浙江省寧波市余姚市2023-2024學年高一下學期期末考試 數學 含解析

學年浙江省寧波市余姚市高一（下）期末數學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．將直角三角形繞其一條直角邊所在的直線旋轉一周，所得的幾何體是（）A．圓柱B．圓臺C．圓錐D．兩個圓錐2mnαβm?αn?β）A．若m∥β，則m∥nB．若m⊥β，則α⊥βC．若m∥n，則α∥βD．若m⊥n，則m⊥β31）A．8B．2+2C．4D．84．從裝有兩個紅球和兩個黑球的口袋內任取兩個球，那么互斥而不對立的兩個事件是（）ABCD5．在△ABC中，，則△ABC的最大內角等于（）A．105°B．120°C．125°D．150°6．某試驗田種植甲、乙兩種水稻，面積相等的兩塊稻田（種植環(huán)境相同）連續(xù)5次的產量如下：甲/kg260250210250280乙/kg220260230250290則下列說法錯誤的是（）A．甲種水稻產量的眾數為250B．乙種水稻產量的極差為70第頁（共頁）C．甲種水稻產量的平均數等于乙種水稻產量的平均數D．甲種水稻產量的方差大于乙種水稻產量的方差7．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若acosC＝2ccosA，則的最大值為（）A．B．C．D．38||＝||＝1，＝+x（x∈（x||x＝（x在上的投影向量為（）A．B．C．﹣D．﹣二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．已知復數z＝2﹣i，z＝2+i，則（）A．z﹣z2為純虛數B．復數zz2在復平面內對應的點位于第四象限C．z?＝?z（注意：表示復數z的共軛復數）D．滿足|z﹣z|＝|z﹣z|的復數z在復平面內對應的點的軌跡為直線10ABCabc分別為角ABCS為△ABCABC只有一個解的是（）A．a＝1，b＝2，c∈+B．a＝1，b＝2，acosB+bcosA＝2ccosBC．D．a＝1，b＝2，A+B＝2CABC﹣ABC1ABC＝90AB＝BC＝CC＝2M為線段BC）A．AB⊥AM第頁（共頁）B．三棱錐C﹣AMB1的體積不變C．|AM|+|CM|的最小值為DM是BC的中點時，過AMC1三點的平面截三棱柱ABC﹣ABC1外接球所得的截面面積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分。12．已知復數z＝1﹣i，i為虛數單位，則||＝．13．在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點，若＝λ+μ，其中λ、μ∈，則λ+μ＝．14O12ABCD的中心為OEFGH為圓OABEBCFCDGADH分別是以ABBCCDDA為底邊的等腰三角形，沿虛線剪開后，分別以AB，BC，CD，DA為折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH使得點E，F，G，H重合，得到一個四棱錐．當該四棱錐的側面積是底面積的2倍時，該四棱錐的外接球的表面積為．四、解答題：本題共5小題，共分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。1513分）已知向量與的夾角θ＝，且||＝3，||＝2．（1）求，|+|；（2）求與+的夾角的余弦值．1615分）樹立和踐行“綠水青山就是金山銀山，堅持人與自然和諧共生”的理念越來越深入人心，已選出2002001組[15252組[25353組[35454組[45，555組[55，65（1）求出a的值；第頁（共頁）（2）求這200人年齡的樣本平均數（同一組數據用該區(qū)間的中點值作代表）和中位數（精確到小數點（312組中用分層抽樣的方法抽取55人中隨機抽取2人進行問卷調查，求這2人恰好在同一組的概率．17．如圖，在多面體PABCDE中，PA⊥平面ABCD，DE∥PA，PA＝2DE＝2AD＝4，四邊形ABCD是正方形．（1）求直線BE與平面ADEP所成角的余弦值；（2）證明：PE⊥平面ABE；（3）求平面BCE與平面ADEP所成的二面角的平面角的大?。?817分）品酒師需定期接受酒味鑒別功能測試．一種通常采用的測試方法如下：拿出n瓶外觀相同但這n低對其酒味鑒別能力進行評價．