大學巖石力學講義1

第一章巖石的力學性質

巖石和巖體的力學性質，是礦山巖體力學的基本問題。巖石的力學性質主要指：在各種

載荷作用下，它們的變形特征，出現(xiàn)塑性流動和發(fā)生破壞的條件。表征巖石力學性質的參數(shù)

如下：

變形參數(shù)：巖石的變形摸量，彈性摸量，切變摸量，泊松比和流變性等。

強度特性參數(shù)：巖石抗拉，抗彎，抗煎，抗壓等各加強度極限。

第一節(jié)、巖石的成分及結構與其力學性質的關系

巖石是多種礦物顆粒的集合體。巖石一般有下列十余中主要礦物組成，即長石（正長石、

斜長石）、石英、云母（黑云母、白云母）、角閃石、輝石、橄欖石、方解石、白云石、高嶺土、

赤鐵礦等。它們在礦石中的含量按巖石成因而異。

巖層按成因分類為：

巖漿巖一系由巖漿在地殼內不同深度冷凝而成：

沉積巖一是由已有巖體經風化、崩潰、搬遷、再膠結或化學作用而形成；

變質巖一則由已有巖石在高溫高壓條件下經過改變而形成的。

基本概念

（1）、巖石的結構：巖石的礦物顆粒的大小、形狀、表面特征、顆粒相互關系、膠結類型

等特征。

（2）、巖石的構造：巖石的組成部分在定向的排列情況。如層面、斷層（幾何特征）.

晶體結構是巖漿巖和變質巖的最大特征，也是很多沉積巖的特征。

（3）、礦物的晶體：構成礦物的各種化學元素的原子：離子）在空間一定規(guī)律排列，使其

具有規(guī)則的幾何形狀的固體稱為晶體。

（4）、礦物的晶體的結構類型：等粒結構，不等粒結構，斑狀結構。

圖1-1是典型晶體結構類型

圖1-1晶體緒構類型

（。）等粒結構，（匕）不等粒結構J（c）,狀結構

巖漿巖和變質巖的晶體結構與巖石力學性質的關系：晶粒細小，等粒狀，巖石強度大。

顆粒大的斑狀結構晶體內部或晶粒間含有缺陷，巖石強度低。

沉積巖的結構與力學性質的關系

沉積巖中的巖石碎屑之間由膠結物將連結在一起。其力學性質取決于膠結物和膠結類

型。

圖1.2膠結類型

（o）莒質膠結，（抗接觸膠結，＜c）孔隙膠結

1一膠結物質，2—顆粒?3—未被充填的孔隙

基質膠結：巖石碎屑枝膠結物包圍，強度取決于膠結物。

接觸膠結：僅顆粒接觸處有膠結物，膠結不牢，強度低，透水性強。

孔隙膠結：膠結物完全成部分地充填與顆粒孔隙之間。膠結牢固，所以巖石強度和透水

性主要由膠結物性質及充填程度確定。

膠層物分類：硅質和鐵質強度高，鈣質次之，泥質最低。

沉積強度主要取決于膠結物性質及充填程度。

除構成巖石的礦物顆粒大小，結合方式對其力學性質有影響外，礦物的排列方式（構造）

及沉積順序亦表現(xiàn)出影響，如云母片巖、片麻巖、頁巖等，則表現(xiàn)出力學性質的各向異性。

第二節(jié)影響巖石力學性質的物理特性

一、容重和比重

1、容重

式中一容重：用一巖石試件重量；V—巖石試件體積

巖石容重與巖性和成因有關,從巖石力學的角度，巖石的容重和比重影響到巖石的自

重應力場和慣性質量

巖石容重的測試方法，

2、比重

巖石比重是扣除孔隙的巖石干重和其實體積之比，再與4c水的容重之比。

以

式中AR—巖石比重；WL巖石試件在烘箱中烘至105℃保持恒溫、恒重時，巖石固體重量;

—扣除孔隙的巖石試件固體部分的體積；一4C時水的容重。

二、巖石的孔隙度

巖石的孔隙度是巖石試件中孔隙體積與包括孔隙的巖石體積之比，直接測最孔隙體積是

困難的，一般通過測量巖石重量，再通過一些換算公式則量巖石的孔隙

T-VV

-2xl(X)%

py

式中做一為水飽和的巖石試件重量(如某種巖石與水有化學反應時，應改用與巖石無化學反

應的液體)：WL干燥巖石試件的重量：丫一巖石試件體積：一液體的密度。

幾種巖石的容重、比重、孔隙度見下表

我1-1幾種巖石的容?、比?、孔隙度

容重孔隙咬

巖石名再比?

