考研：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)過關(guān)660題答案冊（數(shù)一）

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)過關(guān)

660題?答案冊

（數(shù)學(xué)一）

基礎(chǔ)過關(guān)1階

高等數(shù)學(xué)

填空題..................................................7

選擇題..................................................54

線性代數(shù)

填空題..................................................127

選擇題..................................................117

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

填空題..................................................175

選擇題..................................................189

基礎(chǔ)過關(guān)2階

高等數(shù)學(xué)

填空題..................................................213

選擇題..................................................227

高等數(shù)學(xué)水平自測一答案

本自剛題機(jī)皆易.休丘當(dāng)快速無成苑試.也無壓力.

鈿及你解答這些君還有困疝.請自行訃課.描芬攵習(xí)全書?氐片篇：.

1?【答:士】I.）

【分析】則（〃+&」:一尸|.______27-27〃+9/一〃______

1--〃”+2〃+1—(〃,+3〃'+3〃+1)

..一/十9/一27〃-27

=li【n二

一＜--〃一Ln-n

1927?27

—1H------------r4--

v〃獷n

hm---

*t—-*[4]

1

〃〃

二1

2.【答案】C

【分析】顯然/Q）可導(dǎo)，則極值點(diǎn)必然為駐點(diǎn)?乂有

/（x）=dcosx+cos3/

故，'（號(hào)）=V—1=。?故°=2.

3.【答案】C

【分析】.\，小=（二+?！a(chǎn)‘=（,：?'?/''：-，〃！?（，）”

故有=（1+1）'">=〃！一■

4.【答案】C

【分析】|Inxdx=xlnJ—|1dJ=e—e4-1=1.

(x

6.【答察】D

【分析】ih￥級數(shù)的收斂半徑計(jì)算公式可得

…?中

=?!"(''7)"-f=f

故窄級數(shù)的收斂半徑樣1=

Pc

7.【香冬】I

【分，由洛必達(dá)法則和變限積分函數(shù)求導(dǎo)公式，可得

sin/d/

lim*.=lim-1

…[,<k…”

8.【答案】手

【分析】顯然/<.r>似一-.1)111(1.4-x)上均連續(xù)?下面討論。1處的連續(xù)性.

/(I，—lim'」——lim?ccsn(./—I)兀

….『一I…

/(i)lim(aresin.r+k)=.+Zr

/?1’

若要使./“)在」=1處連續(xù)?則應(yīng)有/(I)一/(I),故(一盛.

9.【答案】v=9T?

【分析】、：5/7?則：/1../I時(shí).Y_2,v'=\.

2G?

可VAUJ線方.程為N2='(.1--1)------1.即y=4"+1.

i44

1().[77r]I<1vI/(.r.v)(l./

【分析】根據(jù)二幣枳分㈣出來枳分區(qū)域?yàn)橛覉D.丁是直接交換枳

分次序?yàn)?/p>

?<rif?v

<1v|/(.1.v)cl.r

高等數(shù)學(xué)水平自測二答案

公自科】。個(gè)小題上艮朦衣的蝴金。訃u.堪比不大.同學(xué)你口與九電定時(shí)間內(nèi)完冬.修‘

為果小士交is冷.濟(jì)a仃訃^.蘇苦&q介書?艮礎(chǔ)*

1.【答案】C

，八-1*lan(,r—1)...r—1,.(.r1)(.r4-1)

【分析】hmJ-"叩—吧5|)(—)

2.【答案】A

【分析】i己〃—M.則J1時(shí)“I.

所以d.v-----d.r.

3.【答案】C

【分析】於?'d'—sin.r(.r)2.rsin.i.

4.【答案】D

f?|

【分析】由已知./(.r)d.rlnn\/r-<\/(.r)色一.

..1,

Ix/(.z)(l.r—|r(l(/(.r))-.「/(.，)一|/(.r)d.z—2In.rIn.rf-(,

答案選(D).

5.【答案】B

【分析】令/="2/-1?則|6%-=I：c'/d/=3/C/)一2c?所以選(B).