現設n＝3，分別以a，a，a3表示第一次排序時被排為1，2，3的三種酒在第二次排序時的序號，并令X＝|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|X是對兩次排序的偏離程度的一種描述．若兩輪測試都有X＝0X≤2，且至少有一輪測試出現X≠0第頁（共頁）被授予“一級品酒師”稱號．（1）用下列表格形式寫出第二次排序時所有可能的a，a，a3排序結果，并求出相應的X值；a，a，a3X1，2，30……（2D（D（3）甲連續(xù)兩年都參加了兩輪測試，兩年測試結果相互獨立，記事件E＝“在這兩年中甲至少有一次P（E1917分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，其面積記為S，且滿足．（1）求角B；（2）D為AC邊上一點，BD＝2，且，求S的最小值．（3O是△ABCP是圓OPMPN分別切圓O于點MNb＝1的最小值．第頁（共頁）學年浙江省寧波市余姚市高一（下）期末數學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1C【分析】根據圓錐的幾何特征，可得答案．【解答】解：將直角三角形繞其一條直角邊所在的直線旋轉一周，所得的幾何體是圓錐，故選：C．【點評】本題考查的知識點是旋轉體，正確理解圓錐的幾何特征是解答的關鍵．2B【分析】通過舉反例可判斷ACD，由面面垂直判定定理可判斷B．【解答】解：在正方體ABCD﹣ABCD1中，記平面ABCD為α，平面ADDA1為β，（1）當記AA1為n，直線BC為m時，可知A錯誤；（2）當記AD1為n，直線BC為m時，可知C錯誤；（3）記AC為m，AA1為n時，可知D錯誤；由面面垂直判定定理可知B正確．故選：B．【點評】本題考查了空間中直線與平面、平面與平面的關系，屬于基礎題．第頁（共頁）3A圖形中對應的點，用直線段連結后得到原四邊形，然后求解平行四邊形的周長即可．【解答】解：還原直觀圖為原圖形如圖，因為O′A′＝1，所以O′B′＝，還原回原圖形后，OA＝O′A′＝1，OB＝2O′B′＝2．OC＝＝3，所以原平面圖形的周長為：3+1+3+1＝8．故選：A．【點評】本題考查了平面圖形直觀圖的畫法，解答的關鍵是熟記斜二測畫法的要點和步驟，是基礎題．4B【分析】利用互斥事件和對立事件的定義求解．A中的兩個事件不是互斥事件；“恰有一個黑球”與“恰有兩個黑球”不能同時發(fā)生，但能同時不發(fā)生，故B中的兩個事件互斥而不對立；“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”能同時發(fā)生，故C中的兩個事件不是互斥事件；“至少有一個黑球”與“都是紅球”是對立事件．故選：B．的合理運用．5A【分析】利用正弦定理可得sinC，根據大邊對大角可求C為銳角，進而可求C的值，根據三角形內角和定理可求B的值，即可得解．第頁（共頁）【解答】解：∵在△ABC中，，∴由正弦定理得，即，得，∵，∴A＞C，即0°＜C＜90°，∴C＝30°，B＝180°﹣A﹣C＝105°，∴△ABC的最大內角為B＝105°．故選：A．屬于基礎題．6D【分析】根據平均數，極差，眾數，方差的計算公式計算出結果，逐個判斷各個選項即可．【解答】解：對于A，由題意，得甲種水稻產量的眾數為250，故A正確，對于B，乙種水稻產量的極差為290﹣220＝70，故B正確，對于C，甲種水稻產量的平均數為，乙種水稻產量的平均數為，故C正確，對于D，甲種水稻產量的方差為，乙種水稻產量的方差為．所以甲種水稻產量的方差小于乙種水稻產量的方差，故D錯誤，故選：D．【點評】本題主要考查了眾數，極差，平均數，方差的計算，屬于基礎題．7C【分析】由題意利用余弦定理以及基本不等式即可求解．【解答】解：因為acosC＝2ccosA，所以由余弦定理可得a?＝2c?，整理可得3a2＝b2+3c2，所以3a2＝b2+3c2≥2bc，即≤，當且僅當b＝時等號成立，第頁（共頁）即的最大值為．故選：C．想，屬于基礎題．8C【分析】根據一元二次函數的性質，投影向量的定義即可求解．【解答】解：∵||＝||＝1，＝+x（x∈∴x∈∴當x＝＝時，取得最小值，即||＝f（x）也取得最小值，∴，∴，∴在上的投影向量為＝．故選：C．【點評】本題考查一元二次函數的性質，投影向量的定義，屬基礎題．