浙江省寧波市九校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 含解析

寧波市期末九校聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.下列求導(dǎo)正確的（）A.B.C.D.【答案】D【解析】ABC導(dǎo)數(shù)乘法運(yùn)算法則判斷D.【詳解】，A不正確；，B不正確；，C不正確；，D正確.故選：D.2.直線的傾斜角的度數(shù)為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由題可得直線斜率，即可得直線傾斜角.【詳解】由題，則直線的斜率為，第1頁(yè)/共25頁(yè)因斜率角范圍為大于等于小于，，則傾斜角為.故選：A3.已知函數(shù)在處有極大值，則的值為（）A.B.C.D.或【答案】C【解析】【分析】由題可得或，然后分別驗(yàn)證可得答案.【詳解】由題，因函數(shù)在處有極大值，則或.若，，，，則在上遞增，在上遞減，此時(shí)在處有極小值，故不滿足題意；若，，，，則在上遞增，在上遞減，此時(shí)在處有極大值，故滿足題意.故選：C4.已知是空間的一個(gè)基底，則下列向量中與向量，能構(gòu)成空間基底的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用空間向量基本定理依次判斷各選項(xiàng)中的向量是否與向量，可作為平面的一個(gè)基底.【詳解】對(duì)于A，因，第2頁(yè)/共25頁(yè)即與向量，共面，故不能構(gòu)成基底，即A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因，即與向量，共面，故不能構(gòu)成基底，即B錯(cuò)誤；對(duì)于C，不妨設(shè)，則有，方程組無(wú)解，即與向量，不共面，故可構(gòu)成基底，故C正確；對(duì)于D，因，即與向量，共面，故不能構(gòu)成基底，即D錯(cuò)誤.故選：C.5.已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)積為，滿足，則時(shí)的的最小值為（）A.2026B.2025C.2024D.2023【答案】B【解析】【分析】先令求出，當(dāng)時(shí)，利用和兩式相除，經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃蔚贸鰯?shù)列是公差為的等差數(shù)列，進(jìn)而求出，最后解不等式即可得出答案.【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，①可得②，①②得：，所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，故，令，又，所以的最小值為.故選：B第3頁(yè)/共25頁(yè)6.已知雙曲線：的左右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)作垂直于軸的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，的內(nèi)切圓圓心分別為，則的周長(zhǎng)是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先得到的內(nèi)切圓與軸的切點(diǎn)為雙曲線右焦點(diǎn)，并求出，由雙曲線定義得到，利用的面積得到方程，求出其內(nèi)切圓半徑，并得到，再由的面積得到方程，求出其內(nèi)切圓半徑，并由勾股定理得到，由對(duì)稱性得到，求出三角形周長(zhǎng).【詳解】由題意得，解得，故，設(shè)的內(nèi)切圓與軸的切點(diǎn)為，由切線長(zhǎng)定理得，由雙曲線定義知，，即，設(shè)，則，，故，故，解得，故為雙曲線的右頂點(diǎn)，第4頁(yè)/共25頁(yè)中，令得，故，故，解得，則Rt的面積為，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，即，解得，即，由對(duì)稱性可知，關(guān)于軸對(duì)稱，設(shè)與軸交點(diǎn)為，則，故，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，又，，故，即，解得，由對(duì)稱性可知，平分，故內(nèi)切圓圓心在軸上，且與切于點(diǎn)，其中，故，，由勾股定理得，故，則的周長(zhǎng)為.故選：C【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：雙曲線焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓的圓心的橫坐標(biāo)為或.第5頁(yè)/共25頁(yè)7.在如圖所示的試驗(yàn)裝置中，正方形框的邊長(zhǎng)為2，長(zhǎng)方形框的長(zhǎng)，且它們所在平面形成的二面角的大小為，活動(dòng)彈子分別在對(duì)角線和上移動(dòng)，且始終保持，則的長(zhǎng)度最小時(shí)的取值為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】作出點(diǎn)在線段上的投影，利用空間向量運(yùn)算求出長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而求出最小值.【詳解】在正方形內(nèi)過(guò)作于，則，，，在矩形內(nèi)過(guò)作于，則，，，，由二面角的大小為，得，又，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最小值時(shí)，.故選：A第6頁(yè)/共25頁(yè)8.已知，方程有實(shí)數(shù)根，則的最小值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】化簡(jiǎn)方程得，接著利用柯西不等式得，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的即可得解.【詳解】由題得，所以，所以由柯西不等式得，所以，所以，又在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以及的最小值為.故選：B第7頁(yè)/共25頁(yè)【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是利用柯西不等式得到不等式.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知函數(shù)，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增B.函數(shù)在的值域?yàn)镃.函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為D.關(guān)于的方程有2個(gè)不同的根當(dāng)且僅當(dāng)【答案】BC【解析】【分析】A通過(guò)判斷在上是否恒大于等于0可得選項(xiàng)正誤；B利用導(dǎo)數(shù)求出在上的單調(diào)性，據(jù)此可得值域；C由導(dǎo)數(shù)知識(shí)可得在點(diǎn)處的切線；D將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn).【詳解】對(duì)于A，，，則在上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由A分析，，則在上單調(diào)遞增，則，故函數(shù)在上的值域?yàn)?；?duì)于C，由題，，則點(diǎn)處的切線方程為，故C正確；對(duì)于D，即圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，由上述分析可得大致圖象如下，則要使圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，，故D錯(cuò)誤.第8頁(yè)/共25頁(yè)故選：BC10.已知橢圓：（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，下列命題正確的是（）A.若橢圓上存在一點(diǎn)使，則橢圓離心率的取值范圍是B.若橢圓上存在四個(gè)點(diǎn)使得，則的離心率的取值范圍是C.若橢圓上恰有6個(gè)不同的點(diǎn)，使得為等腰三角形，則橢圓的離心率的取值范圍是D.若任意以橢圓的上頂點(diǎn)為圓心的圓與橢圓至多3個(gè)公共點(diǎn)，則橢圓的離心率的取值范圍是【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A，設(shè)，，根據(jù)橢圓的定義和結(jié)合余弦定理得到，利用均值不等式得到B得，為直徑的圓與橢圓有4C以為底或一腰兩種情況討論，在第一種情況下，直接確定點(diǎn)為橢圓短軸的端點(diǎn)，在第二種情況下，分析可知，在每個(gè)象限內(nèi)均存在點(diǎn)，使得或，設(shè)點(diǎn)在第一象限，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式可得出關(guān)于、的不等式，即可求出該橢圓離心率的取值范圍；對(duì)于D，，先假設(shè)圓與第9頁(yè)/共25頁(yè)橢圓的公共點(diǎn)有個(gè)，利用對(duì)稱性及已知條件知軸左側(cè)的橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)，，滿足，由此求得，得到的取值范圍，進(jìn)而可得任意以點(diǎn)為圓心的圓與橢圓至多有個(gè)公共點(diǎn)時(shí)橢圓離心率的取值范圍．【詳解】對(duì)于A，設(shè)，，則，，即，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，即，.故A正確；對(duì)于B，由得，，若存在點(diǎn)四個(gè)點(diǎn)使得，以為直徑的圓與橢圓有4個(gè)交點(diǎn)，∴，即，∴，即，故B不正確；對(duì)于C與橢圓短軸的頂點(diǎn)重合時(shí)，是以為底邊的等腰三角形，此時(shí)，有個(gè)滿足條件等腰；（2）當(dāng)構(gòu)成以為一腰的等腰三角形時(shí)，則或，此時(shí)點(diǎn)在第一或第四象限，由對(duì)稱性可知，在每個(gè)象限內(nèi)，都存在一個(gè)點(diǎn)，使得是以為一腰的等腰三角形，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，則，其中，則，或，由可得，所以，，解得，由可得，所以，，解得，綜上所述，該橢圓的離心率的取值范圍是.第10頁(yè)/共25頁(yè)對(duì)于D上頂點(diǎn)為,假設(shè)圓與橢圓的公共點(diǎn)有軸左側(cè)的橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)，，滿足．記直線，的斜率分別為，，且，，．由得，故，．因此，同理.故，即所以由于，，得，因此，①因?yàn)棰偈疥P(guān)于，的方程有解的充要條件是，所以，則，為圓心的圓與橢圓至多有個(gè)公共點(diǎn)的充要條件為離心率的取值范圍為．故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：第11頁(yè)/共25頁(yè)（1）定義法：通過(guò)已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；（3）特殊值法：通過(guò)取特殊位置或特殊值，求得離心率.已知定義域?yàn)樯系暮瘮?shù)滿足下列選項(xiàng)中正確的有（）A.B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，D.【答案】ABD【解析】【分析】令，可求出，再令，可得.對(duì)于A，由裂項(xiàng)求和法可判斷選項(xiàng)正誤；對(duì)于B，由可判斷選項(xiàng)正誤；對(duì)于C，通過(guò)舉反例可完成判斷；對(duì)于D，利用，結(jié)合裂項(xiàng)相消法可得答案.【詳解】令，則，再令，則，即為以1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，則.對(duì)于A，因，則，故A正確；第12頁(yè)/共25頁(yè)對(duì)于B，時(shí)，，因，則，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，因，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由題，下證，即證，由基本不等式這顯然成立，則，對(duì)于任意成立，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào).故，注意到，則，故D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：對(duì)于函數(shù)與數(shù)列綜合題目，賦值法是有力工具；對(duì)于數(shù)列不等式的證明，放縮是常用手段.第Ⅱ卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分．12.已知和分別是等差數(shù)列與等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，，則_____．【答案】9或18【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列定義求得公比，再利用兩數(shù)列各項(xiàng)之間的關(guān)系計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，可得，即，解得或；第13頁(yè)/共25頁(yè)當(dāng)時(shí)，可得，又，所以；此時(shí)；當(dāng)，又，所以；此時(shí)；綜上可得，或18.故答案為：9或1813.已知底面重合的兩個(gè)正四面體和，為的重心，記，則向量用向量表示為_(kāi)____【答案】【解析】【分析】利用空間向量的加減法結(jié)合正三棱錐的幾何特征求解即可.【詳解】設(shè)H為BC的中點(diǎn)，連接AD，交平面OBC與I，由題意得第14頁(yè)/共25頁(yè)故答案：.14.