浙江省衢州市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期1月教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題 含解析

學(xué)年浙江省衢州市高二上學(xué)期1月教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題?85分在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1已知，，若，則（）A.B.C.1D.0【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標運算即可求解.【詳解】因為，，，所以，解得故選：B2.已知數(shù)列是等差數(shù)列，，，則（）A.7B.8C.9D.10【答案】C【解析】【分析】利用等差數(shù)列的通項公式先求公差，再求【詳解】，，，則，，故選：C3.已知拋物線C：，則拋物線C的準線方程為（）A.B.C.D.【答案】A第1頁/共23頁【解析】【分析】拋物線C的方程化為標準方程為，可得，即可得出準線方程．【詳解】拋物線C的方程為，化為標準方程為，即，，則其準線方程為故選：A.4.已知方向向量為的直線傾斜角為，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定的方向向量求出直線的斜率，再結(jié)合同角基本關(guān)系式和正弦二倍角公式即可求解.【詳解】由題意可知，.故選：C5.已知圓C：，直線l：，則直線l被圓C截得的最短弦長為（）A.B.2C.D.4【答案】C【解析】【分析】先求得直線過定點，再根據(jù)當(dāng)定點與圓心連線垂直于直線l時，被圓截得弦長最短，結(jié)合勾股定理即可求解.【詳解】由題意，直線l：過定點，第2頁/共23頁圓心，半徑，因為，所以點P在圓內(nèi)，當(dāng)直線CP與弦垂直時，弦長最短，且，所以最短弦長為故選：C6.已知正項數(shù)列，滿足，，則（）A.2B.C.2024D.【答案】D【解析】【分析】用相減法求得的關(guān)系，用連乘法求得結(jié)論．【詳解】因為，所以當(dāng)時，，兩式相減，得，所以，所以，所以，所以，因為數(shù)列為正項數(shù)列，所以，所以，第3頁/共23頁所以，所以，又，所以，所以故選：D．7.反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，兩條坐標軸是它的漸近線，若以其中心為原點，實軸所在的直線為x軸，重新建立直角坐標系，則雙曲線在新坐標系中的方程為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)實軸與函數(shù)的交點得出，即可得出雙曲線方程.【詳解】反比例函數(shù)的圖象是等軸雙曲線，且實軸所在的直線為，聯(lián)立，得或，則，則雙曲線在新坐標系中的方程為故選：C.8.紙上畫有一圓O，在圓內(nèi)任取一定點異于點，將紙片折疊，使折疊上去的圓弧經(jīng)過A，然后展開線（）A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線第4頁/共23頁【答案】B【解析】【分析】記圓O半徑為，設(shè)點A關(guān)于直線的對應(yīng)點為，連接交直線于點，連接，計算，根據(jù)橢圓定義可得．【詳解】如圖，圓半徑為，是一條折痕，點關(guān)于的對稱點在圓上，連接交直線于，則，所以，所以點軌跡是以為焦點的橢圓，橢圓長軸長為．故選：B二、多選題：本題共3小題，共分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知數(shù)列、都是正項等比數(shù)列，則（）A.數(shù)列是等比數(shù)列B.數(shù)列是等比數(shù)列C.數(shù)列是等差數(shù)列D.數(shù)列是等比數(shù)列【答案】BC【解析】【分析】利用特例法可判斷AD選項；利用等比數(shù)列的定義可判斷B選項；利用等差數(shù)列的定義可判斷C選項.【詳解】因為數(shù)列、都是正項等比數(shù)列，所以設(shè)數(shù)列，的公比分別為、，且，，且對任意的正整數(shù)有，成立,第5頁/共23頁對于A選項，不妨設(shè)，，滿足、都是正項等比數(shù)列，此時，因為，，所以，此時數(shù)列不是等比數(shù)列，故A不正確；對于B選項，因為，所以數(shù)列是等比數(shù)列，故B正確；對于C選項，因為為常數(shù)，所以數(shù)列是等差數(shù)列，故C正確；對于D，設(shè)，，滿足、都是正項等比數(shù)列，此時，，，所以，，所以，所以數(shù)列不是等比數(shù)列，故D不正確.