(8/cm1)n(%)

花崗巖2?6?2.72?5~2?8SQ.5?L5

粗玄巖3?。?3.05

流蚊巖2.4?2.64?0~6?0

安山巖2.2~2.32?4~2?8

理長巖3.0-3.12.7—3.20.1?。.2

玄武巖2.8?2.92.6?3.30“~1?0

_______________

2?0~2?62?甘?2.765?0~25?0

頁巖2?0~2.42?57~2?7710?。?30.0

石灰?guī)r2.1—2.62.48~2?855.0—20.0

片聯(lián)君2?9?3.02.63-3.070?5~1?5

大理巖2?6~2?72.6~2.80.5—2.0

石英巖2.652?63~2?840.1~0.5

板巖2.6~2.72.68?2.76。?…0.5/

三、巖石的水理性質

實踐表明，水能瞬時地或逐漸地改變巖石的力學性質和性態(tài)。

巖石在水溶液作用下所表現(xiàn)出的力學的、物理的、化學的性質稱為巖石的水理性質。

(I)、巖石的滲透性

水通過巖石流動的難易程度，在一維條件下，有

一包

dx

式中v一滲流速度，也稱比流量：〃-孔隙水壓力；K-滲透系數(shù)。

巖石的滲透性通常用滲透系數(shù)K衡量，K越大，滲透性越好。

(2)、軟化性

巖石被水濕潤后，強度降低，柔度增加(彈性模量降低)的特性。

(3)、溶蝕性

由于水的化學作用，巖石中的某些成分被水流帶走的現(xiàn)象。溶蝕造成巖石致密程度降低,

孔隙度增大，滲透性改善，強度降低。

(4)、膨脹性

巖石受水浸濕后，體積膨脹的現(xiàn)象。巖石膨脹造成強度降低、柔度增加并導致應力的不

均勻。

*1-2幾料巖石■速索■裳

添w系敷

巖石名孤孔隙情況

K(an/s>

花崗巖收致密.微吸感1.1X10~u~9.5xl0-,?

含我裂隙(1J~2?5)*10-，'

微裂隙及一些短笈!?2.8X10-,?7x10-，

綠巖致e<107

潦紋風料效電

玄武巖致?

安山粉巖禁裂隙8XI0-”

砂巖較致密】o-"?2.5X10-1，

砂巖孔敏較發(fā)育5.5X1O-e

石灰?guī)r致eSXI0-"?6x10-1。

微裂隙、孔隙2xiO-1~3xiO-?

裂隙，孔隙較發(fā)奇9X10-、~3xi0一?

員詈微裂隙發(fā)育2、1。-"?8*10->

片巖滋密瞰發(fā)育1OT~5X1OT

片麻巖致?<io-u

微裂隙9x10-??4x1Q-*

循裂防發(fā)百2X10-，~3X10-?

石英巖鼻綾除(1.2—1.8)X10-**

?1-3集贊號石在水作用下融廢變化

抗反強度(MPa)

胄石名稱折減系數(shù)

漫水

干燥_----

花崗巖40?22025~2050?03~0?25

閃長巖97.7—232€8.8~159.70.24?0?40

輝長巖118.1-273.658-245.80.10-0.56

玄武巖102.7-290.5102~192.40.08~0.29

石灰?guī)r13.4~250.87.8-189.20?。6~0.42

砂巖17.5—250.85?7~245?50.03—0.66

怙土巖20.7?592.4?31.80.13~0,92

頁巖57~13613?7~75?10.45—0.76

板巖123?199?672~149?60?18~0?48

千枚巖30.1?49?428?1~3s.30.04—0.3)

