(完整版)9-41冪級數(shù)

9-4冪級數(shù)1一.正項(xiàng)級數(shù)的審斂法(2)比較審斂法(不等式形式)復(fù)習(xí)(3)比較審斂法（極限形式）(4)比值審斂法(達(dá)朗貝爾

判別法)(5)根值審斂法(柯西判別法)2二、交錯級數(shù)及其審斂法1.定義:正、負(fù)項(xiàng)相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù).2.交錯級數(shù)審斂法(萊布尼茨定理)則原級數(shù)收斂三、任意項(xiàng)級數(shù)及其審斂法定義:正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項(xiàng)級數(shù).定理3第四節(jié)一、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念

二、冪級數(shù)及其收斂域三、冪級數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)冪級數(shù)第九章4一、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念1.定義：為定義在區(qū)間

I上的函數(shù)項(xiàng)級數(shù).稱式子記為即例如：級數(shù)級數(shù)定義在的級數(shù)………………………5對若常數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂點(diǎn),所有收斂點(diǎn)的全體稱為其收斂域;若常數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂,發(fā)散,所有為其收為其發(fā)散點(diǎn),發(fā)散點(diǎn)的全體稱為其發(fā)散域.2.收斂點(diǎn)與收斂域說明：函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在某點(diǎn)x的收斂問題,實(shí)質(zhì)上是常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂問題.……例如級數(shù)收斂域?yàn)?-1,1);發(fā)散域?yàn)椤?為級數(shù)的和函數(shù),

并寫成在收斂域上,函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和是

x

的函數(shù)稱它3.和函數(shù):如:………………(定義域是?)若用余項(xiàng)則在收斂域上有表示函數(shù)項(xiàng)級數(shù)前n

項(xiàng)的和,即7二、冪級數(shù)及其收斂域

形如的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)稱為冪級數(shù),

其中數(shù)列下面著重討論例如,冪級數(shù)為冪級數(shù)的系數(shù).即是此種情形.的情形,即稱1.定義：…………82.冪級數(shù)收斂域的結(jié)構(gòu)：顯然，當(dāng)x=0時，收斂.例如級數(shù)當(dāng)時，收斂；當(dāng)時，發(fā)散；收斂域?yàn)榘l(fā)散域?yàn)椤葍缂墧?shù)的收斂域是以原點(diǎn)為中心的對稱區(qū)間.9定理1(阿貝爾Abel定理)如果級數(shù)在處收斂，則它在滿足不等式的一切x處絕對收斂.如果級數(shù)在處發(fā)散，則它在滿足不等式的一切x處發(fā)散.簡記:收斂發(fā)散發(fā)散10證:

設(shè)收斂,則必有于是存在常數(shù)M>0,使當(dāng)時,收斂,故原冪級數(shù)絕對收斂.也收斂,如果級數(shù)在處收斂，則它在滿足不等式的一切x處絕對收斂.11下面用反證法證之.假設(shè)有一點(diǎn)滿足不等式所以若當(dāng)滿足且使級數(shù)收斂,面的證明可知,級數(shù)在點(diǎn)故假設(shè)不真.的x,原冪級數(shù)也發(fā)散.

時冪級數(shù)發(fā)散,則對一切則由前也應(yīng)收斂,與所設(shè)矛盾,證畢如果級數(shù)在處發(fā)散，則它在滿足不等式的一切x處發(fā)散.收斂發(fā)散發(fā)散12幾何說明絕對收斂發(fā)散發(fā)散說明:因此,阿貝爾定理刻畫了冪級數(shù)的收斂域的特征13推論不是僅在x=0一點(diǎn)收斂，也不是在整個數(shù)軸上都收斂，則必有一個完全確定的正數(shù)R存在，它具有下列性質(zhì)：如果冪級數(shù)冪級數(shù)絕對收斂；當(dāng)時，冪級數(shù)發(fā)散；當(dāng)時，當(dāng)x=R與x=-R時，冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.絕對收斂發(fā)散發(fā)散14定義:正數(shù)R稱為冪級數(shù)的收斂半徑.絕對收斂發(fā)散發(fā)散絕對收斂當(dāng)時，發(fā)散當(dāng)時，的收斂半徑為R稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間.稱為冪級數(shù)的收斂域.規(guī)定問題:如何求冪級數(shù)的收斂半徑?(1)冪級數(shù)只在x=0處收斂時，收斂域?yàn)閧0};(2)冪級數(shù)對一切x都收斂時，收斂區(qū)間為15如果冪級數(shù)的所有系數(shù)3.冪級數(shù)收斂半徑的求法：定理2.

