樣一組邏輯關系可以構造出若干難易程度不等的證明題，其中一個可

以是這樣的：條件給出A、B、D,求證F。

為了證明F成立可以從條件、結論兩個方向入手，我們把從條件入手證

明稱之為正方向，把從結論入手證明稱之為反方向。

正方向入手時可能遇到的問題有以下幾類:1.已知的邏輯推導公式太

多，難以從中找出有用的一個。如對于證明F成立必備邏輯公式中的n就

可能有n、An(n)、S)nM等等公式同時存在，有的邏輯公式看起來最有

可能用到，如(H)nM,因為其中涉及了題目所給的3個條件中的2個，但

這恰恰走不通；2.對于解題必須的關鍵邏輯推導關系不清楚，在該用到的

時候想不起來或者弄錯。如對于模型中的S)nC,如果不知道或弄錯則一

定無法得出結論。反方向入手證明時也會遇到同樣的問題「。

通過對這個模型的分析可以看出，對可用知識點掌握的不牢固、不熟練

和無法有效地從眾多解題思路中找出答案是我們解決不了證明題的兩大原

因。

,解證明題時其一要靈活，在一條思路走不通時必須迅速轉換思路，而

不應該再從頭開始反復地想自己的這條思路是不是哪里出了問題；另外更

重要的一點是如何從題目中盡可能多地獲取信息。

“盡可能多地從條件中獲取信息”是最明顯的一條解題思路，同時出題

老師也正是這樣安排的，但從題目的“欲證結論”中獲取信息有時也非常

有效。如在上面提到的模型中，如果做題時一開始就想到了公式（nn）nF

再倒推想到（n）nC、n就可以證明了。

如果把主要靠分析條件入手的證明題叫做“條件啟發(fā)型”的證明題，那

么主要靠“倒推結論”入手的“結論啟發(fā)型”證明題在中值定理證明問題

中有很典型的表現。其中的規(guī)律性很明顯，甚至可以以表格的形式表示出

來。下表列出了中值定理證明問題的幾種類型：

條件欲證結論可用定理

介值定理（結論部分為：存在一個￡使

關于閉區(qū)間上的連存在一個

得/⑸=左）

A續(xù)函數，常常是只￡滿足某

零值定理（結論部分為：存在一個￡使

有連續(xù)性已知個式子

得/⑸=。）

存在一個費馬定理（結論部分為：/（［）二0）

B￡滿足羅爾定理（結論部分為：存在一個￡使

條件包括函數在閉

得幾）二。）

區(qū)間上連續(xù)、在開

存在一個拉格朗日中值定理（結論部分為：存在

區(qū)間上可導

C￡滿足—個￡使得人［）=縹弊）

J3=k柯西中值定理（結論部分為：存在一個￡

使得，=蟹瑞）

另還常用構造輔助函數法,轉化為費馬

或羅爾定理。

面對這一部分的題目時，如果把欲證結論與可能用到的幾個定理的的結

論作一比較，會比從題目條件上挖掘信息更容易找到入手處一一要“牢記

定理的結論部分”。

綜上所述，針對包括中值定理證明在內的證明題的大策略應該是士Z

切可能挖掘題目的信息，不僅僅要從條件上充分考慮，也要重視題目欲證

結論的提示作用，正推和倒推相結合；同時保持清醒理智，降低出錯的可

能工不過僅僅弄明白這些離實戰(zhàn)要求還差得很遠，因為在實戰(zhàn)中證明題難

就難在答案中用到的變形轉換技巧、性質甚至定理我們當時想不到；我們

需要做的就是靠足量、高效的練習來透徹掌握定理性質及熟練運用各種變

形轉換技巧，最大的技巧就是不依賴技巧，做題的問題必須要靠做題來解

決。

1.4高數第六章《常微分方程》

歷年真題中對于一階微分方程和可降階方程至少是以小題出現的，也經

常以大題的形式出現，一般是通過函數在某點處的切線、法線、積分方程

等問題來引出；從歷年考察情況和大綱要求來看，高階部分不太可能考大

題，而且考察到的類型一般都不是很復雜。

解題套路:|“辨明類型一套用對應方法求角廠

先討論一階方程部分。這一部分結構清晰，對于各種方程的通式必須牢

記，還要能夠對易混淆的題目做出準確判斷。各種類型的方法最后的目的

都是統(tǒng)一的，就是把以各種形式出現的方程都化為f(x)(y)的形式，再積分

得到答案。

對于可分離變量型方程變形為小公生⑴打，再積分求解

/i(x)gl(y)dx+f2(x)g2(y)dy=0

齊次方程y=/(T)