6.【答案】A

【分本斤】/(J-v.JV)=.1?v;—(.<-V)*2.rv.

id?*?,v.「./、?/(".「>tt.或改id成/(」.、)

/(j.,v)"(.r?.y)o

7.二】……Y

，八..farctan.r.1/1I\'arcian.1.farctanj,.

'】J-j"-卜—L.EW[;tL,I]+「'.

arctan.r.f1\ardanx.i1

-----------dx=—arctan.rd——-----------------b■-；-；—r-

.fJ\rI.1J.r(l+r)

arctan/IfI..

-72'l?(lKr)dr

arcian.?I；*/J]\

,r2J\.r-I4-.rr

--In“+(

x9114.r

arcian.r.

-：-------r-d.r=~(arciani>.所以

I+r

IarctanJ.arcian.r1..廠1z...z,

產(chǎn)---------------z-lni--------:——(arctanA)r-(.

.r21?.r'2

8.【谷1】-9.13

”］由題設(shè)可知

f(1)=a-rbt-1=5

/(1)=3ar-2Zu?1,..”<?'lh1

a+/，-1=5i2a+2。+2=10?=—9

13a+2/)+1：./?-1-06=13

9.-]0

【分析】|x/(j-)d.r=|.rd/(.r)—//(/)—JJ(r)tl.r—I—4=0.

10.]2.rv*cos(2.r-*-v)2.rvsin(2.ry).2.r:ycos(2./TV)—.z\v'sir)(2.i-j?).

【分！】由二元函數(shù)求偏導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t

江「上?辦

2i/cosv?virsinv?2

2.ry:cos(2.rIv)2.rvsin(2.r4-v)

f)Z<hi,(fv°1.

z-=~----r-?<、.?/“>in<???I

r/v</uyda

=2.rycos(2.ifv)rjsin(2.r+y)

,6,

品等數(shù)字

埴,交題

ini【答案】o

由Vx€(-8?一8)?/(工+2)/(.r)=/(2)可知，/(/)是以2為周期的局

期函數(shù)的充分必要條件為/⑵=0.

3為V.r6<-??)?八/2)-/(.r)=八.17/(2)=-1+2)-/(-1)=

/(I)./(-1).

而函數(shù)/(.r)為定義在(一―，+M的奇函數(shù)，故/(2)=2/(1).

因此當(dāng)且僅當(dāng)八D=0時(shí)/(.r)是以2為周期的周期函數(shù).

o.x<.41

4—(4-.r2).\'2

4—(4—M)；?一J6￡」―

0.*》疾

解不等式./(」><2?即|11.?洋得"(」Wv體或一展工工工一&.

所以當(dāng)一二」或一戶，〈一住時(shí).3))=1—(1一廠/?當(dāng)r-&或x|>

76時(shí)?/《/(/))-0.

3【答案】7

【分行】/(“十5)=/小嗎？不會(huì)做?5rx看

《笈學(xué)旦2生節(jié)?思礎(chǔ)篇》

所以f(.r)—M—2.liin/(.r)—7.商致不一率

掃北坡停由續(xù)

4【答案】e-1

【分析】因?yàn)閘imcosI''=cos0—I,所以只粉求

J=lim|sin]+cos5)

這是指數(shù)型(1)極限?川求指數(shù)型極限的一般力.法:

limJ-

*--

轉(zhuǎn)化為求

liin.rlnfsin二Tcos一)^In^jn^+cosz)

?…\].r/

洛必達(dá)2coz2f-sin/.)

lim

法則sin21—cosI

V.

?7?

一理■■過關(guān)660瓶?教學(xué)一(答案冊)

方；.1川求1型極限的方法:

1一—一：一.，（M..7.I）

liin［卜山"?cos1一1）一］'——

?.1”,（?lh-——

=I-

lim.rfsin-^--cosSH，2,

Jt'l11）一-lim?亨—1

濟(jì)必達(dá)..

lim（2cos2tsint）2

法則...?