片巖59.6~218.929.5-171.40.20—0.51

石英巖145?1?2。050-171.4。?04?0?20

第三節(jié)巖石的變形特征

巖石在載荷作用下首先發(fā)生的現(xiàn)象是變形。巖石的變形性對采礦工程和巖石工程有重要

影響。巖石的單向、二向、三向變形特征不同，但研究最充分的是巖石的單向變形二巖石的

變形（用應變表示）與載荷（用應力表示）有關，但有時還與時間有關。當巖石的變形F僅取決

于應力還取決于時間時，需要考慮巖石的流變特性。脆性、塑性、堅硬等說法是通常用來描

述巖石變形性能（有時也包括強度）的直觀說法，形象但不十分嚴格。

脆性材料一破壞具有突變性的材料。

延性材料一破壞比較平緩的材料。

脆性一破壞前永久變形的大小，可用脆性度度量（庫克）。

延性一塑性，永久變形。

一、巖石在單向受壓狀態(tài)下的變形

下面圖是單向受壓情況下巖石的應力應變應變的全過程曲線。圖1-3是全圖，圖L4是

屈服以前的局部放大圖。

圖1-3巖石變形的典型全應力-應變曲線

圖I4巖石受單向壓縮時橫向、軸向及體積應力應變曲線

從圖中可以看出在單向受載下巖石的變形可劃分為四個階段：

1、微裂隙壓密段（。一4段），巖石內部原有裂隙的刃合超過新產生的裂隙，曲線上凹:

2、彈性變形階段（八一8段），巖石內部原有裂隙的壓密與新產生的裂隙大致相等，巖

石被繼續(xù)壓縮，應力應變曲線的斜率不變，應力應變關系呈現(xiàn)為線性；

3、巖石總體上進入裂隙發(fā)展和擴展的階段(B—C)段，在該階段巖石中新產生的裂隙

超過了被壓密的裂紋，曲線向下凹，開始進入塑性階段，并發(fā)生體積膨脹。同時有聲發(fā)射加

劇的現(xiàn)象；

4、裂隙加速產生并不穩(wěn)定擴展，直至巖石試件完全喪失承載能力(C—段。破壞過

程。在這個階段隨著應變的增加，巖石強度減小，巖石的這種特性稱為巖石的應變弱化，應

變弱化巖石區(qū)別于金屬的顯著的力學性質之一

對于均勻各向同性介質，按線彈塑性理論，在彈性階段的體積變形為

邑=邑-2邑

按照這個關系可以描述巖石單向壓應力與體積變形的美系。一般認為，當體積變形偏離

彈性壓縮并增大，就認為產生了壓應力作用卜?的體積膨脹，壓應力下的體積膨脹是巖石區(qū)別

于金屬的另一顯著的力學性質。

壓應力作用巖石的應力應變全過程曲線反映了巖石在壓應力作用下其內部裂隙的發(fā)展

過程、漸近破壞，應變弱化的是巖石區(qū)別于金屬的最主要的力學特性.

二、試驗機特性與巖石的應力一應變全過程曲線

首先介紹剛度的定義。設物體所受的載荷為Q，在。的作用下，總的變形為U,如果

物體是彈性的，則Q與U之間的關系為

Q=KU(1-1)

式中K就是該物體的剛度。從上式可以看出，剛度K是物體產生單位位移(總體變形)所需要

的力(載荷)。這里彈性表現(xiàn)為K是與U無關的是一個常數(shù)。對于彈性介質，應力應變的線

性關系等價于載荷Q和位移(總體變形)的線性關系。這是因為，如果A是彈性試件的面積，

L是試件的長度，Q是試件所受的載荷，是試件在載荷。的作用下的總變形，則&

A

是試件應力，半=￡是試件應變，彈性變形要求

a=Ec=>^-=E—(1-2)

AL

從上式可得出

r*Ar*A

Q=—M=>Q=KMK=一(1-3)

LL

由于七是常數(shù)，因此K也是常數(shù)，因此線彈性的應力應變關系導致線性的載荷位移關

系，但必須指出的是，剛度包含了幾何因素，因此不是材料內乘的力學性質，而是一種結構

特性。

巖石試驗機在其工作范圍內總體的力學特性是彈性的，否則試驗機不能正常工作。這

樣試驗機和巖石組成的力學系統(tǒng)可以簡化成下圖的力學模型，若尸是試驗機所受力，。是

巖石試樣所受的力，由于試驗機與試樣組成了串聯(lián)系統(tǒng)，因此在平衡狀態(tài)下

P=R(1-4)

由于試驗機在彈性范圍內工作，因此

P=KMU”=const(1-5)