做變量替換M,則V化為“+

原方程就化為關于“和%的可分離變量方程,

變形積分即可解

對于一階線性方程y=~/pM(Je'P(X)q(x))

y'+P(x)y=q(x)

全微分方程M00因為具有條件詈=簧,而且解題時直接套

用通解公式「M(x,y)dx+fVN(x,y)dy=C.

J%00J%

所以，對于一階方程的解法有規(guī)律可循，不用死記硬背步驟和最后結果

公式。

對于求解可降階的高階方程也有類似的規(guī)律。對于建)=/(%)型方程，

就是先把當作未知函數Z,則y(")=Z'原方程就化為dz=f{x}dx的

一階方程形式，積分即得；再對了叱2)、V)依次做上述處理即可求解；

/=f(x,y)叫不顯含y的二階方程，解法是通過變量替換y,=P，

y〃=P'(P為x的函數)將原方程化為一階方程；>〃=/(>,》')叫不顯含x的

二階方程，變量替換也是令V=0(但此中的p為y的函數)，則

y"=%^=p*=pp'，也可化為一階形式。

所以就像在前面解一階方程部分記“求解齊次方程就用變量替換

號"，“求解貝努利方程2(x)y=g)y"就用變量替換Z=丁i”一樣,

在這里也要記住“求解不顯含y的二階方程就用變量替換y=夕、y〃=p'"、

“求解不顯含X的二階方程就用變量替換y'=p、/=pp'"。

大綱對于高階方程部分的要求不高，只需記住相應的公式即可。其中二

階線性微分方程解的結構定理與線性代數中線性方程組解的結構定理非常

相似，可以對比記憶：

右以⑴、為(X)是齊次月程若齊次方程組0的基礎解系有()個

y'+p(x)V+q{x)y=0的兩個線性無關線性無關的解向量，則齊次方程組

的特解，則該齊次方程的通解為的通解為

0(尤)=《％(%)+c2y2(%)x=A1yl+&為+???+公一》*『

非齊次方程V+p(九)V+=/(x)非齊次方程組的一個通解等十的一

的通解為y=仇乃(%)+c2y2(%)+M*(%),個特解與其導出組齊次方程0的通

其中乂⑴是非齊次方程的一個特解，解之和

C1%(%)+c2y2(%)是對應齊次方程

V+p{x)y1+q(x)y=0的通解

若非齊次方程有兩個特解若6、々是方程組的兩個特解，則

%(%)%(%),則對應齊次月程的一個(八_)是其對應齊次方程組0的

解為y(%)=乂(%)-%(%)解

可以說本章難就難在記憶量大上。

1.5高數第七章《一元微積分的應用》

本章包括導數應用與定積分應用兩部分，其中導數應用在大題中出現較

少，而且一般不是題目的考察重點；而定積分的應用在歷年真題的大題中

經常出現，常與常微分方程結合。典型的構題方式是利用變區(qū)間上的面積、

體積引出積分方程，一般需要把積分方程中的變上限積分工/⑺改單獨分離

到方程的一端形成=s”的形式，在兩邊求導得到微分方程后套

用相關方程的對應解法求解。

對于導數應用，有以下一些小知識點：

1.利用導數判斷函數的單調性和研究極、最值。其中判斷函數增減性可用

定義法或求導判斷，判定極、最值時則須注意以下兩點：

A.極值的定義是：對于公的鄰域內異于公的任一點都有/(x)>/(x。)或

/(%)</(%),注意是>或<而不是2或W；B.極值點包括圖1、圖2

兩種可能，

所以只有在/(X)在/處可導且在天處取極值時才有f,(x)=0o

討論方程根的情況。這一部分常用定理有零點定理(結論部分為儲=0)、

羅爾定理(結論部分為幾)=0);常用到構造輔助函數法；在作題時，畫

輔助圖會起到很好的作用，尤其是對于討論方程根個數的題目，結合函

數圖象會比較容易判斷。

2.理解區(qū)分函數圖形的凸凹性和極大極小值的不同判定條件：

A.若函數/⑶在區(qū)間I上的/"(x)<0,則/(x)在I上是凸的;