/=（c）

5【答案】y

［分析］+r—_'(、/】?。骸?卜.「(Ji-］-1)

/=lim/(、|))lim/、1，Ij

二.5(，.：.>>；"<(-4--(^))J-\-J.

【評注】這里先作恒等變形后利用了等價(jià)無窮小因子替換：

(1+/)?—1?4(/-*0).

這是求一?儀的極限.先傳化為;電極以?然*再用洛必達(dá)法則.

...尸尸

/lim(./CT~?.1,)-h【n

，--r???

111

SSa

663,

6【答案】0

【分析】這是：型極限.先作如卜變形:

I_］jm/—in—-2-in.r+:in2」

<?.r!

可用的方法是洛必達(dá)法則（計(jì)0：較搬）與泰勒公式.

注意泰勒公式

sin.r.1--i-.r'I<>（./）（./?。）（/」項(xiàng)系數(shù)為。）

o

=>.rsinT—.r（J'?o（.r'））—.r+〃（.//）

2sin.r—2。r./?〃（」：））-2.i?'」十〃（」）

'b/3

?8?

高等數(shù)學(xué)

-2.r

相加得

JMI1+sin2.r(>?<)(./)(.「?())

r?-o(..r)..

因此I-inn----：-二0

【評注】如果求

.rsinM-2sin.r4-sin2.r

就要把sinz展開到.r項(xiàng):

sinJ-=x-+o(.r)(J-*0)

b12。

然后可得

asin.r2—2sinx+sin2x=-y-x5+o(.rL)(x-?0)

4

于是

5?r，4-o(xs)

limd——r——+0=

r-0TT

7【答案】3

【分析】川等價(jià)無窮小因廣杵換

\/\?.r1(I-/>-1?—

m

cos.rI....I,

得-1=\/\4-cos.v1，*'1.I<.

jjrn—x/Tcos.iI)I)(1、.((?(>、./Hl)???(I(cosu'—1)I1)

(I-n)sr>"

y/(COS.11)rII)//VCCOS.1'1)7I\.…八(7(("?「1)+1

Iim(?I人I-'一!)

/?COS.7?cos./cos.r-1

—(cosJ1)—(cos,r-1>一(ros.rI)

?Jn

lirn---------------：——X

r.ncos.rIcos.rIcos.r

'-3…?：1

用等價(jià)無窮小囚f樣換:

Iln(1?I)(/?())

(cos.i)7—1?Incos.r尸—IYII=IDcos.rA0)

因此

(A/CCSJ,H<\COS.1I>,?,(vcos.1■1)

/=lim

cos.r1)'

Iny<<)>/l：ic<)>,i?,,hi\c<>>i

jlitn

效學(xué)基礎(chǔ)過關(guān)660ag?教學(xué)一（答案例）

用極限的四則運(yùn)算法則,這是〃1個(gè)極限的柒枳.分別求每個(gè)：刈極限

于是

I=I"J「…二.lim;…lim

…I—cos.r?-oI-cos/L（?1-cos.r

=4-1'!.....工二4

231tinI

8【答案】

【分析】這是""地極限?先作恒等變形

乂

1

r-.r-Ic'/因子拌換一

=limL=o

洛必達(dá)法則U-2.rc

我中心?。┒?/p>

因此.

9[旬1

[1當(dāng)，〃,\\竽卜

.?sin.1/.SIIX.r=l-4X1X0~

lim——T-lim-X——1.

1--,r'??Z

10【答?,】In2

【分析】lim.r（2"-2/）=lim2*M（2孑士一1）

=limr（2,二:—1）

仙?肅力=必2.

【答案】1

【分析】lim(M-4-.r),*liiiic'、"'

12【答案】2

【分析】這是??。吧的數(shù)列極取?轉(zhuǎn)化為求:型的函數(shù)極限.然后用洛必達(dá)法則.