是它的相鄰兩項(xiàng)的系數(shù)且滿足：則1)當(dāng)

≠0時,2)當(dāng)

＝0時,3)當(dāng)

＝∞時,的收斂半徑為說明:據(jù)此定理16證:1)若

≠0,則根據(jù)比值審斂法可知:當(dāng)原級數(shù)收斂;當(dāng)原級數(shù)發(fā)散.即時,即時,2)若則根據(jù)比值審斂法可知,絕對收斂,3)若則對除x=0以外的一切x原級發(fā)散,對任意

x原級數(shù)因此因此因此級數(shù)的收斂半徑17說明:1.注意定理的條件：冪級數(shù)的所有系數(shù)是它的相鄰兩項(xiàng)的系數(shù)不缺項(xiàng)存在或?yàn)榍?.定理的證明中找收斂半徑的方法叫比值法（或根值法），該法適用于任何函數(shù)項(xiàng)級數(shù).3.用定理找收斂半徑的方法叫公式法，該法適用于標(biāo)準(zhǔn)的冪級數(shù)（即不缺項(xiàng)的）18對端點(diǎn)

x=－1,

的收斂半徑及收斂域.解:對端點(diǎn)x=1,級數(shù)為交錯級數(shù)收斂;

級數(shù)為發(fā)散.故收斂域?yàn)槔?.求冪級數(shù)

……19例2.

求下列冪級數(shù)的收斂域:解:(1)所以收斂域?yàn)?2)所以級數(shù)僅在x=0處收斂.規(guī)定:0!=1∵∵20解缺少偶次冪的項(xiàng)級數(shù)收斂,級數(shù)發(fā)散,原級數(shù)的收斂區(qū)間為例3求冪級數(shù)的收斂區(qū)間及收斂域.考慮級數(shù)應(yīng)用直接法，當(dāng)即時，當(dāng)即時，級數(shù)為…∵21級數(shù)發(fā)散,因?yàn)樵墧?shù)的收斂區(qū)間為所以原級數(shù)的收斂域?yàn)?級數(shù)為級數(shù)為當(dāng)時，當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散,例3求冪級數(shù)的收斂區(qū)間及收斂域.22例4.的收斂半徑.解:

級數(shù)缺少奇次冪項(xiàng),不能直接應(yīng)用定理2,比值審斂法求收斂半徑.時級數(shù)收斂時級數(shù)發(fā)散故收斂半徑為故直接由23例4.的收斂半徑.另解:

級數(shù)缺少奇次冪項(xiàng),不能直接應(yīng)用定理2,可通過換元化為標(biāo)準(zhǔn)型再求.級數(shù)變?yōu)楣适諗堪霃綖闀r原級數(shù)收斂.∵24例5.的收斂域.解:

令級數(shù)變?yōu)楫?dāng)t=2

時,級數(shù)為此級數(shù)發(fā)散;當(dāng)t=–2時,級數(shù)為此級數(shù)收斂;因此級數(shù)的收斂域?yàn)楣试墧?shù)的收斂域?yàn)榧?5求收斂半徑的方法總結(jié):■冪級數(shù)中奇偶項(xiàng)齊全時用公式求R■冪級數(shù)中奇偶項(xiàng)不齊全這時不能用以上公式求R.應(yīng)該根據(jù)收斂半徑的定義用直接法求R.如：■若級數(shù)為則應(yīng)用代換法，令261)對標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù)先求收斂半徑,再討論端點(diǎn)的收斂性.2)對非標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù)(缺項(xiàng)或通項(xiàng)為復(fù)合式)●求收斂半徑時直接用比值法或根值法,●通過換元化為標(biāo)準(zhǔn)型再求.求收斂域的方法總結(jié):27小結(jié)2.冪級數(shù)的概念:1.函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念:3.冪級數(shù)的收斂性:定理1(阿貝爾Abel定理)如果級數(shù)在處收斂，則它在滿足不等式的一切x處絕對收斂.如果級數(shù)在處發(fā)散，則它在滿足不等式的一切x處發(fā)散.………28思考與練習(xí)1.

已知處收斂,問該級數(shù)收斂半徑是多少?答:根據(jù)Abel定理可知,級數(shù)在收斂,故收斂半徑為則收斂半徑R且如果冪級數(shù)的所有系數(shù)定理2.

29作業(yè)：P391,1(2),(5),(7)預(yù)習(xí)：從387到390頁30阿貝爾(1802–1829)挪威數(shù)學(xué)家,近代數(shù)學(xué)發(fā)展的先驅(qū)者.他在22歲時就解決了用根式解5次方程的不可能性