若f(x)在I上的/"(九)>0,則/(x)在I上是凹的；

B.若"X)在點/處有%=0且/〃(%。)w。,則當f"(x0)<。時"X。)為極大值,

當/(%。)>0時/(%)為極小值。

其中，A是判斷函數凸凹性的充要條件，根據導數定義，/⑴是/(%)

的變化率，/"(X)是尸(X)的變化率。九)>0可以說明函數是增函數；f"(x)<0

可以說明函數“X)的變化率在區(qū)間I上是遞減的，包括以下兩種可能:

同樣，/"(%)>0也只有兩種對應圖像:

所以，當廣(%)<0時,對應或的函數圖像，是凸的;

當/〃(%)>。時,對應或的函數圖像，是凹的。

相比之下，判斷函數極大極小值的充分條件比判斷函數凸凹性的

充要條件多了“幾=0且/(%°)。?！?這從圖像上也很容易理解：滿足廣(無)<0

的圖像必是凸的，即/或，當兒)=。且/〃(%o)W。時不就一定是

y

/T\fw

一的情況嗎。

對于定積分的應用部分,首先需要對微元法熟練掌握。

關于定積分的應用，以下補充列出了定積分各種應用的公式表格:

求平面圖形面

?b

s=\f(x)dx

積a

求旋轉體體積]堯％軸旋轉體的體積

(可用微兀法1L；々=f2(x)dx,

也可用公式)1堯y軸旋轉體得體積

f/y-xf(x)dx

?tx'

堯％軸旋轉體的體積

汝"2?(X)-九2(%)]dx，

繞jy軸旋轉體得體積作=2句:4/⑺-力(%)心

2

已知平行截面y

面積救體體；：i-

Ca

V=s(x)dx

Ja

積

求平面曲線的

弧長3?xbx

1=:J1+(V)2dx

1.6高數第八章《無窮級數》

本章在考研真題中最頻繁出現的題型包括“判斷級數斂散性”、“級數求

和函數”和“函數的塞級數展開”。其中判斂是大、小題都常考的，在大題

中一般作為第一問出現，求和與展開則都是大題。

對于級數判斂部分，主要用的方法是比較法、級數斂散性的定義和四則

運算性質。其中比較判斂法有一般形式和極限形式，使用比較判斂法一般

形式有以下典型例子:

1.已知級數收斂，判斷級數X器的斂散性。其判斂過程的核心

是找到不等式,母⑷+六），再應用比較法的一般形式即可判明。其實這種

“知一判一”式的題目是有局限性的一一若已知級數收斂，則所要求判斂

的級數只能也是收斂的，因為只有“小于收斂級數的級數必收斂”這一條

規(guī)則可用，若待判斂級數大于已知收斂級數，則結果無法判定。所以考研

真題中一般只會出成選擇題“已知某級數收斂，則下列級數中收斂的是（）”。

2.上一種題型是“知一判一”，下面的例子則是給出級數某些性質要

求判斷斂散性，方法是通過不等式放縮與那些已知斂散性的級數建立起聯

系，再應用比較法一般形式判斷。舉例如下：已知單調遞減數列為滿足

11m-＞o,判斷級數Z（六）"的斂散性。關鍵步驟是：由表＜士＜1得到

Xf0

（六）"＜（焉）"，再利用比較判斂法的一般形式即得。對于使用比較判斂法極限

形式的題目一般也不會超出“知一判一”和“知性質判斂”這兩種形式。

幕級數求和函數與函數的幕級數展開問題是重點內容，也是每年都有的

必考題。在復習過程中對于具有“淺看復雜、深究簡單、思路巧妙、出法

靈活”的知識點要倍加注意，對于無窮級數這樣必出大題的章節(jié)中間的“求

和、展開”這樣必出大題的知識點，更是要緊抓不放。因為這種知識點對

“復習時間投入量”的要求接近于一個定值，認認真真搞明白以后，只要

接著做適量的題目鞏固就行了，有點“一次投入，終生受益”的意思，花

時間來掌握很劃算。

另外，“求和與展開”的簡單之處還在于：達到熟練做題程度以后會發(fā)