?2

arctan——arclan

ti

lim

1

9,

arctan2」，arctan,~

1+.r

=lim

2]2(1一」)一2」

(I+.r>

IfrIH.......——

(1+.，尸

2.r

________(1+.r——1______

—lim

STI-+-Lr)((14-.r>--II.Z)

2I7

=lim..--------——>2

J?4)(I?：./)((II./)?I，)

99

y.A-:這兄,?o型極限.為前化計(jì)算設(shè)法J?求mn'arctan—\的等價(jià)無窮小.

〃w*1I

的改變址/（：）/島卜

它是./Cr)=arctan,r由拉格即H中值定理.它可改叮成

229

arclan?一arctan-；~；

WH-InII

199

(n-)

1+7n(nF1)n(n41)

7

?時(shí)」?I.

以:中亡I

I+3

9

因此?/linw/;?

【評注】設(shè)lim.r”—>.limy,=lime.—a.

求形如

1=limx^/C.yJ

?r9r

的數(shù)列極限（3?0型）?可考慮用拉格朗日中值定理?轉(zhuǎn)化為求

I=—Q?/（3）

其中a在義與之”之間.

?11?

■■■■過關(guān)660歐?教學(xué)一（答案冊）

13【答案】

【分析】顯然

即人行界.

1

令小）1.>/(.；)”/(./.)(〃1

14-,r

因此.小收斂?氾巾【11”—a.

可遞u1//程」：：K」兩邊取極限得〃=\1:“?即

,/―a_1-0

I+&

解得a2-

【評注】也可按定義證明工“單調(diào).考察

+；）-"4上卜號(hào)?一擊

(?=1,2.3,

(1+.rh)(l+工

又Z1=1V.1,2=T-77="I"?由歸納法可知

1I1W

14

ln（lf.r?5

【分析】IIIlitn-------------3（I）

■?仆.r

'*1.<r0時(shí)?分修為無窮小?所以分子也為無窮小?進(jìn)一少仃1吁卜1〃：））=0.

因此?當(dāng)/A。時(shí)

ln（14-.r4-）—」?+，（，）

.r_￡k2

所以《1）可寫為lim.....-=3.因此lim）-2.

….r?....廣

15I：.案】3

1而以,)而「回上」—=立3"[=().

…J-…LI'」

lllih.nhl(1,所以lun""11

r>a.r4r??.r4

16【冷】In3

【分析】尤求出lim.r；=limc11

?12?

筋、;?筑，旗高等數(shù)學(xué)

hm7

I"?V!

由雨奴的連續(xù)件用Inn/：，?/(I)I.limIn?/J>]In3.

171.，)

【分析】由泰勒展開?當(dāng)"?時(shí).

\1—iJ(]!)_-.r|JJ-<><i：I

所以“1.6-(1?

18【答案】/)

【分析】因?yàn)椤棺惴侄文蠑?shù),分界點(diǎn)是J".Zlmu-不存在.但1出.liniv

"所以要分別求左湘皿

lim八一‘J--<

lim?7”/'」P

0-b1P

,"uAc??〃?—//

4I//<?.711/，.，〃+1)

,lin「.

A<-bva—0

因此//>?

19【答案】1

■>

【分析】I?..

S'(':r

1

rh泰勒公式知?〃時(shí).ln(!)±八所以當(dāng)〃時(shí)?

IIf〃n

3(1,1)二…

畤(I—：)的等價(jià)無窮小為c(；了.

20二】〃-i

/(/)(1/

.1上三)?求正數(shù)人使得——3=0.

，(.r—a)

這是1中極限.川洛必達(dá)汝則用

|/(/)(!/

l(.i)J|ik「(」)

lim——nn-——lim

?」‘(.，a(〃?1)(.r—?)"

E'“T)

?13?

?道關(guān)660髓?教學(xué)一（答案冊）

=>[./(/)(1/足(Ja)的(〃t1)階無窮小.

21【三￡】6

確定〃>0使得

,?n?o

ln(1+/)<k—..i、(,rsin.r)-y.r"

?rz"

lim—]im"L+(」sin」)」(I—.r)_.