式中一試驗機的變形，一試驗機的剛度。幺一巖石的變形，心,一試驗機的剛度

從圖1—3可以看到，巖樣的應力應變關系是非線性的，巖石的剛度底是變形外的函

數(shù)，因此

圖1一5試驗機一巖樣系統(tǒng)的力學模型

Q=KR(U)UR(1-6)

式中以一巖石的變形。若系統(tǒng)的總位移是U。在巖樣破壞前的加載過程中，外部對系

統(tǒng)的功為

W=-PU(1-7)

2

儲存在試驗機中的彈性變形能為

11Ip2

匕=產,=5解=溫(1-8)

儲存在巖樣中的變形能和由于巖樣內裂隙生成、擴展所消耗的功之和為

M(1-9)

上式可以寫為

w,=咨&*(1-10)

式中是巖樣從變形為零到變形為UK過程中的平均剛度。上式的正確性可由定積分的第一中

值定理得到(見有關數(shù)學分析的教程)。

由于P=R,如果試驗機的剛度KM小于巖樣的平均剛度,即K”<KR,從(1-8)式和(1-10)

式可知，在加載過程中儲存在試驗機中的彈性能Ww大于WR，即Ww>跌。此時，巖樣一旦

發(fā)生破壞，則儲存在試驗機中的彈性能突然釋放，對巖樣產生沖擊作用，破壞以突變的形式

發(fā)生，試驗終止，無法得到巖樣的全程曲線。

當巖樣進入過過峰值強度后的變形區(qū)，使巖樣繼續(xù)壓縮所需要的載荷減小，系統(tǒng)受力

P二Q減小，如果此時K”v,則從圖1-7可見，即使外界不對系統(tǒng)作功，巖樣的變形也可

繼續(xù)發(fā)生。從圖1-7還可見到，巖樣從URC變到Uq過程中，載荷降低了AQ,這一'1起試驗

機變形恢復，并釋放能量,從圖1-7可以看出，若KM<KR,則載荷減少AP=AQ過程中，試

驗機釋放的能量超過了使巖樣繼續(xù)變形4c所需要的能量。試驗機施加于巖樣的

實際載荷PCP也大于此時巖石的強度URP，即PCP>Q即。

在這種情況下，一旦巖樣的變形進入了過峰值強度后的U期時，儲存在試驗機中彈性變

形能突然釋放，對巖樣產生沖擊作用，導致巖石的突然破壞。無法得到巖樣的應力應變全過

程曲線。

圖1一6普通柔性試驗機上巖樣的突然破壞

反之，如果試驗機的剛度K”更大，當巖樣進入過峰值強度后的變形區(qū)，巖樣繼續(xù)變形，

△4=4-%的過程中，試驗機釋放的彈性能小于巖樣繼續(xù)壓縮的變形能。試驗機的載荷Per

也小于巖樣的載荷Q/，因此，必須外界繼續(xù)對試驗系統(tǒng)作功，巖樣才能繼續(xù)壓縮（見圖1-8）。

KM很大的試驗機叫剛性試驗機。

三、巖石應力應變曲線的類型

類型I:線性應力一應變關系。堅硬巖石，細粒巖漿巖、細粒變質巖、玄武巖、石英巖、

輝綠巖、白云巖和堅硬石灰?guī)r，脆性破壞。

類型II:彈塑性。開始彈性，以后塑性。代表性巖為石灰?guī)r、粉砂巖、凝灰?guī)r。

類型川：塑彈性開始上凹，后轉為直線。破壞以前沒有明顯屈服。具有這類塑彈性變形

特征的是巖石中有孔隙和細裂隙的堅硬巖石，如砂巖、花崗巖、某些輝綠巖等。

類型IV：塑性一彈性（細S型）。線性段斜率較大。這類變形的巖石有堅硬致密的變質巖,

如大理巖、片麻巖。

類型\『：亦為細s型，但線性段斜率較小。如在垂直片理方向受壓的片巖，有很高的壓

縮性和很大的塑性變形。

類型VI：巖鹽及其他蒸發(fā)巖的變形特征曲線。開始是很短的直線，隨后出現(xiàn)不斷增大的

非彈性變形和連續(xù)蠕變。

圖！-9?巖石幾種典型單向應力應變曲線

三軸試驗下的應力一應變曲線（圍壓的影響）

1、圍壓對圍巖的影響因圍巖不同而異，硬巖受圍壓影響小，較軟的砂巖受圍巖影響大。

2、圍壓加大時破壞時的峰值載荷增大（強度增加），塑性變形增大。

這些從下圖可以看出。

316.4"S=，仙6MPa