現其大有規(guī)律可循。這種規(guī)律是建立在對6個關鍵的函數展開式“熟之又

熟”的掌握上的。對此6個展開式的掌握必須像掌握重要定理一樣，對條

件、等式的左端和右端都要牢牢記住，不但要一見到三者中的任意一個就

能立刻寫出其他兩部分，而且要能夠區(qū)別相似公式，將出錯概率降到最小。

公式如下：

oo

1.古=1+"+”2+…+〃”+…=>〃"(一1,1)

L—U

n=Q

oo

2.*=]_“+“2_"3+…+(_])"+…=(-1,1)

n=0

00

3.111(1+U)—It——..+(-])〃；+]+???二Z(-弓(-00,+oo)

n=0

8

4.eu=l+u+-^u2--+H—=Z%(—8,+8)

n=0

oo

277

5.sinw=W-1M+?-?+(-1)7^7?2/，+i+-?-=7^^?(-00,+00)

n=0

00

6.COS〃=]_=〃2+古〃4--------_J--------------------------------------(-QO^+QO)

九=0

這六個公式可以分為兩個部分，前3個相互關聯，后3個相互關聯。

1式是第一部分式子的基礎。1+"+/+...+/+…不就是一個無窮等比數

列嗎，在|〃|<1時的求和公式s=上正是函數展開式的左端。所以這個式子最

好記，以此為出發(fā)點看式子2：1式左端是士，2式左端是含；1式右端

是當，，2式右端也僅僅是變成了交錯級數￡(_i)”,故可以通過這種比較來

n=0n-0

記憶式子2；對于3式來說，公式左端的ln(l+a)與2式左端的士存在著關

系“[[1+")]'=出"，故由出的展開式可以推導出ln(l+〃)的展開式為喏。

〃=0

這三個式子中的MC(TD，相互之間存在著上述的清晰聯系。

后3個式子的a6(-8,+8),相互之間的聯系主要在于公式右端展開式形

oo

式上的相似性。這一部分的基本式是公式4:與之相比，sin”的展

n=0

開式是￡（-1）"若為,COS"的展開式是￡（-IV品。一個可看成是將俄展開式中

n=0n=0

的奇數項變成交錯級數得到的，一個可看成是將*展開式中的偶數項變成

交錯級數而得到。像這樣從“形似”上掌握不費腦子，但要冒記混淆的危

險，但此處恰好都是比較順的搭配：sin“、cos”習慣上說“正余弦”，先正

后余；而sina的展開式對應的是奇數項，cos”的展開式對應的是偶數項，

習慣上也是說“奇偶性”，先奇后偶。

在已知幕級數求和函數時，最佳途徑是根據各個公式右端的形式來選定

公式：第一部分（前3式）的展開式都不帶階乘，其中只有土的展開式不是

交錯級數；第二部分（后3式）的展開式都帶階乘，其中只有*的展開式

不是交錯級數。由題目給出的哥級數的形式就可以看個八九不離十了，比

如給出的塞級數帶階乘而不是交錯級數，則應該用公式4,因為塞級數的變

形變不掉階乘和（-1）〃；若題目給出的幕級數不帶階乘而且是交錯級數，則必

從2、3兩式中選擇公式，其它情況也類似。

對于函數的幕級數展開題目，則是從已知條件與各公式左端的相似性上

入手，相對來說更為簡單。在判斷出所用公式以后一般要使用下列變形方

法使得題目條件的形式與已知公式相符：變量替換（用于函數的幕級數展

開）、四則運算（用于展開、求和）、逐項微積分（用于展開、求和）。

對于數項級數求和的題目，主要方法是構造幕級數法，即利用變換

求得暴級數支旦爐的和函數5（尤）以后代入極限式即可。其中的關

%=0al〃=on=0

鍵步驟是選擇適當的一般情況下如果八（2九一1）這樣的項在分子中，則

應該先用逐項積分再用逐項求導，此時的X"應為的形式，如”Z、”