，?n.rru

1>..i-sin.*I|.】—c。、”_Lyo

——lini-------------------litn

2，?〃.L“32〃(〃一3).「取”=672?

其中

InIt<./sin.i)?.i—sin.r

cos.r?—-0)

應(yīng)填〃=6.

22*1

X

【分析】lim/(/),limln(1f3.,)

3

要使得函數(shù)/-<.!><E.i()點(diǎn)極限住住?必須滿足

..、..sin.I(/;CDS.r-1)1

r/hni

e-ta：?；

故〃一I,11.

sin.t(/n-os.r1)b-1-

lim?

c--I??

一?

23【爸3】a=1.6=In2

【分析】先分別務(wù)察./“）?#"）的連續(xù)性.

對Va?」/U時(shí)/3）連續(xù)八時(shí)/（.，）左連續(xù)?00）=6.

a.r______

乂lim/(./>limlim

.?aresin./r—aresin.r

‘…'limulim

,sni/—/.sin/

=ulim.M-..

.-cosf1

以當(dāng)〃二I時(shí)./（.I）住/I）行連續(xù).囚此?僅當(dāng)“1時(shí)八」）在.「=0連續(xù).

對Y3.I時(shí)/11連續(xù)7！時(shí)《（./）八連續(xù).乂（1）-一1.Z

.?,、I-3sin（.r-1）..

=Inn-------------；------=3

..1,.I-1

僅當(dāng)c'I1=3.011F-2.6=In2時(shí)#（.，）住『=1左連續(xù).因此?僅當(dāng)6-In2時(shí)—（/）住

.，一1連續(xù).

?1I?

高等數(shù)學(xué)

現(xiàn)由連續(xù)性運(yùn)或法則知.〃In2?〃I時(shí)/(/)-?(.r)處處連續(xù).

〃士-1時(shí)?/(.『)在.，0不連續(xù)?*(/)作J=0連續(xù)

=>f(.r)-*-*(/?)(\:..1「0不連續(xù).

bhi2Hj./(.r)fl：.i:連續(xù)?乂(‘)住」-16連續(xù)

=>/(」)；《(.「)住J-I不連續(xù).

因此?僅?“一1?1?In?時(shí)/(J)十*(.?)，卜：(一,,?十二)處處連續(xù).

24

/(.，?>只行間斷點(diǎn)『—a/?.

**|a=1Jrc時(shí)

x=1為可去為斷點(diǎn).

.1-=C為無窮間斷點(diǎn).

當(dāng)a=c?〃=1時(shí)

limfC.r)一?.lirn/(./)

2-?II??

.1-1.」C均為無窮間斷點(diǎn).因此,(U?〃)(I.e).

；(.{-)

先求出/(.r).

.i-(：J]?/(/)-lim'[：'：:'i.

n?I十C"'I'()

x=0fl?j./(0)0.

、ni14it\r...re"1-f-.v'0-j-:

■11B-r./(」)Inn.lim..

…1+c”…I+c1+0

因此—

/")處處連續(xù)?即連續(xù)區(qū)間足(.一?).

注目:在rJ1處；irci;ui常\(v1.1)-?-:.易得

?

/'(.，)-(ardan.r)---------..r:二I

1—.i-

其中丁=1處是/'(1)-=[.

rIT7]

f(.r)=(?-)):(2./<1-1)1

―一4?/0一

?15?

，?學(xué)■?過關(guān)660,?教學(xué)一（答案冊）

1處是/Z(1)=J(2.rc

其中I)

1

因?yàn)?/"(I)=/(I)-J"⑴

y-

.1〈I

1+.r

因此/'S

4-(2.rr,11).

/>I

,r(1,r)ln(1

.1?.I--1

J-(1-./?)

27【答案】

1

~2°x=0

【分析】I'l/tlli/(.r)(\,.r。連續(xù)確定〃值:

-li.nln-(1t-Z^

—lim—=b=/(0)=—

ln(I

./-1--1

11.

.r-0

.r豐0時(shí)

(I.r)ln(1.r),.//一/八、

(-oc<,r<1/0)