已知函數(shù)，對(duì)任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____.【答案】【解析】【分析】首先可得，依題意可得對(duì)任意恒成立，從而得到對(duì)任意恒成立，則對(duì)任意恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出，即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)閷?duì)任意恒成立，顯然，所以對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以對(duì)任意恒成立，又當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，顯然滿足對(duì)任意恒成立，當(dāng)時(shí)不等式對(duì)任意恒成立，等價(jià)于對(duì)任意恒成立；綜上可得，即對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，第15頁(yè)/共25頁(yè)令，，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，則，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：對(duì)任意對(duì)任意恒成立.四、解答題：本題共5小題，共分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.在平面直角坐標(biāo)系中，圓心為的圓C與y軸相切，動(dòng)直線過(guò)點(diǎn).（1）當(dāng)時(shí)，直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程；（2）圓C上存在點(diǎn)滿足，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）或.（2）【解析】1）先利用弦長(zhǎng)公式求得圓心到直線的距離，然后根據(jù)直線的斜率存在與不存在分類討論，利用點(diǎn)到直線距離公式列出關(guān)于k的方程，求解即可；（2）設(shè)，由題意利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得M的軌跡方程，然后利用兩圓有公共點(diǎn)列不等式求解即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，圓心為，圓的方程，則圓心到直線的距離為.若直線的斜率不存在時(shí)，則，此時(shí)直線與圓相切，不符合題意；若直線的斜率存在，可設(shè)直線的方程為，即.第16頁(yè)/共25頁(yè)則，得，解得，所以直線的方程為或.【小問(wèn)2詳解】記圓的半徑為，因?yàn)?，則，設(shè)，由得，化簡(jiǎn)得：，即，所以的軌跡為圓，記圓心為，半徑為，圓上存在點(diǎn)滿足，即圓和圓有公共點(diǎn)，所以，所以，所以，所以，解得，因?yàn)椋?，所以?shí)數(shù)的取值范圍為.16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，令.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】1）利用與的關(guān)系式，結(jié)合題意可得，從而得證；（2）利用分組求和法與錯(cuò)位相減法可得答案.【小問(wèn)1詳解】第17頁(yè)/共25頁(yè)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，兩式相減可得：，又，則當(dāng)時(shí)，，是等比數(shù)列；【小問(wèn)2詳解】由（1）有是等比數(shù)列，且公比為2，首項(xiàng)為，，則，記，則，兩式相減得，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為.17.如圖五面體是菱形，是以角為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)第18頁(yè)/共25頁(yè)（1）求證：平面（2）若點(diǎn)在平面的射影恰好是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)且滿足，求平面與平面所成角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）.【解析】1）取的中點(diǎn)，利用線面平行的判定定理分別證明平面與平面，再結(jié)合面面平行的判定定理證得平面平面，因平面，即可證得平面；（2）由已知結(jié)合投影性質(zhì)與等腰直角三角形性質(zhì)，可得直線兩兩互相垂直，且，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面與平面的法向量，即可代入公式求解答案.【小問(wèn)1詳解】證明：取的中點(diǎn)，連接，如圖所示，是的中點(diǎn)，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，，而平面，平面，平面,菱形，，，第19頁(yè)/共25頁(yè)又分別是的中點(diǎn)，四邊形是平行四邊形，而平面，平面，平面，又，平面,平面平面，而平面，平面.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在平面的射影恰好是棱的中點(diǎn)，所以取的中點(diǎn)，連接，則平面，因?yàn)槭且越菫轫斀堑牡妊苯侨切?，所?故以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.根據(jù)，可得，不妨設(shè)，則，，所以，，,平面的法向量為，設(shè)平面法向量為，第20頁(yè)/共25頁(yè)，,設(shè)平面與平面所成角，則則，所以平面與平面所成角的余弦值為.18.已知是拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為．（1）求拋物線的方程；（2作拋物線，與拋物線交于（①求證：點(diǎn)在定直線上；②記的面積分別為，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）①證明見(jiàn)解析；②【解析】1）根據(jù)條件可得，即可求解；（2）①設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得兩切線方程為，，進(jìn)而可得到直線的方程為，再結(jié)合條件，即可求解；②利用①中結(jié)果，可得直線，間的關(guān)系，再結(jié)合條件，得到，再聯(lián)立方程，即可求解.【小問(wèn)1詳解】第21頁(yè)/共25頁(yè)由題知拋物線中過(guò)焦點(diǎn)最短的弦長(zhǎng)為通徑，即，得到，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】①設(shè)，由，得到，所以，得到，即，同理，，又點(diǎn)在線上，所以，故直線的方程為，即，因?yàn)?，所以，又，所以，得到，所以點(diǎn)在定直線上.②，由①有直線，過(guò)點(diǎn)，直線，聯(lián)立，消得到，所以，又由，消