故選：BC.10.已知拋物線C：F的直線與拋物線交于、x軸交于點D，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.線段AB中點到準線的距離最小值為2C.若直線AB的斜率為，則D.為直線AB的傾斜角【答案】BCD【解析】【分析】設(shè)直線方程為聯(lián)立，，進行代換，得到第6頁/共23頁.用直線的斜率，和兩角的和差正切公式可得到答案.【詳解】解：對于A：由題意，焦點，，直線AB的斜率不為0，不妨設(shè).設(shè)直線方程為，由，消去x可得，則，則，所以，A錯誤；對于B；，故中點到準線的距離為，當(dāng)且僅當(dāng)，即直線軸時，等號成立.故線段AB中點到準線的距離最小值為2，B正確；若直線AB的斜率為，則，則，C正確；當(dāng)時，軸，，，則，此時；當(dāng)時，，則，根據(jù)兩角的差的正切公式可得，，第7頁/共23頁則，又，，所以，則，綜上，D正確.故選：BCD.已知P為棱上Q為平面Q到直線和到平面ABCD的距離相等，則下列表述正確的是（）A.存在點P使得直線與平面所成的角為B.存在直線PQ與平面所成的角大于二面角C.點Q所在的曲線可能為雙曲線D.點Q所在的曲線可能為拋物線【答案】ACD【解析】【分析】以D為坐標原點，DA，DC，所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，求出直線與平面所成的角的正弦值范圍可判斷A；求出直線PQ與平面所成的角以及二面角的平面角的正切值，比較正切值的大小可以判斷B；根據(jù)為軸，A為頂點，與軸夾角為的圓錐面與平面的交線不同情況下的軌跡形狀可判斷CD.【詳解】以D為坐標原點，DA，DC，所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：不妨設(shè)正方體的棱長為2，第8頁/共23頁則，，，，可設(shè)，，則，，，，，，對于A，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，即，設(shè)直線與平面所成的角為，則，因為，所以，即，而，故存在點P使得直線與平面所成的角為，故A正確；對于B，如上圖，取的中點為O，連接，PO，則，又，所以，可知即為二面角的平面角，則，設(shè)直線PQ與直線交于點H，因為平面，所以即為直線PQ與平面所成的角，則，第9頁/共23頁因為，所以，則，即，即直線PQ與平面所成的角小于等于二面角，故B錯誤；對于CD，如圖：因為點Q到直線和到平面ABCD的距離相等，則點Q的軌跡即為以為軸，A為頂點，與軸夾角為的圓錐面與平面的交線，當(dāng)點P不與點A和點重合時，因為，，，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，則直線與平面所成角為，則，當(dāng)時，，此時直線與平面所成角等于，則點Q的軌跡為拋物線；當(dāng)時，，即，則點Q的軌跡為雙曲線，故CD正確.故選：ACD.第10頁/共23頁【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答本題的關(guān)鍵有兩點：1，建立空間直角坐標系，求線面角與二面角平面角；2，利用平面與圓錐曲面的交點判斷動點軌跡形狀.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.若橢圓E：的左右焦點為、，上頂點為P，則________.【答案】##【解析】【分析】由橢圓的方程可得的值，由橢圓的定義可得的值，在中求得，進而可得.【詳解】由題意，得，，在中，，又，則，則故答案為：.13.類似二維向量，定義n維向量空間中，，兩點間“距離”校服公司根據(jù)經(jīng)驗，得出8種標準型號及相應(yīng)測量參數(shù)，如表．學(xué)生身材數(shù)據(jù)按身高、胸圍、腰圍、肩寬排列，用四維向量表示，看作四維向量空間中的一個點．8種標準型號為8“距離”8生身高172cm，胸圍89cm，腰圍73cm，肩寬38cm，此人身材點應(yīng)歸類為________型號．型號身高胸圍腰圍肩寬XXS150766234XS155806636S160847038第11頁/共23頁M165887440L170927842XL175968244XXL1801008646XXXL1851049048【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩點間“距離”定義對各種型號的四維數(shù)據(jù)分別進行計算驗證可得結(jié)果.