以方便先積分；若題目有(2M-1)、(3n+l)這樣的項，則/應為一，的形式，如

X。'、便于先求導。這些經驗在做一定量的題目后就會得到。

1.7高數第十章《多元函數微分學》

復習本章內容時可以先將多元函數各知識點與一元函數對應部分作對

比，這樣做即可以將相似知識點區(qū)別開以避免混淆，又可以通過與一元函

數的對比來促進對二元函數某些地方的理解。

二元函數相似一元函數

二元函數的極限要求點佻x，y)以任何方向、任何路徑趨向「a。，%)時均有

一元函數的極限與路徑無關，

lim/(x,y)

極限不同由等價式limf(x)=A即可判斷。

Uy)fA(%Ff%工如果沿不同路徑的f*->與

Of(%o)5%o)=A

不相等，則可斷定不存在。

一元函數y=/(x)在點無。處連續(xù)性判斷條

二元函數Z=/(x,y)在點P(Xo,)0)處連續(xù)性判斷條件為：

連續(xù)性相似

limf(x,y)存在且等于/(%，%)件為lim/(x)且等于/(x0)

y->yo

一元函數y=/(%)的導數定義：

二元函數z=/(x,y)的偏導數定義：［加色=Hm/(%。+—先)一/(%。，%)

(偏)Ay/Uo+Ar)-/(x0)

MAXTOAXlim——=lim------------------

相似-2\x-Ax

導數

分段函數在分界點處求偏導數要用偏導數的定義

分段函數在分界點處求導數需要用導數定義

簡化定義為:對于函數Z=于(x,y)，若其在點P(x0,X；)處的增量Az

簡化定義為：若函數y=/(x)在點x處的增

可表示為Az=AAx+BAy+。(夕),其中。(P)為p的高階無

相似量Ay可表示為Ay=AAx+d,其中d是

全微分

窮小，則函數/(x,y)在PQo，%)處可微，全微分為AAx+BAy,Ax的高階無窮小，則函數在該點可微，即

dy=AAx,一般有dy=f'{x}dx

一般有dz=^dx+^dy

可微、連續(xù)可導連”

、/

可導、不同r/

連續(xù)可微可微

一元函數沒有"全導數"這個概念，但是左邊多元

全導數設z=f(u,v,w),u=g?),V=hit),w=k(t)且都可導，不同函數的全導數其實可以從"一元復合函數"的角度

理解。一元復合函數是指y=/(〃)、U=g(X)時

則Z對方的全導數在=更包+紅包+笠也有型=生也。與左邊的多元函數全導數公式比較

dtdudtdvdtdwdtdxdudx

就可以將二式統(tǒng)一起來。

一元復合函數求導公式如上格所示，與多元復合函

復合函

數求導公式相似，只需分清式子中在與包的不

數微分鏈式求導相似

dxdx

法

同即可

求由方程F(x,y,z)=0確定的隱含數z=z(%,y)的偏導數，可用公式：不僅

一元復合函數、參數方程微分法

"形

3z_理(”z),dzFy(x,y,z)對一元隱函數求導常采用兩種方法：

=似",

dxF；(x,y,z)dyF'z{x,y,z)1公式力二K(%，y)

隱函數且在

對于由方程組V(X,y,Z)=O確定的隱含數y=y(尤)、Z=Z(X)可套用dxF；(x,y)

微分法[G(x,y,z)=0相當

2.將y視為x的函數，在方程兩邊同時對x求導

大程

方程組F；+F；^+F；—=0一元參數方程微分法：若有,=M)則dyJ。)

度上

1+G；噌+G；||=0

相通

極值定義：函數z=f(x,y)在點P(x0,%)的鄰域內有定義，且對于其中極值定義：函數y=f(x)在點網的鄰域內有定義

異于P點的任一點2(x,y),恒有f(x,y)>/(%,%)或且對于其中異于該點的任一點恒有

極值f(.x,y)</(%,%),則稱/(玉)，X))為以X,y)的極小/大值，方程相似/(X)>f(x0)或/(刈</(/)，則稱/(%)