2U.0X"3=70.3MPa

W5.5

351.6

'X。3=35?2MPa

加載速度對巖石變形的影響

隨著加載速率增加，曲線斜率增大，即變形模量增大。

E

S

I

O

X

》

Q

圖1-11砂巖在不同加載速率下應力應變關系

四、變形指標及其測定

反映巖石變形特性的指標有彈性模量（變形模量）和泊松比（側向變形系數(shù)）。

彈性模量E（變形模量）的定義為E=由于單向受壓情況下巖石的應力應變關系是非線性

的，因此變形模量不是常數(shù)，常用的變形模量有以下幾種

1、初始模量，用應力應變曲線坐標原點的切線斜率表示，即

2、割線模量，由應力應變曲線的起始點與曲線上另一點作割線，割線的斜率看是割線

模量,一般選強度為50%的應力點

子=

3、切線模量，用應力應變曲線直線段的斜率表示

%一%

E,=

%一與2

隨巖性不同，這三種模量可以相差很大。一般有E>E、>￡,有時可以用反映巖石孔隙發(fā)

育的程度。在工程應用上應用哪一種模量到目前還沒有統(tǒng)一的規(guī)定。

4、泊松比，單向載荷作用下，橫向變形與縱向變形之比

￡,

式中為平行加載方向的縱向應變，為垂直于加載方向的橫向應變。

第四節(jié)巖石的流變性

巖石的流變是其本構方程（應力應變關系）隨時間而變化的性質。更準確地說是巖石的

應力率與應變率之間的物理關系,最常見的巖石流變是在外力不變的情況下巖石的變形隨

時間流逝而增長，即蠕變，巖石的蠕變不?定要在外載荷很大時才發(fā)生，也不一定要在高溫

下才發(fā)生。即使在常溫條件下，盡管作用在巖石上的載荷很小，只要它的作用肘間相當長。

也會發(fā)生永久變形。在地殼中所看到的各種地質構造形跡，以及在第四紀冰川沉積物中經常

可看到各種彎曲礫石。這些現(xiàn)象就是巖石流變性的反映。

基本概念：

流變一介質應力或應變之間的物理關系與時間而相關的性質，或者說是巖石的應力率與

應變率之間的物理關系。

蠕變一外力不變時，變形隨時間的發(fā)展的現(xiàn)象。

松弛一變形不變時，介質應力隨時間而降低的現(xiàn)象。

巖石流變的實例，沉積巖的彎曲，第四紀冰川沉積物中的各種彎曲礫石。

研究巖石流變性質的方法：I、經驗定律；2、模型理論；3、積分理論。本章只介紹經

驗定律和模型理論。

一、研究巖石蠕變的經驗定律

巖石蠕變的典型形式，

圖1-12巖石的典型蠕變曲線

圖1一12所示的蠕變應變可表示為

￡?）=%+Ga）+w+/（j）

0A段一瞬時彈性，變形以接近聲速的速度完成.

A3段一蠕變第一階段，蠕變速度下降，也叫瞬時蠕變。

8c段一蠕變第二階段，等速蠕變，亦稱穩(wěn)定蠕變。

C。段一蠕變第三階段，加速蠕變，蠕變破壞階段。

對于與⑴，有以下幾種常用的經驗蠕變定律

與(1)=4"0</?<1

其中最常用的是暴定律

4/)=人產(Andrade,1910,194)

和對數(shù)定律

￡1(/)=4Inf

但是這三個經驗定律都沒有嚴格地符合瞬態(tài)蠕變的概念，表現(xiàn)在

(1)、隨著時間增加變形不斷增加，而不是趨于一個常數(shù)；

(2)、r~>0時蠕變速率百⑺趨于無窮大。

為避免這些缺點，又有

￡:,(/)=4ln(l+az)(Lomnitz,1956,1957)

經驗定律的中V和A取決于試驗條件。

二、研究巖石流變的模型理論

其主要的思想是利用具有簡單力學性質的元件的組合，反映巖石的更為復雜的流變特

性。

常用的元件有三種：11)、彈性元件；(2)、粘性元件；(3)、摩擦片。彈性元件反映彈

性變形，粘性元件反映巖石的粘性，摩擦件反映巖石的塑性。

(1)、彈性元件

3)