【詳解】設(shè)某學(xué)生身材點為，則，，，，，，，，可知最小，所以此人身材點應(yīng)歸類為L，故答案為：14.已知雙曲線C：，直線l是雙曲線C右支的一條切線，與C的漸近線交于A、B兩點，若AB的中點為，且三角形OAB的面積，則雙曲線離心率為________.第12頁/共23頁【答案】【解析】【分析】根據(jù)得出，再聯(lián)立求出點A的橫坐標，點B的橫坐標，再結(jié)合中點為即可求出離心率.【詳解】如圖：設(shè)，，A到直線OM的距離為d，由題意解得，過點A作直線OM的平行線，設(shè)其方程為，直線OM的方程為，可知兩平行線距離，則，得，所以過點A作直線OM的平行線：同理得過點B作直線OM的平行線：第13頁/共23頁聯(lián)立，，解得點A的橫坐標，同理聯(lián)立，，解得點B的橫坐標，因為AB的中點為，則，得，得，，解得或所以雙曲線離心率故答案為:四、解答題：本題共5小題，共分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知圓M經(jīng)過和，且圓心在直線上．（1）求圓M的方程；（2）若圓N：與圓M外切，求實數(shù)a的值．【答案】（1）（2）【解析】1和為端點的線段的垂直平分線，將所得直線與心坐標，進而得到圓的方程；第14頁/共23頁（2）根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系求解即可.小問1詳解】以和為端點的線段的中點為，斜率為，所以以和為端點的線段的垂直平分線為：，即圓心在上，又圓心在直線上，由，解得，所以圓心為，半徑為，所以圓M的方程為：；【小問2詳解】圓，所以圓心，半徑，因為圓M與圓N外切，所以，所以，所以16.已知在三棱錐中，，，，，（1）證明：平面平面ABC；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】1）根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明；第15頁/共23頁（2）用向量法求二面角的余弦值即可求解.【小問1詳解】取BC的中點為點O，AC的中點為點E，連接DO，EO，因為為等腰直角三角形，故，故，在中，，，在中，，，，，，，且EO、面ABC，面ABC，又面BCD，面面【小問2詳解】由（1）得面ABC，，所以可以以點為坐標原點，過點作平行于的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，設(shè)平面BCD的法向量，，設(shè)平面ABD的法向量，第16頁/共23頁，，，，，，二面角的正弦值為17.已知數(shù)列滿足且，數(shù)列滿足且（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和【答案】（1），；（2）【解析】1）利用構(gòu)造法求，裂項相消法求；（2）利用錯位相減法求和即可.【小問1詳解】因為，所以，又因為，所以是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，，因為，所以第17頁/共23頁，又因為也適合，所以；【小問2詳解】因為，所以①，②，①-②得，所以.18.已知橢圓E：的右焦點為F，點在橢圓E上，軸．（1）求橢圓E的方程；（2）過點的直線l與橢圓E交于不同的兩點B，C，直線AB，AC分別與x軸交于點M，N，當(dāng)?shù)拿娣e為9時，求直線l的方程．【答案】（1）（2）【解析】1）由題意可直接求得，代入點的坐標即可求得橢圓方程；（2）分別寫出直線的方程，求得的坐標，表示三角形的面積，根據(jù)三角形的面積即可求得直線的斜率，進而得到直線方程.【小問1詳解】軸，，又點在曲線上，第18頁/共23頁，橢圓E的方程為【小問2詳解】根據(jù)題意畫如下圖：①當(dāng)直線l的斜率不存在時，不符合題意②設(shè)直線l的方程為，，直線I方程與橢圓方程聯(lián)立得，，，得或，，直線BA所在的直線方程為：，得直線CA所在的直線方程為：，得，第19頁/共23頁或舍去直線l的方程為19.集合，，稱…為集合A的交錯和，為集合A所有子集的交錯和之和.（1）若，求；（2）若，求；（3）若（B的元素個數(shù)有多少種情況【答案】（1）（2）16（3）種【解析】1）根據(jù)定義直接求解即可；（2）首先求出所有子集的交錯和，然后求和即可（3）采用從特殊到一般的方法，然后證明即可【小問1詳解】【小問2詳解】分類列舉A所有子集：單元素集為單元素集所有交錯和之和為雙元素集為，，，第20頁/共23頁，,，雙元素集所有交錯和之和為，三元素集為，，，三元素集所有交錯和之和為四元素集，,，四元素集所有交錯和之和五元素集為，五元素集所有交錯和之和所以，【小問3詳解】要使元素少，那么出現(xiàn)重復(fù)的數(shù)值就要