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9AD【分析】結合復數的四則運算，復數的幾何意義，復數的概念，復數模公式，即可求解．【解答】解：z＝2﹣i，z＝2+i，則z﹣z＝﹣2i為純虛數，故A正確；zz＝（2﹣i2+i）＝5，則復數zz2在復平面內對應的點（5，0）位于x軸上，故B錯誤；，，二者不相等，故C錯誤；設z＝a+bi（a，b∈|z﹣z|＝|z﹣z|，則（a﹣2）2+（b+1）2＝（a﹣2）2+（b﹣1）2，解得b＝0，故復數z在復平面內對應的點的軌跡為x軸，即直線，故D正確．第頁（共頁）故選：AD．【點評】本題主要考查復數的四則運算，復數的幾何意義，復數的概念，復數模公式，屬于基礎題．10ABDAB，根據面積公式可得，進而得角C有兩個值，可判斷C，根據內角和即可判斷D．【解答】解：對于A：由三角形三邊關系可得：b﹣a＜c＜b+a，所以1＜c＜3，因為c∈，故c＝2，故A正確．對于B：由acosB+bcosA＝2ccosB?sinAcosB+sinBcosA＝2sinCcosB，故sin（A+B）＝2sinCcosB?sinC＝2sinCcosB?cosB＝＝，可得：c2﹣c﹣3＝0，由此解得c＝，故三角形唯一，B正確，對于C：＝＝??或者C錯誤．對于D：A+B＝2C，A+B+C＝π，故，兩邊及其夾角，此三角形唯一，故D正確．故選：ABD．用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．ABD【分析】由線面垂直證明線線垂直證明選項A；，由底面積和高判斷體積驗證選項B；|AM|+|CM|轉化為點和點（2，2）到點（0，t）的距離之和，計算驗證選項C；通過構造直角三角形求截面半徑，計算體積驗證選項D．【解答】解：連接AB，如圖所示，第頁（共頁）直三棱柱ABC﹣ABC1中，AB＝BC＝CC＝2，ABAB1為正方形，AB⊥AB，∠ABC＝90°，BC⊥平面ABBA，AB?平面ABBA，BC⊥AB，AB，BC?平面ABC，AB∩BC＝B，AB⊥平面ABC，AM?平面ABC，AB⊥AM，A選項正確；由直三棱柱的結構特征，，故三棱錐C﹣AMB1的體積為定值，B選項正確；設BM＝t，0≤t≤2，MC＝2﹣t，，，，其幾何意義是點和點（2，2）到點（0，t）的距離之和，最小值為點到點（2，2）的距離，為，C選項錯誤；當M是BC的中點時，，，，，設點C到平面MAC1的距離為h，由，得，直三棱柱ABC﹣ABC1是正方體的一半，外接球的球心為AC的中點O，外接球的半徑，點O到平面MAC1的距離為，則過A，M，C1三點的平面截三棱柱ABC﹣ABC1外接球所得截面圓的半徑為，截面面積為選項正確．故選：ABD．第頁（共頁）【點評】本題考查了立體幾何的綜合應用，屬于中檔題．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分。12【分析】利用共軛復數的定義、模的計算公式即可得出．【解答】解：∵復數z＝1﹣i，∴＝1+i．則||＝＝．故答案為：．【點評】本題考查了共軛復數的定義、模的計算公式，屬于基礎題．13＝，＝和＝（+＝λ+μλ和μ的值．【解答】解析：設＝，＝，那么＝+，＝+，又∵＝+，∴＝（+λ＝μ＝，∴λ+μ＝．故答案為：．【點評】本題考查向量的共線定理的應用，用＝和＝作為基底，表示出，也表示出λ+μ，利用＝λ+μ，解出λ和μ的值．14【分析】連接OE交AB于點I，設E，F，G，H重合于點P，正方形的邊長為x（x＞0）cm，則，求出x的值，再利用勾股定理求R，代入球的表面積公式，即可得答案．第頁（共頁）【解答】解：連接OE交AB于點I，設E，F，G，H重合于點P，正方形的邊長為x（x＞0）cm，則，因為該四棱維的側面積是底面積的2倍，所以，解得x＝4．設該四棱錐的外接球的球心為Q，半徑為R，如圖，則，所以，解得，所以外接球的表面積為．故答案為：．【點評】本題考查四棱錐外接球的表面積，考查學生的運算能力，屬于中檔題．四、解答題：本題共5小題，共分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。151）﹣6；；（2）．1）由平面向量數量積的運算法則，可得的值；由|+|＝，再代入相關數據，得解．（2）先求出?