1-13彈性元件的模型簡圖與應力應變關系

<y=Es(1-11)

從上圖可以看出彈性元件的力學特點為：應力僅僅依賴于應變，與時間無關。在力的作

用下，彈性變形瞬間完成，以后只要受力不變，變形就恒定“簡而言之，彈性元件有受力

瞬間變形，應變恒定的特點。

(2)、粘性元件

圖1-14是粘性元件的模型簡圖與應力應變關系。從圖中可以看出粘性元件的力學特點

為，應力與應變速率相關，當應力保持恒定時，應變不斷增長，在受力瞬間變形為零。簡

而言之，粘性元件有受力瞬間不變形，隨時間流逝變形迫于無限的特點。

_U---?

(?)

1-14粘性元件的模型簡圖與應力應變關系

彈性元件和粘性元件的上述特性對分析流變模型的刀學特性是十分重要的。

（33摩擦片

1-15摩擦件的模型簡圖與應力應變關系

d￡（1-13）

>a.—=const

sdt

本課程只研究粘彈性，故不考慮摩擦元件的作用。

在模型理論中主要研究兩個問題：1、流變模型的本構方程；2、流變模型的特:性。

流變模型的本構方程是指模型的總應力、總應變之間的關系。

最簡單的流變模型

在巖石力學中常用的最簡單的流變模型有以下幾種：I、Maxwell體；2、Kelvin體；3、

推廣的Kelvin體（標準線性固體）；4、伯格斯體。

上述簡單模型是由彈性元件和粘性元件的串并聯(lián)形成。

推導模型本構方程的原則有兩條：

（1）、若兩元件串聯(lián)，則總變形是兩個元件變形的迭加。此時元件的應力相等，并等于

總應力。

（2）、若兩元件并聯(lián)，則元件的變形相同，并等于總變形。而總應力是元件應力的迭加。

1、Maxwell體

Maxwell體是彈性元件和粘性元件的串聯(lián)組成的。

E,又小%

生，￡口

圖1/6Maxwell體的模型簡圖

按照串聯(lián)模型特點：I、變形迭加；2、應力相等。因此有

(1-13〃，h)

式中下標1—彈簧，下標2—粘性元件。一模型總應變，一模型總應力。

從式(1-13小勿和元件的應力應變關系(1-11)和(1-⑵可得

一E-n

因此

aa

￡=—+—(1-14)

En

式(1-14)已消去了元步應力和應變，因此就是Maxwell體的一維本構方程。

Maxwell體的流變特性

首先從模型簡圖看Maxwell體的流變特性。當Maxwell體受到一個恒定的應力的作用

時，由于彈性元件的作用，在受力瞬間模型有一個瞬時的彈性變形。由于粘性元件的作用，

隨著時間的增長，變形趨近于無窮，因此Maxwell模型有瞬時彈性和蠕變現(xiàn)象。而當模型

在壓力的作用下產生一個瞬時壓縮變形，并保持不變時，由于粘性元件不斷變形，在總應變

不變的情況F，彈性元件不斷伸長，應力不斷降低，導致模型應力降低，因此Maxwell體

有松弛現(xiàn)象。

Maxwell體的蠕變方程

按定義此時，因此，于是嫡變微分方程為

”=曳(1-15)

dt7]

積分上式得

￡=—t+C(1-16)

fj

式中c是積分常數(shù)。初始條件為：當片0時，4。)=2。初始條件的物理意義是，在模型受力

瞬間彈性元件產生瞬時彈性應變?yōu)樾?。將初始條件代入(1-16)得出c=2,，因此Maxwell

En

體的蠕變方程為

[=*+%(M7)

E〃

Maxwell體的蠕變曲線見圖1-13。從圖中可以看出：在壓力的作用卜.模型產生一個瞬時

變形4/E；隨時間的流逝，變形增長。

Maxwell體的松弛方程

按定義，此時￡=0,因此松弛微分方程為

積分上式可得

F--I

|ncr=--Z+C1(7=C,e"(1-19)

n

而當仁而二。時，粘性元件不變形，因此在受力瞬間彈性元件的瞬時變形為，相應的應力

為b(O)=E/。將這個初始條件代入上式，得出積分常數(shù)因此松弛方程為

b=(1-20)