組(X,>)=0的解稱為函數的駐點。為y=/(X)的極小/大值，方程f'(X)=0的

1/；(x,y)=o

解稱為函數的駐點。

函數z=/(x,y)在點P(x0,y0)的鄰域內有連續(xù)二階偏導，且滿足

函數y=/(x)在點天的鄰域內可導，且滿足

2

的,％)=0、4(%,％)=0、[f^(x0,y0)]-f^x0,y0)/；(x0,yo)>O■

取極值r(.x)=0.f(x)/0，則:

的充分若f：&,yo)>。或G(x0,%)>0則P(x0,%)為極小值點；相似

條件

若f"(x)>0,Mf(x0)為極小值；

若f：(Xo,)<0或f"(xQ,%)<。則P(x。，Jo)為極大值點。

若f'\x)<。，則/(%)為極小值

大綱對于多元函數條件極值的要求為"會用拉格朗日乘數法求條件極值"，是

一種比較簡單而且程式化的方法。一元函數則無對應的內容。

1.8高數第十章《重積分》

大綱對于本章的要求只有兩句：1.理解二重積分的概念，了解重積分的

性質，了解二重積分的中值定理。2.掌握二重積分的計算方法(直角坐標、

極坐標)

在做二重積分的題時常用的是更換積分次序的方法與幾個變換技巧

2線性代數部分

2.1線代這門課的特點

線性代數與高數和概率相比，特點之一是知識點比較細碎。如矩陣部分

涉及到了各種類型的性質和關系，記憶量大而且容易混淆的地方較多；但

線代更重要的特點在于知識點間的聯系性很強。這種聯系不僅僅是指在后

面幾章中用到前兩章行列式和矩陣的相關知識，更重要的是在于不同章節(jié)

中各種性質、定理、判定法則之間有著相互推導和前后印證的關系。

所以我們在復習線代的策略中，有必要考慮一下怎樣才能做到“融會貫

通”?！叭跁笨梢岳斫鉃樵O法找到不同知識點之間的內在相通之處；“貫通”

可以理解為掌握前后知識點之間的順承關系。這樣做的目的就在于一一當

看到題目的條件和結論、推測出其中涉及到的知識點時立刻就能想到與之

有關聯的其他知識點隊列，從而大大提高解題效率、增加得分勝算。

出題專家在編制題目時常常利用這些聯系將兩部分的內容結合起來出

題，比如在歷年真題中出現頻率很高的性質”齊次方程組是否有零解對應

于A的列向量組是否線性相關;非齊次方程組是否有解對應于向量b是否

可由A的列向量線性表示”。

再如一個貌似考察向量組線性無關的題目，做起來以后才發(fā)現實際考的

是矩陣秩或行列式的內容，題眼就在于性質“方陣A可逆0A的列向量

組線性無關r(A)”,依靠這一性質建立起了線性無關和矩陣秩兩個知識點

間的聯系。

2.2線代第一章《行列式》、第二章《矩陣》

第一章《行列式》、第二章《矩陣》是線性代數中的基礎章節(jié)，有必要

熟練掌握。第一章行列式的核心內容是求行列式具體行列式的計算低階n

階

應用行列式按行'列展開定理化為上下三角行列式求解

行列式的定義、IA1=44???4、行列式的性質

抽象行列式的計算考點不在求行列式，而在于笳、A*、W等的相關性質

第二章矩陣中的知識點很細碎，但好在每個小知識點包括的內容都不

多，沒有什么深度。由歷年考研真題可見，矩陣部分出題很靈活，頻繁出

現的知識點包括矩陣運算的運算規(guī)律、與、A*、A"的性質、矩陣可逆的判

定條件、矩陣秩的性質、某些結構特殊的矩陣和矩陣初等變換技巧等。

所以復習本章的難度主要在于如何保證復習的全面細致，一些做題時用

到的性質和方法結合具體的題目就題論題才有最佳的效果：

行列式性

特征值性質

運算性質秩的性質

質(A為矩陣A的特征值)

轉置(ATY=Ar(Ar)=r(A)