（+）＝3，設與+的夾角為θ，由cosθ＝，得解．1）＝||?||cos＜，＞＝3×2×cos＝﹣6，|+|＝＝＝＝．（2）由題意知，?（+）＝+＝9+（﹣6）＝3，第頁（共頁）設與+的夾角為θ，則cosθ＝＝＝，故與+的夾角的余弦值為．【點評】本題考查平面向量的混合運算，熟練掌握平面向量的加法和數量積的運算法則是解題的關鍵，考查運算求解能力，屬于基礎題．161）0.035；（2）平均數為41.5歲；中位數為42.1歲；（3）．1）由頻率分布直方圖的性質列方程，能求出a；（2）由頻率分布直方圖的性質能求出平均數和中位數；（312組的人數分別為203012組中用分層抽樣的方法抽取512組抽取的人數分別為2人，3人，分別記為a，a，b，b，b，從5人中隨機抽取2人，利用列舉法能求出這2人恰好在同一組的概率．1）由頻率分布直方圖的性質得：10×（0.010+0.015+a+0.030+0.010）＝1，得a＝0.035；（2）平均數為；20×0.1+30×0.15+40×0.35+50×0.3+60×0.1＝41.5歲；設中位數為m，則10×0.010+10×0.015+（m﹣35）×0.035＝0.5，∴m＝42.1歲；（3）第1，2組的人數分別為20人，30人，從第1，2組中用分層抽樣的方法抽取5人，則第1，2組抽取的人數分別為2人，3人，分別記為a，a，b，b，b，從5人中隨機抽取2人，包含的基本事件為：{a，a}，{a，b}，{a，b}，{a，b}，{a，b}，{a，b}，{a，b}，{b，b}，{b，b}，{b，b}共10個基本事件，這2人恰好在同一組的基本事件為：{a，a}，{b，b}，{b，b}，{b，b}共4個，所以這2人恰好在同一組的概率．法等基礎知識，考查運算求解能力、數據分析能力，是基礎題．171）23）45°．第頁（共頁）1）先證明AB⊥平面ADEP，得出∠BEA就是直線BE與平面ADEP所成角，即可求解；（2）根據線面垂直的判定定理即可得證；（3）建立空間直角坐標系，分別求出平面BCE與平面ADEP的法向量，利用向量夾角公式即可求解．1）因為PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，所以PA⊥AB，因為ABCD為正方形，所以AB⊥AD，又AP∩AD＝A，AP，AD?平面ADEP，所以AB⊥平面ADEP，故∠BEA就是直線BE與平面ADEP所成角，在Rt△ABE中，易得AB＝2，，所以，，所以直線BE與平面ADEP所成角的余弦值為；（2）證明：因為PA⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PA⊥AD，因為DE∥PA，PA＝2DE＝2AD＝4，所以四邊形ADEP為直角梯形，所以，，在△PEA中，PE2+EA2＝PA2，則PE⊥EA，故∠PEA＝90°，因為PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，所以PA⊥AB，在Rt△PAB中，，在△PEB中，，PE2+BE2＝PB2，所以PE⊥EB，由（1）知PE⊥EA，又EA∩EB＝E，EA，EB?平面ABE，所以PE⊥平面ABE；（3）由（1）知AB，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，第頁（共頁）則A（0，0，0B（2，0，0C（2，2，0D（0，2，0E（0，2，2可得，，設平面BCE的法向量為，則，令x＝1，則z＝1，y＝0，設平面BCE的法向量為，易知AB⊥平面ADEP，所以平面ADEP的一個法向量為，設平面BCE與平面ADEP所成的二面角的平面角為θ，則|cosθ|＝＝，結合圖像，易知平面BCE與平面ADEP所成的二面角為銳角，所以θ＝45°．【點評】本題考查空間角的計算以及線面垂直的判定，屬于中檔題．181）見解析；（2）；（3）．1）根據題意可得第二次排序時所有可能的a，a，a3排序及相應的X值列表；（2）令A表示事件“X＝0“，B表示事件“X＝2“，C表示事件“X＝4“．由（1）知道．甲參加第一輪測試X值記為X，參加第二輪測試X值記為X，第頁（共頁）記事件D＝“X＝0，X＝2“，D＝“X＝2，X＝0“，D＝“X＝2，X＝2“，D＝D∪D∪D，根據相互獨立與互斥事件的概率計算公式即可得出結論．（3Eii＝12E＝E∪E立與互斥事件