Maxwell體的松弛曲線見圖l-14o從圖中可以看出

Maxwell體有瞬時彈性、蠕變和松弛。Maxwell體的長時力學響應象流體，因此Maxwell

體本質上是流體。

2、Kelvin體

E、q

520--------a,------------------?---------，，/

------------±\--------------

圖1-19Kelvin體的模型簡圖

首先從Kelvin體的模型簡圖分析其流變特性，當Kelvin體受到一恒定應力的作用時，

由于粘性元件的瞬時變形為零，并且兩元件并聯(lián)，因此模型的瞬時變形為零。隨著時間的流

逝，粘性元件持續(xù)變形，彈性元件也同步壓縮，一直持續(xù)到彈性元件的變形為與=￡=■^為

ll：o此時彈性元件承受了全部的應力而粘性元件完全不受力，Kelvin模型退化為一個彈性系

數(shù)為三的彈簧，因此Kelvin體有蠕變和彈性后效，其長時力學行為象固體。

如果對模型施加了一個應變，并保持不變。由于并聯(lián)，此時彈性元件的應變也是，相

應的應力為這個應力不會隨時間減小，因此Kelvin體沒有松弛現(xiàn)象。

按照元件并聯(lián)的規(guī)則：應力迭加，應變相等的規(guī)則，從元件的應力應變關系可得

(1-21〃，b)

從上面兩個公式可得

(7=E￡+rj￡(1-22)

上式已消去了元件的應力與應變，因此就是Kelvin模型的一維本構方程。

Kelvin體蠕變方程

按定義，此時。=%=const,@gcr=0。因此從(1-22)可得Kelvin體的蠕變微分方程

dt

為

化+與2=生(1-23)

力Q7

求解上式可以得到

￡=至改力+4=,曳/力+4=.>+曳

I〃」I，7」[nE\E

由于Kelvin體的瞬時變形為零，因此當f=0時，￡=(),刈0)=0代入上式可以得到

E

代入上式，得出Kehin體的蠕變方程為

從上式可以看到：當if8時，￡=?是彈性元件的變形，因此。Kelvin體有彈性后效。

Kelvin體沒有松弛。因為若作用在模型上一個常應變，即e=￡=0,此時從本

構方程(1-22)可以得出。=石/，并保持不變。

Kelvin體蠕變的物理意義是：載荷從粘性元件轉移到彈性元件上。

Kelvin體有蠕變和彈性后效，其長時力學行為象固體。

Maxwell體的長時力學行類似于流體，這與巖石的力學行為不符，而Kelvin體沒有瞬時

變形，也與巖石的力學行為不符。因此這兩種流變模型用來模擬巖石的流變行為都不甚滿意，

因此有下面的流變模型。

3、推廣的Kelvin體模型(標準線性固體)

該模型可以看作是Kelvin體和彈性元件的串聯(lián)

首先從模型簡圖分析其流變特性，在不變的應力作用下，由于彈性元件的原因，模型有

一個瞬時的彈性變形，隨著時間的增長，由于粘性元件不斷變形，模型有蠕變的現(xiàn)象。如果

作用一個恒定的應變到模型上，由于Kelvin體是與彈性元件串聯(lián)在一起，粘性元件不斷壓

縮，彈性元件不斷伸長，受力逐步減小，因此模型有松范現(xiàn)象。當應力作用充分長時間后粘

性元件不斷變形，并將力轉移到彈性元件上，此時模型變成由彈性元件1和2串聯(lián)形成的彈

簧，因此該模型有彈性后效。

因此從元件的理性特性看，推廣的Kelvin體具有以下流變特性：

1、瞬時彈性

2、彈性后效

3、蠕變

4、松弛

EI，G

AAAAA_______

/、&----??----------?-------%，%

_AAAAA------71---------

￡、>.。

圖1-21第一種推廣的Kelvin體的模型向圖

改進的Kelvin體的一維本構方程

從模型簡圖和串并聯(lián)原則，可知

b=/=/，￡=￡1+%，￡K=￡\，/=%;+%(1-2567,b,c)

式中下標K表示Kelvin體。由于Kelvin體的本構方程為

deds

=Erj+Z7—=3+〃下K(1-26)

將（1-25人）代入上式，得出

。=取￡一￡,）+/（￡—￡,）

dl

將彈性元件的本構方程代入上式，可得

整理上式可得，推廣的Kelvin體的一維本構方程得:

r/a+(El+E2)(J=EtE2s+E,/7,e=&(七干+7s)(1-27)

對第一種標準線性固體可以同樣推導，可按類似的方法得到它的本構方程（留做作業(yè)）

上述模型

此模型更像一個固體（對第一種標準線性固體）。

本構方程的求法：b=5=/,￡=鳥+牡，。內=4+0月，￡]=￡“=4。

由Kelvin體，①=CT=耳0+〃與，（y2=cr=E2￡2o

/■、

利用“馬十七，CT=E]（￡-邑）+/將第二式代入°=E[6'--I+/7,￡-不?