(kA)T=kN

1Ar|=|A|r(Ar)=r(ArA)

矩陣(AB)?=BrAr

AT{A+BY=BT+A1'r(ATA)=r(A)

逆矩

|A-'|=—有特征值工

|A|

陣

A*、AT三者之間有

伴隨n.r(A)=n

一個即好記又好用的性質

|A*|=|有特征值四r(A*)=<1.r(A)-n-\

(A7)T=(A-)7

矩陣0.r(A)<n-l

(A*)T=(A-)*

A*

(4)*=(4*[

數乘\kA\=knAkA有特征值。,r(A+B)<r(A)+r(B)

r(AB)<min{r(A),r(B)}

矩陣\AB|=|A||5|aA+bE有特

筋=0則有：

kA、矩征值aA+br(A)+r(B)<n

陣之若A可逆則有

積ABr(AB)=r(B)；同樣/若

及矩8可逆則有

r(AB)=r(A)

陣之

和

A+B

2.3線代第三章《向量》、第四章《線性方程組》

線代第三章《向量》、第四章《線性方程組》是整個線性代數部分的核

心內容，相比之下，前兩章行列式和矩陣可視作是為了討論向量和線性方

程組部分的問題而做鋪墊的基礎性章節(jié)，后兩章特征值、特征向量、二次

型的內容則相對獨立，可以看作是對第三、四章核心內容的擴展。

向量與線性方程組兩章的內容聯系很密切，很多知識點相互之間都有或

明或暗的相關性。復習這兩章最有效的方法就是徹底理順諸多知識點之間

的內在聯系，因為這樣做首先能夠保證做到真正意義上的理解，同時也是

熟練掌握和靈活運用的前提。

解線性方程組可以看作是這兩章內容的出發(fā)點和目標。線性方程組

aux,+的爸H—x=b

的系數矩陣是m行n歹U的,其有兩種形式，一種是矩陣

ax

“加%+m22+…3'=bn

“12…a\n玉瓦

；

形式Ax=b其中A是系數矩陣心.〃22a2n%2b；另一種是向量形式

-21x=b=2

玉,+H--hXna=b，其中%；12"。向量就這樣被引入了。

nai-

_ani_

先討論其次線性方程組與線性相關、無關的聯系。齊次線性方程組

xxax+x2a2H---bxnan=0可以直接看出是一■定有解的，因為當尤1=%=…=X”=0式

等式一定成立，印證了第三章向量部分的一條性質“0向量可由任何向量線

性表小”,即當/?=左g+左2a2+…+匕4中的，=0時一定存在一組數左1，左2…左"使

等式成立，至少在發(fā)全為0時可以滿足。

齊次線性方程組一定有解又可以分為兩種情況：1.有唯一零解；2.有非

零解。當齊次線性方程組有唯一零解時，是指等式3…+%%=0中

的X,只能全為0才能使等式成立，而第三章向量部分中判斷向量組…4

是否線性相關'無關也正是由這個等式定義出的。線性相關的定義為：設

%/…%為一組向量，如果存在一組不為零的數KK…3使得等式

匕6+左2%+…+抬4=。成立，則稱向量組%，%…%線性相關；如果等式當且

僅當左〃2=...=&,=（）時成立，則稱向量組線性無關。故向量與線性

方程組在此又產生了聯系：齊次線性方程組Ax=o是否有非零解對應于系

數矩陣A的列向量組是否線性相關。

假如線性相關'無關的概念就是為了更好地討論線性方程組問題而提出

的，那同樣可以認為秩是為了更好地討論線性相關和線性無關而引入的。

秩的定義是“極大線性無關組中的向量個數”，向量組見必…％組成的矩陣A

有「（A）=〃說明向量組的極大線性無關組中有n個向量，即G4線性無關,

也即等式匕/+左2%+-,+左.%=。只有0解。所以，經過秩f線性相關'無

關一線性方程組解的判定|”的邏輯鏈條，由（4）=“就可以判定齊次方程組

項火+x2a2+???+xnan=0只有。解。當r（A）<〃時，按照齊次線性方程組解的判定

法則，此時有非零解，且有個線性無關的解向量。這又與另一條性質相和:

如果齊次線性方程組方程個數小于未知量個數則必有非零解。若方程組

而=。的系數矩陣是m行n列的，則方程個數小于未知量個數時有m<n；因

為矩陣的秩等于行秩也等于列秩，所以必有（4）w機，，根據齊次方程組解

的判定定理有非零解。

對于非齊次方程組來說，其解的判定定理與“線性表示”的概念前后聯

系：非齊次方程組Ar=b是否有解對應于向量匕是否可由A的列向量線性表

示。線性表示的定義為：對于向量組若存在一組數加七…左〃使等式

左口+左2%+…+左M=5成立，則稱向量?？捎上蛄拷M弓,。2…4線性表示。而

使上述等式成立的尤.就是非齊次方程組小=。的解，故齊次方程組有性質“五

次線性方程組4=。是否由非零解對應于系數矩陣△的列向量組是否線性向

差”，非齊次方程組也由對應性質“非齊次線性方程組加=b是否有解對應

于向量幺是否可由3的列向量線性表示當非齊次線性方程組以與對應齊

次線性方程組加=0滿足廠（m=廠（加=〃時，根據線性方程組解的判定法則，齊

次方程組有零解，非齊次方程組有唯一解。這一點也正好印證了一個重要

定理：“若可，勺…4線性無關，而線性相關，則向量匕可由向量組

與④…%線性表示，且表示方法唯一”。

以上討論了線性相關、線性表示的概念與齊次、非齊次線性方程組之間

的內在聯系，這樣做不僅僅是為了透徹理解知識點，更是為了有效應對考

試題。

線代部分的題目難就難在考點的跨度大，而我們如果僅僅掌握零散知識

點，那怕對這些孤立的點掌握的再透徹，在作題時也會被題目給弄的暈頭

轉向。

矩陣f線性方程組f向量

解f線性相關/無關f秩

三個雙重定義：

1.秩的定義

a.矩陣秩的定義：矩陣中非零子式的最高階數

b.向量組秩定義：向量組的極大線性無關組中的向量個數

2.線性相關\無關的定義：

a.對于一組向量知的…?！埃舸嬖诓蝗珵榱愕臄蛋l(fā)出…g使得

用％+左洶+…+跖％=o成立，則相量組線性相關，否則向量組線性無

關，即上述等式當且僅當匕全為0時才成立。

b.向量組對電…為線性相關向量組中至少存在一個向量可由其余

1個向量線性表出；

線性無關向量組中沒有一個向量可由其余的向量線性表出。

2,線性方程組的兩種形式：

a.矩陣形式：Ax^b

XZH-------1-

b.向量形式：XyQy+262xnan=b

兩條性質：

1.對于方陣4“有：方陣A可逆存在方陣8使得

AB=BA=E|A0A的行'列向量組均線性無關r(A)=nAx=b

可由克拉默法則判斷有唯一解，而加=0僅有零解。

對一般矩陣兒,則有：廠⑷="A的列向量組線性無關於=0僅有

零解，山?有唯一解。

2.齊次線性方程組加=0是否有非零解對應于系數矩陣A的列向量組是否

線性相關，而非齊次線性方程組加=b是否有解對應于匕是否可以由A的

列向量組線性表出。

以上兩條性質可視為是將線性相關、行列式、秩、線性方程組幾部分

知識聯系在一起的橋梁：

行列式------）線性相關—-----f線性方程組

性質1中的“w_

//壬1r-f-thh“，八/A'z<-KAiVlTrll占

秩

另外，線性代數部分在考試時會經常直接考一些“雖不要求掌握、但

卻可以用要求掌握的一些定理推論推導出來”的性質和結論，所以有必要

擴大一些知識面，說不定在考試時就會有意外收獲：

1.一個線性無關的向量組不可能由一個所含向量個數比它少的向量組

線性表示。如果向量組為.…%可由向量組幾片…四線性表示，則有

「3，的…。）<?￡1，尸2…瓦）。

等價的向量組具有相同的秩，但不一定有相同個數的向量；

任何一個向量組都與它的極大線性無關組等價。

pl叫叫

2.常見的線性無關組：齊次方程組的一個基礎解系；°、1、o這樣