推廣的Kelvin體的蠕變方程

按定義此時。=%=const,<T=0,因此從（1-27）式可得蠕變微分方程為

dsE.E+E,

一+—￡=（To———-(1-28)

dlrjE2JJ

上式是柏努利方程，利用求解公式可得

E+區(qū)片+心

°F3(1-29)

蠕變初始條件為￡(0)=生，代入上式可求出，。=曳("二與士")=-%將c代入(1-29)

EzE,Et￡

式，得到推廣的Kelvin體的蠕變方程為

從上式可以看出，40時的瞬時彈性變形為

儀0)=魯

式中，&)=&是模型的瞬時模量。當，一＞8時的長時應變?yōu)?/p>

E.+E、cr0

4=[

式中，邑=旦。是模型的長時模量。顯然邑=室口＜居;邑=遇生＜旦=4。因此

在恒力作用下，經過充分長的時問該模型退化為彈性體，其彈性模量比瞬時模量小。

推廣的Kelvin體的松弛方程

按定義，此時￡=%=consi,5=0,因此松弛微分方程為

dcy&+E,E[E,

——+—---^cr=—(1-30)

出f]fl

松弛的初始條件為"0,0(0)=區(qū)島，方程(1-30)的解為

耳+￡

將初始條件代入上式，得出

因此

**%+8。一景%缶2劃

由于反可以看成推廣的Kelvin模型的瞬時彈模，星-可看成長期彈模，令E2=EO,

善三=邑模型的松弛方程可以寫為

￡+E2

丸航+(&￡()-&￡(>)?(1-28Z?)

當f=0,(7(0)=E2￡Q

0-(0)=E后

當,8時

O=E&

推廣的Kelvin體的蠕變曲線和松弛曲線見圖1-23和1-24

從圖1-23可以看到：在受力瞬間模型有一個瞬時彈性變形，當，T8時，隨時間的流

逝變形增長，但有一個上限。

/=。

圖1-23推廣的Kelvin體的蠕變曲線圖｛_24推廣的Kelvin體的松弛曲線

從圖1-24可以看到：隨時間的流逝應力不斷下降，但有一個下限。

第二種標準線性固體的蠕變方程和松弛方程可以按同樣的方法導出，其中的關鍵是根據

模型的流變特性，給出蠕變初始條件和松弛初始條件。

推廣的Kelvin體可以模擬蠕變、松弛，瞬時彈性和瞬時彈性后效，并且本質上是固體,

彌補了Maxwell體和Kelvin體的缺陷。因此，較好的模擬了巖石的粘彈性行為，是最經常

采用的巖石流變模型。

5、伯格斯體

伯格斯體是Mxwell體和Kelvin體的串聯(lián)

0￡K

E],￡Af心，￡M__

軟），％——?----7]————?V--------%，￡。

~±1~~

%，￡K

圖1-22伯格斯體的模型簡圖

因此

（）

J=crM=crA,,E=￡Y+eK（1-28〃，b

式中是Maxwell體的的應力,是Kelvin體的的應力，是Maxwell體的應變，是Kelvin體的

應變。

Maxwell體的本構方程是

(7O

￡=一+一(1-14)

En

Kelvin體的本構方程.是

（7=E￡+l]￡

將（1?2砌代入上式,并注意到（1-28幻，得出

??

（T=E]（￡-￡m）+77I（￡一）

將上式對時間求一次偏導數(shù)，得到

?????

。%￡M）十IJ]（￡一￡1,1）

將Maxwell體的本構方程(l-28a,b)代入上式，得到

(y=E\￡------)+7i(^--z-----)

E2Hl與仇

整理上式，得出

—CT+—CF+—(7+—C7+(7=f]]￡+E